Coriolis-1835

MÉMOIRE Surleséquations dumouvement relatifdessystèmes decorps; PAf,G.CORIOLIS. DansunMémoire quifaitpartieduXXI·CahierduJournal de tÉ~ole Polyteclzniql:le~ j'aimontréquepourappliquer leprincipe desforces vives auxmouvemens relatifsdessystèmes entrainés avec desplanscoordonnés ayantunmouvement quelconque dansl'espace, il suffisait d'ajouter auxforcesdonnéesd'autresforcesopposéesàcelles quisontcapables deforcerlespointsmatériels àresterinvariablement liésauxplansmohiles auxquels onrapporte lesmouvemens relatifs. J'aifaitremarquer dansceMémoire quelaproposition quienest l'objet,nepeuts'appliquer engénéralàd'autreséquations dumouve· mentquecellesdesforces vives~;maisjen'avaispasexaminé alorss'il yadescirconstances oùlamarchequ'ellefournitpeuts'appliquer à certaines équations dumouvement; etsi,danslesensoùellenes'ap­ pliquepas,onpeutdonneruneexpression simpledesnouveaux termes decorrection. C'estlaquestion dontjeInesuisoccupédansleMémoire queje présenteaujourd'hui. J'ydonnecetteproposition générale, savoir:que pourétabliruneéquation quelconque demouvement relatifd'unsys­ tèmedecorpsoud'unemachine quelconque, ilsuffitd'ajouter aux forcesexistantes deuxespècesdeforcessupplémentaires; lespremières sonttoujours cellesauxquelles ilfautavoirégardpourl'équation des forces vives ,c'est-:-à-dire quecesQnt..des forcesopposées à'cellesqui sontcapahlesde maintenir lespointsmatériels ..invariahlement liés auxplansmohiles :lessecondes sontdirigées perpendiculaire~ent auxvitessesrelati,'es ctàl'axederotation desplansmohiles; elles MOUVEMENT RELATIF DESSYSTÈMES DECORPS. 143 sontégalesaudoubleduproduit delavitesseangulaire desplans mobiles multipliée parlaquantité demouvement relatifprojetéesur unplanperpendiculaire àcetaxe. Cesdernières forcesontlaplusgrandeanalogie aveclesforcescen­ trifugesordinaires. Pourmettreenévidence cetteanalogie, ilsuffitderemarquer que laforcecentrifuge estégaleàlaquantité demouvement multipliée parlavitesseangulaire delatangenteàlacourbedécrite,etqu'elle estdirigéeperpendiculairement àlavitesseetdansleplanosculateur, c'est-à-dire perpendiculairement aussiàl'axederotation delatan­ gente.Ainsi,pourpasserdecesforcescentrifuges ordinaires auxse­ condesforcesdontJesdoubles entrentdansl'énoncé précédent; on n'aqu'àremplacer lavitesseangulaire delatangente parcelledes plansmobiles, etsubstituer illadirection del'axederotation -de.cette tangente, ladirection del'a~edtlmta~ionde cesmêmesplansmohiles. End'autrestermes,ilsuflit'edesûhstitutlt' à.toutcequiserapporte en grandeur etendirection àlarotation delatangente, cequiserap­ porteilcelledesplansmobiles, etdeprendreledoubledesforcesainsi obtenues. C'estàcausedecetteanalogie quej'aicrudevoirdonneràcesnou­ vellesforcesladénomination deforces centrzfuges composées: elles participent eneffetdumouvement relatifparlaquantité demouve­ ment,etdumouvement desplansmobilesparl'emploi deleuraxede rotation etdeleurvitesseangulaire. Ondiradoncquepourposeruneéquation demouvement relatif, quin'estpascelledesforcesvives,iLfau.tintroduire deplusquepour cetteéquation, lesdoubledesforCéScentrifuges composées. Lesdirections decessecondes forcessupplémentaires étantperpen­ diculaires auxvitessesrelatives, onvoitdesuitequ'ellesdisparaissent dansl'équation desforcesvivespourlemouvement relatif,puisqu'on n'emploie danscettedernière quelescomposantes desforcesdansle senSdesvitesses relatives~ C'estdanscettedisparition decesforcest!êntrifuges composées que " 146 MOUVEMENT llELATIF tl'x(dY dr.)+XX+dL+mdt'':-''2rmdt-qmdt-:- Il•Àdxetc., )d'j(dr. dX)y y dL+(Amdl'=2\fmdi- rmdl+-e+Àdyetc., mdJr.= 2(qmdx_pmdy)+Z-Z+ÀdL.+etc.