goursat hypergeometric

Goursat, Edouard. Sur l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéométrique. 1995. 1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de la BnF.Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 :  *La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source.  *La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produits élaborés de fourniture de service. 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Sur ~cgM~~o~ ~re~~c~e ~~ec~re qui ~c~~OMr ~rct~ série ~~per~oy~c~WgMe Gauthier-ViHars 7~/s 188 (~1~1~BBt~..<m)m w< t fate: fee Hee: THÈSES k.k. f'R~SKNTfKS ALAFACULTÉ DESSCIENCES DEPARIS MmtOHTENttt ).EGRADE f)E))OCTEUK ESSCIENCES MATHÉMATIQUES, PAR M É.GOURSAT, Ancien dAve del'École Normale,supérieure. 1" THÈSE. SUR !<QUATtON DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE QUI ADMET POUR INTÉGRALE LA SÉRIEHYPERGËOMËTRtQUE. 2' THÈSE. PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ. tt<tMt<'KM~)!t,le~JmiMet Ê88t,<tev~mt)<tC<ttttm*<MH<t't <t Ext~Mem. MM.BOUQUET,7~<f~ DARBOUX.i 4Exanrinalertrx, TANNERY, )t~E<!mM~<eM7~. ~~t~'t.'¡, '¿~ PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUA-LIBRAÏRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DEL'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, SUCCESSEUR DEMALLET-BACHELIER, 1 Quai desAugustins, 55. 1881 noVEN..MILNKKDWARDS, Professeur.Zoologie, Anatomie,Phy- siologie comparée. PROFESSEURS HONORAIRES ) PROFESSEURS.{ BERT Physio)ogie. &GRÉ&ES. j.VIEILLE ~Sctencesmathematiques. PELIGOT. Sciencesphysiques. SECRETAtRE. PHILIPPON. f;9o6 PAms. JMpRtMERtE nEGAUTHIER-VILLARS, SUCCESSEUR DEMALLET-BACHELIER, Quai desAugustins, 55.ACADÉMIE DEPA~iS. FACULTE t)ËS SCtENCËS !)EPARIS MM. PASTEUR. P.DESAINS. Physique. LIOUVILLE Mécanique rationnelle. jPUISEUX Astronomie. HÉBERT.Géotogie. DUCHARTRE. Botanique. JAMIN. Physique. SERRET. Calcul différentiel etintégral. H.Ste-CLAIRE DEVILLE. Chimie. DELACAZE-DUTHIERS.Zoologie, Anatomie, Physio- logie comparée. HERM1TE Algèbre supérieure. BRIOT. Calcul desprobabilités, Phy- sique mathématique. BOUQUET Mécanique physique etexpé- rimentale. TROOST.Chimie. WURTZ. Chimieorganique. ~FRIEDEL. Minéralogie. 0.BONNET. Astronomie. DARBOUX Géométriesupérieure. BERTRAND.jSciencesmathématiques. A M.DARBOLX, t'«t)i~f:t~ A!,AJ'~f:L).')K))ËSSCtK,\(;KS. ~jn()!));~<'fjt'r~fonn~),(! t'C()U!T. PREMIERE THËSE. SUR L'EQUATION DIFFÉRENTIELLE LINEAIRE QUtADMETt'O)!):LM~fittALM LASÉRIE HYPER&ËOMËTRiQUE. INTRODUCTION. 1.Lasénéhypergéométrique F(<x, ~3, x),considérée comme fonc- tion desonquatrième étérnent x,n'est définie quepoxr lesvaleurs de lavariable d'un module Inférieur a)'unité. Pour ladéfinirpour des valeurs quelconques de~?,ondoit taconsidérer comme uneinté~rate particulière d'une équation différentielle iinéaire dusecond ordre; )a quëstjotl revient àtrouver ceque devient cette intégrale quand le chemin suivi parlavariàb!e aboutit àunpoint situé endehors du cerc)ë derayon tdécrit del'origine comme centre. Par une géhéra- lisation quis'offre d'ë!te-même, onestalors conduit àseposer le mêmeproblème pour uneintégratë quetconque decette équation. le chemin suivipariavariab!e étant simplement assujetti ànepasser paraucun despoints critiques qu'elle présente. Cette équation célèbre, étudiée parGauss ()etKummer(~).admet, (')CË'~yc.t'co~/e~, t.IH,p.207. ~)7w/r/M/C~/&t.XV,p.3(). /j ):.t,'nns.\r. connne l'amontx'ce dernier, vin~t-t~uatreintegr.ttesdetaforme .t' .r//Fx',3',y,z.. ouest) t,unedesvariantes t!.i– pourvu ouzcst unc csvana )es:1:, ':l'".:t'1. xX1 X' Ilf.JUI'vu qu'aucun desnombres' -v.- ~–c<nesuit unnombre entier. Dans lemême travail, Kummer adonné lesréfutions linéaires acoet'tl- cientsconst.ants quiexistent entre trois quctconques decesinLegrates; mais, cetetnincnt. geomctres'étant ptace uniquementaupuintdevue desvaieurs réeUes delavariable, lesFormutes qu'itaobtenues prc-- sentent quelques difftcuttes quand onveut passerauxapplications, d'autant plus qu'iln'apastoujours précisésut!isammeut lesens deses iniegrales. Supposons,eneffet, qu'onveuillepasserd'une valeur dexréelle, positive etinférieure at'unité, àunevateuf dea?réette, positive etsupé- rieure ài'unité; cela nepourrasefaire enattribuant atavariable une suite devaleurs toutesréeties, puisqu'onnepeut passer partepoint~=i, quiestunpoint critique pour t'équationdifférentiette. Hfaudra donc attribuer àxunesuite devaleurs imaginaires,cequel'on pourra faire d'une inunité demanières, et,tavaleur finale delafonction dépendant t essentiellement delaloidesuccession desvaleurs delavariabte. on voitqu'ilestnécessaire, pour t'objet quet'ensepropose,d'introduire taconsidération desvaleurs imaginaires dans l'équation différentielle. Lathéoriegénératcdecette équation, quand onn'apporte ainsi au- cune restriction auxvaleurs detavariable, n'apasétéfaitejusqu'ici d'une manière comptéte, dumoins àmaconnaissance. Jedoisrappeler cependant queM.Tannery (')amontré qu'en appliquant lesprincipes posés parM.Fuchs (~)pourtathéorie des équationsdifférentielles linéaires onretrouvait lesintégrâtesdeKummer; dans unautre Mémoire ("),it adéterminé lesrelations linéaires entre lesintégrales pourunexemple numérique, déjà étudié parM.Fuchs (~). Lesrésul- tats obtenus concordent avec ceux quel'on déduit ducasgénéral. (')~/<t'.tY;tc/f;e.v~e/'j6'co/eA~M/t')s<c~/Y', '.<série, L.tV, p.n3. ~)~/<<f/c C/'c//f, t.LXVt, p.im.n (')~M/<t'.tY.'M/«f'c~e ~w~c.«</)f<M~c, ~série,t.VtU, p.'6; ~)yMW/M/f/C<7'/&t.t.XX[,p.')!.1. SL'tt L'U'A!')ONt)H''t'KKHM').).KH~)';An!E,r.t<J 2.Dans lapremière Partie decetravail, jedévelopped'abord une méthode dueàJacobi (')pour retrouve)' lesvingt-quatre intégrâtes de l'équationdifférentielle quand aucun desnombres'– ~–~ n'est unnombre entier; puis, parl'application duthéorème deCauchy auxintégrâtesdéfinies quireprésentent lessérieshypergéométriques, j'obtiens lesrelations ettes-mémes entre cesintégrâtes. Si,parmiles nombres y,-y–<x–j'3, p–K,iisetrouve unouplusieursnombres en- tiers, ilyaunchangementdeforme analytique pourcertaines inté- grales; onobtient lesintégrâtesnouvelles parunprocédé d'un usage fréquent enMathématiques, surtout dans l'étude deséquationsdiffé- rentielles. Jetermine enrecherchant lesconditions quedoivent remplir leséléments <x, pour que t'intégrate générate soit algébrique. Je suisconduit àune représentation géométrique identiqueàcette que M.Schwarz (~)avait déjà trouvée, enpartantdeprincipes tout dif- férents. Laseconde Partie estconsacrée àlarecherche destransformations quet'onpeut faire subir àlasérie hypergéométrique lorsque,destrois éléments <x,~3, deux seulement, oumême unseul, restent arbitraires. Jeparviensadéterminer toutes lestransformations d'une forme très générale, quicomprendtoutes lestransformations indiquées parKum- mer ("),et uncertain nombre d'autres, que jecrois nouvelles. Je donne ensuite quelques-unesdesnombreuses formules que l'onpeut endéduire. Jesupposeconnus lesprincipesrelatifs àlathéorie deséquations dtfférentiettes linéaires, mecontentant derenvoyer auMémoire déjà citédeM.TanneryC'). (')VoM/M~ a'e C/'e/~ t.LVI, p.)49- ~j t.LXXV, p.?.92. (3)Id.,t.XV,p.fi4ct, (~)~p.t' .te/M~ffc.t'fA.'/cn/c A'~vw~' .tf~c/fwf, sm'it', IV, p.ff3. t K.fi<t);XSAT. PREMIÈRE PARTIE. 3.Onsait, depuis Ëufer, que t'intégrate dénnie ~==< Vf/M. OUlJ V=MP-'(f– K)Y-P-'(!–~M)-~ sielleaunsens, vérifie t'équation différentieUe <T' (')~(')~+[7-(~+!3-]~o. Pour ledémontrer, itsufntsimptement deremplacer dans lepremier membre denotre équation y,y,yparleurs valeurs. Lerésultat est évidemment fj~(,)~Z~[y-(~~p+,)~]~Y-~v~M.J.f a-): L<t ~.c ¡du. Ôfilestfaci)e des'assurer quelafonction sous lesigne d'intégration n'est autre que a~r~j NM)~t–.97MJ Lerésuttat delasubstitution sera donc –(X–'–'VrésultatLi– Jo identiquement nut, puisque nous supposons quel'in.tégrate '~o<V~Ma unsens. D'une manière générate, considérons l'intégrate déHnie ~= <Vt/M, SUt J.'F.nLADUK U[rt''KfŒM))':).U:U;\t:A)!t< t';1< ougethsont desquantitésconstantes. Sinous portons cette va)eur deydans lepremiermembre det'équation (!y, nous trouvons comme résultat 'M.-M-X )–~HJ,. Pour quecerésultat soitnul, ilsuffit t.deprendre pour~etA!'unequei- conquedesvaleurs o,),±-x.' pourvu, bien entendu, que t'integraie correspondante:'itunsens. Hrésulte delàquechacune destrois inté- grâtes définies V~, <V</M,rV< sielleaunsens, satisfait àl'équation différentieHe proposée. Considérons maintenant avec Jacobi t'intégrée définie 'A' Vt/M, oùetEsont desconstantes, et.remplaçons, commetoutàt'heure, y, j~,y" parleurs valeurs danslepremier membrede t'équation (J).Apres quelquesréductions faciles, lerésultatpeuts'écrire –(y–)~:('e)'Y(.f–E)Y- -<x~(. -~Y-~) -)- Sil'onprend pourEtavaleur a~) etpour gt'une desvateurs o, j,-)-oo, lerésuttat sera nul, pourvu que i–<xaitsapartie réeHe positive etqueleproduit M~t–M~t–.rM)' soitnulpour lati- mite M==g-, c'est-à-dire pourvu quel'intégrale y=V~M aitunsens. Onadonc entout sixfonctions représentées pardesintégrâtesdé- finiesquivérifient l'équation (i).Ontrouvera ci-après ieg'ableau de cessixintégrâtes,avec lesconditions quedoivent remplir lesquantités <x,j3,'y pour quecesintégrales aient unsens (l'inégalité A~>o in- dique simplement quelapartie récite deAestpositive). H )..<tHSAi. <j) )-j! v~M. o~(. .iIl ?.)' Vf/ff. X-' ) 0c, ~3, \'</K.y ~°0 ~) 1 i V~ o t–x~-o 0 ''oo i'JCj t Vf/M. -5~-0 0 X~>00 ~j (C~ ~f Vf/M.X y~-00 )S:>0() ~t 4.Avant d'allerplus }o~n, ilimporte, pourlasuite, debien préciser quelle estcelle desvaleurs detafonction Vquel'on prend dans l'in- tégration etaussi d'étudier deplus près lespropriétés desfonctions représentées parcesintégrâtes dénnies. 5.L'intégratey- M~'(J–H;~ ~(i–M)'"d'Maun sens, pourvut/o quelesparties réeties depetde'/–~ soient positives, etenoutre pourvu que.cn'ait pasunevaleur réette supérieureàl'unité. Onpren- (h'ncette intégrale suivaut. lechemin rectUigneo-t{/ï~. ));pour argu- mcn'sdc~et! f/'onm'cnd)'ao,et[)ourargut))euLdct-.rMCc)ut q)n('st)U)tp')t)r~–f~ st.r.L'KQr.\)')<~))t)''M.)!K.'sri~L)J':).)~t:.u)i):. ): <) Lafonction yainsi définie estune fonction unitorntede~'dan.s toute t'etcndueduj'tan, acondition <jne tectx'min suivi pariavaria!)~' necoupe pas taiigne –––x. Faisons décrire aupointéeun'' courbe fermée necoupant pascette ligne; tepoint .<<,correspondant àune valeur' deMcotnprisecnti'coet~décrira unecourbe fermée homotbétique a!aprécédente ettaissant )epointàl'extérieur. L'argu- ment de)–.rMreprendra donc sava!eurtnitia)e;i! ensera demême det'étémentdet'tntégratequicorrcspontta cettcva)eurdeM,ctp.'r suite det'!ntégra)eet!e-méme. Urésutte decequiprécède quetafonction ypourra, at'interieur d'un cercte derayon égat al'unité décrit det'originc connne centre, être devetoppee ensérie convergente ordonnée suivant lespuissances croissantes delavariable. Lecoefticient de dans cedévetoppementsera /~r't \</JC'U XiK-i-i;i–! .– cest-a-dn'e –-–––- –––; t–M'Y-M.t.Mt ).t"ttu OU (K-<-)).( x-<-M;–tr:\5 wr– t.t.M r.y-)-) ouencore ~(<x+f).(c<+ /K–!)j3~ +<j.(3+ ~t–~ f(3)r~– f.3.7<(~-i-)).(y-i-/?t–rj Fy) Pour toute valeur dexdemodule tnf'érieur àt'unité, onaura donc ft7~ r~)r~–5,. <\t/M=–––-t.S, L'intégrate précédente estsuscepti!)te detrois autres tbrmes sem- btables, quet'on obtient aumoyen desci)angements devariabte sui- vants, indiqués parJacobi M~)–~ C )–i-f-t. 1-11 t–M' _c.. )0 )..t.CCKSAt. ..1 Parlapremière substitution,V~Mse changeen ;)–.t')'~) ~t–t''!t––~t\-x f/f. J.o-c–' Cette dernière intégrate estprise suivant lemême chemin quela première. Sit'ou t'aitsurlesargumentsdev,i–f, <_–~les mêmes conventions quetout àl'heure, ilfaudra, pour quelesdeux intégrâtes soient identiques, prendre pour argumentdeixcelui quiestnulpour a?==o. Onaura alors M~~<–MJY- () ;t.'M)"K ~o ~.)-Kj(/T-) (,–~~p– -~––cj1 r1._a VY_ ~IVfjj. p CIV. f A'–t Faisons laseconde transformation t–.C-)-fd? L'intégraledevient(i–)'~ ~–~Y-P-~f–– Cette dernière intégrale estprise lelongd'un arcdecercle oMt; mais itestfacile des'assurer quel'aire comprise entre cetarcdecercle et laligneo-tnecontient paslepoint~–~)quiestunpoint critique pourlanouvelle fonction sous lesigne d'intégration. EneG'et, àla valeur~== correspond pourulavaleur M=+00 lepointAqui figure~–~ doit donc appartenir àlacirconférence dont faitpartie t'arcoMt. Onpourra, parconséquent, prendre taseconde intégrale suivant lechemin rectiligne o-tet,enfaisant surtesargumentsles mêmes conventions quetout àl'heure, onpourra écrire f V</M=~c)- ~(,-t-)7-r'(.-–tA J'. ~o sr~L'ÉQr.\Tfn\f<Trt'HRt:XT)EL).f;t,nHAIftK. E~. [fr Latransformation M== ––– donnerait demême'–~ V~M~f~?~ )1t~ t'.y)-(Y'~i~. Chacune desnouveUesintégrâtes peut àsontour êtredévetoppéeen série pour desvaleurs delavariabte comprises entre certaines Hmites. Ainsi, pour desvaleurs de.X'demodute inférieur at'unité, ona (t–.c)T- )~T-p-' –t7~ (t–~~)-(T-'x) </(. "e0 -m~F.~~y/'fJ" ¡. Demême, pour desvaleurs dextelles quemod.( –-)<f, f~t ~T-P-t– t–-'––~) r r/f.–' -(-)- (.~-)~<<'P-~(t(~Y ( ~)~(' n .'1:1 -(~"?.7.~)' Pour abréger !elangage, nous appeUerons C~etC,lescercles décrits despoints oetfcomme centres avec t'unité pour rayon. Demême, nous appe!)erons E.etE,lesportions duplan timitées partacorde commune aux deux cercles précédentsetquicontiennent, t'une te point .~==0, l'autre !epoint ~'== r. Desconsidérations précédentes itrésulte quet'équation différentieite proposéeadmetuneintégrale uniforme dans tout lep)an. pourvu que lechemin suivi pariavariable soitassujetti ànepascouper laligne indéfinie t––H-=o Nousdésignerons paro,cette intégraie parti- culière pour cequivasuivre, nous supposerons que lechemin suivi parlavariabtë necoupe pasnonplus laHgne–-x)––o. quoique cette convention nesoit pasnécessaire. ? )-orr.SAT. t)ans)ecf'rdeC,on:t a ~)''x, .7- 'r'/ -x.y–y.A' Dans t'espace Eo,onademême r~T .y, t;( lf.Z' (J,J, ~='T ~F(x, ~r.-?F(y-x.~-Y~' l'argumentde(r–.r) étant supposé compris entre –~et-+-yr. Ala vérité, lesrésultats quiprécèdent, nesont. établis qu'en supposant posi- tives lesparties réettes de etde'/–mais ilestclair queCt'sresnt- tatssubsistent tant que 'yn'est, pasunnombre entier négatifounul. Imaginons qu'on veuille vérifier directement que l'une desquatre fonctions précédentes satisfait àl'équation (t): lesigne desquantités p,'/– n'interviendraenrien dans [ecah'u). et,pnrconséquent, la vérification devra sef;nre (tans tous lescas. Ilenserait demême sit'en voûtait vériner que deuxdecesfonctions sontégales pour lesvaleurs de;r.quirendent convergentes lesdeux séries. Jefaiscetteremarqueunefoispour toutes, pour n'avoir pasayre- venir dans lescasanalogues. Silespartiesréellesdeetde'/–j3sontpositives,ona di(r'~ r(y– .IAV(:7C.I,JG· ~0v~=.?..0 6.L'intégrate~== <M~' 'ft –M~P'(t–.rM')"~H aunsens. pourvu que lesparties réelles depetde~+t – soientpositives etque-rn'ait pas unevateurréette etnégative.Ondémontrerait sans difncuttéquelafonction yestuniforme dans toutteplan, pourvu quelechemin suivi partavariabte necoupe paslatigneindénnie –o3––o;H ensera encorede mèmesile chemin suiviparta variable estenoutre assujetti ànepascouperta Hgne)––-t-so Pourachever depréciser lesens decetteintégrate,ilreste àchoisir lesargumentsdeM.dei–Met dei–.rM; pour argumentdei–M on prendra 0,pour argumentde )–.rM celui quiestnulpour M==o; mais onpourra prendre pour argument deM, ±7:. Supposonsd'ahord qu'on src. ).')':<.n'T!0\n)F!F.f!F.)'n;),t,i;)'n.r..f:)~.i prenne arg.(M~=-L-7:.e)(.usons )echangement t!cvar!at)x': t' f ~Variantdeoa),K\'arif'dcoa –*C.: Sinous pt'pnonso pour a)'~ume))),dt;~t't.d<')–t',nous devons p)'Rnnre7i pour argumentdRf–i).ett'ar~unn')))dft–~(i –.T?) sera nu)pour(~==0. Parcechangementdevariable, Fintegrate devient ~~t t'–i'it–t'y.<t'. Dans cette dernière integrate, tesargmuentsdet',)– )–f()– ontlemême sens que dans t'integrate déjàétudiée. Onpeutdonc lui appliquer testransformations précedemes.et,i'onconc!ut que.tantque ~6-)- ;–'y n'est pasunnombre entier négatif ounu), t'equation (t; admet unenou\'e)!c intcgraje s. holomorphedans tout leplan, sous lesconditions indiquées ptus haut. Dans JecercteC,, ona Dans ('espace Ë,,onademême t'argument de-T"(~tant compriscn!re –net-j-t;"Í\ o~==F(~,S,j3-t–[–.y' =~7F(s!-t-i–3+'–y,~–t-f–y.'– w.~=r~=')')K,x)–y,!x-–y,––jt~-t1 t' ~/=r –j–i.J )–/t~ –))– ,y·tt=.t–c')–.?' ==PF(,3.3+f–x–3+i–'11.), )~~lF..f.nCRSAT. Lorsque 6etc<-<–auront leurs partiesréciïes positives,cette fonction ~2pourraêtre représentée paruneintégrate définie, fH~–K.T~ ~f-t'M'</M=: 17.-+-1X–)-!– ensupposant que t'on prenne -t-n pour argument deudans t'intc- graie. Sil'onprenait –?rpourcetargument,onaurait fK~ M~ ft–~M'-< e ~1I~.±'J o. ./“il 1~y. 7.L'integratey== f+..M~(t–M)~ '(t–.rM)"<~u aunsens,<t pourvu quelesparties réelles dey–petdeK+t–ysoient positives etquexn'ait pasunevaleur rée))e compriseentre zéro etFunité. !test facite devoir quesil'onfaitdécrire à!avariahte unchemin fermé en- tourant laligne o-i, lafonction yrevient àsavaleur initiale, muhip)iée parg~ onlarendra uniforme, enconvenant que )echemin suivi parlavariable necoupera pasla!igne o––+ec Cette nouvetle intégraie présentedonc unedifférence essentieïïe avec lesdeuxintégrales précédentes, quantauchemin suivi parlavariable celatient àcequenous nepouvons passerdetapartie supérieure du plan a)apartie inférieure, ouinversement, entraversant laligne droite o-i. L'intégrate considéréecessant d'avoir unsens pour unpointdecette droite, rien n'indique quelacontinuation analytique de!a fonction soit représentée après cepassage partemême symboleetnous verrons, en effet, qu'iln'en estpasainsi. Pour achever depréciser )esens decette intégrale, onprendraopour argumentdeu,pour argumentdei–.rM celui quiestnulpourM=o etquivarie d'une manière continue quand onfaitdécrire àlavariable lapartie positivede'Faxedes.K. Quanta !–M. onpourra prendre ±n; supposons qu'on prenne –etposons M== CM==t' (~ )–M=:– ) ) t–.fy< =:~–––– t ) SL)it.ULAriO~)JiH''K)ŒKT)K)J.);)J~EAU(E, K'X.. )55 Sinous prenons opour argument deetdef–(~,et,pour argument. de('–)celuiquiestnutpour t~==o, nous devrons prendre (–~ pour argument de(–1), etpour argumentde(–~c) cetui quiest compris entre –77et+vr. L'intégrate fV~M devient ~()+p-Y~ x< (~f,)t~~Y- – < et1+,YI1<1 (-X).v".y1v.y,1 ilv. J. Cette nouvelle imegrate estde!amême formequetapremièreinté- grité étudiée,et, enluiappliquant tesmêmes transformations, on arrive auxrésultats suivants. Tant que <x+i– pn'est pasunentier négatif ounui, t'équation diSerentieUe (')admet uneintégra)e~, uniforme dans toute l'étendue dup)an, pourvu quetechemin suivi partavariable necoupe pas)a ligne o-––+oo quipeutsedévelopperensérie comme Hsuit. Al'extérieur ducercle C.,ona C~=:(–.r)-KF(<X,0:-T- t–K+t– '))"'Pa-.(-x) =(-~)~T(,Y-~F~y-,5,~+. At'extérieur ducercte C,,ona ~,==(,)~F(~y-+.–~–)G!3,(1 )i'" Y-(3, a+l,i- =(–~)'-Y(t–.c)Y-Ff<x-t-t–'y, t–+.- ,5,~)- Onsuppose l'argument de(–c) compris entre (–K;et(+~ ains quecelui det–a?. Silesparties récites dey–petde<x-)- <+'y sont positives, onaura fM~([–K)Y-f–~M)-M==e<~T~'–i~?-?~ easupposant qu'on prenne (–n) pour argumentde–M. 16 K.