~ ~ ~ Il ~ Nousvoyonsici,dansl'expression desforcesqu'ondoitconsidérer danslesmouvemens relatifs, deuxtermessupplémentaires; lesuns sontexprimés par-Xe,-ye,-ZIl'etsontdesforcesopposées à celles ~uiseraientcapables d'obliger lespointsmobiles àresterinva­ riablement liésauxplanscoordonnés. mobiles; lesautressontexpri-,mespar (djdZ)2rmdi-qmdl' (dr. dx) 2.\fmdi-rmdl' dx d. 2.(qmdl-pm't). Remarquons quesix,y,z,x',y',z~,sontlesprojections dedeux longueurs retr';leparallélogramme construit surretr',etdontl'ex­ pression estrr'sin(rr'),apourprojections surlesplanscoordonnés (xz'-zx'), (xy'-yz'), (yx'-xy'). Lesexpressions ci-dessus peuvent êtreaussilesprojections surles axescoordonnés d'unelongueur égaleàrr'sin(rr'),laquelle serapor­ téeperpendiculairement auplandesdeux:droitesretr'etserasituée dumêmecôté,parrapport ausensquivaderversr',quel'axe deszl'estparrapportauseD6qnivadeyversx. D'aprèscetteremarque ,lesexpressions ci-dessus enp,q,r,dx,dy, dz,serontlesdoublesdescomposantes suivantlésaxesd'uneforce dirigéeperpendiculairemeut auplandel'axederotationetdelavitesse DESSYSTÈMES DECORPS. 147 relative; laquelle force aur~pourgrandeur leproduit delavitesse angulaire ~p2+q"J+r"J,multipliée parlaprojection oulac.ompo­ sante,dansunplanperpendiculaire àl'axederotation, delaquantité demouvement dueàlavitesserelativedupointmatériel. Lesensdans lequelcetteforcedevraêtreportée,parrapporiàunmouyement se dirigeant del'axederotation verslavitesserelative, seralemêmeque celuidel'axederotation parrapportàlavitessederotation. L'introduction destermesci-dessus revientdoncàcelled'unenou­ velleforce,quiauneanalogie complète aveclaforcecentrifuge ordinaire. Eneffet,endésignant parfA}lavitesseangulaire aveclaquelle tourne latangenteàlacourbedécriteparunpointmatériel dontlamasseestm, parvlavitesse;laforcecentrifuge ordillairepeut semettresouslaforme fJtJmv, c'est-à-dire qu'elleestleproduitdecette vit~sseangulaire multipliée parlaquantité demouvement dupo!ntmatériel; deplus,sadirec­ tionestàlafoisperpendiculaire àlavitessevetàl'axederotation de latangente, puisqu'elle estdansleplanosculateur quiestceluidans lequeltournelatangente. •Onvoiidoncque,pourpasserdesforcescentrifuges ordinaires aux secondes forcesdontlesdoubles entrentdansleséquations dumou­ yement relatif, ilsuffitdesubstituer enmêmetemps,àl'axede rotation delatangente, àlavitesseangulaire, etàlaquantité demou­ vementdupointmobile; l'axederotation desplansmobiles, lavi­ tesseangulaire decesplans,etlaquantité demouvement projetésur unplanperpendiculaire àcetaxe. Cessecondes forcescentrifuges, résultant del'emploi simultané des mouvemens relatifsetdesmouvemens desplansmobiles, onpeutles nommer forcescentrifuges composées. Onarriveainsiàcettepro­ position,quelesexpressions desforcesàtljfJuterauxforcesdonnées pouravoirlesexpressions desforcesdanslesmouvemens relatifs 19·. MOUVEMENT RELATIF sont,1°.cellesquisontopposées auxforcescapables deproduire surchaquepointlemou~ement qu'ilauraits'ilétaitliéauxplans mobiles, 2°.lesdoublesdesforcescentrifuges composées . .Onvoitdesuitequecessecondes forcesdisparaissent dansl'équa­ tiondesforcesvivescomme lesforcescentrifuges ordinaires, puis­ qu'ellessontdirigées perpendiculairement auxvitessesrelatives, et qu'onn'obtient l'équation desforcesvivesqu'enprojetant lesforces relatives surladirection desvitessesrelati,., elles-mêmes. Ellesdisparaissent aussilorsquelesmouvemens relatifsdoiventse fairedansdesplansparallèles àl'axederotation desplansmobiles, puisque leséquations dumouvement danscesplansnecontiendront pas desforcesqui,étantperpendiculaire!f àl'ax.ederotation, leseront aussiauxplansdans'lesquels