~UCKSA).. Sil'onprenait-<-xpourcet.argument,onaurait f" ~<)- ,< ~e'Y~r~A7"A~t–)– 8.Onétudiede!:t)néme)naniër<'iestroisautres intégrales détinics i fV~, Vt/M,V</M.CeMe étude neprésentant pasdettifti- J~ <7[ culte, jemecontenterai d'indiquersonnuairement lesresnttats. L'intégrai: /== )'()–M)'~t–.CM)~~M aunsens, pourvu'« que ett–<xaient teurspartiesréeites positives etque.cn'aitpas une vakur rée[!e comprise entre zéro ett'unité. Sit'on assujettit le chemin suivi partavariabtea nepascouper laligne indéfinie o–-i-x), lafonction ysera uniforme, dans toute i'étendue duplan. Onramènera cette intégra)e àlapremièreforme enposant M== –; ontrouve <M~('–MJY-i't–~M,M 41u~.t (1 et)Y_ 1- xu ~-x clu = ~(–~)-P(l–(t –-~)''< ~o x/1 Dans lapremiëre intégrate,onprend pour argumentsdei–uetde <–.TM ceux qufsont nuls pour M=:o. Quant àt'argumentde7~.en désignant parMl'argument de(–~), comprisentre–n et-)-7:, on aura pour coeKicicntdelaseconde intégrale e" suivant quel'on prendra pourcetargument (-M±n). iienrésulte pour t'équationdifférentielle unenouveUe intégrale s~, quipeut,comme lesprécédentes,être développée ensérie. Al'extérieur ducercle C,ona ={-~-PF + y,p,~+) =(–)*-Y()– ~)Y- ~F(t– y–<x, ,3 +)–x, -L). St't! L'ÉQt'ATtOX MFFËRF.X'nF.U.F. D~FAffiF.. F.T< ) 3Demême, àt'extérieur ducercle C,, ~i==(t~-PF~S,C!,~+ C-,) – Y)–~'v-~ F(3–)– t–3-+-1–K,–'–),i ·~ ^y-i rJ1 I .j-I-t– lesargumentsde(–a") etdeft–.c) étant compris entre f–n) et (+~). Pourdesvaleurs convenables de etde[<x,onaura i fMP- W ,<~f-~ .~M </M ==e~?' 0 r-tt;I f-.xtt", tltt-e1-)- –Xt/n 9.L'intégrale/=~ ~t–/<f–M '~M aunnsens, .7t pourvu quelesparties réeHes det–<xetK+<–ysoient positives et quexn'ait pasunevaleur réelle supérieure à)'unité; deplus,lafonc- tionysera holomorphesilechemin suivi parlavariable necoupe au- cune deslignes indétinies –~o ––o, f––+'? Onramené cette intégralelapremière forme enposantu= –<et l'on trouve <H!~()–M)Y-?-'ft–~K;<r/Ktt ~±:m(Y-p-<)±~f' ft~-Yft–<t–<</f. (vf > 0<Y,^y-v".ycx tlv. LesargumentsdeMetdet–M sont fixés pariacontinuité ensupposant qu'on partedet'origineavec t'argumentoetqu'on décrive lerayon innni oLpassant parte point Quant àï–.rM, onpeut prendre pour argument ±77. Dans laformule précédente,onprendra lesigne -t-ou lesigne –devant !i:'(-y–j3–r)suivant que lepoint quifigure)a vateur de sera dans lapartie supérieure oudans lapartieinférieure duplan, etlesigne -hou devant n<x:suivant que )'on pour argumentde!–.TM. -(-n'ou –7T. i88 K.COKRSAT. Tant que~–y nesera pasunnombre entier négatif'ou nul, t'équa- tion (:)admettra uneintégraie uniforme sous lacondition énoncée ptushaut. Dans lecercle Co,onaura o:; r~"YF:~3-)-)–y,x-t-t–y,?.–y,) ~Y(t –.c)Y- F(! – t–3,?.–y, Demême, dansl'espace Eo, 0:;==.T'"Y(–)Y-«-' Fa: (–y, –y~–––––t.C' –t =~Yf. -a-iY-?-'Ffa-+-.–y. t–~a-7, lesargumentsdexetde–-rétant compris entre –net-)-n. Pour desvaleurs convenables deo:,j9,y,onaura f“(!-< –M)Y- P-~(r~-M)-"==~'(Y-p-' )=~'~±~iZL~ a,,Jt r~–y) i 10.L'intégrale~== M~'(J–M)~(i–~M)'M, quiaunsens pourvu quelespartiesree!)es dei–:xetde'y–~3soientpositives, et quea?n'ait pasunevateur réeHe négative, estho)omorphe auxmêmes conditions quelaprécédente.On)aramené àlapremière forme en posantt–~r K== –––-c onentire _) < ~P-'(t–M~)Y-P-'(t–.yK)-M -A1Xl!P-I(I- Il)Y-P-I (1 xu)c-adu ==e±~(7-p-.)~-T~–~)T-P'f (,Y-p-t,)-t,V' ox Les arguments deuetder–a?M sont dénnis par lacontinuité; on SL'Ki/)~~ATt().S)))FH':)<)-~T)KL).KL)M~unK,F.T< )(j .1 l' part del'origine avec opour valeur initiale, etl'on décrit lechemin t'ectiHgneo-); puisonpart.dupoint;r= t,etl'en décrit lechemin rectiligne quijoint cepoint aupoint –avec desvaleurs parfaitement déterminéespourcesarguments. Mais ilyaambiguïté pour l'argu- ment det-u. Dans laformule précédente,ondevra prendre lesigne +oule signe devant ~'('/–~–;), suivant quel'on prend arg.(!–M;==arg.(1–.f)–arg.x Tant que'/+)–<x–p nesera pasunnombre entier négatif ounul, onaura unenouvelle~intégrale e'edel'équation différentieHe, uniforme aux mêmes conditions quelaprécédente. Dans lecercle C,, ~6==j' –Y~PF(Y– 0;,y–i-[–K– f– ==:Y~–.c)Y-PF()–S:,<–~,y-t-f–!X–,5,)–.t' Dans l'espace Ë,,onaura demême <?o=: ~-T(t –;f)T"~F(y –fx,t–x, f–c;–p, ) <P6=x"y(1x)y-r> y<X,1CI.,Y+1CI.;3, =~-Y(..r)Y-PF~i5,y+iet.3, x lesarguments dexetde t–.r étant comprisentre –net +n. Pour desvaleurs convenables deséléments <x, -y,onaura <UIÎ 1xti(lu(, ~)T-p-, (. ~)-~M ==:U ~) l f\Y+I-<x-¡3) 11.Enrésumant tout cequiprécède,onvoit que, tant qu'aucun desnombres 'y,-/–<x–p–K n'est unnombre entier, l'équation différentieHe proposéeadmet sixintégrales particulières, dont chacune peut s'exprimer dequatremanières différentes aumoyen deséries hypergéométriques dans certaines partiesduplan cesont lesvingt- quatre intégrales deKummer. ~u t' <,omsA[. Nous rendons cesintégrâtes uniformes enimposantcertaines condi- tions auchemin suivi parlavariable; ainsi, pourlesintégrâtes~ tpji.'pc.cechemin nedoitcouper aucune destignes–x) ––o, [––+x< pour lesintégrâtes etc.cechemin nedoit pascouperlatigne indéfinie o––+cc Cessix.intégrâtessepartagententroisgroupes, chaque groupecom- prenant lesintégrâtes quisecomportent d'une manière simpledans te voisinage d'un point critique.Lepremier groupe comprendlesinté- grâtes y,et~ lesecond secompose dey.:etde<?“;fp,etforment letroisième. Chacune decesintégrâtes estsusceptible d'être représentée parune intégrale définie, pourvu queleséléments K,~3,-ysatisfassent àcer- taines conditions. 7a&/eaM desintégrales. 0 F~3,y. (?.) (.-T-~F(y- (2)x F ?. (3);F(~3.Y, 91,/13)x-~ (4)(.)~F~). (.) F~,i'3.+~-y,t-.r), (-TF(<x-)-t–y, p-t-t–y, se-)-p--)-)-<–A' ~P- ('3)_p?2 (3) ~fta:+t–y,a:-)-j3+t–y,––h (4)~F~,j3-t-i-y,~+p+.-7,~–'). {.)(-~FL~+.+.S-), z -x iiY iiF n ~))(-Y(,)T-~F(.3,y-+l-), <“'Pa .(3)(,)~Ff~y-p,~+.-p,J, (~) (–Y(t–~)T-?'F~-t-t-y,t–j3,<x+t–,3,–Y SL'!4L'hQL'At')U.SMU[''E)ŒM'U;LLt;L~~AUŒ,KTC. 2) (i; .F~+.-Y, ~), -j(––.t'Y~––.t-~xpF(t––K,X,3+<–– ?"' t(3):+.:1, 3)(1Xj1· V~,y7.,+ l ff~) :–Y.t–~ Y-FL:t-t– f–K,)-) –K,–)- i~ rlx (f Yi-' -r- –y,-t-t– a–y, ;~j .<?'-Y()–~)Y-x-~F~–t–p,2–)" ?..(3) Y(t~;Y F(~+ y, .5, ), 9"(jXl'Y(J-X¡Y"J< – -r f/j)~-Y t– ;Y- ).' ––et, ––––– ,'1 l'~– (i) !<–.c)Y"='-f''F~ –y–~y-)-t–ix–,5,–-c;, (a)I?J' ~T(t–.c)Y-PF(t–=c,t–3,y+t–e!–)– (3) Y-a~lJ~_j[\i' <?t, (3) .Y(t–~)Y-K-PF(y–cc,t–y-)-t–K–i3,–––h 9U/(;¡ x""Yi' y+. (~) ~-Y(t –.t')Y-~PF f-/S, p,y+1––,3,~-TL' 12.Entre trois decesintégralesilexiste unerelation linéaire àcoef- ficients constants dans toute partie duplan oùcesintégrales sonthoto- morphes. Sil'onconsidère trois desintégrales désignées par<p,,o~,y~, s,,larelation sera unique dans toute l'étendue dup)an; mais iln'en est plus demême sil'on prendl'une desfonctions s,ouavec deux des fonctionsprécédentes; prenons, parexempte, c?,,o~,~3.Soient MetM' deuxpoints situés l'undans lapartiesupérieureduplan, l'autre dans la partieinférieure. Iln'existe aucun chemin joignantlesdeux points M etM'quinecoupe aumoins l'une desdeuxlignes–ao ––o, o––+ac l'une aumoins destrois fonctions représentées dans levoisinagedu point Mpar ~a,N3nesera plus représentée après unpareilchemin parlemême symbole dans levoisinage dupoint M'. Laremarque précédente meparaît essentielle, etjenecroispasinu- tiledeladévelopper. Soient E,E'Q~. 2)deux aires àcontourssimples T,T',dont aucune nerenferme, dans sonintérieur, depoint critique, 22 )'COL'[<SAT. pour uneéquation difterentieHe linéaire dusecond ordre; cesdeux aires laissent entre elles unpoint critique Adet'équation d))'terentie)k-et, ontenoutre deux parties couununes séparées C,C', c'est-à-dire telles qu'onnepeut passer d'un point deFaire Càunpoint del'aire C'sans franchir aumoins l'undesdeux contours T,T'.Soient P,P'deux inté- grâtes particulièresUnéairement distinctes, uniformes àl'intérieur de l'aire E;soient demême Q,Q'deux intégrâtes distinctes etuniformes dans faire E'. Dans lapartie commune C,onalesrelations !I)(Q=~P+~.P', <Q'~A'P+~P'. Demême, dans l'aire C',onaura d'autres relations (II, ~Q~.P~.P', JQ'=~P'+~. 11s'agit dedémontrer quelesrelations (I)et(ii)doivent être diffé- rentes, c'est-à-dire qu'on nepeut avoir àlafois A,=/ ~)==~ ~=)/, f/=u. Supposonseneffetqu'il ensoitainsi; partons d'unpoint/M situé dans l'aire Cavecfintégrale particulière Q,etdécrivons unchemin situé àl'intérieur del'aire Eetaboutissant àunpointm'del'aire G'.Tout telong decechemin, notre intégrale sera donnéepar~P~P', et dansl'hypothèse oùl'on seplace, aupointm'elle coïncidera avec fintégrate particulière Q. Simaintenant nous revenons aupoint mparunchemin situé àl'inté- rieur defaire E',nous arrivons évidemmenten cepoint avecfinté- SUR L'F.QCATfOX UHFËRE~TtELLE U~ËAtRE, ETC. ~33 grale Q.Nous avons ainsi décrit uncontour fer~né entourant. tepoint A etramenant t'intégrateasavateur primitive. I)ensera (Jemême pour t'intégraieQ'; lepoint Aneserait donc pasunpeint critique pour t'équation différentiette considérée. !testvisibleque, dans lecas dont ils'agit, lesaires C,C'coïncident avec lesdeux parties duplan, lescontours T,T'avec lesiignes–'x: –-o.– +00 o ~c estdonc etahtiqu'entre intégrâtes~, y~,y;tellesqu'ettes ont étédéfinies, ildevra exister deux relations dinerentes, suivant quele point quifigure lavaleur dexsera situé dans lapartie supérieure ou dans lapartie intérieure duplan. 13.Supposons tepointdanstapartie supérieure duplan, etsup- posonsenoutre que lespartiesr-éettes de~–j3,)-t–~ soient positives. Siautour despoints x=o,x=i,avec deux rayons trèspetits r,r', ondécrit deux demi-circonférences a/Ma', & etsidupoint oondé- critenoutre unedemi-circonférence LML' d'un trèsgrandrayon R,)a fonction V=M~ (r– M)~ (t–.TM)'" seraho!omorpheàt'intérieur défaire timi-tée parles trois demi-circonférencesprécédentes etparles portionsdeligne droite L'<x', a&.b'L. D'aprèsle théorème deCauctiy,rintégrate ~V<~M,priselelong du contour entier, devra être nulle, cequ'on peut écrire Vr/M+fVf/M-r-~ V</K==–fV</K-f Vt/K-fV</M. '~–[tn ~+'' <-)- '~[.Mf.' 'n'mama ~'tn// Simaintenant lerayon Raugmente indéfiniment, etsilesrayons ret 2~:~E H. cor~sA'r. r'tendent enmême temps vers zéro, itestvisible quect'acune destrois mtégrates contenues dans lesecond membre tend vers zéro. Prenons, parexemple, t'intégrate Vf/M–/i~M~–M:?~ f–.rK' ~~<. ').M). ').M)/ Pour desvaleurs deMd'un trèsgrand moduie, cetteintegrate pourra s'écrire !–.y)~/ MY-)+~'< ').M[. sétant unequantité innniment petite. Posons M=Re~; rV~M devient '~).:n/ r–.t'' R'<<7-x't-+.e'<9. Soit'y–=+r< V~Mr=/.–x/~ft,+~](;j.+~)_ =:~–t.X~ ~M.)~/[!t')+~)!.]f, u.étant parhypothëse unnombre ree) négatif, onpourra prendre R assez grand pour quetemodufe maximum delafonction sous lesigne d'intégration soit moindre qu'un nombre donné àl'avance -r,;lemo- dule det'intégratc sera inférieur ajr7![mod.(–a;)"~j, c'est-à-dire aussi petit qu'on tevoudra. Ondémontrerait d'une manière tout àfait analogue que chacune desdeux intégrâtes V<~M,Vdu azéro */7W<Ï~ '7/<' pourlimite.nmn~`GnG· Nous avons, parconséquent, t'égatité V~M-t-~ V</K-)-<Vt/M=(. *–~ '00 t) Sit'en prendopoura~~entdeMetdpi–uletong duchemin SUR L'ÉQL'ADOX U!Ft'É)ŒXTtËLt,E DNËAtRR. Kt(:. a.)5 ab,ilestclair qu'on devra prendre -1-7?pour argumentdeulelong du chemin L'a', et 7:pour argumentde –uletongduchemin &'L.En sereportant alors aux expressionsdes fonctions y,, 0:,pardes intégrâtes définies, onvoit que t'égatité précédentedonne entre ces fonctions larelation suivante (~r(~y) rf~,r:~1,J,ï o/t+e ,'j, ,9:¡'r(o:-)-p-(-!– r,~ r~-r-~–~ Laformule (t)aétéétablie ensupposant quelesparties réelles des = quantités y<x-4-i–sont positives. Pour démontrer qu'elle estgénérée, ilsuffit d'employer leprocédé bien connu quiconsiste àprouver que,silaformule alieupour desva- leurs de yj3,M+t–1comprises entre certaines limites, elleest encore vraie quand ondiminue l'une decesvaleurs del'unité. Démontrons d'abord quelaformule alieuquel que soit<x; silafor- mule estdémontrée pourcertaines valeurs deM,j3, elle aura lieu aussi pour lesvaleurs <x-t-r,P,'y;onpourra donc écrire, enrempla- çant m,,0~,-psparlesséries correspondantes, ~–~ ~u' .r(~)r(a+I-Y) r. 1.1,'r'l\F P,.+ .r)r(~p+.-y)F:~i~~T, r(p)r(y~~)l''(~(.\Y~7j.p,y, ~.+e((~+~-Y)~cir(~I-y)r(y-3)(-,x -aF a:,a+I-a.+,<ï~(-.)-F(. -r'~ r(CC+~+2-Y)1 r(~)f(y-~)F(a+,t,,3~y,x)=~~ F;) ~(-.)-.F(~+e(~+t-y)1tI..r(a+2f3}_(_x)-a-I FCC+I, cc+2- y,cc+:>. 13,x Multiplions lapremièredecesrelations par(a;–j3).r+'y–2'x, la seconde par<x(!–.c),~et ajoutons. Le~coefûcient de-L~ ~~jJsera [(a:– j3).f+y–2a:]F(~y,~)+cc(t–.c)F(o:+f,{3,y,~), G 4 26 K.CULUSA). c'est-à-dire :y–c~ F.K– 3,y,.c~, d'âpres lesrelations données parGauss ()entre trois séries bypergéo- métriques dont lestrois premiers éléments ontdesdifférences entières. Onaura, enoutre, dans lesecond membre, e'Y'h~ j~-j- ~jF(~+,-y,~+, ) ––––– ~~3-+2-~-t-t– ~/iS D'âpres lesmêmes relations, laquantitéentre accolades n'est autre que ~-j5)~i'–f,o;-y,~– etlecoefficient deF(~–i,K–<x –devient -–)(-~)-(-~ r(u+~)l 1 =~r-~ r(.r(y-~ jy_i.(e<–0) Quant aupremier membre, ontrouve demême qu'il estégala ~I~y-y- d'où tareiation' =1~~F(.) +e,Y~Zl~l(-)-(~.)F~y,), ti~tX–p) (')C~K('~e.teow/~e<t'~t.in,p.!33. SU)! !/F.Qt'AT!OX DtFFÉREXTtF.tJ.F. LÏXKAftiF.. KT(:.X'; quin'est autre quelaformule (!).oùl'onachangeenx–r. (:ett<; formule estdonc exacte, quel quesoit<x. Tout pareillement, ondémontrera que, silaformule (I)alieu pour deux valeurs deydifférant d'une unité, elle aencore lieu pour une valeur deyinférieure d'une unité àlaplus petite.Parconséquent, elle estvraie pour toute valeur de-xetdey.Hreste àdémontrer que peut aussi êtrequelconque, cequiseferaparunprocédé absolument sem- blable. 14.Laformule (1)estdonc tout àfaitgénéra)e;onendéduit faci- lement lesautres formules quel'ontrouvera ci-dessous Il)g~r(:il'(~)1(a+r-Y) 1'(13) f(y,- (3) ~~i+~-)~ciii`U+~-Yll!Y _) ~=~00 1'("'+13+1-;) f(y)Y l'(et.+I-j3jus' (LI) e,~xtr(a)T'(~+~),l'la)I'(Y-u) +Prx+,-y)Ti~ +`-l)r(7- TI' l'=,'t~+i-i;;~4's,f(o:+13+I-Y) f(y) l'U.:I+I-O:" (III) e(Y--$)air(%-N)T(~-a.l ~r-r(N)l'(Y,),~ +P~t>~ir~a)I~(N~ J ,“ f(~ )1" Î t l"1" 1"Q' (iv~rf~ri.t°'~11ir(a:-)-f3-t-t–y)'' r~?.– 1~+)-)' Laformule(!!) sedéduit delaformule (!)enpermutant Ket Onobtient laformule ()!!) enchangeant,dans laformule (!), en Y–ec, j3eny–~3 etenmultipliant par()–.r)T' Ennn, onobtient laformule (IV). enchangeant,dans (I),aenK+t–y, ent3+i– 'yen2–'yetmuttiptiant par.r' remarquons que, sil'on prend, comme nous l'avons supposé, l'argumentdexcomprisentre –~et -)-!Tainsi quecelui de(-.x), onaura .y==(–.y!e~ Lesrelations (1).(11). (IIt), (IV) sont distinctes, etl'onpeuten déduire toutes lesrelations linéairesquiexistent entre trois dessix intégrâtes. Cesrelations sontaunombre devingt; ilyalieu deremar- quer plus particutierementcelles dans)esqueHes Hgurentdeux fonc- tions d'un mêmegroupe, quipermettentdepasser dudomaine d'un point critique àunautre, etquisont utiles pour l'intégration det'équa- ~8 Ë.GOUHSAT. tiondinérentietie. Ilexiste douze relations decetteespèce; danstes huitautres entrent troisfonctions appartenant àtroisgroupes diffé- rents. P<ïr//f?.!K~fM/'6</«~/M~. y, ,.r(f3ir(a+I-Y) l'(3)f(y-f3) J,rIX+l-y)r(y-f3i+e(¡1+t --Y)hl--.v fz) ,.rIa) r([3+I-Y) rra) r(y- y+e(x+,tr~~+i-Y)r~Y-_a).s. Q, r(Y+I-a-[3)' r(Y) r(f3+I-a) ~)~±-)~r(ef+f3-+-[–y! r~–7; rfct-T-.–p)' (5) ri~-)K' “=iMil~J. rii=L~~ e'Y .r(~+. r(y). r.p)~" (6)~±'-7)r~~=~~y)r(.r~+~+t–y)'- t(s–y) ifp+t–e:)'" 'r('r~) r('–3)r(s+i-7) .rf~–~rfs+t–y)(7) ~r(~ ~= -~–rt.?~.< (8) ,M?~)~r([3+I-(z)'" r(y+,6)~ r(a-y)°"' r(o:+F-p) r(y)r(y-o:-p) r~)r(~+f3-y)~)< = rr~ + "r(.)r~–?~ r(.)r~p) r(.r(.+p-y)~~?~-r(t-~)r(.-p), ?~r(~+.-y)r(s+.-y)~' __r(~+!3-)-t–y)r(t–y) r(~+p-h[–y'~rfy–t) r~+~'y:~r'('!3~T'~y) 'T~)'r (?" r..7+t–<x–)3)r(i–y) r(y+ï-<x–6)r(y–)) (-)~=–r(.)r(.-p). ?.+~r{~)r(/– S~L'KQ(!AT)OX])nTËRE:S'rtR).EU~É.U)U;, ).Tf:.2f) _Ii/~i'y u'~ l'(y)f(a-f3) ~~=;?, 1 -t r1, (3)rx;1, ~= r~ T~(q) 9'- .él-YI1"ç¡'I+ -e(~Yi~i~s> f(l-a)f(¡3+I-Y) y~ fh-f3:,l'(a+I-Y)' (.5) ~=~iL=L7~~±.– ~7lilL:- y).r~+ -~) .(ï-.). (15) Cf'37{'p'",w, "Y e 'Y',r.r~-(-y)~ r(2-y;r~r~) (.6)ï'P±. r(y,r;y)r~+. ~r(.r(~y)~ r~-y)r;y-f~ (~)= ~d~) ,“ +r~+p+.)r(.-p) r(p+,-y)r~) °~-1-.u. r(~+i-~r(.z 1'(13+1-)1'\13)e _.r;+r-yir(.ijp c~ ), r-4-f(I-;3)f(y-;3; (,.) =r(y±'ÉLL~y)r(~p)r(~-y)r(.+,-p)~r., r(.r(y-p)r.+f3+.-yi r(~i-y)r(~) ~-r(y+i-p)r~+p-~r~+,) r~+p-y)r(.s+. (M~.p~p~ r(3+i-'y)rfj3)" Partieinférieuredu~/aM. e-I_(~)T'(~+r-y)~=r(~)T(y-a) tY_ü;~iT~a+r-i)T(y-~),~f.r.=Ei~L.(Jf(a+(3+I-Y)'- l'(y)S~r+e l'(a+I-[3)~a~ '––– f(o:+¡3+,-y)," ryY), 1'([3+I-IZ) (3) e(~Y r(Y+I.a')' 1('y) 1'([3+1-0:)"~s. “,f(cr.+(3+I-Y)'- r(2~Y)L.If(cr.+r-¡3) ––(5)'e(u--Y)7ci yC/ re(u-- r(a +1 (3) (6)~ .f(IZ+I-)l)f(¡3) r(cr.+I-y)T(I-IZ)T(¡3)f(I-IZ)r?r ~r~=~ 1'1 1)7ri r6~/ 1'1r.<iri1'1". l'II'-hr1 r(y+r-a.-(i)' r~2-%) y) L,¡3+1a) g e('ir(~-a'T~y~ ~)(PoT(z-a)T(a+r-yiy)(P-+(x->zirll-i~)1-(a+z_yy)0') w)~ .=' 3o É.COURSAT. r (2 1 fi r,221',cr.¡3', (-I),i ~)-~=r~1)1t/7'3+ e(Y-~cQ,, ~·l) ~'`,,` Jj~I'(x~i-t- f) (t;ï)'r 1'11-y!r:a+I-¡3) I~i~1'(y\r(l-y'fI7.+I-¡3\= y),y;, (161/ q; I';t /~13-I-, 7.:'JI17 r(1C~,r~'+t-a.~e(~);;r~. f,,yr(..+~y)r(p-~ e~cxir~s+ r(.+f3+.-y)r(.('?)r(~7)r(~) r~+--yjr(~) (.8)' ~=~(P-~rf–o:jr'~–fx; i~'–,3)t!y–p)CJ" ( r(y+.r{.+~r(.+.-p) _“, r(~-y)r(~ ~.9; <p,-r(.-p)r(~-p)r(~+~+!-y)e r,~+.-y)r~)?"' ,t'r{.r(~) _r(~)rfp_~Yc~ ho) (0,,=C(t-°'t i'(%x)1~,a.+~+c-Y)P ;;)2-rlN+' /lI';[5/(y(Q6.r~-o:)r~-K)i~+~+f-y) r~+.-y)r(~) 15.Ondéduit lesformules (5)et(6)desformules (3)et(4)en permutant«etP.Stdans laformule (4)onchange eny–<x,en y–~3,etquel'on multiplie par(t–a?)~ onobtient laformule (~); enfin decette dernière ontirelaformule (8), enpermutant K, Onobtient lesformules (g)et(io) enéUminanty~ entre (2)et(3) etentre (6)et(y);résolvant (g)et(ro) parrapport à et on obtient (n)et(i~).Desformules (t)et(2)ondéduit lesformules (13) et(17) enrésotvant parrapporta~, etay~-Sidans (t3) onchangea eno:-)-t–'y,pen~+i–Y.'yen2–'yetsi!'onmu)tiptiepara?'*Y, onobtient(t4);desdeux dernières ontire alors (t5)et.()6). Ontiredemême (t8)de(17) enchangeant YenY–<x,~ en'y–j3 et enmultipliant par(t–.r)~ puis de(ty) et(t8) ontiresanspeine (.9) et(20). Ainsi quenous l'avons déjà faitremarquer, lesformules (g), (io), (u), (ts) devront avoir lieupour tout pointdupian. !tenestde même delaformule (r3), car, lafonction~, étant uniforme dans le voisinage dupoint o,onpeut supposer que lechemin suiviparlava- riable coupe taUgne–'o––o. Mais lesautres formules, pour unpoint pris dans lapartie inférieure duplan, seront différentes; larelation SCft L'ÉQL'A'HOjS tHUËHË~'ttËLLE L~~hŒ, ETC. 3'f entre <p,,<?;<?~,parexempte, sera j.r!6.r:x-i-~– ~r~ “ “L~“ i~~7! -y~r-u%e~,)Jo -ua. l(y; i!x-t-!– Elle diftëre delaformule (')enceque77yestrem;)!acé par(–n; toutes lesautres formules, quisedéduisent decelle-là pardespermu- tations delettres, sedéduiront delamême manière desformules cor- respondantes déjà établies pour unpoint prisdans lapartie supérieure duplan. 16.Considérons unchemin deforme arbitraire joignant deux points quelconques MetM'duplan, etnepassant paraucun despointsoet1. Sil'onpartdupointMavec une solution particulièrede('équation différentieHe, cette solution setrouve définie tout lelong duchemin suivi parlavariable, etl'onarrive aupoint J\ravec uneintégraiedéter- minée. Lesrelations précédentes permettentdetrouver effectivement cette Intégrale quandonsedonne lechemin quijoint lesdeux points Ai etM'etlasolution particulière avec laquelleonpartdupoint M. Supposons d'abord qu'on parte d'un point Afigurant unevaleur réelle comprise entre a?==o etx= tetqu'on aille enunpoint M'duplan par unchemin direct, necoupant aucune deslignes–~ o,-i-t-+~0 Dans levoisinagedupoint A,l'intégrale pourraêtrereprésentée par C~-t-C~, lesconstantes C,(7ayant desvaleurs convenables. Sile point M'est dans l'espace E., onremplacera y~par valeur en fonction deo,etdey~,etl'on emploiera pour lecalcul effectif dela fonction ledéveloppement leplus convenable dechacune decesfonc- tions. Demême, silepoint M'estdans l'espace E;,onremplacera o, parsavaleur enfonction deo~etdeSe. Silepoint M'est endehors del'espace commun auxdeux cerctes €“, C),onpourra exprimer <p,,aumoyen de03etdeo,,mais enayant bien soin d'employer desformules différentes suivant que lepoint M' estdanstapartie supérieure oudans lapartie inférieure duplan. Supposons maintenant que, partant dumême point A,onsuive un cheminquelconqueaboutissant aupoint M'etnepassant paraucun 3~ E.t-OURSAT. Partons dupointAavec uneintégra)e particulière C~+-C''?2. et décrivons untacet dans lesensdirect autour dupoint critique;r=o. Pour voircomment secomportecetteintégrale,iln'yaqu'àremplacer ?2par r~+p.+.t-~r; r~+i3+.-y~r(y-,) r~-+, -y)T(ff+Ti-Y) r~)r(~?" Quand lavariable décrit lelacet, !?,nechange pas, mais !?sse changeene~yg, desortequel'onrevient aupoint dedépart avec t'intégrate c..+c' Ci, ~~r(~r(~V-yr' r 17 1 .[,],r quel'onpeutécrire C,s,+C,p2 c. c+c'r(~+p+.-y)r(.-y)r(~+<r(j5+.-y)~ C',==G'e~(' Silelacetétaitdécrit dans lesensrétrograde, C<p,+C~~ sechange- raitenC,-)-C' tesconstantes C,,C'~ayant lesvaleurs suivantes ~=c+c'~L~t~Cir(<x-~t–y)r(p+i–y)' Y) C',=C'e-C-T)' Demême, parunlacet décrit autour dupoint .c==i,C<p,+C'<pa se changeenC~t–t-G't~: C,=C~(T- ~I~<– T(y -)Ir 13)despoints oetf.Unpareil chemin seramène, comme onsait, àune suite delacets décrits autour despoints ~=o,~==< idans unsens ou dans l'autre, suivi duchemin direct allant deAenM'(~s-. 4). SUR L'EQUATtO~ ))fFFÉRF,KTtELLE tJ~E.Uf'.E, ETC. 3 G. 5Onprendra lesigne±devantan~–M–p)suivant que tetacet estdécrit dans lesens direct oudans lesens rétrograde. Silavariable décritplusieurslacets successivement, ilyaura lieu d'appliquer lesformules plusieursfoisdesuite, etl'onretombera fina- lement dans lecasprécédent. Prenons enfin lecasgénéra) oùt'ensuitunchemin joignant deux points quelconques duplan. Onpeut remplacer cechemin parteche- min direct allant deMenA,suivi d'un chemin déterminé allant deA enM'.Pour êtreramené aucasprécédent,ilsuffira dedéterminer avec quelle intégraleonarrive aupoint Aquand onsuit lechemin direct allant deMenA,cequisefaitsans difficulté, d'aprèslesexplications données pour lepremier cas. Considéronsparexemple l'équationdifférentielle c~'r T~\ <[– +––– =o,r/a:~ f/~ quiadmet commeintégratelasérie hypergéométrique F~t f'~ t.:)2"T Supposons qu'on parte dupoint Aavec cette solution etqu'on dé- crive lecontour fermé ABCDA (~g. 5),environnant lesdeuxpointso Fi~.5. ett.Cecontour seramené àdeux lacets décrits dans lesens rétrograde autour despoints.~ ==[,;r==o; après unpremier lacet, décrit autour dupoint .r==t,onreviendra aupoint dedépartavec l'intégrate r~r`r;i-J-N~<ï- F(i, .r)+ (. -'(Y–~) Ffi ':1'2' 1i–a:~i–P" aprèslesecond lacet, onaura uneinté~raie quipourra être représentéf 3~ É.GOURSAT. dans lesenvirons dupoint Apar CF[.)+C.F(.i-~), C,C,ayant lesvaleurs suivantes C=<r-~<T-+ sin(~7rsin~ C-g-2nr(Y-xW)~ S1t1(~-a)ystfi(%-r5)T(t-e_2xci(y-a-i~>)(I_-g-2~c:(i-Y))~Stny7rstn(y–<x–p)~ C.== .(,<T––~). r(y-~)r(y-p) Faisons <x=f,~==~, 'y==~, ontrouve B~i 5~t\S~ C=e'~+~~–e~=~- 6~, E~\ C.=-~i- 17.Lorsque y,oubien'y–<x–p, ou<x–j3, estunnombre entier, on n'aplus qu'une intégrale dans l'un desgroupes; pour entrouver une nouvelle, onemploiera leprocédé suivant, d'un usage assezfréquent enMathématiques. Soient~~F(~,r),y,=F,(.r,) deux intégrales distinctes d'une équation différentielle quiviennent seconfondre pour unevaleur particulière delaconstante r;onobtiendra une autre intégrale encherchant lalimitepour /'==/ del'expression F(~F.(~r)-––––~–––––A-–r, quiestaussi uneintégratedelamême équation différentieUe, quelle quesoittavaleur der. Supposons parexemple queysoit unnombre entier; onpeut ad- mettre qu'it estpositif, car,s'ilétait négatif, onferait latransformation ~==~T~. Ïiyaura encore deux casàdistinguer suivant que'yestégal ousu- périeur al'unité. ~e/m'erc< -y==f. Lesdeuxintégrales F(a:,p,y,.r) et~TF(<x-)-t–y,p-t-r–y,~–y,~) deviennent identiques pour -/==<. D'après cequivient d'être dit,on St;R L'KQUATiO~ f)U''H-;RENT)ELLË LIXËAfM, ETC. 35 Htimitf nnnf~–– )f~ t'fvnfceonn cherchera lalimitepour y=idel'expression Cette limite n'est autre chose que dans laquette onfaity== Lafonction étant susceptible dequatre formes différentes, i!en résutte également quatre formes pour lanouvelle intégratc. Soit D'<)· der; dc~,(' A1 ffi' d Désignons –~-+--)-2-~par~<(~); soitA,~tecoefRcient de.r'" dans ledéve)oppement deF(<x, y,-a?). Ontrouve sans peine 11l==+or;. Bm== -t-–––-h -t-–––––––+S-+- ,–– -(- ~–––––––I <x ix-)-) (X-+-/M –tp p+' p+yK –) -.(~· Sil'onprend <p<==(J–~)~'°'F(Y–<x,Y– p,'y,.r),etsit'enappeHe, comme tout a)'heure,A,n lecoefficient duterme générâtdans lasérie F('y–c(,'y–y,.r), onaura pdur~,(.r) unenouvelle forme ~,t-+~ Chacune desdeux autres expressions de donnera uneexpression.y'"Yl''(!X -t-f–y,p-)- –y,2–y,–F(;x, j3,y, '–7 logx~<P) Je); <)p~ ~+~T+c)~ d; dy <pt=F(o:, ~,y,~). ~(;r)=AmB, m=1 If t t t -2 ` m ~<(~)=~yA~B~)""(t-~)'P,n~=+n f t t ) B~== –– -t- ––- + -)- -–– -)-––~-+-+ ––,t–fXex2–<X /K–<X ex 1–p¡3 <K–p (3 -~(t+~+~-t-)- -L).7K/ 36 H.COUKSAt. différentede (x).C'est ainsiqu'ontrouvera -c ~j(.c)=–iog['––.c;Fx,)–f,t-ft–-t:r~~AmB,K))'j' ,n, -c–j~j O! -4-)(;x+ //t–);( – )( – ) /M – B,,t= +–+ + -t-–,+ -t- + 0; 0:-<-f i 6t-)-~t–< 1t–~ 3–p W–p –2(t-t- -t- +.+-). De même ~,(a-)=–tog{f–~i(t–)~Fp, <– !,––)+(t–.f)"['A,MB,M––j ? tM=t pi'P 4-<).f~ +m –!)(t–c:'(a–xL ..(M–<x) A~- –––––––––––––(1.3.–––––––––––––' ~=~+~+-"+~+-+~~ ~+"'+~ 13 13+ 1¡3rn m--1 1 0: 1¡3m¡3 -.(.+~+~). ) QueUe quesoitt'expression que)'onadopte pour~,(a"),je désigne par Q!a nouvelleintégrate Q=<p,tog(.c)+~,(~). Cette nouveUeintégralesera, comme lesprécédentes,uniforme dans toutel'étendueduplan, pourvu que lechemin suivipar)a variable ne coupe aucune des lignes –oc–– o, < –– + oo Le mêmeprocédé, qui permetde trouver une nouvelleintégrale, permetaussi de trouver les relations linéaires entre cetteintégrale particu!iëreet lesintégrâtes déjàconnues.Supposons, pouriixer les idées, que!as0mme<x+~ne soitpasnulle niégaleàun nombre en- tiernégatif;donnons àyune valeur unpeudifférente de l'unité. On connaît les troisintégrâtes ~F[~,y,~),~TF(~+t-y,~+!-y,y,.c), ~1-~ -f/F(a:+-p+t--y,), StJh L'EQUATION OnTËKK~HELLE H~<ÉAt)U:, ETC. entrelesquelles existe larotation r~+.s ~–– 7_ r~ -+- –y)~_7_T~<p~ '7-7 'J+ 'l, ~ryjY~ 'r~r~; Remplaçons dans cette relation y.,para~+('–)Q,etfaisons tendre vers l'unité; y)et~2seréduisent n~iF(<x.j5, [,.r) et F((X,j-i,c<+ i–a?),tandis queQ<devient égalàQ.Ils'agit devoir cequedeviennent lescoefficients de etdeQ,dans lamême hypo- thèse 1(a-( +r-7j '<' ',p' '(. .'0, .1, ~=r(.)T(~~T()\P( /),lP+I-Y!',r r(<=<+(3+i-y)-–rr.)T~– Faisons tendre Yvers l'unité lecoefficient deQseréduit à ––~–– quantaucoefficient deo,,lepremierfacteur apour li-r(a)T(R) miterr~T~-w' Lesecond facteur peut s'écrire mite~r(~~T(~1.Lesecond facteur peut s'écrire r~-y)r(~r~)-r(~r(~+.~y)r(~+. i-y Onaura salimite enprenantladérivée dunumérateur pour y==i, etchangeant lesigne.Cette limite sera ~r'(i:)r(~)r(p)-r(~)r'(p)-r(~r'~). Onaura donc fF(~,p,~+f3,t-) (..) _r(~+~r r~_r'(~ ,¡:;r'r;.+~Q.(-r(~r(!3)L" r~) r(~J' r~)r~)~- DeM.r:e/Mec~. –Supposons ~supérieuràt'unité, y==a+yK, métant unentier quipeutêtre nul. Voyons d'abord cequedevient lasérie F(~-t-t–y, P+!– 2–y, .c)lorsque' supposé d'abord unpeu différent de2+/K,tendverscette valeur. Écrivons lespremiers termes 38 K.GOUKSAi. I~" .·de cette série -t-)– -i- – X--(-t– -i- –y -+-)–y +?.–yJ1x.-+--7" ,x-1'- '–y; ..2.2–(3–j +~±i~.ZL~±J'L:i~l~Z:l±~r:i~~ -< +.-c-m_C'm. ,x. + !.2.H-t-)(~.–)'j3–w-(-t–yn/x-– Lorsque ytend vers lavaleur M+2, lestermes en conservent desvateurs finies. Mais letertne en.r' devient infiniment grand, àmoins que l'un desfacteurs dunumérateur nedevienne uut; pour qu'il ensoitainsi, ilfaut etilsuffit quel'un desnombres &ou aitl'une desvaleurs i,2,3,.K-w. Sicette circonstance seprésente, tous lesautres termes conserveront égaiementdesvaleurs finies pour '~=2-+-/M, etnous aurons encore uneintégrale. Cette intégraleestuni- forme dans levoisinage del'origine qu'elleadmet comme pôle,cequi prouve qu'elle estdifférente del'intégrale F(o:, y,.r). L'ensemble destermes àpartirduterme ena?'"pourra s'écrire CF( w-+- 2,.t.-).c" Quant àl'ensemble destermes précédents,onpeut demême lesrem- placer par C)Ff<X,0!+!–y,Ct-t-t–j3, L~ desorte qu'en multipliant par~l'intégrale deviendra Cr~F~+'-y,~+i-{3.~+CF(a:y,.c). Prenons, parexemple, l'équation différentielle <~x(1.xjIxy'+2ztlxTz~" 0~('+~+-~=0, quel'onobtient enfaisant dans l'équation générale ;X==t,~=–?.,y=3. ËHeadmetcommeintégralesy== -et~=f–a?+,-)desorteque SUR L'ÉQCATMN MFFÉRENTŒLLE L!XËA!RE, ETC.3() l'intégrale générale sera ~=-'-+- C~{–-)-–)-3~ I)est remarquer que, lorsquelacirconstancequivientd'étresignatée seprésente, l'originen'est pasunpoint critique pour l'intégrate gène- raie, mais peut être unpôle. Cecasexceptionnel écarté, onvoit quelasérie F(o;+t–y,t-t–y,a–y,~) présente destermes quigrandissent indéfiniment quand onfaittendre yvers lavaleur 2+M. Nous prendrons lafonction .ïF(~ +-1–y,+t–y,2–y,.r)(M-+-?.–y1, quiestaussi une intégrale del'équation différentielle, quelle quesoit lavaleur de Cherchons lalimite decetteintégrale lorsqu'on faittendre vers la valeur /M+2 (/7!-+- –y)F(o:-t- –y,p-<-f–y,2–y,~) ,r (a:+'–7)0-t-'–y! t=/K-)-2–y~t+-~–––<LLL~ -)-](m+L1+'(a-7)y)-x+J Lepremierterme delasérie entreparenthèses quidevient infini est (a:-(-!–y)(x +2–y).(6f-+- w4-t–y)(~+–yj..~(jS M-)-t–y) ).2.(/M +t)(z –yj(3 –yj.m-i-t –y)t/H-t-a– y; Faisons tendre'yvers lavaleur m+ 2;lestermes enx, .r~ deviennent nuls, mais lestermes suivants conservent desvaleurs finies. Leterme ena?' parexemple, devient [<x–/M–~(a:–M)(a;–/)!.+t).(et–t)((3– w.–t).3 –t) j'.z.n.(rn+tu-nzlv-rre+y(-nz+z'y; _m~, 1.2.M. (M+')(–M:)(–f)<+t)j–m-)-?.).– ) Lasérie tend donc vers ~)(~).)r,, y(–t)"t.3.m.).?.(~+.)r.p,y,.rj. ~0 Ë. COURSAT. Sidonc nous considéronst'intégrate f–)"M.t.?.iM-t-fM-t-a–y'.1"r.Fi) rïr~ 3- 3- i F -y.3-+-, ==F,, cette intégrale viendra seconfondre avec t'intégrate F(<x,p,-y,.c) lorsque-y prendralavaleur 2-+-/M. Onobtiendra une nouvelle inté- grale encherchant lavaleur limitepour -y=2+/Mdel'expression F.F(~f3,a-t-/K–y Ontrouve, comme plus haut, pour cetteintégrate, “ JF JF+~F )og~t(.,3,+~+~,o l¡,5ed~3 Oy danslaquelleondonneatavaleur 2+/M. Onpourra ensuite exprimer cette nouvelleintégrate aumoyen des intégrâtes déjà connues !p,etp~parleprocédé employé plus haut. Onopérera absolument delamême manièresi-y–<x–6 oua:–6 estunnombre entier. 18.Jeterminerai parl'application delathéoriegénérale àl'exemple suivant i(..c!-w. '(.dy t(.)'~(t-+(,~o.~)~=o, ix-72 1dx quel'on obtient enprenant <x=~==~ et'y=i. Cette équation sepré- sente dans lathéorie desfonctionselliptiques, quand onveut définir tafonctioncomplètedepremière espèce r' ~)(t-) comme fonction dumodute pour lesvaleursimaginaires decemo- dule. Elle aétéétudiée àcepoint devueparM.Fuchs('),puis direc- tementparM.Tannery.Lesrésultats qu'ils ontobtenus sedéduisent (*)./W<M/07'C/M<'f/<'jt.7),p'.gt. su: !j~r.no\ h!rrr.r:)-TtF.)jj: n~r.\)f!);, F.'x:. G. <isansdifficutté ducasgénéra!. J'emploierai, {)ou)' cete\en)p!c, !csno- tations de~LTannerv. L'équation ()/admet uneintégrateuniforme dans toute l'étendue duplan, pourvu quelechemin suivi parlavariabte necoupe pasla ligne indéfinie [ -r-'x:. Nous ladésignerons parP.At'iuterienr ducerc)e(~,ona a"+>, .tr~ 'f.5.w–pP==L<(~)=.~,J111:.=1 Soit. '(-cj~=F(.i,a. Dansl'espace E,onaura demême p=-e~~t–.C' 'yétant éga! à onaura unenouve!teintégra)e contenant unloga- rithme nous ladésignerons parQ.Cette intégrate sera uniforme dans toute l'étendue duplan, pourvu que lechemin suiviparlavariable ne coupe aucune deslignes –x:––o, +1-––+co At'intéricur du cercle Co,ona,enposant .Lf.c== ––r-,––––– ~L 2./j.b.2/M J/=i ~==[-)-~+~-+-+-–––J_,~llt=L-f'S1'.3/H–f· ?./7A Q:=:d/(.r)-+-o(;)*no~.r; demême, dans l'espace E~ Q=~=L( )[,0~ )og(. ~:] +4d,f~ –.X' –– L'équation (')nechangeant pasdeformeparlechangement dex eni–.r,elleadmettra deux autres intégraiesP'etQ',uniformes dans tout leplanalamême conditionquelesprécédentes. Dans tecercle Co,onaura P'=o(t–~), Q'=b~~–.i;))og(!–.T'4~'– ~39 Ë. COURSAT. dans t'espace E,,onaura demême P~=,(~),P ti/~–t\~ .–t\<Q='-=?(" 'og~] +4-–w ~A't1 /) Cesquatre intégralessuffisent pour exprimer uneintégrale quel- conquedans toute t'étendue duplan.Pour avoir lesrelations linéaires quiexistent entre cesintégrâtes faisons, dans laformule (aj), <x==~, = == ontrouve oubien etdemême Onpeut résoudre soitparrapportàPetQ,soitparrapportàP'età Q'.Onentire TT 7C ~'– '6)og~ p4'o~a (M)'TC (~L~ p~4'0g?p, 'Q'~ Cesont lesrelations trouvées directement parM.Tannery ('). Cesformules suffisentpour intégrer l'équation (i)', ainsi qu'on t'a vuplushautpourlecasgénéral.Jeprendrai, commeapplication, l'exempletraité dans teMémoire déjà cité. Jesuppose qu'ou parte d'un points (~g~.6)trèsvoisin dupointa?==a2 etdans lapartie supérieure duplan,etqu'ondécrive lecontour d'une (')~M~ ~eM'co/e 7Vn/K~e .H<pe/M<e, 2'série, t.VHI,p.t~'i.-]-~IIJ7r 1': p~4jog.p_~TT TT p 4'og2 Kp'in' T 'TC p~4'o~p_ ~-–––~––– K 7T' Q!6)0g~P, 4'Og-Q'. Q-–––––~––––p~Q. SL'KI.'ËQUA'n<JN Dn't'ËfŒN'ftELLE UiSKAff: ETC. /t~ airefermée, comprenantlesdeux pointsoetj.Cecheminpeut sera- mener auchemin 6tMA, Aétant unpointduladroite o-t, parexemple lepoint .c=j, suivi dedeux lacets décrits successivement dans le sens direct autour despointsx oet etduchemin AMe<. f.'i({.C. Partons dupoint o:avecl'intégrale P';nous arrivons aupoint Aavec lamêmeintégrate. Pour suivre savariation lorsqu'ondécrit lelacet u, iln'yaqu'à remplacer P'parsavaleur enfonction dePetdeQ p-=i'~p_iQ.TT 77 Après avoir décrit !elacet o,Preprend savaleur initiale, mais Qse change enQ-)-27:!?, desorte queP'devient P'P. Demême, pour voir comment cetteintégratesecomporte quand on décrit lelacet i,remplaçons Ppar 4'0~.Trp,'?rQ,~7r 7r P'nechange pas, mais Q'sechange enQ'-t-2?:!P', desorte que P'- 2:'Psechange en 3p,- 2iP. –3P'-2!'P. Onreviendra donc aupoint <xavec l'intégrale 3~+8~0~. p.~.<Q.7! 1-L Sil'on part dupoint <xavec t'intégraie Q',onarrivera aupoint Aavec t'intégraiel'intégrale t6J0~2–~4~0g~––––rr––––~ 4zi H.t.UmSAT. Apres tetaceto,t'intégrate sera représentée par "p.pL' ou, ce(Illirevient au même,par <K~og')', ou encorepar ou 1),Il~ (V p' Après letaceti, onaura ,7:-)-8/iog'2/7:,r-(-8<iog'2 –32.ONi~?.(J~––. –––––––––––––––––––'–– p c'est-à-dire .8~ p'~+S<'os~ Onreviendra aupoint txavec cetteintégra)e. Lamême équation (t)'admet aussi deux autres intégrales partieu- fiëres, xluisont susceptibles dedéveloppements ensérie, analogues aux précédents. Onad'abord t'intégrate <f quiestuniiorme dans toute retendue duplan, pourvu que techemin suivi parlavariable necoupe paslaligne o––-)-seJeladésignerai par P". Pour trouver une autre intégrale, supposons d'abord y=:ilK=et unpeudifTérent de?.L'équation différentiette admettra lesdeux intégrâtes F (~ )'(- -~)F (~,.S,+ -). L'expression ~P~ ~p" S(;):L'KQL'ATK~M)tl),HE~ttt'.L!~U~KAftiE,K)< /f~ sera aussi une intégrate. Lalimite decette expression quand ~=-~ nous donnera unenouvelle intégrafe Q" y-r-?(~) ,– .)- Onademême Q-j~4~.1j} Q"estuniforme dans toute l'étendue duplan,àlamême condition que l'intégrale précédente P". Pour toute valeur dexfigurée parunpointsitué dans lapartie su- périeure duplan, onalesrelations tp~4'og~ (~i ~=~t'Q'TT 7: Demême, pour toute valeur dexfigurée parunpoint situé dans lapartie inférieure duplan, (P=~~P"Q", \4 <p'= !L±LiLi~ p"– in" Lesformules précédentes ontétéétablies, comme laformule(21), enpartant desrelations (f3) et(i~), quiontlieu dans lecasgénéra). LBe/MaryMe. –Lesformules (~3) et(2~) P~issent endésaccord avec lesformules données parM.Tannery(/oc.c: p.188). Cela tient àcequelesfonctions P"etQ"nesont pastout àfaitlesmêmes que celles qu'il désigne delamême manière. Aulieu dusystème d'inté- grales?* etQ",considérons lesystème suivant, P"=?(~~~-c ~=)-'?(~~+4~(~)!' y~'L\-c/J oùl'on suppose l'argumentde~compris entre –net-t-n. /~() H.UUUKSAT. Ontrouve aisément quel'ona,dans lapartie supérieureduplan, p"==/r,, <r-~ -~i' et,enportant cesvaleurs deP"etdeQ"dans laseconde desfor-- mules (33). onarrive àlarelation p~4'<p~i~~n TC quiestidentiqueavec larelation obtenue parM.Tannery. 19.Lesformules depassageétablies plus haut suffisent pourre- connaître sil'équationdifférentielle admet uneintégrale algébrique ousil'intégrale généraleestalgébrique.Laquestionadéjàététraitée parM.Schwarz (JournaldeCrelle, t.73,p.292). qui, enseservant de l'équation différentielle dutroisième ordre àlaquellesatisfait lerap- portdedeux intégrâtes particulièresdel'équation (t)etdessurfaces deRiemann, aétéramené àunproblèmedeGéométrie sphériqueoù seprésententlespolyèdres réguliers. Depuis tors, M.K)ein aconsi- déré lecasplus généra!d'une équationlinéaire dusecond ordre à coefficients rationnels. J'arrive auxmêmes résultats queM.gcbwarz pardesconsidérations toutàfaitélémentaires. Sil'équation (t)possèdeuneseule intégrale algébrique, cette inté- grale devrasereproduire,àunfacteur constant près, quand ontourne autour d'un point cntiqme.Baasie cbmatnedu point o,elleserare- présentée parl'une desintégrales <ps;demême, dans ledomaine dupoint x==iellecoïncidera, àunfacteur près, avecl'une desinté- grales Œe- Reportons-nousauxrelationsqui ontlieuentre cesquatre intégralesonvoitquecela nepourra avoir lieu que sil'un des nombres a,6,'y–<x, 'y–estunnombre entier. Dans chacun deces cas, l'une desséries hypergéométriques quiexpriment l'intégrale générale n'aura plusqu'un nombre limité determes. Soit, parexemple, 'y–o:=–/M; l'équation (t)admet commeintégrale (t–.c)Y-~P, Pétant unefonction entière dea?; pour quecette intégralesoitalgé- briqueilfaut, enoutre, quej3soitunnombre réeletrationnel. SUR L'ÉQUATION DIFFÉRRNTtF.f.LF. LINÉAIRE,ETC. Sil'équation (t)admet plus d'uneintégrale algébrique, l'intégrale générale sera elle-même algébrique. Nous allons nousproposer de trouver tous lescasoùilenestainsi. Nous pouvons exclure denotre recherche lescasoùl'un desnombres 1<x– serait unnombre entier. Onavu,eneffet, que dans cescasilexistait unlogarithme dans l'intégrale complète dans ledomaine del'un despoints critiques; comme casexceptionnel, celogarithme peut disparaître, mais alors le point considéré n'est plus unpoint deramification pour l'intégrale générale, etilsuffit d'examiner comment secomporteuneintégrale dans levoisinage del'autre point critique pour être fixésursanature. Onvoit, depius, que lestrois nombres <x.j3,-ydoivent être réels et rationnels; sansquoiilexiste, dans ledomaine del'un despoints cri- tiques, une intégrale quiprenduneinfinité devaleurs. Celaposé, soient~ety;;deux intégrales particulières linéairement distinctes, uniformes dans toute l'étendue duplan, pourvu queleche- min suivi par tavariable necoupe aucune deslignes –<c––o, t––––-t-CC Onpartd'unpoint quelconque Aduplan avec une intégrale e/t-c~sj, etl'on décrit unchemin ferméquelconque, assujetti seule- ment ànepasser paraucun despoints oeti.Onrevient.au point de départ avec une intégrale C~-t-C~. Sicetteintégrale estune fonc- tion algébrique dea?,tescoefficients C,C'n'admettront qu'un nombre limité devaleurs, quel quesoit lechemin suivi. Enparticulier, lerap- ~C' port– n'admettra qu'unnombre limité devaleurs. J'ajoute que, sicela alieu, quels quesoient lescoefficients primitifs c,c',l'intégrale géné- rale estalgébrique. Considérons, eneffet, ladérivée logarithmique det'intégraie précé- dente onpeut lareprésenter par C~ c/.+c'c~2 CT")-+-C'T'2+C' y2.r'+~ C'Lerapportn'admettant qu'un nombre limité devaleurs, ilenestde même decette dérivéelogarithmique;comme d'ailleurs elle nepré- ~8 );.r.O)'f!S\T. sente d'autres points singuiiers quedespoints critiquesetdespô)es. ilsuit delàqu'ellesera unefonction aigébriqucde;r. Cela étant vrai pour une intégrate quelconque,soient z,et deux intégrâtes del'équation ()).Onaentre elles lareiation ~.jZ', 3~== H~Yt .t-T-'< quipeut aussi s'écrire ~(~~\=: H.Tf.Y-t .{J,I \=~r, __H~()–~)T~?-~ fl – Leproduit dedeux intégrâtes queteonques s~estdonc unefonction algébriquede.r.Siz,ets.~sont deux intégrâtes, Z,etz,-+-z~ seront aussi deux intégrales. Leproduit s~+.z,Zg, etparsuite 2,,sera une fonction algébriquedelavariable. Tout chemin fermé partantd'un point Aetrevenant àcepoint pou- vant seramener àunesuite delacets décrits autour despoints;r=o, .c==j,nous sommes donc amenés aétudier comment lerapport précé- dent secomporte quandondécrit undeceslacets. Nous prendrons, pour y,etys'lesintégrales et nous partonsd'unpointAavec l'intégrale C~)-G~,etnous décrivons untacet autour dupoint o, dans lesens direct; nous avons vuplus haut (n°16)qu'on revenait au point Aavec t'intégra)eC,'p,-+-C',<p. c.=c+c'~±~CI ('1ra ++('r 1 ~_T~, Y)I J 1-h-–y..1;:J<– c',=c' v. Soient plavaleur initiale durapportlavaleur finale; onaura ,(~).1ri''O~r r r'\17.+I-ï)[i~+,-y) e:y->t Posons /r~+p+.-y)r;7)_ 1, ".i'n' i'<–) r~-+-f–t ~(~Yi'~K. Sf'R L'ËQL'ÂT!ON DIFFÉRENTIELLE L)NÉA)RE, ETC. ~9 7Laformule précédente s'écrira (A) ~-a==K;p-«). Silelacet était décrit dans lesens inverse, onaurait, aucontraire, (A)'p'-a~~p-a). Faisons maintenant décrire àtavariable untacët dans lesens direct autour dupoint critique ,r=t; t'intégrate C~+C'a);: sechangeen C,<p,-t-C'~ C)=Ce~'<ï c~c~ Endésignant, comme toujours, parpetp'lavateur initiale etlavaleur finale dumême rapport, onaura 1. l~Y- il~r-J~) ~'LrL~"I: ~"p Pe.1tI(Y T(y-~)r(y-{3)\ <<Y-< Posons ~r(y-j_ r('y-~)r(y-p)- g-(Y-x-) =:K. Larelation entre petp'pourras'écrire ~=K'(~ Silelacet était décrit dans lesens inverse, ontrouverait demême (B)'(i~). \p 7 \p Leprobtëme qu'il s'agitderésoudre pourraseformuler ainsi Étant donnée unesuite de~M~/K:'<e'~ <e//e~~Mechacune seJet/M~ dela /?rece'Je/ë par /'M/!e Je~yor/MM/e~ (A), (A)', (B), (B)', Ja/M ~Me/y cas arr!ce/'a-<-OM unnoM&re/{/K: Je~Man~y J~ë'ren< ~o/'Jre dans 5o K.COURSAT. lequel onappliquecesformules .?McccMt~e/He~ restant absolument ar~t- traire? Laméthode géométrique m'aparulaplus propreàconduire simple- ment aurésuttat. 20.Soient tracés dans unplan (y~. )deux axes decoordonnées rectangulaires 0~, 0~. Jefigure, comme àl'ordinaire, laquantité Pig. p==+ parlepoint dont lescoordonnées sont et'<:soient AetB lespoints quifigurentlesquantités a,b(ces points sont situés sur l'axe 0~). Soient Mlepoint quifigure lavaleur initiale dep,M'lepoint qui figure lavaleur dep',obtenue enfaisant décrire alavariable unlacet dans lesensdirect autour dupoint critique x=o ~=K(p-~). Laquantité paserafigurée parl'extrémité d'unsegment mené parl'origine, égaletparallèle ausegment AM; sil'onfaittourner ce segmentd'un angle Mautour dupoint A,Métantégala2n'('y–i), onobtient lesegment AM', dont l'extrémité M'figure précisémentla quantité~Silelacet était décrit dans lesens inverse, ontomberait surlepoint M'obtenu enfaisant tourner lesegment AMautour du point A,mais ensensinverse. Lavariable décrivant unesuite delacets autour dupoint 0,lesdiverses valeurs depseront ngurées parlessom- mets d'un polygone régulier inscrit dans lacirconférence derayon AM, l'undessommets étant précisément lepoint M. St;R L'ÉQUAT!OX MFFÉREN'HF.U.E !?!ÉA)RF,, ETC. 51 Supposonsmaintenant(~. 8)quelavariable décrive unlacet au- tour dupoint critiquex–t. Soit Mlepoint quifigurelavaleur ini- )<8~L tiale deo:serafiguré parlepoint M,,–&parl'extrémité d'un segmentmenéparl'origine, égaletparallèle àBM,, etK'(-–&) par l'extrémité d'un segment égaletparallèleausegment BM' quin'est autre quelesegment BM,, quel'on afait tourner d'un angle M'=2)r(o!+p–'y) autour dupoint B.Parsuite, lepoint M,figurela quantitéetlepoint M'la quantité p'. Faisons décrire àlavariable plusieurslacets successifs autour du point .r=t;lepoint viendra coïncider avec lessommets d'un poly- gone régulierinscrit dans unecirconférence decentre B;lepoint p lui-même restera surunecirconférence transformée parrayons vecteurs réciproquesdelaprécédente,avec l'origine pour pôledetransformation etl'unité pour module.Sil'on applique cette transformation àtoutes lescirconférences avant pourcentre lepoint B,onobtient évidemment unfaisceau decirconférences passant pardeux pointsfixesimagi- naires. Ilestaiséd'avoir lespoints-cerclesdecefaisceau onad'abord l'origine, quicorrespondaucercle derayon infini ayant pour centre lepoint B,etlepoint C= provenantducercle derayon nul. Toutes lescirconférences dufaisceau serontconjuguées parrapport àcesdeux points, quisont deux points doubles delatransformation homographique i_&==K'('i~P \P 5a K.(;Ot;RSAT. Avant d'aller plus loin, jedémontrerai lethéorème suivant deGéo- métrie, quisera utile pour transformer t'énoncé duproblème: j&a~ donnée unecirconférence etnpoints surcette circonférence A,B, C, Ltellementdisposés que, sil'onfaitune:e/'MOM e/<?n<x~DOM/' pâle M/ï/M~ 0~M/a/ /M/~o~~ correspondants A',B',C', L'~OM/~ les~o/M/Me/.t d'unpolygone re'g'M/<er,soit0'lepoint conjuguédupoint0 parrapportàlac/A'co/6/e/ïce, tous lespointsdelacirconférencedécrile sur00~ comme ~a/Me7/'e dans unplan perpendiculaire auplan dela ~~M/'e/OMM~n~ dela/M~e~o~r:W~Me lepoint0. 'K-U- Soit Sunpointdecette circonférence. D'après unepropriété élé- mentaire del'inversion, A'R'–– P"OA.OB' Aï< p1.~SA~B~" Donc A,B, _/P.\ OA OB AIBI -(P)xOAXS13~ A'B'P/~SA~SB' CI dSA SBJ .1 1. Chacun desrapports nR~constant; donc i!enestdemême de.~–' Silepolygone A'B'C'D'E'F' asescôtés égaux, ilensera de même dupolygone A~B~C~B~E~ F,, c.Q.F.D. Revenons àlaquestion proposée etconsidérons lacirconférence dé- crite surOC(fig. to)comme diamètre dans unplan perpendiculaire a SU! L'r.nt'A'tinx !)))'t'K)i!;M'tF.).LR).t~)L\)!U', F)' celui dela(tguresoient SetS'tes points derencontre decette orconfe- rence ~vec lapet'pendt<:u):ti)'e etevée p:n'lepoint A~upionde)an~ure. Concevons lasp)ië)'edécrite surSS'comme diamètre, et(aisonsune e projection surcette spttëre,enprenantiepoint Spour pointdevue. )'i~o. Toutes lescirconférences ayant leur centre enAseprojettent sui- vant descirconférences ayant pour pôles lesdeux points S,S';quant auxcirconférences conjuguées parrapport auxdeuxpoints 0etC, e!!es ontpour projections descirconférences ayant PP'pour axe. Hrésulte decequiprécède qu'étantdonné surlasurface delasphère unpoint m figurant unevaleur dep,ontrouvera lepointm'figurant une nouvelle valeur depenfaisant tourner lepointmd'un ang!e Mautour deSS' oud'un angle M'autour dePP'. Cela estévident pour t'axe SS'; quant àl'axe PP', itsufut deremarquer que, étant donnés dans leplan deux points M,M'figurant deux valeurs de~p,dont l'une sedéduit del'autre parl'une desformules (B), (B)', sit'onfaituneinversion avec lepoint 0pour pô)e, l'angle M,BM'~ estéga)àM',et,d'après lethéorème précédent, )'angté7Kp7K'doit avoir lamême valeur, pdésignant lepied delaperpendiculaireabaissée demsurl'axe PP. Onpeut donc rempiacerl'énoncé duproblème parlesuivant E/a/:< donnés deux diamètres SS'PP' dans unesphère etunesuite de points surlasurface, sesuccedant d'après une loitellequ'on passe de /'M/t oMe/con~Me <:M~MK~Tï~en~yaMa~K tourner ~'H~ angle Mautour deSS'oud'un angle M'aM/OM/' dePP', dans quels casaboutira-t-on àun nombre limité depoints,l'ordre danslequelonapplique cesconstruc- tions restant absolument arbitraire? Tout dépendévidemment del'ordre desymétrie desaxes PP', SS'et de)'ang)eVdeces deuxaxes. 5/;~l K.GOMSAT. symétrie d'ordre etPP'd'ordre q'. Remarque. Lorsqu'on diminue ouqu'on augmente lavaleur del'un desnombres a,j3,yd'un nombre quelconque d'unités, qetq'nechangent t pas,nicosV. Onpourra donc supposer !–y et'y–x–j3 compris entre o,eti;onpourra ensuiteramener6:–j3àêtrecompris entre –iet-t-i;mais, comme ilyasymétrieentre leséléments aetj3,on pourra supposeraussi (x–j3 compris entre oeti.C'est ceque nous ferons pour lasuite. 21.Lareprésentation géométrique surlasphère n'est possible que sitepoint Aestcompris entre lespoints 0etC,ou,cequirevient au sin(,'–o!)~sin(y–S)7rmeme,st!eproduitao=––'––––––5~– estcomprisentre oS)n~Stn(y–<x–p)7r n eti.Dans lecascontraire, onpeut démontrer directement quelerap- porta peut prendre uneinfinité devaleurs enchaque point duplan. Je m'appuierai, pour cela, surlesremarques suivantes 1.Ilexiste uncercle ayant soncentre enAetconjugué parrapport ausegmentOC.Silepoint M,quifigurelavaleur initiale dep,estsurceSoient ~f- '?-~ '-71 -P-q' Lesfractions~ et étant supposées irréductibles, SS'sera axe(leq q, Quant àl'angle V,langure précédente donne V=~AO~, OA=OA/UA cosAOS ==–==: –––.––-==t/–, COSAOSOS~QA xOC VOC =OAi.cesV:= ,.––<=aa6–<. Remplaçonsaetbparleurs valeurs, ilvient ~,y 'i~P+i-7'r(.-y) r(y =,-~r(y)-r cos r~+.-y)r~+.-Y)-r(y-~r(y-p) cosv=.cos = sn))'~s!H(y–a:–p)n n1. SCR L'ÉQUATtON )))HŒHEKTIËLLE fJ~~AtKE, HT< 55 cercle, tous lesautres points quet'onendéduit sont situés surlemême cercle. SilepointMestextérieur ouintérieur àcecercle, ceux que l'onendéduit seront eux-mêmes tous extérieurs outous intérieurs. II.Supposons quenousayons pris pour origine lepoint A;appelons t'i(;.n.1. zetz'lesquantités quisontfigurées parlespoints MetM'dans lenou- veau système. Pour lapremière transformation, ona ~=/fz; pourlaseconde, estHéeazparunerelation az-+-6 f~ -)-< a==a:+ c=6:'-t-~<, 6==y-t-~t, ~=/-)-< Cherchons lelieudespoints ztelsquemod. =mod. z, mod.((tz -)-&)mod.=––~–––mod.(c~ -)- ~) az-)-<)=(c<~–+y]+/(p~+~+g), n)od.(az +&)== ~(~ -)-p~~)(~-3_j~_ +~ -)- > mod.(e~-)-</)= \/(c~)- ~)(.~+~-+-"t'-c-t-M~)-7 Lelieucherché aura pour équation ~~+~)(~+~)+/M~-t-~+~=(o:+P'~(.c2+~)~+(~+~~+~')~2+~). C'est unecourbe duquatrième ordre, ayant pour points doubles les 56 F..COUttSAT. points circulaires at'innni. ~iais lacirconférence decentre A(y~. f'), conjuguée ausegment OC, faitévidemment partie dulieu; connue les points 0etCluiappartiennent égatetncnt, cette courbe duquatrième ordre secompose dedeux circonférences, lacirconférence (A)etune autre circonférence passant parlesdeux points 0etC. Silepoint Mquifigurelavaleur desestextérieur ouintérieur auxdeux circonférences, onaura mod.z'<;mod..z; mais, sicepoint estextérieur àl'une, intérieur àl'autre, onaura mod.> mod.2. Cela posé, soitMlepoint quiûgure lavaleur initiale dep,queje suppose extérieur aux deux circonférences (A), (A)'. Appliquonsau point 1Mtaseconde transformation autant defois qu'elle nous donne despoints différents; nous aurons uncertain nombre depoints surune circonférenceconjuguéeausegmentOC.Soit M,celui decespoints qui estleplus t'approché dupoint A;lepoint M,estforcément dans le cercle A',etTonaAM)<~AM. Appliquons maintenant aupoint M,la première transformation, defaçon àobtenir unpoint Maextérieur au cercie A';onaura AMa=ÀM,. Aupoint Maappliquonslapremière transformation; nous endéduirons, comme tout àl'heure, unpoint M, plus rapprochédeAquelepoint M2'etainsi desuite. Onaainsi une séri& depointsM, M,, M~M,, sesuccédant d'après une loitelle S)'n ).')'.orATtn\[))r)')':[tF.x'rn;).f.f Lnr.Afr:);, ).')'(:. 5- G. Sloitellequ'on neretombe jamais.sur unpoint déjà trouve etqu'on puisse continuer indéfiniment. Lerapport peut.doncprendre une infinité devateurs. ~2.Laquestion deGéométrie spbériqueàlaquelle nous sommes conduits etquiestidentique, comme onleverra tout àt'beure, avec la question àlaquelle M.Schwarx aétéramené, aétérésolue parStei- ner('). Onpeutaussi déduire lasolution d'un Mémoire deM.Jor- dan(2)surlespolyèdres eutériens. JIyadeux casparticuliers oùlasolution s'aperçoitimmédiatement: i"Sil'onadeux axes desymétrie binaire, cesdeux axes devront faire entre eux unangle commensurable avec 277. 2°Sil'onaunaxedesymétrie binaire etunaxedesymétrie d'ordre Kperpendiculaire aupremier, onaboutira toujours àunnombre limité depoints. Écartons cesdeux casparticuliers etsupposons quenous ayons deux axes desymétrie PP',SS', dont l'un PP'estd'ordre K(K~3). Lesrépé- titionsparsymétrie det'axe PP',seront axes desymétrie d'ordre Kde lafigure formée parlesrépétitions symétriquesd'unpointMdela sphère;cesrépétitions symétriquesdevront être ennombre limité: ce quirevient àétudier lafigure formée enprenant pour pointdedépart lepoint Plui-même. Ondémontre sans beaucoup dedifficulté que, sil'on estconduit àunnombre limité depoints, cespoints sont lessom- mets d'un potyëdre régulier. Lesaxes PP',SS'devront donc êtredisposés comme lesaxes desymé- tried'unpolyèdre régulier ayantl'undesessommets enP.JIestévident queleplan desdeux axes sera pour cepolyèdre unplan desymétrie. Cette condition nécessaire estsuffisante. Imaginons, eneffet, cepolyèdre ré- gulier etconsidérons lespolygones sphériques réguliers découpés surla sphère parlespyramides ayant leur sommet aucentre delasphère et pour bases lesfaces decepolyèdre. Lesrépétitions parsymétrie del'un decespolygonesconduiront toujoursàunpolygone analogue; comme, d'ailleurs, undecespolygonesnepeutcoïncider avec tui-méme que _n' (i)./oM7;~ ~eC/'c//e, t.XVIII, p.?.<)5. m.w/ t.LXVt, p.M. ~8 K. COURSAT. d'un nombre limité demanières, ils'ensuit quelesrépétitions symé- triquesd'un point seront ennombre limité. Appliquons celaàquelques exemples. Exemple ~o. Onadeux axes desymétriebinaire cosV~ acosTMCOSTrp –t==cos2<x7r. Itsuffitque <xsoitcommensurable. Onpeutlevérifier directement. L'équationdinerentiette estici .J~ /r \</r “t–.r)––-t- –.-r–!x~r==o,t/.E~ \Tt lIx < ,rV22 = 9..Cf–a- -7-–-T-':<X~ =:0. 'c.c~ <f '\<r/ M~ Onentire ~(~r]=~ Jr ;x<c ~~T~ ~~(t–.t-)' aresin-=~arcsin~+A. Sic:estcommensurable, onendéduit unerelationaigébrique entre y et.r. ExempleII.–Prenons encorel'exempletraité parM.Schwarz: y-§. ~=-~ P=~l~ 7-~=~. 7-~ y-o:–P==~. Onaunaxedesymétrie binaire etunaxedesymétrie ternaire. Leur angleestdonnéparlaformule 37r 57T2sin-stn – /t t~tI·cosV==–––-–––––t==-–- sin C'est précisément l'angle quefaitlahauteur dans untétraèdre régulier SCfi ).'Ë'JL'AT)OX UtHKHK~nKL), L!~ËAt)<t;, ETC. ~<) avec ladroite quijoint lesmilieux dedeux arêtes opposées.L'inté- grate générale estdonc algébrique. 23.Lesrésultats précédents peuventêtremissous uneforme unpeu différente, quimetmieux enévidence leur identité avec lesrésultats obtenus parM.Scbwarz. Supposons quel'on aitd'abord ramené, comme onl'aexptiqué plus haut, lestrois nombres i–'y,'y-c'–~ 0!–~ aêtre compris entre oetr,etdésignons par)., vlestrois nombres positifs etmoindres quel'unité ainsi obtenus =ty, p.==ya:p, i/==K–p. Nous allons établir quets sont lessystèmesdevaleurs decestrois nombres têts quel'intégralesoitalgébrique. Soient toujours SS'etPP'(y?~. 13)lesdeux axes desymétrie. Construisons untriangte SPQ ayant pourbase SPetpour ang)es PSQ==(t --y)?7, SPQ=(y-a;–~)~.Évaluons t'angteenQ cosQ =-=sinPsinScos(SP) –cosPcosS, cosQ=stny7rstn(y–fx–6)7r–. ,–––––aT-– ] LstnyKsm(~–o:–p)7rïr J -+-cosy7rcos(y–af–Sj'n', ou,enréduisant, cosQ==cos(<x–j3)Tr. L'ang)e Qestcompris entre oet n;d'ailleurs, onsuppose <x–com- Go '.«L'USAT. prisentre oct'.O" aura, parconséquent, Lestrois anglesdutriangle SPQ sont dont Quelles sont lesconditions auxquellesdoit satisfaire cetriangle? Dans lecasparticulieroù-y= <x-t-)3==o,lesanglesSetPsont droits; lepoint Qestundespôles dugrand cercle SPS'P'. Sil'on con- struit unedouble pyramide ayant pour sommets lespôles Q,Q'etpour base lepotygone régulierdont SetPsont deux sommets, lestrois plans dutrièdre SPQ seront trois plansdesymétrie pourcette double pyra- mide. Sil'axe SS'estunaxebinaire etsil'arc SPestéga)àunqua- drant, lestrois plans dutrièdre seront encore trois plans desymétrie pourune double pyramidedont lessommets seront lespointsPetP' etdont labase sera dans leplan SQS'Q'. Cescassinguliers examinés, voyonscequisepassedans lecasgéné- ral, ensupposant qu'ilexiste unpolyèdre régulieradmettant lesaxes desymétrie SS'etPP'etayant unsommet enP.Lestrois plans OSP, OPQ, OQS seront trois plansdesymétrie pourcepolyèdre;ilest d'abord évident queOPS estunplandesymétrie,comme onl'adéjà faitremarquer.Lepoint P",symétriquedePparrapportauplan OSQ, estundes sommets decepolyèdre;comme onpeut partirdupoint?" aulieu dupoint Ppourtrouver lessommets decepolyèdre,ilestclair quelafigureadmet OSQ pour plan desymétrie.Elle admet aussi OQP; eneffet, lepointS"sera l'extrémité d'un axe desymétriedemême ordre que SS'; sinous remplaçonsl'axe OSparl'axe OS", nous for- mons évidemment tamême figure.Donc OQP estunplandesymé- trie. Ainsi, lestrois faces dutriangle PQS devront être trois plansde symétried'un polyèdre régulier.Laréciproque estaisée àdémontrer; eneffet, tout corpsadmettant cestrois plansdesymétrie OPS, OSQ, OQP admettra aussi OSP" comme plandesymétrie.Sil'on prendleQ~X– S t'V.77, Q~ s)). t.'t:nr.\tf~ )HHt',)'.K.\ru:hL~Lt.\).)t! ).n.. b' corps symétriqueduprenuer parrapport aupian OSQ, puis iesymé- triquede cenouveaucorps parrapportau plan OSP", ilcoincidcra encore avec tui-memc; mais cesdeux opérationsreviennent afaire tourner ie corpsd'un angte PSP 2(t '/)n autour deOS.Donc OSestunaxe desymétrie pourcecorps. Enrésume, pour quet'intégrate généralesoitaigébrique,ilfautet ilsuHitque lestrois plansdutriëdreOSPQ soient lestrois ptansde symétried'une doubte pyramideoud'un potyedre régutier. Ilfaudra d'abord quelestrois angles ).7r,~-Tr,~nsoient lesang)es d'un triangte spherique,cequiexige quet'en ait r -r- f,> M U.-i- ) -i- -i-M. Cesconditions équivalentalacondition trouvée précédemment que s.sin(_y_compris entre oet si~(y-- .CI.)Trsin(y duit être comprisentre oet1. su)y7rs<n~–c<–p;~ Ilrevient évidemment aumême deconsidérer )etriangle PQS ou l'un destriangles PQS', QP'S', QSP'; lesangtesdecestriangtesontles valeurs suivantes PQS. /.7- MK ~7- PQS' ('-"-)~ ('-K)7T ~P'QS. ~–)7:t~ ('– P'QS' ()-.A)T- f!7: f7T Onchoisira celui decestriangles pour teque) )asomme desang)es est !aplus petite. Soient). ~/7r,~nlesangtesdecetriangteetsoient ). u",v"tesnombres/ f'rangés parororc degrandeurdécroissante. LeTableau suivant donne lessystèmesdevaleurs deX",p. telsque l'intégrate générale soit aigébriquc 62 ~.(iOL'hSAT. 24. Onaécarté lecasintermédiaire oùlecercle décrit surOC comme diamètre esttangentàlaperpendiculaire SS', c'est-à-dire le casoùlesdeux transformations homographiques ~A) p'K(p-a), (B)~(~~) ontunpoint double commun. Lespointsdoubles delapremièresont lepointa=aetlepoint ~===0, ceux delaseconde sont S==o,~== Sil'on sereporte auxvaleurs deaetdeb,quipeuventêtre nulles, mais non infinies, onvoit qu'il peut arriver detrois manieras diffé- rentes quelesdeux transformations bomographiquesaient unpoint double commun t°a=o; ilensera ainsi lorsque l'un des nombres oc-t-t–y, P-t-1–*ysera unentier négatif ounul. 2"&==o;c'est cequiarrivera si –Kou –?estnulouégalàun entier négatif.M*. iaPyramides doubtes. H 'iTétraèdre. m. ~) IV 'tCube et.octaèdre. v" ff) VL. k VIL. .,F vm. § s IX. 1 i Xl.Dodécaèdre eticosaèdre. X.1. .)-j AU. a “ XIU. XIV AV. 1 SUK L'ÉQrATtO~ nn~'È)U~T)EUJ; t.)XËA!f!F., ETC. 63 3"ab=f;cette condition donne sinf'/ x)rsin(y –,3)77' sinynstnjy –x3)7r oubien COS (~–3~7- COS (Ct +S7T, d'où (x-- S)±(o;–Sj~M: l'undesnombres <xoudevra être unnombre entier. Pour voir cequisepassedans chacun decescas, supposonslepoint double commun rejetéàl'infini; lestransformations homographiques seront définies parlesformules 3'–.Zo'=K (z–Zo), .z'– –:K'(z–Z)' lespoints z,,z,étant lesdeux autres points doubles. Elles donnent lieuauneconstruction géométriquefortsimpleétant donné dans le planunpoint Mquifigure une valeur dez,ontrouvera lepoint M' figurantlavaleur dez'enfaisant tourner lerayon z.M d'un angleM autour dezo,oulerayon z,M d'un angleM'autour dez,.Partant d'un point quelconqueduplan,ilestclair qu'on peut appliquer cescon- structions successivement dans unordre telqu'on neretombe jamais surunpoint déjà trouvé; parexemple, ons'arrangeradefaçon quela distance ,z.M n'aille jamaisendécroissant. Ityaexception pour le pointdouble commun, quicoïncide toujours avec lui-même. Ilyaura donc une intégrale particulière dont ladérivée logarith- mique n'admet qu'uneseule valeur enchaque pointduplan; cette dérivée logarithmiqueestune fraction rationnelle. Dans l'hypothèse adoptéeoùlesnombres <x.p,sont réels etrationnels, l'intégrale par- ticulière correspondantesera unefonction algébrique.Onvoit, deplus. qu'iln'en existera pasd'autre. Ilfaut pourtant remarquer que cela cesserait d'être vrai silesdeux autres points doubles étaient lesmêmes; dans cecas, toutes lesinté- grales seraient algébriques. C'est cequiarriverait sil'on avait àlafois a=o,b=o. (~Z, F.0)')tS.\T. Son,narcx(;n)p)c,réquationdiuurentietJ(' .xoym, X f/C- <t'',) 0, X: 7 E)!e admet. uneintégrateparticuticf'e atgébrique– maistinté- grate générale C <7arcsin~.t' \c estunefonction /aM~ce/ï~<e. Prenons aucontraire t'équationdifférentielle c~r 2~ yw–.t7-,–,-r- -r-+-J'3/a~ ~~–~ ?- 7=~. Onan!afuis c:=o, ~==0; ('équation admet lesdeux intégrâtes particuHëres 6x .~r 1[16ft-.t-r) desorte quet'intégrale genérate estaigébrique. 25.Onasupposé, (ians cequi précède, quelesdeux intégrâtes <?,et <?~étaient distinctes, c'est-à-dire qu'aucundes deux nombres <x,j3 n'était nu)niéga!aunentier négatif.Sicette circonstance seprésente, onremptaçera y~paruneautreintégrale, <?;parexempte, et,enopé- rant comme plus haut, onsera conduit àconsidérer deux transforma- tions hcmographiques. Cesdeux transformations homographiquesau- ront unpoint double commun, puisque l'équation (r)admet comme Intégrate unefonction entière, dont ladérivée logarithmique estune fraction rationnelle. Silesdeux autres points doubles sont difTérents (cequiaura lieu, engénérât), iln'existera pasd'autre intégrate algé- brique. Mais, silesdeux autres points doubles coïncident, rintégrate généraiesera a)gébrique. Pour qu'il ensoitainsi, ilfaudra que, l'un deséléments <x,j3étant nulouégal àunentier négatif, l'autre élément sditégal aunnombreentier positif. S)' Lt;<j)'ATi()?< ))))m:).ynK).LK ).L\r:A)! ~TC. 65 G. f)OUll admet deux intégrâtes particulières algébriques, et,parsuite, t'inté- grate générateest atgéitrique: 1;LesMémoires deGauss etdeKummer surlasérie hypergéomé- triquecontiennent ungrandnombre deformules quinerentrentpas dans lesformules données plus haut etquin'ont lieu que lorsqueles étéments<x, satisfont àcertaines conditions. Letype générât de cesformules estlesuivant ;e-~()–x')--? t-'(~, ~,Y, =~(' –<)~ F(z'. ;3',y'. <), tétant unefonction algébrique de.r. Lafonction .~(t–~)'(t–/)~F(~,j'3'<) estalors uneinté- graledel'équation différen)ie!)e (')t ~(.[/-(~t ?+.).rj~r=o; desorte quel'on estramené àrechercher dans quels cast'équa- tion(t)admet desintégrâtes delaforme précédente. Telle est, oua peuprès, lavoie suivie parKummer; mais iln'indique aucun moyen deirouver touslescasouilexiste deparcittes intégrâtes. C'est ceque jemesuispropose defaire dans taseconde Partie decetravail.Ainsi t'équntiondifïerentiette .x<y,</)' Jy~ u, .t'f-.T-,– -,–?.)'==", y rt, ~:J.It ( t -rC( /{.r -)-– )-t-(~'A'~ (f–x r=!¡x+ (,x' 1 x) SECONDE PARTtE. clx-L prl.z~ G6 t;.(,<jct<SÀT. 2.Jemeplacerai pour cela àunpointdevueunpeudifférent. Dési- gnons,avec Riemann, parP(.r) unefonction non uniforme delava- riable .y,jouissant despropriétés suivantes <°EHe n'admet dans toute l'étendue duplan oudelasphère que troispoints critiques,lespoints o, ce elle estholomorphe dans touterégionduplan àcontour simple, nerenfermant aucun despointso etf. 2"Entre trois branches quelconques decette fonction P',P",P'il existe unerelation linéaire ethomogène àcoetRcients constants C'P'C"P"-h(7"t""== o. 3"Chacune desbranches delafonction )"este finiepour a?=o, x=t,etaussi pour .c==co quand onlamultiplie parunepuissance convenable dexoude–x. Riemann adémontré, dans undesesMémoires, que certaines branches delafonction Ppouvaient s'exprimer pardesproduits tels que.r~() –.c)"~F(<x, y,x).Onpeut aujourd'huiledémontrer plus simplement. Hrésulte enen'et d'un théorème donné parM.Tannery (') quelesdiverses branches delafonction Psont desintégrâtes d'une équationdinerentielte linéaire dusecond ordre àcoefncients uniformes, n'admettant d'autre point critique que lespoints o,i,octoutes ces intégrâtes étant d'ailleurs régulièresdans levoisinaged'unpointcri- tique.Ainsi quel'amontré M.Fuchs, cette équation sera delaforme //sp ,/p (2)~(.c)~+)'(/-+-M~].c(.t-)–A~-T-B.c-T-C)P=o.J,<M~ J dx ~p13x+ < o. Onpasse det'équation (i)al'équation (2)enposant ~=:.y/'(t –.c)?P; A,13,C, /Msont donnésparlesformules gi/=2/)-i-y, w=2~-a:~f5-i-)-y,A=(~+~-+-a:;(~–r-p),~) C=~y), A+B-C~+~+P-y). (!)~M/r~ .<c/t'/<<M<t'cM/e~Vo/w;/f'.t7~e/ïM<c, ~erie, t.tV, p.)3o. SL'~L'KQt'AT)(t'< ))!Hr.H[~TfK),f.K)J\r.A))U:, F.l'f' Inversement, onpasseradet'équation (2)à)'équation (t)enposant P==.r"~() –.r)"~v; seront déterminés enfonction deA, B,C. mparlesformules (3). Lethéorème deRiemann est(té)nontré parlàmême. [~OMr<2c~< de<t/' lafonction P,ilfauto/o«~ condition ~<- vante siP',P"sont deux &raMcAc.t linéairement distinctes, le~e/<?/ /M!<xn< P' )'" t) ~P' ~P f/<- devra être~i~re~t dezéro pour tout point duplanautreyMe/MpM/o ett.Sieneffet cedéterminant était nulpour .r==a, le~o/T;=-<x serait pour l'équation ~~e'e& M~/)0:< AAPPARENCE S[NCDL!KKE. Considérons, par exemple, lest'ra/~de/'e'~Ma<:o~ ());ilestclair qu'elles satisfont aux conditions quiservent àf~/nrlayo/<c~o~ P.Si l'onmultiplietoutes cest/~e'~T'a/e~/Mtrle~Me (a"– 2).ilenestde /M~e, aupremier abord, des/:OK~ fonctions ainsi obtenues. Cepen- dant, elles satisfont àl'équation différentielle linéaire ~(,)(~)~rix= -<-[y–(<x+P+')~](-~–?-)–?~('-~)–?.) +?.~(f –~)+[~+j3 t)~–- ~](~ 2]--6f~(.;r –9.)'~z=.0, quin'est pascomprise dans laforme (2).~TaM ledéterminant Dest demment nulpourle~o:K .y=a.jJ Remarquons qu'étant donné unsystème devaleurspour A,R,C.1. M.ilenrésulte quatre systèmes devaleurs pour p,y.o;.p.y;i'équa- tion (2), etparsuite l'équation (t),admet donc quatre intégrales dela forme ~(i –.r)~F(<x, p,y,~c) résultat bien connu. Soit maintenant tunenouvelle variable liée àpar larelation .K==:'s(<); si,relativement lafonction Psatisfait aux mêmes con- ditions querelativement àx,quand onfera danst'équation (2)le changement devariable .x'='?(<). ondevra trouver uneéquation dif- 68 ~.(,omsÀT. fér<;ntieHc(/t),annfoguc àl'équation'2, (4)~(.[/<!< .B~-<.y)P~ \.J.-,1'-+111 ('1.-<lll-u :=::0. Ilestclair- queleproblème traité parKummer rentre dans celui-ci si,eneffet, l'équation (i)admet uneitttcgr.de A'f–t-j'y' l'équation (2)admettra t'integratc < /F(~<). j. Sidonc dans l'équation (2)onfaitlechangementdevariab)e.r== ?(~). ondevra obtenu' uneequation dif!erent)et)e telle quel'équation (~). Laquestion quisepose estdonc hsuivante j!?eco~/ï6M/<? pour quelles valeurs desconstantes A,B,C,l,/Kilexiste deschangements devariable ;r== s(/) par lesquels /'eyMa~'o/! (2)ne change deforme, A,B,C,l,métant /7!/)/ac~ M'/7!6/Me/ par<~ constantes nouvelles A',B',C',l', Quand onaura trouvé lesconditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients A,B,C,l,m,lesrelations (3)donneront lesconditions quedoivent remplir leséléments e<, 'yeux-mêmes. 3.Dansl'équation (2),faisons lechangementdevariable a?=~(~ oua,endésignant para?'et.r"lesdérivées dexparrapportàt, ~P dPt/ < ~Pt~ “</? ~P_7~ ~j~ < A' desorte quelanôuvetle équationdifférentielle sera ~pIlr/-f/+~~ j n )p<,:1-,2 ((-.[.1-x.rzlt .x- (;z. _E_l:~p u.~2 l. j~< Supposons .remplacés p.)r leursvaleurs enfonction de srt:L')'QfJA'f'fOXun'mu~'rn':).)j;f,)xr.HtE,):«:.6<) Pourque[anouvelle équation aittaforme voulue, ilquet'en ait s _LL~, ~~(A~~+!{~-T< 'A'~+t!'<-(~' L6)/H~ /H',< ~C'(!–~) /~t–'<; 1 Cette dernière équation peutêtre intégrée une fois, caretb; n'est autre que ~L~(.]-~L(.L~j.clt dt clt Onpourra donc remp)acerlesystème deséquations (5)et(G)parun systèmeformé dedeux équations différentiettes duordre ~A~~+ H.e+<; t/){'<+<J'~~–~) <(t–<; î)K</< ~([~–.r)"' – Lesconstantes A,B',C',/M', Ksont arbitraires; ils'agit devoir dansquelscasonpeut lesdéterminer defaçon queleséquations (5)et (~)aient uneintégrale commune. 4.Onaperçoit sans peine cinq transformations quiréussissent dans tous tescas,quelles quesoient lesvaleurs deA,B,C, m;cesont les suivantes: t ) < <–i~'=:<, ~) ~-== –––, .r=: ,––; .= –.–. Cerésultat estd'aiHeurs évident si!'on sereporte aladéfinition de!a fonction P.Siunefonction multiforme vérifié lesconditions exigées quand onprend pour variable, ilestclair qu'e))e lesvérifiera aussi quand onprendra l'une quelconquedesvartabics i–a?, ~–, '––) carlesvaleurs de['une d'eHes, pourlesvateurs u,),=cattri- buées a.r.sont aussi o,t,cedans uncertain ordre. Hrésulte delà uneméthode très simple pour retrouver lesvingt-quatre intégrâtes de "C K. COURSAT. Kummer, lorsque leséléments x,j9,ysont quelconques. Jenem'y arrêterai pas. t'ajoute qu'il nepeut exister detransformation dupremier degré par rapportaux deux variables, différente decelles-là. Considérons latransformation .T-=-––Si!esvaleurs dequi correspondent auxvaleurs o,r,Teattribuées àsont aussi o,r, dans uncertain ordre, latransformation sera l'une desprécédentes. Supposons, au contraire, quepour.r=='o. parexemple, tprenne une valeur finie difrérente deoetdet(jig. '4)- Faisons décrire àlavariable xun petit lacet entourant t'originelepointtdécrira unpetit lacet entou- rant lepoint Après unpareil chemin, uneintégraie quelconque de l'équation (4)reviendra àsavaleur initiale lepoint -r==one serait donc pastui-méme unpoint critique pour t'équation (2), cequiest contre l'hypothèse. Onvoit deplus que,sipourdesvaleurs convenables deA,B,C, monpeut faire latransformation .c==s(~), onpourra, pour lesmêmes valeurs desconstantes, faire lescinq autres transformations ~=?(,),~=p(~), ~o~– ~.(~~j, Delaforme deséquations (5)et(y)onpeut encore déduire d'autres conséquences. Sipourdesvaleurs deA.B,C,l,monpeut faire deux transformations différentes;r==<p(~). ;r=='~(/), pour desvaleurs con- venables des mêmes constantes onpourra faire latransformation ~(;r)=:~(~), Ainsi, d'une transformation;r=o(<) onpourra déduire toutes celles quel'on obtient soit enremplaçant xpar i–.r,x 1 x11.,I I–!–. –~–) soit enremplaçant par '–<. –'–, –~–,i––t /,––t' smi.'E<.)rA'tjuXjDnn':)t)')uj.)j:fj~K.\uu;,Kt~. ") –,–! soit enfaisant lesdeuxopér-itions simultanément, cequifait entout trente-six transformations, pouvant d'ailleurs n'être pastoutes différentes. Nous déterminerons enmêmetempstoutes cestransfor- mations, ainsiquelestransformations inverses. 5.Sileséquations (5)et(~)admettent uneintégrale commune, cette intégrale vérifiera aussi l'équation obtenue endivisant cesdeux équa- tions membre àmembre \/A;~+ B~+C~)"' ~K\/A'i7~ ~)-< Prenons ladérivée logarithmique;ilvient aA-c-t-B B /M– t a(A~)-B.c-t-C; .r–)J1 r ?.A'<-i-B' BI ~-1 r L~A'7~-t-B')-€') < <i Remplaçons ~.ret pardesquantités proportionnelles tfrées de l'équation (5)etélevons aucarré; itvient finalement j(aA.c -t-B)~(.r –t)-(-2(A~t- B-c-<- C)[(/–! )(-c– '):/)t !j!~ ~(A~hB~-hC)~ ~~j i(zA~-t- B')<(~ -))-+- a(A'B~-+-€')[(/)(< -t) [~t)/]~=~~2~(, Sicette relation n'est pasune identité, onvoit quexsera liéapar uneéquation algébrique quisera auplusdusixièmedegré parrapport achacune desvariables. Larelation (8)sera une identité silesdeux membres sont nuls ou s'ilsseréduisent àdesquantités constantes etégales. t°Pour que lesdeux membres del'équation (8)soient identique- ment nuls, ilfaut etilsuffit que ~A~FB.c -t-C~(' –.f)' et.t~A'i-B~-(-C~() /)' seréduisent àdesconstantes; A~+ Bx C=onedevra admettre d'autre racine queoeti,et,demême, A't- B~<-C'== o.Tontes les y~i:. <,ot;~SAT. <'ombin:)isons possibles sonL résumées dans [eT:)h!(;:)u ci-dessous t~C!)~. ?''f'S. '{'ns.cns. ~(-.T.. 6'CHS. A+.B~o, A==~, A- ~~C, A~< H==o, C=~o, <;=-«, !i-)-(;=..<, !:–r o. Hr=:o, C--=o, /=/7?=.i, /=::), /),/t;=r: /r:r),==0, /:=;H==), /(), ;)<==;. ~=±~ /.=±:~ ~.==±~, ~=±t, y~±t, ).=±t, > ~.==±~ ~~±: ~=±:~ /±~, ~±~ ~=±y. Onainscrit, au-dessous lesconditionscorrespondantes quedoivent remptir leséléments <x,j6.y;).,p.,vdésignent respectivement, lesquan- tités t–y,y–o:– ~–t<: ~7. M=y-o;-3, Onaura pour A',B',C', m'desconditions identiques. Dans cha- cundecescas, leséquations (5)et(y)seréduisent àuneseule etl'on peut faire une infinité dechangementsdevariablequin'altèrentpas laforme del'équation (2). Parexemple, sil'on aA+B~o, C==o, /==/M==~, ilsuttira deprendre pourxuneintégraJe del'une des équations différentielles suivantes, oùKestarbitraire K~< f/ KfZ< Kdt ~.t'{)–) ~/(i–<) ~y()–.r) (t–/)\/7 v.–j <t–< _KJ~ K~ ~r K~/ :~()–a-) ~.z',j–.<)'<t~/j,– ~'–<) Ilestaisé des'assurer que. dans tous cescas, l'intégrale générate de t'équation (/)), etparsuite deFéquation (2), s'exprime aumoyen de fonctions étémentaires. Jeremarque d'abord qu'on peut ramener le deuxième etletroisième casaupremier enchangeant en ou < x-_t enxdemême, lecinquième etlesixième casseramènent auqna- triëmepar)ecbangf'ment dc~ren––ouenf– Ilreste aconsi SUftL't':Qf'ÀHOXt)))'['K)U~T[[-H'i.\ÈAm);, f;T<~3 G. 'tudérer lesdeux équations .~PP .</Pxli--x,%clx~ ~-(;-xi~!x+At'=--o, ~(f–)––-t- –j––-+-À).'=:0,'(/~ ,~pP </p L'tnt.égrate générale delapremière équutton est, comntc onl'adej:) vu, P – – C arcsin .–==t/Aarcsin t/.c-i-Ça.L) Quant àlaseconde, l'intégrale génerateest P==C~T'-)-C2~ rdésignante–A. Comme casparticulier,siAétait nul, t'integrate générale serait P=C,+C2L(x). 2°Ilpeut arriver quelesdeux membres del'équation (8)seré- duisent àdesconstantes; ilfaudra pour cela queAa~-t-B~c+C ad- mette comme facteur double xou;r–i ouseréduise àuneconstante. Onainscrit ci-dessous toutes lescombinaisons possibles i*cas. '2'cas. 3"cas. B0, A=C, A=o, C~=o, B 2A0, B=0, == 0,/M ==0, -)- /M =2, Ontrouve ponr<x,~3,'ytesmêmes conditionsquedans lestrois derniers casexaminés. Supposons, par exemple, A==C,B–2A=io,yM~o; onpourra faire l'une quelconquedestransformations ~==K, ~=K,(i-< ~=K/Y~Y', x~K,t't, x_K,(r-t;~t,x=Ii,1 oùK,etnsont arbitraires. Onvoitsans peine que t'intégrate générale det'équation (2)estencore delaforme L ~P=~G,)-:G3~ /1 ~.COURSAT. Enrésumé, lorsque l'équation (8)seréduit aune identité, onpeut effectuer surl'équation (2)uneinfinité dechangementsdevariable quii n'altèrent pasiaforfne decette équation, etl'on pourraitendéduire mu;infinité derelations rentrant dans letype desformules deKummer. A)ais il.est aremarquer quetoutes cesrelations auraient lieu entre des fonctions quis'expriment aumoyen desfonctions élémentaires, expo- nentielles, circulaires oulogarithmiques. 6.J'écarte donc cescasparticuliers etjesuppose quel'équation (8) neseréduit pasàuneidentité; s'ilexiste uneintégrale commune aux deux équations (5)et(y), sera unefonction algébrique detauplus dusixième degré parrapport axetàt.Cen'est donc que parmi les fonctions atgébriques que nous avons àchercher des fonctions qui puissent servir àlatransformation del'équation (2). Nous détermine- rons d'abord lestransformations rationnelles; ondémontrera plus loin que toutes lesautres seramènent àcelles-là. Soit a?== une transformation rationnelle; RetSsont deuxpoly- nômes d'un degré auplus égalausixième, etl'unaumoins d'un degré supérieur aupremier. Parmi lesvaleurs dequi correspondent aux valeurs o,i,ceattribuées à;r,ilyenaura aumoins unequisera-dif- férente deo,t,osSupposons, parexemple, que pour ;r=o onait <==o, pour~==c ,~==i. Alors Rsera égalàK~, SaK'()– Les valeurs detquicorrespondent à.c==t sont lesracines del'équation Kf–K/(l–~==0. L'un aumoins desnombres r,étant supérieur à l'unité, lepremier membre decette équationneseréduit pasàunecon- stante d'ailleurs ellen'admet comme racine nionii.Ilya,parconsé- quent, desvaleurs finies detcorrespondanta~==iquinesont nionii Jesuppose donc que poura?=o, parexemple, tprenne unevaleur finie quin'est nizéro nil'unité. Lepointa?=o sera unpoint cri- tique pourlavaleur det,quidevientégaleà Eneffet, faisons décrire àlavariable unpetit lacet autour del'origine (~g-. )/));sitétait unefonction bolomorphedexdans levoisinage dupointa?== o,cette variable reviendrait asavaleur initiale aprèsavoir décrit unpetit lacet autour dupoint Onenconclurait commeplushaut que l'origine n'estpasunpoint critique pour l'équation diuercntielle(2). St;RL'ËQ)'A'r[O~D!FFKHF,XT)r;).LKfJ?<F..Urtr, F.TC.y5~) 1Ilfaudra parconséquent queptusicursvatcursde t(te\'ienncntéga!cs apour.r-=o; soitn leur nombre. Onaura ~(~-<(/i, f(t) étant une fonction rationnelle de.<quin'est ninulle niinfinie pour<=~. Onaura demême ~=(~~)-(<),~t=(t t,)II-'f¡(t), /,(~) jouissant desmêmes propriétés quef(t) relativement aupoint D'ailleurs, d'après l'équation (5), ~(i–~) ~A~<~)-M'<'+C' J<<(.–<) ~A~+'t!tI"C' Lequotient estdifférent dezéro pour Siaucun desl~i 1) deux trinômes A~+B'/+C/,A~-)-B;r+C n'est nulpour a;~o, ~==<onaura ~=~ctt ~(<) étant unefonction uniforme dedans levoisinage dupoint et différente dezéro pour <==~ cequi estévidemment absurde. Si A~-t-B~-)-C'était nulpour~-=~ sansqueCfùt nul, onaurait dx'-(t-t,~a+z~'(t~ )ou cix '~=~)ou~==(<-<.)-t~(<), ~(~) ayant lamême signification queplus haut, cequiestencore im- possible. D'où t'en conclut que Si,pour .~=~-0, tprend uneM<ï/eM/'y?~c différente de~e/'o etr/e l'unite, ~yaM~<x quelecoefficient Csoitnul. 7.Reste atrouver lesvaleurs quepeut prendre lenombre entier Plusieurs suppositions sont aexaminer: "6 K.COURSAT. /f/~tC/'eA~O~/M~C On aura D'ailleurs JIfaudra donc que 7)eu.r/e~e ~po/A~e Onaurait =~(0,dou ?=1. Donc cette hypothèse estarejeter. y/'o~Me A~po~e~e Onaura y ~-t-t\T" <. M-)-'1 –==(<–<,) ~(<), d'ou ––==7t–i, /;=~3.3dttt, 'j't,,ou2.Tll,Il Quatrième hypothèse Onaura Latransformation étant supposée rationneUe, cettehypothèse estâ rejeter.A'iB'~+C'o, B;o. ~=~(<)=(<-<.)~~). c!t ~'x`~~t~ (t-'t'~2~`t~. dxfi~~(<-<.)-(<). m =/t–t,dou K==2. a A'B'+C'~o, o,B=o. dx .;<n=i. A'~+B'C'=o, zA'/t-t-B'~o, B~o. A'~+B'<<-C'=o, zA'+B'~o, B=o. dx (.i ,1.1) d'où 2-~=(<–<,)~(<),d'OU 7!=~. SL!K).'ËQ~A')'[U~t)t)'t'ÉREKT[~LL~L[XÈAUU:, F.TC. î C/M<yutcY/!e /~o//<M'e A'<'f-t-B'i-C'==o, 2A'<, t-B'==o, B~o. Onaura d'où l'on tire S'/ay~ehypothèse A'~+B'<t-C'=o, 3A'<,+B'=-o, B==o. Onaura Lesseules valeurs admissibtes pou)' )enombre entier nsont, parcon- séquent 2,3,/t. Onobtiendra lesvaleurs correspondantesde enremarquant quele </a? rapport–~doit rester finipour x=o,<==~, cequi exige que t'en –tait =––n 8.Onprouveraitdemême que,sitprend unevateur différente deo, f,oo poura?=iou pour .c=oo, ondevra avoir A-<-B+C=o dans lepremier casetA=o dans lesecond. Ilsuffit, pour levoir, dechan- gerxen]xouen Enécartant lecassingulier oùl'on aurait àla foisA~=o, B=o, C==o, onvoit que,sil'on attribue àxlesvaleurs o, r,ceilyaura aumoins unedecesvaleurs pour laquelle aucune des valeurs denesera différente deo, ocNous supposerons quec'est pourlavaleur .c==oc nous supposerons enoutre que, pour .-r=o, < prend une valeur finie différente deoetderonaura toujours G=o.Ilyaura deux casàdistinguer, suivant queparmi lesvaleurs de correspondant aa?==rilyena,ounon, qui nesoient paso, cedx ~+j ~<f"~(< M+<==?– K=~. 2 <7-rd'où n=2.–=:(<-<,)~(<),d'où ?~2. ~8)' COURSAT. Latransformation aura Fune desformes suivantes (~) ;);H"~i)– (<) x:{" (c) .c--H"~– (' ~==:K". (e) ~==- R" (;_j; !/) H"tt (~)~=~~ R"A' ~=; – ~) ~r7p Rdésigne unefonction entière, auplus dutroisièmedegré, quin'ad- metaucun facteur double, etqui n'est nulle nipour ==o, nipour <= nestundesnombres 2,3,4;et~~ont desnombres entiers positifs. Onpeut réduire cestransformations àunmoindre nombre. Ainsi l'onpeut supprimer lesformes (c),(f),(A),quiseramènent auxformes (~)'(~)'(b)parlechangement deteni–<.Prenons encore latrans- formation~); soit tedegré dunumérateur. Sir'~v, parlechangement de<ensechange en-J~ouen R~ etl'onestramené àlaforme(&)ouàlaforme (~). Si~>A-, on 1-1 n zzchangera <ensechange en ett'en estramené àla forme (t). Prenons demême laforme (e); soit ledegré dunuméra- leur. Si~~y,changeons~en~sechangeen P"/rp,Ir (T-.='7j~=-r~ etl'on retombe surlaforme(~)outaforme(&). Si~> onchangerat P' P" ~7' rFI~<?--T(~transformation estra- menée ataforme (:). SL)t<L'AH<)X)))H.U-:M'fKf,H':LtXF..U)! KH:.~() Onpeut donc seborner àconsidérer iesquatreformes suivantes (~) ~(<<j', f, (~) A'< (~) ~R", -r. <~t–<j~ ~.c' 9.Nous allons maintenant calculer ef}'cctivement lescoefncicnts inconnus quientrent dans cestransformations. Supposons d'abord que pour a?=;)aucune vateur detnesoitdiuérente deo,f,ooSilatrans- formation alaforme (a),tesvaleurs detpour .r )sont données par l'équation n iW'(f– <)'– [.o. Ilestclair quecette équation n'admetpourracine ni~=o,ni~==), etquelepremier membre neseréduitpasàuneconstante. Prenons de même la-forme (&); l'équation R"~ -t=o nedevra admettre d'autre racine quet==).Donc onaura lW':==i-H(i–/)' Orlepremier membre admet desfacteurs multiples, tandisquete second n'en admet pas; t'é~aiité estimpossible. Sit'en ataforme (<~), l'équation R"–f==o nedevra admettre d'autre racine queoett,cequiexige quensoitéga!aetqueR soit dupremier degré. Ontrouve sanspeine qu'il faut prendre R= 2t– ),d'où résulte latransformation .r=['2<–))~. Pour quelaforme(:')convienne, ilfaudra demêmequeR"– ~(t–~ seréduise auneconstante H.L'équation R"–H=o nedevra admettre comme racines que~=o et<==t.Onretombe ainsi dans lecasprécé- dent, cequifournit latransformation ~(~ "-47(7~7)x-tlt-I). Pour que cestransformations puissent être effectuées,, ilfautque )'on aitC==o, ~==~. Ontrouvera ci-après leTableau destransfor- mations quet'on endédutt parleprocédé indiqué plus haut, ainsi 8o )- r.ounsÀT. (1t,ie(lestrinsloi-ii-t.~itions iiivei~ses. On~iillis (,ôti~ les (.lue que()estTansform:)tions inverses. Onamis côte lesconditions que doivcntrempii)')e.sconstnnt.esA,H,C.Met)ese)e!uentse<,p.'y eux-mêmes; )., vont.tamême signification que plus haut. ~?;-~7Ï' (~ –j,,!9<–)~ '2–<~ ')–<~ -t~ ;H.x' –, .:t'-= A–– 4<~–t; -h'–~ 4~ A+n+C=::O,\ 1III.x=__4t( ~4ft-l)-4/iUJ.–t~t–f;, .– -~–i~ < j,i fr- ~IV..x 1 x-- x-~=±.. (~~ ~-47(.<)' ""4r~')' A=".(y ~=_ ~-('~Vx (~ \</r –jt.r,x4<!<–t~X4i'–x=4<vi.. ~=- .y=: x ~–~2.1. (2<–t~ ~–~j' ~r 21+ a.jt~ A+B==o, VIL. 2 A7B;I~O,VII,. )-t-~–~ ~<–)-t/< \i-–t –,x 3~!–< _tx- 3~–t..ix- 2\/<t. vn.. ~)'<i. 4~(<)d( ) 4'< 4~ 3 22 Tt\ t ~;==–––––=t ~==––––––––– .c==:–– _i-r+~ t t i+~< t B-)-L==o, IX.[+ t 1+ l,+zn2 -2, x'H/t–<X= 2~f–IJ =,XT~< – i-)-t–~ ~<–f-i-~ ~'<+\/<–) -¡t-t~ · t lt x.=,E' ~I- (~+<)- ~+v't- ('+v<r _7–i1_t–<–)1 A-C=o, XI.~I ~?'t A C 0, X,. !t-~ ~j! ~t-m=3, r.e=––r==~? f .c=–––-====) ~==––– )-t-~t-<t ~<+~–I ~<–t+~< ~=~'/r,+~Y= ~+~~<Y'= /.+V~Y= I.=+v. X1L. ~-= –==:–J!a;=–=-.)) A-=–– SU~ L'ÉQL'AT!OX nfFFÉRKXTfKLLF. L~KAfnP., !Tf;. 8[t Lestransformations VII,IX,XIsont lesinverses destransformations rationnelles. Quant auxtransformations VHI, X,XH, onlesohtient en combinant, comme onl'adéjà expliqué,lestransformations 1etH.0)) peut aussi lesobtenir encombinant H)etIVouVetVI. LeTableau précédent renferme toutes lestransformations signalées parKummer, dans lecasoùdeux destrois éléments e<, ysont arbi- traires. 10.Supposonsmaintenant que, pour~ plusieurs desvatcurs detsoient différentes deo,r.Teonaura alafois C=o, A+Br-o. Examinons quelles sont lesformes delatransformation quipeuvent convenir. Soit a-=R"~(r– Lesvaleurs depour .r==i sont données part'équaiion H"~(i–<)'-t==o. Cette équation n'admettant comme racine nionit.ilfaudra quel'on ait R"<(l–<)~=rt+S" Sune fonction entière demême nature queR;netn'sont undes nombres 2,3,4;retsont desentiers positifs. Remarquons, enoutre, quechacun desmembres decette égalité doit être d'un degré infé- rieur ou, auplus, égatausixième, etquel'on nepeut supposer /ï=7:'==2, carondevrait avoir enmême temps ~=-7K–~ etl'on re- tomberait suruncasparticulier examiné. Cesdistinctions bien établies, nous allons démontrerque t'égaiité précédente estimpossible. Onvoit d'abord queSnepourra être du premier degré, cara!ors tesecond membre n'admettrait pasdefacte! multiple, lepremier enadmettant. Supposons S–&r, H'–?.; nsera. ésata3ouà4,etlepremier membre sera d'un degré supérieur FG r 82 R.COURSAT. auquatrième. Soit S–a~-f-<'< c, 3; lesdeux membres seront dusixième degré; lesecond membre admet auplus unfacteur multiple d'un ordre demultiplicité égal àa.Hne peut enêtredemême dupremier membre, car,siRestdupremier de- gré, négal à2,l'un aumoins desnombres entiers r,sserasupérieur àl'unité. Supposonsenfin S==a~+ c< J,M~=2 nsera égal à3ouà4,etlepremier membre admettra soitunfacteur quadruple, soit unfacteurtripleetunfacteur double. Lesecond membre nepeut admettre defacteur quadruple; ilnepeut pasnon plus admettre unfacteur double etunfacteur triple. Lefacteur double devrait être tou<–i; supposons quecesoit <:i) faudra que l'on ait c=o,d==i,mais alorsl'équation 0/4-=() o n'admet pasderacine triple. Examinons demême laforme(d).Pour quecette forme convienne il faudra quel'on ait R"–t=S"'<(t- C'est uneégalité identique ataprécédente, sauf qu'ici retspeuvent être nuis. Onverra d'abord que Rnepeutêtre dupremier degré. Si Restdusecond degré etnégal à3,ondevra prendre, pour n',3ou4, etlesecond membre admettra unfacteur triple ouquadruple, alors que lepremier n'en admet pas. Lereste deladiscussion s'achève comme tout àl'heure, etl'on démontre que l'égalité précédente est impossible. Pourquetaforme (b)convienne, ilfaudra quel'onait R"~–t=S"'(t–<)~, spouvant être nul. Sisestnul, onretombe dans lecasprécédent. Supposons donc ret~différents dezéro. Lesfonctions RetSseront au plus dusecond degré; comme l'un des nombres n,n'doit être supé- SUR L'KQUATtO~ )))t''FËM?iT!ELi.r; HK)';Ai)tE, KH:. 83 rieur à2,ilfaudraquel'une aumoins soitdupremier degré.SoL Rr-«<&; jedisqueH"~–~ nepeut présenter qu'un facteur muttipk, quiestun facteur duubie. EnefFet, tout facteur muttipte devra diviser ladérivée, c'est-à-dire K"<[/Mt< -)-<'(a<+~j. Laseule racinedeladérivée quiconvienne estévidemment donnée par['équation dupremier degré /:a<-t-/*(a<<-&)-=: o. D'ailleurs, cette racine n'annulepasladérivée seconde ?(?–t)~~+ 2K/'a<(a< -{-&)+/-(r– t)(a< i-&)'~= o. Delapremière ontire < ~<-)-& rr –/t et,enportant dans laseconde équation,lerésultat est –K/'(/)- 7t), toujours diuerent dezéro, puisqueretnsont desentiers positifs. S"'(t –~)~nepourradonc admettre qu'un facteur double; or,si~'=2, estsupérieur a2,tepremier membre estaumoins duquatrièmede- gré. Donc Sdevra êtredusecond degré ousupérieuràt'unité; dans les'deux cas,tesecond membre admet plusd'un facteurmuttipte. Laseule formequipuisseconvenir estdonc laforme (<), R" ~(t–< Lesvaleurs depour~==) nepourrontêtre nionij;et)es devront toutes être racines muttiptes del'équation R"–<(t–<~==o, aumême degré demu)tip)icité. 8~ É.COURSAT. Onestalors amené àrésoudre leproblème suivant 7/'oM~e/' ~M~yo/~c~o/M entières Re~Setdeux /to/&t' entiers n, detelle sorte que/'e~M6t~o/t R" S"' o M'a~e que lesdeux racines ~-=o, ~==t, R,S,n,/~ét.ant soumis auxrestrictions déjà indiquées. Onnepeut supposer/:==/=2, pourlaraison qu'on avue plus haut. Onnepeut pasnonplus supposer/ï=~'= car l'équation H'-S'o 0 admet toujours plus dedeux racines distinctes. Lesseules hypothèses admissibles sont lessuivantes, ensupposant /ï' n=3, n=2, H=2, n=3, /t'==3, M'==~, ?'==3, K'==~. li.Soit r=/~==3. L'équationR3 S~oéquivaut auxtrois équations R=S, R=~S, R==~S. Lepremier membre del'une d'elles devra seréduire aune con- stante, etles deux autres devront admettrechacune uneracine distincte~ cequiexige qu'elles soient dupremier degré. Soient R=+M,S=<-+-f. Ilfaudra quel'on ait M=~C, t-i-M=~)-~f, d'où l'ontire f=~, M-=. Onaeneffet l'identité (~)~-(~=3/(7-')<('), SUR L'ËQCATtOXUtnŒtU~TtËLL~U~Ë.UiŒ,t.T(.. ~)â etl'on en déduit latransformation (~-i- ""3./U') <('-<)' Ontrouvera ci-dessous lestransformations quiseramènent acc!!e-)a; ydésigne unequelconque desracinescubiques imaginairesdel'unité A-i-B==o, C~:o, I < f–:¡ X1IL J -M =“ .r=–––––––––– XllI, ').h;,J.l.~=±~Jt ~(~(' t) ),3, t". 3. A=o,C=o, xiv.J L~ ~~±~ .=~tXf~-+-j')'' xv..A;o, B-C==o, j1 3j(j-AA==o, B-i-C=O, p,f .Y. f')-,Jt (t.~= J~x ~=±~ .J 1 Transformationsinverses. A=C~-B,x,2 ~7~:7 ~T~ ~7 A=C~- 2B,x-=3 i x t tx- s XVI.`/==nt==~, 'T–~r'' ~<––i' ~<'~yj1'3' t1Vt ;:¡t1 1 V ?.=±~,'–~3_7~7- J_n~~ ~–'–'– '~–'––––––– -C~– :,–––~–– ~=±~J ~7 ~2.Soient ra` +: ?==2,K'= Hs'agit dedétenniner deux polynômesRetStelsque Rs–S''=H~(i,– <)- laconstante Hétant introduite pour faciliter lescalculs. Cette identité peut s'écrire (g-S~.)(t£+Sz)-Htr(u-t)S.(R-8~(R+S~=H<(t- Onendéduira R-S~=H'< R+S~==H"(t-<)<. Eneffet, lesdeux équations R–S"==o, R-t-S~==o nepeuvent avoir 86 K. GOURSAT. d'autre racine queoetid'ailleurs, ceséquations nedoivent pasad- mettre deracines communes, caruneracine commune annulerait Ret S.L'une deséquations n'admettra doncquelaracine ~~=o etl'autre laracine <==t, àmoins que lepremier membre del'une d'elles nese réduise auneconstante, circonstance quel'on examinera plus loin. Sestforcément dupremier degré,mais Rpeut être dupremier, du deuxième oudutroisième degré. Supposons Rdupremier degré, Ra<-)-6,SM<-tn, R–S~==– +(a aw/t) <-i-6– R+S~= /M~~+(<X+2/n/!)<-t-&-<-H~. Comme onpeut toujours supposer ~==1, ondevrait avoir àlafois &==t<!==2,/H,/?~ra-t-3m-)-2~=0,2M~-rN-)-3M0, cequiestimpossible. Prenons Rdusecond degré R~=a~+&<-+-c. Siaucun destrinômes R–S~, R-t-S" neseréduit aupremier degré,on devra avoir e=I, 6==3 M, a-t-/H~-t-~W-t-3=0, 2<Ï-)-2/H~-}-H==0; on en tire n:==– Sserait égala.i– SupposonsqueR–S~seréduiseaupremier degré; ilfaudra quel'onait e=!, ~=M~, ayK~-)-2m-)-2+&==o, ~~+~+~~=0' onentiresuccessivement m=t,6==–6, a==), d'où l'identité (tz-6t+z)2-(t+L)"= -i6l(i-t)2. (~–6<+!)s–(<+.)<=-t6<(t– SiRétait dutroisième degré, ilfaudrait quel'onait R~(~-+-K~=~, R+(/K<-t-K~==(t– d'où l'on tire [(!–~)]==2(M<-t-M~, SUR L'ÉQUATfC~ ntFf-'ÈRE~TfELLE HXË.UHE. ETC. ~A-)-B==o, C=o, /~< ~i.(~–6<+t~ a (~+~-4)~ (.-4<-4~)sxvii..~«~=L~(. ~=:r,6~T ~=-~6~-7)-'~-+.1. -+.1.J ¡bi\l-ii h=±~ 2~=±: fA+B=o, C=o, ) ¡t/–3 m–<z,f fi-)-<)"4'(2–i'" (3<–t)<xvm. ~=. --=,6~-7~7)' ~=~-±7' I,Ã--+i ~+.1.'16t(l- tF'X-16t2 (1- t)'X= -='6-t(,t;' Y_-)-< “–-t-i~/t–=E: ~.– J A--o,C.=O, ) (t2-6t-I)2 ~t2+-t-4)2 (i-4t--4t=)2~XIX..~~t=~(12t4)2 .=~~ –( (t-)-~)~'x (2–t!'x= (2<–t;' ~=±~=±~ y yA==o,C~o, 0 t1/–v~(t-t-<~x=(?.–<')* [?.<)' ~=(7~671~' ~=(~=-47~ ~=±-=±~. fA=o, B+C==o, m~-< <6<(t–<)~ t6~(t-<) -)6<(!-j')XXI..~=- ~=-7F-',f -T-' .+.1.-J'(1 t)'" (2-i)4' iC-(?i-I)\ ~=±~==±'égatité impossihle, carlesdeux racines det'cquahon ([–~)"– -=o sont distinctes. Sit'une desfonctionsR–S~, R-S~ seréduit auneconstante, R sera forcément dusecond degré.Soit Rir=/K~-<2M<-)-< S~W<–f, R-i-S~==9.yH~<S~,M<-r-6--)-f 11faudra quel'onait e==–t,M== –2, d'où l'identité (~2_(.)4=,6~-<), quel'on pourraitdéduire del'identitéprécédenteenchangeantten t r~7J Ontrouvera ci-dessous leTableau destransformations correspon- dantes 88 K.COURSAT. 13.Soit M~a, ?'~3. Hfaut déterminer RetSdetelle sorte quel'on ait R~–S~~Hr()–< Rpeut être dupremier, dudeuxième oudutroisième degré;Speut être dupremier oududeuxième degré,cequifaitentout sixcasà examiner. Premier cay. –SupposonsRetSdupremier degré. R=-a/-t-6, S==fn<-)-M, lepolynômeR~S" sera dutroisième degré; iladmettra unfacteur double etunfacteur simple. Soit tlefacteur double; ilfaudra que l'on ait 6' ?.~==3/K~, (a-<)~==(/K–M;~A–o,t!iC 'o,j -t z -r6t ~t) ~6i;r~t)xxit ,1L-~L' ~=- ~1-. ")– t .~–6<+t~ (/~+.4<–.j~ ~-t-4~–t~~ f~ -'={,±~J,.1 6t+¡ lt+'f t 'W -hf t.- f[- y/'an~/b~Ha/tOH~ /nfe/M. f;,B7?.A,jfj. –(;~ ';a~(f-)- mu (.–6.-r~- ~––.}.f-tu.– H-t–~)~' ~–--t, tj f.r)'--=t,~(,)~t-.6~-(,)-~r f).-–-–L.–-t; ) ––––––r-~=t, –––––––––– –ft ––~––––––––~ –'< .c=4A, B=–4A,i.2 (2-~)' (~-+-4~-4)2 X\tv! ·'j f-)"' f~(.r)' r.)' ') À ((a–~)' i6~(,t__ –!6~(t–~)_ ~=±~-±~- ~4~,)' f~+4~4)' ,A=4C.B=-4c,4~(a~-t)- ~+4~-4~ ) /==~ ~6~(i'A) -6~(.)" (2.))' "< (~)' -.6~-{)-~) i6.r(f-~) ~=~==±~. ~4~ 'r- ,I; (,-t-4.c-4~)~t SUt! L'KQL'A'n()XCH''[''ËRENTU;).L!:L)~(f. HTC.8f) G. .2aOnpeut toujours prendre~==i, i.Onaura alors 3/;t<:<–, etparsuite nr ––)) –K--J,"22 Onentire fM==– <'<==– d'où l'identité (~~8)~-(4-3<)~(,- DeMa?t'eM6 cas. –Supposons Rdudeuxiottc degré, Sdupremier degré: R=<c, S=-:M!<-i H. Lepotynôme R"–S*sera duquatrième degré; ilnepeut admettre deux facteurs doubtes. Sit'en avait R~–S~=H~()–<)~, onenconclurait S3=_:h2_n~(,–<)~. Ort'équation R~–H~(t –<)~=-o sedédoubie endeuxéquations au plus dudeuxième degré, R=±~<(t–<), etparconséquent nepeut admettre deracine triple; S~–R'aura donc unfacteur triple etunfacteur simple. Soit tefacteur tripte, onaura lesconditions c~n~ a6c=3/nK~, ~-i-2r<c=3/?:s/ (a-r &-t-e)~~=(/H+K)~. Prenons /:==!, c==tonentire 3/K 3m~ o/H' 0~:3 3& ~+_ parconséquentn2û b j,a= ~=-~ ~=–~ ~=~ QO Ë.COUKSAT. d'où resuite ['identité (8~ -.3(~ -8< 6'i< 7'roM'te~eca~. Soient RdutroisièmedegréetSdupremier degré H;-«~'–i-C<-it/, S~–i<M. R"–S~ admettra unfacteur quadrupie etunfacteur doub)e, oudeux facteurs triples, ouunfacteur <juintup)e etunfacteur simptc. Onnepeut avoir R''–S3=~'([ –~)~caronentirerait s~-=R2 -r'(t- <)~. Pour quel'équation R~– ~'()-)~~=o admette seulement uneracine triple, ilfaudra quel'on ait t~r~ (,-<)-H; mais alors l'équation R-(!–<)=u devient a~()–/)+H=o et n'admet jamais uneracinetriple. Onnepeut pasavoir nonplus R~–S":=-H~(t –< caronentirerait R2~S~-t-H~(t-<)3, etlesecond memt~re n'admet dans aucun castrois facteurs doubles. I!reste àexaminer sil'on peut avoir H2-s~==H~(t-/). Prenons /:===!, ~== ilfaudraquel'on ait af;=3/M, 2e~6=:6m~, 26e-)-2a~K~, ~2<K-=-o, (a-<-&-)-e-<-i)~=(/K-t-!)s; onentiresuccessivement 3m _3/ /M~ 2 8 f6' et,enportantdans laquatrième relation, onarrive àlacondition aw< 3~'171=0. ––– –– =:0,dOUH!==0.6~. t60,doum=o. Cette hypothèseestdonc àrejeter. SUKL'ÉQUATtOX MFFÉHEKTtELLE HXÉ.URE, ETC. <)! ()Ma~e'/7!e cas.SupposonsR (tupremier degré eLSdudeuxième degré. b, H-~<6, S~Ht~–K– R~–S~' nepourraadmettre deux facteurs triples. Sit'enavait R~-S~t--<)~s onendéduirait R~=~ orlesecond membre admet évidemmentplusd'un facteur distinct. Sil'on avait S3==R2–~(,–~2~ chacune desdeux équations R=±~(t–~) devrait admettre uneracine triple. Onaurait R –~(l –(K~-t~)3,3 R+/S(,(M,<+t,.)3. Donc ?.R~(M< +~)~+ (Kj<-t-0,)S; Rétant dupremier degré, t'égaHté estimpossible. Sil'onavait S~-R~H~t-~), ontrouve comme condition K==0,o,ab=o. o. L'hypothèsenedonne encore rien. Cinquième cas. RetSsont dudeuxièmedegré. Ondémontre, comme pour lescasprécédents, que cettehypothèse estàrejeter. Sixième cas. RestdutroisièmedegréetSdudeuxième degré R–<+c<-t-c/, S=~/n~-t-~– R"–S~ pourra êtred'un degré inférieur ausixième. Onramenépar destransformations faciles lesecond membre del'identité I~~S~==H~(t-<~ ~22 E. COURSAT. 1. 1 {'Ifiavoir l'une desformes suivantes H~, Ht2, Hl, H~!)-< H~(< -<), H~< Sil'on avait, parexemple, R2-S~= II<'(.–<), enchangeant en-et enmultipliant par~ onendéduit R~-S~=-H<(r–<). Sil'on avait Ra~S~~H~~ onenconclurait que l'équation S'H~ atrois racines doubles, ce quiestimpossible. Supposons quel'onait R2_S3=H/~ onendéduira R~-n~–S~. Hfaudrait donc quel'oneût R+ ~H~=(M<+f)s, R- ~H<=(M,<+f,)~. Donc 2~H<~(K~-4-(~(M,<-t-C)~. ccquiestinadmissibte. Sii'ona a Rï–S~H~(i-/)3. ondevra avoir demême R-S<()–<)~(:~ -)-f~, R–~H<(f–/).~(M,<(~ etparsuite (M<-t.~)~–(~,<-t-~))3~=:2\/n~(t–~). Nous avons vuplus hautqu'il fallait prendre pour cela KjH-.f =< M,<(/, SUR t/ÉQUATtON ntFFÉftEK'HELLE L!KÉA)RE, RTC. ()~ on en tire d'oùt'Identtté Sit'en voulait avoir on aurait, ensupposant ~==~=~: i,les conditions suivantes /M~=o~, 3/K~M==:aa~, 3m~-)-3/?tM~&i-2ae, 3K-~ar', (W-t-n+t)9=(a +/<-j-C+t)~; on en tire successivement et, enportantdans !atroisième, on a Sit'enprendK==2~t, ou aura etl'on est conduit àt'identité Cettehypothèsenefournit donc aucune transformation. Supposons queFon ait les conditions sont alors 77~~ a~, 3fH~K.==n. 3<?~3y7t/t~==6~2ae, 6MM-4-M*=:2a-a6< 3/K-; 3~3yt=~c~ s~-t-ac;R=<.-)- -t.~(<+ ).=: <. S~T-~(<+~)-(~). (?.3<– 3+'!)S–4(~– <+!)'=– 7.(f <)~. R~-S3=H~(:-<), ,–3t//HK3M <t==/Kt//K, 0~=:–'–––} C==––. 2 2 ~(2 y~/K –2)~== 0. <t=~Wy/H, &=:3m, C==3~M, (/t!~+2~/Mi!+~()~–(/M~/M~'–3/H~-)-3v'/M<–[)'0. H9~S~==.[!<(.-<),t Q/t~iÉ. COURSAT. onentiresuccessivement ,– 3~M 6/KK–M~–M~/Ma==/Ky/7!, b=--–––– C––––––––:––––– ,q- 3/t~M Portons cesvaleurs dans latroisième équation; elledevient K~–t2MM -)-iS/K~/M =:0, ou,enposant n==M\ M~ –taM-)-!6==(M-+-~)(M –a)~==0. Onaura donc soit n=2~7M, soit ==–~/M. Sil'«onprendM==2\M, onaboutira àlamême identité quetout àl'heure. Prenons n=–4v~! onendéduit r:a==my'/M, 6==–6/K, e~~ y~ et,enportant cesvaleurs dans ladernière équation, onaboutit àla relation \/M==4. d'où t'en tire /K=i6, M:=–!6, a=64, 6==–g6, c==3o, cequiconduit àFidentité (6~~–g6~+3o<+t)s–(t6~–i6~+t)9=–to8<(t–~). t~ Sil'on voulait avoir R~–S~=H<, lesconditions seraient a~s~ 3~aK==a~, 3~+3yM~==~i-?.ac, 6yMK-)-~=3a+a6e, c~-t-2&==3/H-t-3K~. Despremières ontire, comme plus haut, n=-G~lm, 'a-m~, b=-6m; 15vmH==–v'/K, <'<==/KV~ &=:–6/M, C=:––'–) 1 et,enportant dans ladernière, ontrouve m=o. Ontrouvera ci-après leTableau destransformations quel'ondéduit desidentités précédentes: SLK L'ÉQUATM~ UH'FKtŒKTiËLLK HKEAttiK, KTC.<)55 A+B~o, C=o, ~±~, ~±. it.c== –––.–, .–L– ~~V) J-27~ ?-7; 'j ()-i-8<j~t–/) ~q~< t ~8~f)-<);~=:–––– .c: ~––-–––~ a~y[--a~ –?. i-IL. L~T'~ -L~t-~ii; XX Vil )""64~7~~ )- -(,-r- ––~4(.7)' < f?-7~–'8<– ~L_I~1~ (~ -2o<–8j2 _= XXVHI.= ~3~~––-)\ -27~(1- xf64<3–q6~-<-3o<-}-))~ _(~3o~–q6<–6'i~33~ -33<–i~XXtX. ~==––o8<(i-~)––' ~-––io87~'7j" ~-––.087~7~7~" A+B~o, C=o, /=§, ?.=±' ~±~. (3~-4)~ (3<+,)~:¡ ,f3-4<)~a XXXr"<y "7<('~)~' ~(. "~=~ ~=~2~t2~s 2~ (8<-9)' (8<+,)~,(8-9<)~ XXXf-64~'('-<) "64< ~-64(.<)' "(9<-i~0 (~~).(, (8-r/i~ –––647––– ––64~–– ~64 (7-~ )~ XXXM. ~~4(~ 3~~(i–< Yvvnf_('6~–)6<-<)~ (~6<-)-,6~ .(.t4<i3XXXUt.. ,o8<(i-~ ~='o8~(,-<)'' ~;r7o8F(T~' no8t(i-t),x- y-otit~(r _t~ -co8t(c--t)r A==o, C=o, ~=~, /K=~, ~~±~ K~±~. (9<-8)~.('J=J9~ .(0-~)~ XXXIV <-(3<-4F ~-(3<+i)~ ~-(4~-3)T' "(~-3)'< ~(<+8)s(,-i') x(.-)-8<)~t-~ ~"(<+3~~ (4-––' (.-4<)~ ')6K. COURSAT. t.yf8~-3(i<-t-?.7i~-L~i~j~ L~L'L-t~z~~2 x~~yX' (9-~ (8r- ~i'~r~7–' '<~j8~ .=_LL~L_~Z~(~-M<-8')~ x=-(t vr~tj-çl -l~x- l~-tla(~t)' x-tl~:i tjâ-s ( (t-(~i'7j'' ~–,g't(, 'i'y' ~vv~, f~~–3<3<+T~XXX y!f =--~––,––––––––L, 4(~j~ \\vv!t (64~–q6/i-3o<-i-t~ f~)-.3o~-oG/-+-6~~ ;< 33~ -33< .-t'pAAA.VIJ..y==––~–~––––-––––––––, r=:–––––––LL-, .r~–L. (ib~–tb<–t~ ~~–:6<-t-<6)'' (<-)-t~<-t-~j9 A==o, C=o, /==§, M. ~=±T, K=±~. ( = ~ir:~ (3~i)~' (4~-3~ XXXVIII.xz4)-lX (9(43)', XXXVHI at9<-8~ (i-9<f-' ~-(9-~)~~ ~=-t3.~ ~(4- ('-4<)~ x '(<-9)~ ")~i-<)' ~-(,+8~ir7~ (~~(9-8~~ (8<i~(9<-8)~_ XXXIX t~x-(8tï_3~tJ;~z~j_'x-(8t_?ot-I)=' x (~3(~t-27t-)1' XXXIX ((S~36<-a-7)~ (H~-?.o<-i)~ '(b.-36~2~)~ (t-9<)~r-<) f<)-<'p(, (8-<)~ ( (27~-i8<-i)~ (~tS~)~ (~-ao<-M)~ XL. ~(<2_ (a<3–3~–3<)~ XL)..(i6~-i.6<)~ (<2_,6~6~ (i-t4<+~)' XLI. (64~–9ë~-i-3o<-r-f~'x (~-)-3o~~–g6<-r-6~.)~ (<~–33~–33<-t-t~' A==o, B+C=o, /==~, /M=~, ~.=±~, K==±~, ~(' _27<(i-<) a7(.-<)s ~u (3~-4Ps ~-(3,).' ~-(j-=-~ ~7< ~(,-<). x(4t-t)'z~x-t~x=(t-+-3)3 (4<)" ~"(4-<)~ (<+3)"' ~~64~(.-<) ~_64<(i-<)~8 .64(,-<) XUII(9-8~'x (8~~)3 ~-(8~97~' 64<64~ _64(,-<)~ ( (g~,)3(, ~-(~g). ~(~-7)37-' xnv2~(1-<~~LIV. tt-i- r3 XLV. ~==- '°8<(.-<)_-Yo8<'(,<) -,o8<(i-<)< x (i6~–t6~-i-f~x ~2-t!ëj~ "(t.i-j3' St'ft 'ËQ)'ATfOX~fFFK)iRM'H~.t.); t.t~Ë.URK. )"!<S.<)" A~o, B~C~o. .±' ~=±~ ,lL' XLVIt~18~l!, .l'=-7~'x= ~yj~(9~ (!-<)/~ f<-)-8/XLV1. _l2_a~)– –T<~ (. ~7~x7-7 -64~(.-<) -G~,i-<)~ 64(,-r XLVH(S~-36<+~)~ "(8~-i-M~)~ "-(8-36<-)- 64t 64 < 6~<~ '–,8/–t)~ '~=,S< (~–9.H)~ XLVIII. ~=. ia/– 3~– 3t-+-?.~ XLIX–to8<() – !o8<'(i– to8< – (ô'4~-f.,6~+3o/t ~–+3o<36<-T-64~' ~(<33~–3 ~+, y~/)~/crfMa<iOM~!?!Ce~M. A=o, ~B-t-3C~o, (9x -8)2 (3x 4)1:: (9x 8)*->/=~=~(9~-8)~ (3~-4)~ (9~-8;~ L=2~ --6'I(9x'-8)1-t (3x-4)" -t (9x'-8)° L. _"<>-37~(.) '-27~(. (~3~ 1~±3,f (4-3.t- -27~(!) -9.7~f,c',1 Il,=-2'.(4-,3x)2~C2(I -V 9,7x2(i x'~ ~?."==±t7.t (f).t--8~" (3~4).' ~8~ .A=o, B=3C, /~S, ~=~3 1('-9~)'J~±JL~_=, Ii-9~ j,–t–2~~)–.C~t' ~–t' (3~ LI.¡~=±~ Í(3~+!)' 2~(t–.<-)'=–?.7~(! –2 -jtA==±~. ~-s~ (3.~+,)~ ~-9~=~' 2 C=o,4B+3A=o, (9-8x)~xj3-+,x.Î:;-8x7=x/=~,M==~ (9–8~)~'3-4- (9-8~)~ ).~r~ 27(') 2~1-~)' (~~3)3 ~=~~ t '(4~-3)~ ~(') ~7;) x) IlI(g-8x)2x-t' 134'--t, (9-8x;=x.-=t,~=='=~-(9-8~)~ (3-4.r)~ (9-T8~ 8~3 S.<)8)'-t.ut;)ts.\r. 1 l, ~Jt~ l, ~JL~ mi. -t-t'~ ~) -c,~ ~-+3)'' j~-±.. rJ~-+~ t~7'::L"7.L' it .+~.~– !C'3;~ .r–t)' /L~ (.8~ (4. i~~li~L=<, UVt 9 -~7~ ~7~ x~-t, (4-t, (4-~)' ~7~ f~±,.'J' i[.r+8)-)"" (4- i.r+8; ,A=4C,B+5C==o, 0, ~-='f.+8.r)~(.)(4~ j.t+8~)~i- j~-c zJx (,-4~~ i t ('–4~ '~7- _1~=/ ,).==±~. 1 (,+8~)~ (4-<r'" .+8~)~i-~) ~? ~1;~°'j (8~-36~-+.9,7)~ (8~-9)~ (8~-36~+27)~ A=0, gB+8C =0,(8x"-36x+~~)2 (8x-gi3 (8x2-36x-I-a~)~= T,1!Tf -64~~(t-~) '64~ (.9-~)' ~=±'(q-8~-)~ -64~(!r)_ -64~(1-) )(8~36~+~)~ (8~-9)~ (8~-36~+~)'~ 3 ,,(HX2-36x+27F(Sx-g}a (8X2_36x+2'j)2 A=o, B=8C,= 8C,I (8.~+M.r-t)~t,,(8~+t~ (8~+M~-t)~ -64~(.)~' b4.t-(t- (8~-)-t)~'-i, ~i} ~=-±:~ (8~)" 64~(.)~ -64~()- (~f8~+~i)- (8.c-)-t)~ (8~+ao-t-)~ ~°L~ .°'j (8-36~+9.7~~ (8-q.r)~ (8-36~+~7~)~ ~j- 64(.) =~ &~7=~T=~ ~.=±;,(~-8)~ 64(,)64(i-) 3~±u.. (8–36~+37~ (8-<)~j~ (8-36~+a~~ ,1~' .~=1' (8-)-30~)~ -f8-t-~)~ (8+20~)2 IB 64~c)~'–" 64(.c)~ (8+.)~ ~.=±~,(8+.r)~64(.)~ 64(1-)~ f_+- ,l!8-o.t-– –(8-t-~P.)" (8-)-?.o.x'–a- ~"–3 L StJft L'KQUATtON Utft'ÉRË~'ftELLE H~~AtftK, (.)< S.<~) A==qC, B-t-toC:–o, ?,7x*-»18x 12oj,- xi -x218x/=='' t ?. f8~- –< ~~–tp~–9.– )8~l= lYu=__;m 64~6~ .xt't-t--=l ~±' ~-<)~pf.r' 6.{.c <~)x ()"lx (~=~:I. (~–<8~-–<)' ((~–[:t– ~–iH~'– j(~=:gA, B-<-)uA==o, ~r2-4-18.5v (x 9,)3x'~/=.L,~=~, \r~-r-,8~n~ (~-g)~ .t,8~ LXI (III64~ -––64~ (~)~(. ~.==h~.(c)-~)~t_ 64~x:3 64~'x:~ 3(~i'+tS.c–s~)~ (~-–~)~'(t–~)'" (.+-<8.c– A~-C=–B j(2~~–3~–3~+?. 4 ––(t~~–3.–3~)-?. LXtI. ~=w=~~-37~(1-~)~ .27~ (t- 4(~i--=t, "j–t 4(.C"–(-')" 1),3 27.t-~t–-C~ –T;– (~.==±~=±~.)(2~-3~-3~+?. 4~+t~(2~-3~3~-t- A B==o, A= 16C,f6~ï'~ –q6a:~ -)-3o.c -t- ft6~– )6~' -1 A+B~=o,~A=.6C,.~(.)––– -.08~7~–– LXMI~=M–e. (64~-f)6~+3o.c-+-i)~~6~–.6.c-+.LXIII. – (t6~~–fë~t-t)~' (64-c~–g6.c'3oa;-i-i)~t' /'==~:p.==±- !o8a;ff–.f) –to8-)"!t–j x'l ()6~– t6~-t- t)~ (64~–c)6~-T-3o~-)-))~ f-t.+-3o~–q6~+64~ f~–t6~-t-)6;t'B+C=o,C=i6A, A,–––,o8~.(r-~)–––=''t' -,08~'(.) f~tV~=.(.ç3 3o~3_ q6~ 64)2 (~–t6~-)-i6~' j (.c~–i6~)-t6)~ (x~-i-3o.t-–g6~+64)~ ~==±~.=±~. I–fo8~(t– -c) _H)8.C'([ –~)x) (-E~–t6.c+t6~ (-e~-)-30~–96~-)-64)~~ A-r R /r ~33~-33.)~ ('4~-+-~)' IA-H=,~c,–––to8.c(t-––– -.08~(1-~)~ ~=~~.T'–33.-c~–33.r+ (<-+-< 4~–i' "j (t+ t4.t'-)-~)~ (~~–33.cs–33~-r< f~=±7==±~ –to8~(t–)'' .o8~(t–-r'1 (f-+-)4~-t-)~ (~–33-e~–33.c-+.t)~ S.100 Ë.GOCUSAT. 14.Onnencore àexaminer l'hypothèse de/t~=3, ~'== 4-Ondé- montre sanspeine que, sous lesrestrictions énoncées, ilestimpossible d'avoir uneidentité telle que )~!–s'== n<(<– itn'existe donc pasd'autres transformations rationnelles quecelles qui viennent d'être déterminées. 15.Encombinant entre elles testransformations rationnelles que l'onpeut effectuer pour lesmêmes valeurs deA,B,C,l,m,onobtient denouvelles transformations atgébriques,mais non rationnelles; il reste àdémontrer qu'on lesobtient toutes decette manière. Aceteffet, jereprends lesdeux équationsdifférentielles (5)et(~), quedoitvéritier lafonction xde v.c~-)-B.f+C \+-B'< -)-<~5 '––.–––-––~=--––-–––––~~–~) ~('–~j Kdt ~.<(7– ~jM– <(,–<)~' etlarelation quet'enendéduit, ~n [?'~)r ~~<~/8)[y~x)]~ [y~~ t)]2 c')3 (A~+H~-t-C)~ (A't-B'<-t-(/)~ oùl'on a <?(~) =~(.)?–t)(2A~+B )+~(A-c~+B.c+ C)[(/–t)(~–')-)-(Mt–t,.c], o,(i!)= <)(2A'/+B')+~(A'+B~+C')[(f-t')(~-t)+(M'–t)/]. Dérivons tesdeux membres del'équation (8); entenant compte de t'équation (5), onobtient unenouvelle relation .cj. –i)[?, o'(~)(A~+ B.)- C)–3o(~-)(aA~+B)] -~A~t-B.c-)-C)~(9)<(<) [-~?',(<) (Â'~+B~ +C)–3 o,f~f-~A'<-)-B'')1-= (A'~+B'<+C')~' Toute intégrate commune aux deux équations (5)et(7)vénne les relations (8)et(g). Inversement, toute fonction algébrique quivérine S);KL');QCAHUKUHFE)4Eytif!LL):L[XHAH'.t:,EtC. S.!0! t àlafuislesrelations (8)et(9)estuneintégraie commune auxdeux équations (5)ct(~). Eneffet, toute fonction quisatisfait àt'équation(8) satisfait aussi àt'cquation ?.e''(~);i (Â.x'~ +1!-i-C'j–3&<~.t'aA.-r-B/T"~––r<– .~j–L~.–––J––– '–––- ~A.t"' +B.<"–Cf/.c(A~s+B~+C)~' ?.~)',(/) (A')-- B'<-+- C'!–3<!),«)!'?. A'/–B"~ ––––––––(A-~+B~+C'~–––––––– ou,entenant compte delarelation (9),àl'équation (5).Enayant égard àcette dernière, larelation (8)peut s'écrire <L[~A.t-~+B~+C.(t–.c)~]=(/.L[~A'T-B'<-)-C' (<–~j. Onaura donc VA~+B~+C.~ '(t–~)'=K\/A.~+B'C\t– etparsuite, toujours entenant compte del'équation (5), Kdtt ~(t –~)"' (< <)" Tout revient donc àtrouver lesconditions pour queleséquations (8) et(9)aient uneouplusieurs racines communes. 16.Acetégard,nous allons démontrer lethéorème suivant Toutes lesfoisqueleséquations (8)et(9)a~eMe~ unfacteurcom- rnun d'undegré supérieur ausecondparrapport àl'une desvariables, elles sont identiques. Supposons, par exemple, qu'elles aient unfacteur commun de degré Mparrapport à.c(/~3); soient xet deux valeurs répondant àlamême valeur det.Ityaura entre xetx,unerelation symétrique dedegré /t,aumoins, quidevra être contenue dans chacune desdeux suivantes __[?~)P__ [?(~)]' (A.r~+B.c+C)~ (A~t-B-c.-t-C)'3' ~(a-)[-: <p'(~)(A~+B~+C)–3<?(~)f2A~+. B)1 (A~t-B~-t-C)~(11) _(~~–')['P'(~)(A~ -)-B~)-C)– 3a)f.-c~(3A. +B~ (A.+-B.e~-t-C)~ S.)02 unURSAi. Multiplionslesdeux membres delapremière par3etajoutons; on obtient lanouvelle relation j'6N:.r~–r–t-i-fw–<.r)-–?..~–! ~f xv j c-(; –i f.r,–) -T-M–t'tj-t-r,–)'N'Î, ( '(A.-c~-T-B.e~–C~' ell'onpeut remplacer lesystème deséquations (to) et(f t)partesys- tème deséquations (10) et(t2). Nousposerons, pour abréger, ~(.c)=-r6f?(.C )[(/–[) f~–t)-t-~/t–t)-cj-t-2-t.'(.t;–t)&'(~ Si estégatà5oua6,larelation (t2), quiestauplus duquatrième degré,devra seréduire àuneidentité et,parsuite, leséquations (10) et(ii)reviendront l'une àl'autre. Voyons cequiarrive quand nestégalà4;silarelation (i2) nese réduit pasàuneidentité, elledevra êtreduquatrième degré, cequi exige quel'onait A~o, A~-B-r-C~o, C~o. Toutes lesracines del'équation (12)devront appartenir àl'équation (fo); ilfaut.pour celaque A~+B-r-f-G soituncarré parfait. Eneffet, soit a?==c<uneracine simple del'équation A~-i-B~c~-C==o; considérons tcsdeuxéquations(io)et(<2). Pour .<?,==K,deux valeurs dexdeviennent égales à<xdans l'équa- tion(t2),et,d'après laforme decette équation,onapour cesvaleurs ~–hm) –– ==im=1. Ilsuffit, pourleprouver,deposer .~=S<-j-Z, ~x-r-~); niors l'équation (12) peut s'écrire )-T-E t-t- E)E~.1 1 désignantdesquantitésinfiniment petites enmême temps que= sr~t.'KQrADO~ r)tFm!R~TtF;u.r.).f:\KAH'.r.. t'/rr. S.io~ t'ts,:d'ou)'on tireévidemment iim~Y-') Demême, dansl'équation (to), pour.==~<. trois valeurs de.r de- viennentégales ac<ett'ena,pour cesvaleurs, x\lim–--f,–x Lesdeux valeurs de quisatisfont àtapremièrecondition ne peuvent évidemment satisfaire àlaseconde. Jtfaut donc quet'en ait A~–B~–C=-~A(~– x~; onaura alors ~)(~-)==aA(-c –o;) .r(.r –!)–(.r–c:.[(~–i!{-f –t)–fM –r~¡. Larelation ()o) seréduit auquatrième degré ~.A;r(;r –T)-+-(.e –~)[(~ –')("~ –')* –']!~ (In)A'~(~' –e:r''(10)i~A~,(~–i)-)-(~–a:)[(/–f)(.~t–t)-)-(m-).~]~ ~A~(~,–Ctr'' Larelation ('2) pourra demême s'écrire 4A~(~- –i)~+ (~–~).~ (~) 4.A~ –+ (.t-, (~. ~A~~–<x)' A~.r,–e.:J' Les relations ()o)et()2)doivent revenir l'une at'autre. Retran- chons-les membre àmembre, onobtient unenouvelle relation f~ .) .~(~) A~(~–6!)~ A~(~–xr'' quidevra seréduire àune identité, carelleestauplus dutroisième degré. Supposons /!=3; silarelation (:2) n'est pasuneidentité, elledevra êtreaumoins dutroisième degré;deux destrois quanti tésA,A-t-B+C, Cnepourrontêtrenulles enmême temps. Soit A~o, A+R+C~o. S.«)/t F..GO!)tSA.T. Plusieurs cassont aexaminer Premier cas. A~i-)!.r+C==o admet deux racines simptcs .r==<x, .r==~, din'érf'ntes dozéro <?!M;~o. Onnepourra avoir atafois («)==: o,~(~=o,cartarelation (t2) serait d'un dc~rré inférieur autroisième. Supposons ~(~) ~(j9)~o; pour x,=a,deux valeurs dexdeviennent égales à<xetdeux a d'après l'équation (12); admettons que lesdeux valeurs dexquideviennent t égalesaxappartiennentàl'équation (to). D'après t'équation (ta), on aurait /.c–o: ))m––- ==t, \)– K/ etd'après t'équation ('o), x –a:V i. hm ––– )=!, \;).'<–a'/ conditions incompatibles. Onraisonnerait delamême façon sil'onavait~(~)=o.Cette hypo- thèse estdonc àrejeter. Deuxième cas. A.)-B~t-C=o admet laracine simple x=o etune racine .~=ct différente del'unité. Les équations (ro) et(fa) deviennent · (,~ [?~~)]' [?~.)P.(.f–;x)~ .fj(.t-t–a:f''1 (~'~) 'K~.) r .<-(~-<x)~c.(~)~ (x)estdutroisième degré, etl'on devrait avoir ~(K)~o, ~2(<x)~o. Enraisonnant comme tout àl'heure, onverra que cette hypothèse estencore àrejeter. TVoMte/Ke c<M. –A.r* -)-B.r +C=A(.r –a:)". Onremplacera lesys- tème deséquations (to) et(ta) parlesystème deséquations (<2)et ()3).Cette dernière équation devra être une identité, sans quoi elle serait dutroisièmedegré,etl'onentirerait /~–<X\ 3='I))m –––)=:,:c,–<x~ SLK L'):<A'nOX Utn'KMK~TU~LLK H.\EA)HE, KT< fu) G. ,4tandis quet'équation (J2 donne hm–––~t. Enrésumé, lorsque/testéga! ousupérieur à3,l'une desdeux équa- tions ()2) ou(t3) doit seréduire àune identité, cequiexige que l'une desfractions rationneites ~(-i /2' ~A~)-H.c-+-C)~ A~c– seréduise àzéro ouàunequantité constante. Ilestaisé des'assurer directement que lesnumérateurs ~(~?). /(~) nepeuvent être nuts tant que lareiation(8) n'est pasune identité. L'une desdeux expressions devra donc avoir uneva[eur constante dif- férente dezéro. 17.Ilsuitdelàque, si2~–rFse''éduit àune constante, onpourra faire toutes lestransformations [?(~)P ~.f<)]' (A~-r-B~+C)' (A'~+B~+C~ oùA/,B',C', wontdesvaleurs telles quelequotient 7–––i,~A{--t-Ut-t-L.j' soitégal àlamême quantité constante. Or,parmi cestransformations, onpeut entrouver unequiestdupremier degré parrapport ail suint deprendre A'-)-B'==o, C'=o, /'=~, m'=~; ators ~(<)==~(< ,f. ~)==-–-g-–, ~(0__r (A'~+B'i-C')~ 3A'' Sil'on prend pour A'une valeur cotivcnabte,on pourr.) faire la toG l' '.ocxsAr. transfurmution Il t 't'){jt.C~ 9~~– quiestdupremier degré par['apportàt. Hestct~irque toute transformation que['onpeut faire dans lemême caspourra seramener ataprécédente, suivie d'une nouvelle transfor- mation, égatement dupremier degré parrapport àt. Silerapportaunevaleurconstante, onprendradetnctne A'+B'=o,C':=o, = m'7- &,(/)=-t~ c,f3~ ~~(t)= .-ta(t-t~, u'~(t;= -13t-2, j 2"1',1 2 Onaura alors __[~(~p (A'+-B'<-+-C')~ -A'(/–i.~ ~,f~ 3t-2 (A't-B'<+C')~"4A'(<–f)' Laditî'érence estégaie a––sil'onprend pour A'unevaleur con- venable, onpourra effectuer latransformation [<B(.ï-)p t (A-c~B~+C)~4A'(<'–i;' d'ou tafnémeconctusioïl que'tout l'heure. Pour obtenir lesnouvelles transformations, il~M~ra ~o/M decom- &{~e/'transformationsrationnellesquefo/zpeut effectuer pour les deux systèmes devaleurs constantes A,B,C,l,/M, (C==o, A+B==o, /=~, /K=~), (C=o, A-r-B=o, ~=~. 18.Hreste àexaminer lecasoùilexiste une transformation du deuxièmedegré parrapport auxdeux variables. Soient x,unevaleur de-r,toetlesvaleurs de<correspondantes; a lavaleur t.correspondent pour xlesvateurs~o et~, àlavaleur t,cor- respondent pour a?tesvaleurs a?,et.Kg. Si.r, tarelation F(.)?., ~,)= oentre deux valeurs dexquiré- SU~t.'HQUATtOX nn'FKRRKT!K!.U'L!~H.Ur.r;.ET<)0y pondent Htamemevateur desera dutroisième degré, etl'onretombe surl'hypothèse précédente. Si.j=.r;, larotation F~o s'abaisse andeuxièmedegré; ellesedédoubte endeux rotations dupremier de~ré, aj"H-+-I> C.t'M -+'f/ D'après cequet'eu avuplus haut, cette dernière relation devra être l'une dessuivantes .Tao.Tj==).r, ~'j=r–? .r; –––– ~n .~n–t Soit, parexemple, .r,=t–“. Larelation entre ;ret sera alors (2~–I~==./2(<), ~(<) étant une fonction rationnelle detdudeuxièmedegré.Lesdeux équations différentiettes t/A~ -)- B~+C\/A~+B~) -<-C ~-()'–~') ~'j~–.T, K~, ~(l–~)'" ~f!–)'" devront admettré comme intégra)e~==i–ilfaut pour cela que t'on ait/=/M, A-t-B=o, mais alors onpourrafaire latransforma- tion ~2x-i~W fl~ (2~f –t)~== K, ettatransformation proposée estunecombinaison desdeux suivantes (2~)S=M, M=~(<). C'est unedestransformations indiquées plus haut(VMf. X,Xtl). 19.Pour abréger, jedésignerai respectivement par U.V,W t'unc !o8 ).n!'ttS.\T. queiconqm'des expressions contenues <htns lestrois Tnb!f:u)x sui- vants r /-1= 2~<~l 1,(?.C'.j_L~ 'J.l \<7/' 4~ 4' 4< V. ~J' ~~+4<–4~2;t-4<–'i<2 –t6<()–< –)6<(t–<)' t6<(f–<) (f)<–8)' (<-<')<)" (<)–8/~1(f+8~~–<J (/–c))~ -<7;' i~y/'(7-<)~ ~~7–<)' -–, If(<+8)~(t–<) (8~_36<2~,2 (8~+2o<–t~ f8–36<-+?.7~'i= vV.n~ –b4~–< ~l'e~T~T– 64{7'<')' (a~<~–t8<–i~ (~+t8<–?.~)a (/ ~8~ ~~3_3~_3~_)_ '1.647' -–g~ ~–, (64<96/s~-j)o<-+-i'~ )2,(<)-3o~–~<64~ (~–33~–33<t)~ [)2 "'–tf)87('[–7)"" !o87''(l–7)" to8<(r –< Moyennantces conventions, toutes, les nouvelles transformations seront contenues dans leTableauci-après A+B=o,C=~n, LXVÏ. i /=M=~,'f3~)2~v, ~±~±;.< fA=:o,C==o, LXV~il..rn=211-4-Xq Lxvn. ~==~~=.-'/Lt~=y,< t\ ~=±:~=±~.1\t- /x A=o, B+C==o, 0 '1LXVIII. _32-x 2 Lxvm. ~=~~='. r:~Y~v, M=±~dh~. ,+-B==o, C==o,\ LXtX. ~) ~=~=='j,(~w, ~=±M=±~ ) fA==o,C=o, LXX.J ~=~=~/l±~V~w LX.x. f) ~=±~==±~. –s,t\t–='V, srt!).'ÉQrATfoxn!j'')''t~tF.~T)F.).)j'tXKAfnr., r.T<n~ A==o,B B <~==o, LXX). ,t` /-w-~W, ~.==:±~±~. A==o,B==o, Lxxn. 1 =~_Ld .“w, ~=±~=±~ –'r- B=o,C=o, Lxxni. ` /f.~=~;–~r~w.< ~=±~, ~=±..t 4'j ~A~C, B+aC=o,j LXXÏV.(/=i!='~=w. M–±§,=±~.'±'t A=C,B==.?.A, ) ~='!<=~ ff~2_6~j~2 ~2_g~2LXXV.l-m-(xz-6x+r1=L,!xz-6x+ijz.=V, L\XV. –––-–––––~=U, ––7.–;–––rT~ fi ~=±'-–±y vt–thy~t– –t6~'()– 3 C==4A. B=-4A, rxYvï~=~~=~ ff~+4~-4~(~+4~-4)~LXAVt. – ––~––––––- ~=U, ~–1–r– ~=±,=±..±N'=±y, t–)–)–ib~t–j") tA=4C, B~-4C, Lxxvn ~=~=~ f(,+4.r-4~ ('+4~-4~y f~=dL~.=.±-tt6~-(t–~) X) t6~) A=o, 4!! +3C==o, ILxxvm.. ~~=- <.=u. -(9~~ LXXVIII.. –?.(t–.r, –2~~t-–) i .=±..~±.. ''0 );.t;0)jnSAT. .=o,B=3C. ) /==,w:='* t LXXtXrrc_=:i, ~u ~i'9~h.~-w jt t-T~~t-U, -.?.)-)~,=\V, ~––r ) .<;=o,~B-t-~A~'),. ) j/=~M– r"f,_H~~v n_8'rV~f fXXX.-=ei-S_°"~ -n _vtr j Ilt ~7i'–~) f~=.±~~=±~. 1 (C=o, B=3A, LXXXL./=;/K==~,f J~fy-fi~'r 3L~=u, f-r_Q~~ ,W,LXXXI., ~~(~ x~U,-'7('-x)- ?.~±,, 2~=±..i –?. ~p 2 C==4A,B-t-~A=o,.JC-A, B+riA=o' (.v 8)2ti X)T~Y~ l'/=~M=.l-, f~+8)~(,)_ (.r+8)~(,)_ LX~xit. 11_~r- –––– f.=±~==±.. A=4C,B+5C=o, Lxxxm..~='' d±~u,~w, ,±~~±~. 2 A=o,c)B-t-8C=o, ,~AO' gB+8C(gx2-36x+~7)'-U~(8x'ÿ-36x+?~)^LXXXIV<==~7H=S, (8~–36~-t-T~_U,(8~36~+~7]s_ =W,LXXXIV.)))-64~()-) -'64'~ (.)LXXXIV ~~=±~ ~±f.,x) 64,Xa(l- x) A=o,B=8C, ` /==~,Bt=.3, (8~+-20~–)~ (8.rS-+-2o~–t)ï LXXXV.~6~(~).<=~' -64-.(.)~LXXXV ~=±~~=±~. x' V=±~,À.=±3·, 3 C~o, <)B-)-8A=:o, LXXXVI J<==:§, M=~,f(8-36.c-t-?.'7. (8-36.r-~27~~=W, LXXXVt..,––64{7~–– ––64(,––=~' ~=±~=±~- )1\= â,r'3 ~)tL'HQUAT)OXUiiH~ŒKTJELL);L)XÉA)t{K, ):)(.. ))) C==o,B=8A, LXXXVIi.J ~==~fs.r~ .8+. W, ~±.) jA==gC, B+foC=o, LXXXViiJ 1 ~=~~=~5< ~8~f~_W, fJ ~.=±~±.vt 6~ 6~. C==gA, B-)-)oA~–o, LXXXIX.. l) ~=~~=~ '+,8~)~U> ~w ~=±.~==±..)6Fx3__U, =~r~ A==C,B+C=o, ~=M=§,f (2~-3~-3.f- !3~3~+-.t~'rt -.7~(. -r~r~–-w, A==±:p.=±y.-2~x= t-x. A+B=o, A=t6C, XCt. ~=~==~~ f(64~-96~+3o~+.~~~j (64~-36~30~-t-t~XCI: t–to8.c~t– –to8~ <–) ~=±~.=~ B+C=o.,C=<6A, xcn ~=~J"=~f(.~+30~–96~-)-&4)~f~+3o~–q6.c-)-t~-_y, io8~'(t-.r) X) <o8~(t-~) xl f~=~="-=~- ) A=C, B=.4C, XClU /=~t=~ ;<-33~–33~+,~ U(~33~-33~1'!=è·~ ~= :±c-==:±:( tto8.c(i–~ .o8~(.c)< ~4 :J i:.CUt.K')AT. Lt;strunsturm:)tiuns ainsi obtenues nesont pastoutes irréductibfes. Ainsi, ilestciairfjuc larelation '<).t.'–8~ (~–8~–(<–)–2~ ()–– équivaut àdeux relations distinctes, dont l'une estx=t, l'autre étant dudeuxième degré parrapportàchacune desvariables. Demême la transformation ~'–3~–3<-t-2 ~7~~– sedédouble endeux transformations rationnelles déjà trouvées direc- tement 2<–3–3+2 2 X 1· 3;3<(t–<) Jen'insisterai pas davantage surcessimplifications, qu'il estfacile d'apercevoir danschaquecasparticulier. 20.Supposons que pour desvaleurs convenables deA,B,C,l,y/ï onpuisse effectuer latransformation .r==y(<)etpasser ainsi del'équa- tion (2)àl'équation (~). Sipour.c==o plusieurs valeurs detde- viennent égales àunnombre t,,différent dezéro etdel'unité, ces valeurs, comme onl'avuplus haut, seront aunombre dedeux, de trois oudequatre. Admettons d'abordqu'il yenaitdeux, que nous désignerons part'ett";admettons enoutre quel'ona mod~< L'équation (4)et,parsuite, l'équation (~)admettront l'intégrale ~'(i F(~ p', /')+~(i r)?' F(~, .3', <"). Cette fonction estévidemmentholomorphedans levoisinage du point ;r==o,car,sil'onfaitdécrire àlavariable xunlacet autour de cepoint, lesracines t'et nefont que s'échanger. L'équation (2) devra donc admettre uneintégrale uniforme dans levoisinage del'ori- gine cette intégrale sera delaforme ~)-F{~,y,~), srHL'ÉQL'ATtO\fUFm!K~T~Lf.)'.L)~K.\f[Œ, );T:. tt~~) r" [- c.r' 5etl'onaura, endésignant parAuneconstante convenable, A(t–~)-yF(ix.~3, =<( t–<F.;x', -<')-r- < )–<v't-'3',y',<" L'équation (2;admet demêmel'intégrate <(,- /F(~3'<')–t- <F(!x'.3'<" quisereproduit, ausigne près, quandlavariabic. décrit untacet autour del'origine. Cette intégraie sera delaforme ~~(f– .)-; F(~, eti'on aura, endésignant parBunenouvelle constante, j~ B~~i–)-?.F(c<),y,) = ~(i- <')?' F(<x', <) /t <Fp', < Silesvaleurs detquideviennent égalesat,poura?==o sont en nombre supérieur à2,ilestaussi facile deformer desintégrâtes de l'équation (2), quisereproduisent, multipliées parune constante, quand onfaitdécrire àlavariable xunlacet autour dupointa?==o. Supposons, parexemple, quetrois valeurs detdeviennent égales àt, pour x=o,etsoient < <cestrois racines, rangéesdans l'ordre dans lequel onlesrencontre quandlavariable décrit plusieurslacets successifs dans lesens direct autour del'origine. L'intégrale ~(,-<')~F(~,p'<') -+-(i-F(~j3'<")-+-r/rj?'F(<x',3',y',< estévidemment uniforme dans levoisinagedel'origine,tandis que l'intégrale ~-<F(~fy,<') +~(. ~)'/P~ <")+./<(.- <F(~ 3', <") sereproduit, multipliée parj,quandxdécrit unlacet dans lesens direct autour del'origine.Onendéduit desrelations analogues aux précédentes. Uneouplusieursvaleurs detpeuventêtre nulles enmême temps !)t~'i(.UUiS.U'. quer.Silavaieur detquiestnulle pour-=<~estunique, l'intégrafe (–F~ <)St-reprudtnt,anufacteur con~nt prcs, quand .rdécrit unchemin fcf')nec~t'ju)'aut)'ut'ign)e;e)iedottdonc être égale au!)ci'tt<'8t'a)(;dctafu)'tnc C.<t 'F~ Lecasoùplusieursvateurs de<sont nulles entuoue temps quex <icf))ande unpeuplus d'explications, lesupposed'abord quet'onait u ydésignant: une traction rationuetie. L'équation 2;admet uneinté- ~rate delaForme ~–-),')'/F'x,3, ilenestdemême det'équation (4). Sil'onconsidère <comme lava- riable indépendante, quand onfaitdécrire àcette variable unlacet autour dupoint ~==0, .j?revient àsavaleur initiale après avoir décrit plusieurslacets autour dupointa?=o ett'intégrate précédentesere- produit, multipliée parunfacteur constant. Onadonc ~-P(,t.)-?F~y,)=C~'p'([- <')</F~ .3'<'), ~désignant l'une desracines det'équahon ;r=<?(/) quisont nulles pour.r==o.Toute transformation seramenant àunecombinaison de transformations rationnelles, laconclusion précédentesubsiste dans le casoùxn'est plus unefonction'rationnelle det. Lecalcul desconstantes qui entrent dans nosformules s'effectue sansdifncutté, lorsque pour ~=o onaenmême temps ~=u; ilsuffit <dechercher lalimite durapport -–;pour x=o.Prenons lecasoù, pour a?=o, tprendunevaleur finie <différente dezéro etdel'unité; dans lesformules écrites ci-dessus, faisons a?:~ 3,~==~; onendéduit Â===2~'(t-i!/)?'F(a'), j, U=nm~ pour .=o, <=~ H-Inn1 1pour X=O, 1=1 x._ );=. ~F(~B ~x.'>r_n~[l'I"(I-t')q' F(o: 13', y', t')]t=l, \r,,f) SD! !KQCA'rm.\ t)HH~tE~T)F.[.LFf.t~É.\ni);. !:K.. ))')) Les exemples suivants montrent bien !;)méthode asuivre dans chaque eus. 21.Considérons l'équation difterentieHe ~f,.]~ ~3-.r~]~3t'd~~ 'x' Pur-lechangement devariat)!e ~a< tr,eHedevient ~[.P-f.~i~ Pour ~'=o, tesdeux valeurs de<sont cgatesà Onaura <)«(; aF~,P~=F(?.~2~~+~-+.) -F~3~-p. Fi~-t- !3-c; ~F(~+!3-)-F(~ -?-i- '–) Pour x= i,unedesvaleurs deestégate ào;donc F(K,j3, +~3-t- .c' F 3,c:+ ). Cette dernière formule vanous permettredecaiculer et&.On;),en effet, a-~9;Ff3K,a3,x-i-3-)- ou,d'après taformule précédente, 'r(e't-3-)- a=at(~,S,~+3+~ 'p~p~~r;- Onudeméme ~= -–F(2x-+-3+t.a'+3-4,!X-t-3–– Dans lavaleur deachangeons c:en<x-4-en + ontrouve 4<x3 ~r(c:+p-L-:r'_4\/7;r~3+' '~+3+~r~+.)r(3+.)"' r~r(3) u6 HOUtiSAT. 22.Considérons encore Féquation dit'fcrenticHe y f'r r~.r'~ /(. y--x ~–=o.d~~ ~/d~ Faisons lechangement d~variabtu.r~Y_<;tposons en même tcmps/==~(f–<onobtient !anouveHe équation dtfferen- tieUe .~E<r ~,1~ a t', < 'X-i-Ï;<J4~. 0. Pour x==o, deux va)eurs detdeviennent égatesà3–2~2. Soient etcesdeux vateurs; dans levoisinage dupoint.-r==o, elles sont deve- )oppab!es enséries convergentes ordonnées suivant lespuissances crois- santes de Soient <' 3–XX+V'~7(3\/2–~).)- 1"3 ~'2 32t /–3–3-–)(3~'?.–~).– L'intégrale <~() –)~F(4~,3~+.?~ <')– /(!–~)~F(4~~x~- !2K~ :~< estuniforme dans levoisinage det'origine. Onadonc, Aétant une constante, ,\t''(~–<x,c) ~()–.<')~F(4e. 3.X+ <')+~(t– <='F(4o:~x+ aa:-(- <"). _t'(Il-~t.' 4a.;2'u+~2J ;r IIICX,'I- tl"21F(4-r-~r -4- Ofiaura dentéme, endésignant parBunenouvelle constante, BF(<x-t- a:,.r)=~(t ~)MF(4a:, 2s<-)-!“2K+/') –~(t–<F(4K,20!-+-+~,<"). Faisons a?==o;H vient A:= a(3 ~2~(2 –2)~ F(4~ a~ -t- 2~ -t- 3-2 ~), B= ~<,3 –4)–[<" (t–<)~ F(4<x, 9a:+ 2 -)- <pour < –?.y~. St:f'.L'KUU.\T)OX<)!)t');XTt);Lf.);).)i!t;, Kf' Remarquons maintenant que, pour ~o une desvaleurs d<; devient nulle. L'équation differentiettcproposéeadmet tesdeux inté- grâtes ~()-F~~ax+;x- quiappartiennent aumêmeexposantdans ledomaine dupoint~cc Elles doivent donc être identiques auneconstante près; onendéduit larelation F(4~ ae:-+.},2~ + <)=(~- 6/ -MFL, a~ + quet'onpeutaussi écrire Ie F(4a:,aa:+2~+~, <;=(<-)- <)-~ pL,+ 2~-t- i- L t J Dans cette dernière formule faisons 3–3y2;onentire F(~6<, 2<X+~,2<X-t- 3–~)=(-'{–2\t)" F(<X, X-t- 2K+) Donc r(3 -~)'T' 2~r(-h.~ ~/7rrf~+~ "-["' (4-~)' "J21 1r~+~r(~+~ -16 lr~~r~ Onaura demêmeI ~(t-<)~F(4~3ec-t-{,9.~+~<)~ r~<)~r < i6<<)~ =b-~J "b~(~7)T-j _p('-<)' ~r<+-FL~ ~1 C(t+t)HJ ir(a+~)r~u-+-~) I_ t2 1J -[-~wFJ jr~+~r~+~'r'~ (.+'~ j r<)r(~+~ ~-6<+, r ~6<-t-j-; 'r(~r(~) f.)' ~t-'– .+~ Prenons ladérivée dusecond membre ennégligeant tous [estermes quisont nuls pour /~3–2\/2; nous trouvons 2 v,-C(~ÿ-2V2/\?J2-2~ -I1 (~l ~1.2,)'1 ~'j~~3J2 f~44),iEV2_)r_I _;)r!2x ')_ (4-a~)'' J (4-T.r(a:!r~-+.~ )t~ti ):.<.urf'.SAT. ou, enréduisant, J~ -.y~r~ 1'rr~'r~-H 23. t.<'s f'ut'mu!esque)'(ni trouveraci-aprèsont. été obtenues d'une manièreanaiogue )[-'fx, 3, ==?('K, ?..3,c:+ 3+) +F~3,3+A,L~'), a~r.~ 'i-3+-i "'r~r(3+~' t<Ff 3, F~3, ~–L~~ lGli'17., '(;1_-[5,:x \1-f x)--7.F 2:Z,r.)"p,aQr'-1 Vx'-t~-v`x~ ?.~–!I 26) (~(.F~23,3,Y ~C-t ?.~r(~+i–s) ~r(~+~)r')' 6~F(~3,'},.c)=F~i,26- 3 J T~}) -F(~?.3-3-I-Y 1,2(3l?' f/~F(~,0,)=(')-~F~2K-36,~+.-3,=~)1./-1"( )')'1.r.; 7.~-t,' – '28~ -f.F~3,~+.-3,1 ~Trr~+6-~) ~~r(~s) "r~rfp-.})' r~r(!-3)' (29)) ['6,~+3+~c)=:F(2o:6,s<-). 3-)-), SC!L')~t'A'nt)~Dn')'K)!KKT)HLLK D~.UHJ.,):)<<'f) F(a, ~x+~-t-r) '3~'i, /)-t =:f -.–––––––– J'-T- -r- -––– h 7.,7.- 7. -T ~t–~ ), .F~ j Vt–-i-y– )'jX,X 2t;-T –––– –– ) ~)-r/ F(e', j:i,<x-t-~–x, `'< ==;r)'F~),i-– i.F~+,3-) ,,) '0< =(f–– ––––'––––––t-'<X–– K––-i- X-T '––– f '<~+)/ F~+~ J =(t-(~7~~+~=~)~~F~+~ -_1~ ~)–t-v– (35)F(e<,a:+~c)=( )F(2x,2~-r.y,~–– '-)-– ''s (36) F(a.,a+.y,xl-= y-x')~'–"c– (.36) F(a;,ec+ .y,~) =~–~)'~ Fsc:,ay– 'a:– ',y,.–––=_ 2~~– ,(37) F(~~+~y,~)=(.+~)'F(~,y-~2y- ~),!+~ (FLp,=Fr~±-~i,~(.)'j lL~ 'J (~r~+'3+'~+j3+. ,;¡;' 1 [ =~F[–––~–(.2 ? 2 )3qh F c!,6~––-––i=r'–a.T-"F-<––~––-––~––-7 1 ?. a a7,2 2~– ~o ~.f.orxsA'r. tF(~)) a ~t – .r 4~'r.7' ] – -L 3, .–– t).' -f..–t-r pZ-1-~ ~-Z'L.' -r .r )' ~X;––~1-<1)–~!t,I J f !f–.f)T-~j-x~)F '–––––––,y,)~(t–~)! (42:F(c:, t–~,y,) /-a j-W -u-f.x(x-t) '~j =(.(.F[~,7_ fF(o:,t–K,y,) X) f'T) t ;–– ;–––v,,r 2/-s'j.t/i.)"–<) ==~t-~Y-'(~+~–rr-'ty-–t,y-~2y-t,–='–,==~,h jF~,=(.~)~FF~ p~+ ,–~1 IE)j ~–––~r~ '–0!)-(-0: “ a/ L?-s4(~–i)j F~p,7.p,~)=t–- F-,––,j3+-,––– )2 (t,28 r fX\2i L \2–J (46)F ..)=(.- )"'FL, +L'1,s46i F(a,2~3,x)-(s-x) L -4V' J ,F(o;,j3.3(5,~) (47) S' ~7~rC,A-~y'Lf?. 7a~,+~ J (48)F~P,(3+.=(.F~±~p+.], 1 /F(<x,j3,<x-j3+t,~) (49)~ =(,+~)-~p~~ .p, ~], S)): ).)Ar~)f['FÉf'.EMfF.)J.t:H.Hi! )':Tr. t'~f t-'û t':9!,0,K–~–y'~)–x––r––-–––-<.?'2- (F.–,5+).j <-=(,f~F[- /F[~p,p- -f.+~)-~FL~-j3+~~9.3+.. ij_ f- 7~0/MM/~</0/Mt~pa/M /<Xn~/0/M~07< <Y<y/OHne/ f/M~Kf<<y'!e/<f~' <A?g; /AF(c;–a:<-) (53)==A(')''F(s-x,x-c) J ( ==<~()– <')~F~6t,?.x +~, ?.K-t-)-<"='(!– y;~ Fi.'ic:, 9.0:-)- '2X-< ) (B~F(~+~) t=B~(t-~)'F(!+~X,) =<(,)2xF~ ,j~p~ désignentlesdeux racines det'équation (<=–6)'-<-))s-t-tt)<[t–<t-–o. quisontégaiesa3–2 pour.r=o ~=3–aya-t-\/– (3 –4 < <"–H–2~–y–t(3~'<–T"< A–~2~7rl'(?.0!+~)..––~4vT:r(BK- r~+.~r~+-f' r~,r~~ AF(~o-r'. (M).=A(,jp~+~ =(-<')~(.-<')«F(4~2~-t-)-)=<(.-<F.+?. ). 'G. )6 !~3 1:. t.'H;f<S.\T. ~B~F~– 56',s B~~t-~)'F!t–x,x-)- __x,7+,- ;x; ~(,–/xF''4s<x-T- /'i–:–<t–<")~ F~x t- r'; < sont les deux racines det'équation quisont egates à––potU'.T'==< .CFfx,–.x, ~7'~:-C[.F~-a:,x+~ -:<'M(t–F(46t,X-)- !“ 'JK-t-)-–='F(~, 9.X ;x+~), D~rfct-t- ~–fx,t.; 'i=b~(t-.)-r~F(!-x,~+~ ~<(f–<F(~e!,29:-)-4K+~<')–<(t–<F(~7.x-)- ~+ ~r' sont tes deux racines det'équation quisont égaiesàa\/2 2pourx=o.;f-t-~–'i~–t6/!–<x'~o, ,r~+.a .j <"––– -+.~'–'t (~-t-4<–4)~-+-('– /'=;2–?.-)- ~/–1(3V'2–/~)-C~– /3.~9.–2–~–)!3\/a–+. ~r~ ,–4~r(~+~) r(~+~Yr~-+- r~'r(~+~' SCtt L't.QUADO~ D)FFEREKi)EfJ.~ !,tXKA)HK, );t<. f23 tËF(x,x-t- -:()+<'j'~F(4o:,2X-+-X-)-<)-F~K.X–20:-r-< tG~ Ff~ -t-+16Gx' T'i7. + xj .=.+-<F,4x,–~2a;+~–+-<F~x,x-zo:+~,< <"sont les deux racines det'équatiou –6 j–<+) o, qui sontégalesà3 \/2 puuc ==o. <'–3–2~?.-r-2–)~)- <"=3-2~-(3~2 -4)~ F~r~r-~)U4~r(3~+~ r(=<+~)r~+~)''1.'r~)r(~+~' f6<) )E~(~+-(~ < ==(t-2<')-F(4a:2~-t-–3<")~F(4~2a:-t- jG.~F(~+~~+~) ( =(t-)~F(4~~2~+~<(.<F(4~+~~); <"sont les deux racines det'équation (t -)-4< –4~)~– (~< –')'–o, ()ui Sont égaies a~– pour~'= o. 4x-+. '–v?' v~ <2–-{-– 4-1- 2 -1 f'~) E. COURSAT. 1):3;,Ë['o:,2-j- rr ;x ~(~~y"F4~2~4~+~<+(~)''F(4~2~4~+i,<12l'lij-et,2XT"i,,4et+ "l,t tC~F~-1-/iX (64) t )F(4~,2x-t-+~ J ~_<1. Il,f– -–F(4K,2K+'4K-+-< t"sont lesdeux racines det'équation (/~+4<-4~- (2-=0, quisont égaies à2~2–a pour.r==o. t'== 2~2–– 2~-3~2–– 4) /"– 2~2 –2–(3 y2 –4)--T- HF(~r) ,g~=~(.F(.+~)(65) ~(t ~~F(4~2~ +~, <') + ~(f r)"F(4~, + <") ~~[t r)~F(4x, sx -<- rj -+-< –<F(4a:,ac! +<"), < K~F(o:+~–a:c;X j_ < ~g.}=Ka;'(t~)'F(t–=<,x-h ~-) :(,F(4~~2~+~<')-~='I~(.-<F(4~~2~-)- -r~t-~F(4~2~+~t-~=7~<~F(4~3a:-<<"); sont lesquatreracines del'équation (2<–))'+)6<(t–<).C=0, rangées dans t'ordredans lequel onlesrencontre quand onfaitdécrire SUR L'r.QL'Anu~ tjtn'ËKE~Tit.LL): D~EAtht' KK;. '23 àlavariable .xplusieurslacets successifs dans lesens direct autour del'origine: <'=-)- -=(cos'-4r~–fsin.)~~2\4 4/ “ 3?- 3n\==.)-– cos -hy–tstn ).c– t 2 \/2~ 44+V1 4/ m 5; ,––. ''Tr\<=--i-–=COSy--r-~– SUt-y-).C-r- V2 't < -)-–(cos4~~7 sin~l)4 4/ H-~ .~4r(~r(~+~r(~+;.)r~)' “ ,– 7r\t6rf~)rf'+~ K=~)~cos s.n~K=i:f6fCOS¡+V-ISIU¡ -r(~)Y(.z+"t)-' HF(~~+~)= /'+4< 4<p~~j ¡HF(a,a+1':¡'X)-i+4t"_4t"z/Iz~c1(4a'2,2C1.+."t) 1 ~i (6)~~4~-4~ .-(-)"F(4.r)¡ -.(~)"F(4.<"i, 4 L.F~+!+~== /4~-4<'yF~n -1- 1;15l\\ J->'f\ ~~('~4~)-F~i -('±~")~F(4./II ,J/1V_ /!V2\~Tt -L"iy4tW-/t,vz\Yx2.7 -(~–4–)F(4~1.~+~+J-J., l+'? F(4a,2~t-t1V); <<f, sont lesquatreracines del'équation ~(~<–)~–~(f-i-4.<–4~o. )a6 )'<.ut;[is.\r. Ainsi \/?.x' ~t'~ ~.Y-~ ~1' .C' ~22 ,6r~)r(. r~)r~ tF(a;,~-+- 'x -t- ~)(–)F(o:–x-+- -c) (69) /<L.T F(4a,2:Z 4 '2,j -(~–~–~) l)F(4~4~- ~< étant une des deux racines del'équation t6~(t– <i-i-.C~i-4< –4~–0, qui sont nullespour~=o. tF(iX, C!-)- ~K-i- ~)==(~–-f)~ F(et -t-i,~-t- ?.x+ (?o)' /3'_j;M f T=\T") JF(:ax-)-+~<'i; /i est une des deux racines det'équation )6~(t–<}–.c(2–/i''=0. quisontnulles pour;K==o. F(~, + 2X-+- ~)7: (t–~)' F~-r- 0:-+. ( ;–6<F(4x,2~-t-ax-t-< 1 <désignelaracine det'équation [6<{t –~)~ +~(~ 6<+)~– o, quiest nullepour.K==o. S)T. ).')~.)rV)')<T\ i~))!['X')')ELL) L~).H<). t.T~ fa' iFx,x-K-t-.r'F:~+'2-t-x-t-t' ~)~.F(~x+-< <désignelaracine det'équation )6<'f')–'t+~/ -=~f). quiest nullepour.?–f). iF(x, x+ 's!+ –.c)~ F(x+ x– –~t-! ( -:t+<F'<X––{.XX~); .1L' 2x-j,2x-I-1); <désignelaracine del'équation )6<~ –<~–~t -)- 'n, quiestnullepour.-r==o. )F(at, se-)- 9.x -)- ;<– F;x+ x+~~a: +~t',x =(.-2<)~F(4~X+~< tdésigne laracine de)'équation t6<(t–<)-(-~(x<–))''=o, quiestnullepour=o. Formules donnéesparlestransformationsinverses. F(4K,2a:<x+~c) \.1,F =(f– '"F(~–ao;K-)-y) f. <f <–!6.c:'f–-r)~')t(.c~ b-)"+) Fhx,ce+'“ax + –––––h't–b~-L-j= j, (j“ [-t6.r~t–.f~'] (t+~)"~ F9:,X-)- 9.X+ ––––i– '~8COURSAT. '76) /4-4.F~ -.G~h-~ji(76) ¡.(4 4 L' ~+4~-4)~)' t, ia r .I)6-c~<1 (~) ~4-4~-F~}\;J; I\r+.'t'- X2J-hf Cf.,<x+h2!:(+'¡"4 4"= (1['FX@e -f6x(t-x)l, ~*or/KM/M données parlestransformations rationnelles </Mtroisièmedegré. A.F(~) (78)=A,(!)''F(~+~)i t =/(t-<F(3~,3~+~4o:+~<')+<(t-y~Fi3~,3<x+~,4~+§,<"), ~9~=B<(i-~)'F(.t-i;)' =/'2~(j-<F(3~,3~-(-~4~+§,<')-r~(.-r)"F(3o;,3x-L-4~+~): <<"désignentlesdeux racines del'équation quisontégales àpour;r=o:t''(4x,?.)-X t"1" ,1 _(,-~F(~+. ~~) f(' F~+~): F(4e<2K+~) ~='t– '–F(9.0!-t--j-–?.0!,2e: < (.––)-F[~]. Bt~F(<X-t-–C!) (<~–8)~-t-(!–<).X-=0, l-ii+y-It$~.x+. 88V"3f .=- 1 ~-=~T~ ~=~ sm f.'KouA'no~i r)n'FËRExm;Lm DNF.A)f)E, K'rc. f3<) '7A,F(<x, –!X, .r' <~)jI-=A.(.(~+: =<~(t–~i~-Fr~,3.x+~jt.x+,'j,<')-+-x;'–<F;3~,3x-)-9.x-< jB,~F(~+~ x j-B,~(i-F(i-) ==~(i-<')MF{3~,3e(-7x+~,<')-~(t-<")M F(3~,3~-4-M+i;,<" sont les deux racines de)'équattonli quisontéga)es apour.r=o. A,F(~t; (~)=A,(!r~F(~-e!t-j =(--<F(3~2~-+-<')+(-F(3~a:, 2a:+~,< (B,~F(~+~,§-) j=B.~(i-~F(.+~) =(-<')~F(3c'o;+~,<')-{-<F(3~c<,9.K+~,<"); <<"sont les deux racines del'équation quisontégales a–~ pourx=o. <'=-+(t–q<!)- (l–<)~.r o, .=~ 81x--+- (t-+8<)S(!–27<.C=0, <"=-;+~+- '~c r.r))'ns,\T. ;8.~i F'x~ :)-=:~ -.c,"F~-x..x-t- 'f~(t–F(3K. –<). ~t''x+.x,x'= ~F(t–a:i- f85)= ~F(3~ <<'t:tnttarHcin<'det'équntion r;–8 –?,~ t–<).C~-=o, qui est nu))epour.~= o. gg, tFf~, x, .~j (. .r)~ F(.~ x,x'“ -r) !F(3x,x-i,<). Fx-j- –x. ~= t–-f)''Ff<–x,a-t- 1 =~)~_JL_.F(3~+~g-t <e):)!U!a racine det'équadon t–C)t+7t– =.0 (}niest nulle pour.~==o. Î88)ICI ~-3~ /3t":,x =(~)"F(3.,3~+~(~~y"F~3~ – ~.D/.e~F(s;-t-x-t--i;A-} (~q) /T, :!X /3/3X =('~ Ji~~3~3~+~4~+i;,<')-('i~ F(3~3~+~4~+~ t',<"sont lesdeux racines del'équation (9<–8~-t-(3<–==o, quisont,égales apour.r=o. sm L'EQL'AnO~ M[)-)ŒHE'<TtKLt,i; LtX~AtP.E, ~:1'< )3' (( (.+3<')~ F(3~,3~x + 2x +<+ i.-t-3~ t''(3x,3y+'x -r. (9') ( D'(~-+-T.~+~(C.F(.) ==(,-t-3<')3~ F(3s:,3~-t-2x-t- r; (t-T-3/"j~F,3a:,3x+~,2.x– sont lesdeux racines det'ëquation quisontéga!es àpour==u. ~C,F(x,+-)~('–i~F~x-(- jCiF(x, 2 -1-. -t-([–4r;~F,3x,~–x,2x-<-j;,r. g.)U~'F~+~a+s,)~~–)<'r~F,3~–2,x-)-<' –()–)~F~3x,S!,L..X+. </"sont tesdeux racines det'équatiott quisontégaiesà(–~)pour.r= o.2~n'r~.<s:j'-j)~ ~r~x-i; r[.x+~r( r. )r+,i--g, s “ S~'3 ~–t)<~–~(3<==o, “ S~3 (,+8/~(.-<)-(.-4<j~o,xfi·'ï;i 8~3~r- ~–t- K.(.OLHS.ft. ~4.F~r-c)=.C.F(3~< (95)F~-)-~j<-h,=~)- '~9~F(3~-+-3,<); tdésignant taracine del'équation quiestnullepour~'=o. (~6)F(o-,e.t-)=(,+~y"F(3~~+~<), (~) F(~+,)~(t+,) l '–F(3~+~i-v 9 étant laracine del'équation quiestnu)tepourj?==o. (q8)J' =(!–<F(3~<') t" +(,-r)~ F(3~s,), C)~'F(<x-+-'“~–c:. .)-)=G,~(t –a-)'F()–ot,a;-T- .c) ,qa)(.F(3~<') +~(.)~F(3~) ( +~(,-r~F(3~ <);<-–+. (~– 8~r- j3–4< r~o, 3, (<–(~/–(<3)~o, E.F(~ §,-f)=Ë,(t .c~F(;; + +(.F(3~ St;itL'Ët<LA)[U~U)HKHËNHt:LLEH~ÉA~U:, );TC. '33 sont. lestrois racines del'équation (3–4 –~7 –< u, rangéesdans l'ordre danslequelonlesrencontrequandonfait décr)r(; alavariable xplusieurstacets successifs dans lesens direct autour dc t'origine: 3~2 8"V–-y “ 3~- /–~3<= -7+.=- -v~- ~=~+.. 3~r(~, -9~r(ii-i2' "r(~)r(~+~)' "r(~;r(~j H<F(o:,~–a:, ~)=H)(!–.ci"F(~ –x+3, -s,-c) (,oo)=~F(3~2~-+-<') j +~F(3~+~<"j +~F(3~2~+~r,, J' fK,~F(~+~ ~=K.~(.F(.T- j = <F(3~–0!,2SC-)-<')(eot) )t'"F(3«, -:Í-1 2"+6' il) ¡ +/Fi33:–a:,ao;-)-< r+yr~F(3~a~+§,r); <sont testrois racines del'équation (t–4<)~+2~<~=0: 3~2 ~––K'~T-) o~' ~=~ l3/t F..(,m'~S\T. ~v 3r~;r; /jLVl'ilIi~ r~n~T~ -~D ~7 r(~)r( +Î tH,F(«, x,s, -=- H,(. ~)'F(~ –~x-<- ='i=")-<')~F!3x+.<,9.x-)t<)2) –<(t–<F(3~,3x+~2j!<°) f +:-r~(. r)~F(3~,3~ 2x-(- <). iK,~ F(e< +'“ ~)=K,~(t .c)' F~. -x +i;, -c) )Jl =(-(.-<'j~F(3~,3a+~.2~+ii,<'~'° -t-~(–r~()-~r''F(3~,3K+~a+~ +_/(-r~(!-<)~F(3~,3K-)-?.+- < t"'sont lestrois racines det'équatiou 3<).!– 2~(t – =-u: 9.y''22 =~–-~–.t'-+- ~1 3~t r=-+. L,F~+~c;=-~9-8<')~<F(3K,< (.o4) ~+(9--8~<~F(3~-=<,2,~ +(9-8r)~~Ft3~r), (M.~F~+~~+~-},~)=(9-8<')~<~F(3~< (,o5) +~(9-S/<~F(3~x,~< i (+~'(9 8' ~(3~ <") t',< sont testrois racines del'équation (~-3,8<)~~=..= SURt/M.'rATH~nnTÉMynEU.r.Lf~Uf'.F.. KTf:. t35 'T~ PF(o!i-.t,=('+8<')~(t-F(3~x, 't-i;, <') (,o6~ ..+(t+8~)~f!F(3K,x,9.~+~<") -+-()-+-8r)~()–<F'3~j-.x,x-+-i;.r~, tQ~F~ -)- '“ +~ == f.!+8<')~(. /')~F(3~, -+-~ ) ('o?! +~ft+8<")~(t-<")~F(3~+~) f+~t-8r)~(t-r~F(3~o'x~ <<"sont lestrois racines det'équation L PF(c!,-x+~ s, ='t-9<')~F(3~. 3K+~, -+- < (.08)' +(i-<)<")~F(3~3~+l,+-~) ~(.-9<F(3~3x+l,2~+~<1~~) ~~1~ f,{~,3–t-8/~fl–<)a-0. r~ p- 3r~)r(~+~ ~1 <)F(~r(~+~ '"r~+~r(~+i)' r~)r(~+~ <3(j K. (;ocf:SA'r. Q~'Tf~' 'x-+-)~– -c)<F(3x,3x+.9.t- ,<' ~~9i -f~f3x,3x-+-?.x- ,<" ~()<F(3?:, 3~+ <<"sont lestrois racines det'équation ~<+t~ -(t–(-)<r–o: 2t/7. i <'=:–)--––.C' :)/- ii'1v? ~+~+. r=-+. F(;x, a:-h 2a:+ ,},~)=(t–~c)~ F(a; -i- -i- a;x-t-~c) ("on Q<3x (It0) j =(')F(3~4~+~ est une des deux racines det'équation 2'(!–/)+(C)<–8)2-=0, quisont nullespour .x-=o. F(<x,a:-<-?,~fX+~c)=('–~)\F(<x-)-<x+~,sc:+§,.x') f'I')', I/2x2x. r~('~s) ('F(3~~+~4~+§,<'); est une des deux racines del'équation T;~+(<-t-8)~(t–<)~-=0, quisont nu)iespour.T?==o. SL')'.),'Ëur.\T[O~J))H'')':f!KMiKLLr.).)~H.\H!r.. !.)' ')'; G. 'SrJ"1'F~,x+~,?.o:-t-)=:(j–.x'')~ Ffx-K' ,x-< (1 ==~–g<)~.F:3x,3K-x-t-r. tétant)!) racine dei'équatiort x~<() –<)-~i–g< – quiestnulle pou)'~=o. )F(a:,e;+~a;+s,.x-,=()–~T'F(.x+c--i- ?.o:+.?; =r.(t–8<)~(!–<~F(3x,–<y,?.K-)-l tétant laracine dei'equation T;<–(f-t-8<) –/f~=0, quiestnulle pour.r==u. tF(fx, a:-t-~o: -)-) =(' F((X-i-~,c:– -+-j;,A'; ():))< 3~ 1 .), (< =t––)4Fi3~,3~– 4~+<' estunedesdeux racines det'équation T;~(t–<)–(4–3/)~=o. quisont nulles pour-r=o. tF~,a:+ ,2a+~r)==('–~rF(a:+~,K-)-i;,2x- (!t5)< =h--)F(3~+;+?.,< estunedesdeux racines del'équation 2~~–(4–<r'~='~ quisont nuUes pourA==o. )~S )'CORSAT. F~,X-+- X-+- ~') t–-fj~ P'X-t- X ?,X+ ~) I, =-.)-3<~F3x.3x-)-?-x-+-); <étant, t~racme de)'equat.i(jm <~– 3<it)~=.-0, quiest nullepour~==0. f )t'(~; ~X+ i~ ~)=-:i )– F(KX-)- 2.X -rj;,-t. (=(t –4<)~ F(3.X, –0:, 2X +i;, /'j; <étant t:) racine det'équatton 2';< -)-() ~<t.' :=0, quiest nuiiepour~=u. /*C'/7HM/M /OM/'7t;M /~(/' /«M~r/M«<<OM~iraverses. t''(3x, 3K-(- ~o:+ ~t'; ~=~–~)'F(c.:+~o:-r~,4K+~r~ (t:i8) t/ 9~'Y'r2,c,–~7~ –.x'rI ~8'/ r' (9~-S~ '"jY 3~r–2~i–~)j :T.) ~+.T3~~ F(3~,3fx-t- to;+ = –Jt-')' F( –a:,–x, x+s,.c') ("9) 9~) F~, + +§, ~rj, '+3.F[.+~~+. Sf'~).'t':Q)'AT!nxn))'t')!F.XTt)'LLF.).tXÉA))!F. )'< ~() ;F''3x,x-)-4~-t-x\. IfF,a.i:j:J+ 3a la ;x-= .y F.K-r 3K-t- 4X-)-'T i(.~)'"––– ––––––:]- ¡=1,1+8)II-X) >-f a,a-?,a+.H'X+I:!)'I-"'(-f)" 'l, \x- fF(3a; –s;,aa; -t-i;f) =:(t–.x']'~ F'~–<x,3!x ?.;x-T- I 9,7x:) (,+8~)-~(. ~)- F~,=.-r+~ :121)/11.. i.x)-o<.F[7.7.+!. ?CC+.1-4-8x)u>i_l, ~(.-4~)- F~+,~+g,p], -F(3<x,) ~)'F(' 3<x,+~) 8x;,=x ~) j.[.i,=~]. j/ 4.r\rF (Q–8~1Jax..,,in~-3-) ~d~ F(3a-<) ~(,F(~–3c:a:) (123)F u»-a, 1(:x,-9,"x l~((.F[.J~]. ";(.~)- 1+3" rl-a,a+s~i'x'+3a F(3~-+-~g-e:) = (,+ F(~ 3=!, -+- ~) 8~ ~rr (q-8~)~-j C~ ~)(.) -F~+~ ,J' 9 2i(~ x) 8.c\/4~Fr~-t-'(9-8~)~t ("'T~) ~L '3)d' f/i< )' ),0)'HSAT. ,'F-t~-i ~~j i t ~j,,` F'––<,],.f; t(\- -?~ .~L-~=:.r~,) L -J- </i.t-–<)- '(/) (--3) F(/jC!i-69')F(!¡(7.¡CI. 6(7.+~, x') ==(f–).2xF(2+ x+i,6x-)- .r) i j(~)"FL~+.<1'126' 1 27+ L "–36~+2~~J ` C1-R))sa FLJ,J-I-(-wï,2J-i-~i, 64x3(I-X\]) fF(.2x+i;)oif,2:%+t"l) ~:(t–~)' '~F~~–2a!}–?.x,a~) ~) ~j,8~F[~J ~(~8~)-~F~~+'+~]; F(ij.z, ?.~+ 6c;+ ~) ==()–.y F~x+: 9.a; G~-+- .c) (8 ~l. x~z'`-=x64 3 "],“ ~j, J, -j(.~)-],J 9 tx'-9j3'x/'0/MM/e~ /C'M/M ~<f/'les<aK~/0/i<t~<?/t~ //H~ë~f~ </M aM/M /MH~/0/7ta<«.'M< ~a<MMMe//M. ;(. F~+~J~J; S~)'.i.OL'ATi')X~n'FE)U~"rt!:H.KLtX)'\t[t)' i;T< !)' .Fj~–X,2-):'F(4Y., ~'y.+- x, t-t-F~'i~–7.K,x–r) 1 18x(;4xt-t-.8~ a~ ~L, a:-+-.'“ax+––––––- 12(\1L 'i-i-)8~'–9.-J, H~–<)~r!~P~?–'?~–bt~ ='jIJ-f)X,n{I'XI¡ 'l.{"r-" 2, 6.fX.;f) <.)~, )[~~ ~f.j F(4~–zx, U ~r!" f8- 1 '–-c""t' ~–7–~––r 3o)i_J' ) 6~<–~j ) ("j/8–36.y-)-1-(7.,cr.0= –f8–Q~ 2I .J.. ~–––8––––) F ~J; F(4c:,?.cc+~) ,.“ (<[––} (i3r;(`-.x')a«FLa'x,s~ 64(r-x;3> -< 8-2~x-x=-=~,> (x+8).s,x.1 'fC~)']. l 8 X2-20X-8'i2 F(4fX-–3C<,s,~) 9~\rr 1,(8-q~)~1 (r3a)1-'l.(3Cr8 32(8-gx):Jx](.3.)(-L~ 64fT=~r~ i/8-36~+.7~ 9~FL+ -(8-9~F~ ~–––~––––~ ~F~+,~+.J, F(4.<x-2a:-t-f') -3'J.-1q;1. l-t-8):1xl ~(.~)~––]- t(~)"<.i.].(8 ) (l+s)F[a+:ï,O:+if,:J'(X2_'WX--8)2]; F(6et,act+~,4~+~) =(~–~)'F(xo:-<s–-tc.4x-t-)x ft3~~ ;a–3.y–3.c~-<-9.r22.-9.~s(f–.c)~ 1~~) ~––––––,––––––) F~+.L~-3~+.~a,<x+,,2O:+r,'1 '139 .3. \2' ~h–-r-<-f~Frcf o'-t-' 2.x-)-~a~tt –.C;- t f~)–-C-+. i0!,0:-)-g, -)-/2_~ _). L 4t,x_x.+ y )'')22 K.r,ornS.\T. -srn).'t.<)r.\T)')\!)t)~K)U';KT)t':f.).F.).)XÉ,r.)'r,H:. Lestransformations quel'onpeut effectuer lorsque deux destrois éléments <x,p,ysont arbitraires ontétédonnées complètement par Kummer. Dans lecasoùunseul élément estarbitraire, ilaindiqué quelques casparticuliers delatransformation rationnelle duquatrième degré etuncertain nombre detransformations irrationnelles. Lesautres transformations rationnelles etlaplupartdestransforma- tions irrationnelles meparaissent absolument nouvelles. LE ViCE-RECTEUR DE L'AcADÉMtE DE PARIS,F(6~ ?.'X,Xi-t" 27. –toS.rf–.7-' !o.x'-<r2-i-b4~Fx,x-t-?.x-<–––;––.––.––––––1(35)1-+-'\(j,X' F_CI.,7. :>.7.,¡,b4.r~'–()h. <o.r-i-t'' (" 1j t(~8~'t_ _1' F[f)~)K-)-9.!X+, l=~– ¡" l'(~–4x,;j–K.20:-)-): x' 108x(x) )3.)-F[.. ~]. ¡i, -r –!o8a;~–i'i F(6o:t-8e<+ ~,a-' f,3~ f/64-q6~+3o~ r!o8.(t-~) -)1 ~~––––64"–––)F~+.J, 1"j/)6–t6.c+a-s\r –!Q8.c''ft–.t-)1 1. Vuetapprouvé Permis d'imprimer Paris, 1egavril f88t. GRËARD.;!)–)<i.r-i-)6.F!X,x-XTi'–––- fi–x ~F <x,~–.?.x-)- ,},-–,––-–––-!.c~-)-i4.ï'i''J f..c~F(~ +4~+8et+'“.c;x 116 16x x2l'c.c,a+A,2Cf.+¡¡,1Q8x!. (1x ~–––,6–––) ~(.6-)\J- Paris, le8avrilj88t. LE DOYEN DE LA FACULTÉ DES Sc!E)\'CE.S, MfLNE EDWARDS. 6qo6t'Ams. – )Mt')ttMËH'H b~ UALT)t))~fi.].Ans, QtJAt DES ACCUSTf<S, 5j.PROPOSITION DONNÉES PAR LAFACULTÉ. Forrnuie deLagrange pour dévetopper suivant lespuissances def l'une desracines del'équation c=x+~:ys). Propriétés despotynones deLegendre etapplications (telaf'ormute. ~Meta~r~M~'e Permis d'imprimer Paris, le9avril )88<. LEViCE-RECTEUH nEL'AcATtÉM~E IJEL'AKit..SECONDE THESE. Paris, le8avril )8Sf. LK DOYHN UK LA FACLLTÉ DUS SctEJ\CHS. MtLNEEDWAKDS. GRËARD.