lesmouvemens s'opèrent . .Onpeutencore,sil'onveut,donnerunautreénoncédestermesde correction dusàcesforcescentrifuges composées ,lorsqu'on lescon­ sidère,nonplusisolément dansl'expression dechaqueforce,mais dansuneéquation quelconque.du mouvement obtenue enchoisissant unsystème devitesses virtuelles relatives. Enappelant J'x,~,J'z,etc.,lescomposantes desvitessesvirtuelles prisesdanslemouvement relatif,c'est-à-dire desvitessescompatibles aveclesliaisonsrelatives exprimées parL=o,etc.,onaura,enindi­ quantpar};unesomme s'étendant àtouslespointsquientrent dansl'équation L=0, I.(C::;Jx+:Jy+:Jz)=o. Enmultipliant chacune deséquations CA)parlavitessevirtuelle correspon'dante et'lesajôtitant toutesensemble ,lestermes en dLdLdL,.' ,'~•.:J.. l'.•dx'dy'dz'etc.,senIront,cest..-a,-v.1I'e q~eceslorcesqmproVIen- nentdesliaisons s'éliminero~t, etilviendra (B)DESSYSTÈMES DEÇORPS. (d'% d'yd'Ill) ~(dyh-dzJ'.r:':\.1:m dt~J'x+dt'J'y+dt~J'z+2p....m dt'). ~(dz!x-drJ'z)+2q..rn dt +2r~(dXd'Y:;;dyd'X) =I(XJ'X+Yefy+ZJ'Z)-1:(XeJ'x+YeJ'r+ZeJ'Z).149 Telleestlaformule générale quidonnera toutesleséquations se rapportant auxmouvemens relatif.,. Ceséquations, aulieud'êtreàdeuxtermescommepourlesmouve­ mensabsolus, contiennent toujours quatreespècesdetermesquidé­ pendent 1°.des.différentielles secondes; 2°.desdifférentielles premières; 3°.desvariables elles-mêmes; 4°.determesquidépendent desfOl'ces. données, lesquelles, suivan.tlescas,dépendront descoordonnées ou deleursdifférentiellespretnières. Onvoitqu'ily adeuxespècesdetermessupplémentaires; lesuns sontdusauxforcesXnYe,Ze,quidépendent ainsidescoordonnées x,y,z,quisontlesinconnues duproblème; lesautresquidépendent desdifférentielles dx,dy,dzdecesinconnues. Remarquons quelefacteur m(4rJ'z-dzJ'y} n'estautrechosequel'aireduparallélogramme construit surlapro­ jectiondelavitesseeffectiveetdela~vitesse virtuelle surleplandesyz; aInSI Ilti(dyJz.:....dvJ'y) seralasommealgéhrique detouteslesairessemblahles pour to~sles pointsdusystème. Chacune decesaires,dansl'espace, peuts'exprimer par........ nulsJ'ssin(ckis).,Enreprésentant parÀ,~,v,lesangl,quelaper- 150 MOUVEMENT RELATIF pendiculaire àsonplanfaitaveclesaxescoordonnés, onaura• 'i.mCJ;Jz 'i.mC~;dX l.mC~:Jr-dz(\) dsl'•(A(\dtoy='i.mdtoSsmdsos)CDSÀ-, dx(\) dsl'•(A(\dtoz='i.mdioSsmdsos)cos,u, dY) ds AdiJx='i.mdidSsin(dsJs)cosv. •Représentons para,~,y,lesanglesquel'axeinstantané derotation desplansmobilesfaitaveccesaxes,etparCdleurvitesseangulaire de rotationautourdecetaxe;onaura p=GJcosa, fJ=Cdcos~, r=Cdcosy. Lasommedestermesenquestion dansl'équation (B),'devient amSI égaleà 2CdIm ~;Jssin(dsJ-s)(cosacosÀ-+cos~cos,u+cosycosv). Onvoitquec'estlasommedesprojections desaires.m ~;Jssin(~Js) surunplanperpendiculaire àl'axederotation. Ainsil'on..2.eutdire que,pouravoiruneéquation dumQuvement relatif~ilfal!:ajouter auxtermesordinairement existans pourlemouvement absolu;d'a­ bordceluiquiprovient desforcesquisontcapables deforcerles pointsàresterinvariablement liésauxplansmobiles ~etenoutre untermequiestégalàdeuxfoislavitesseangulaire derotation des axesmobilesmultipliée parlasommedesprojections surunplan perpendiculaire àlaxederotation decesplans ~detouteslesaires desparallélogrammes compris entrelesquantités demouvement effectives etlesvitessesvirtuelles. Danslecasdel'équation desforcesvives,chaqueaireestnulle, puisquelavitessevirtuelle coïncide avecla.vitesseeffective; lasomme decesairesl'estdoncaussi,etlederniertermedecorrection dispa- DE,SSY~'fÈMES DECORPS. 151 l'ah.Cetteremarque formeprécisément lethéorème quej'aidonné surleprincipe desforcesvivesdanslesmouvemens relatifs. Ily aunautrecasassezgénéraloùcesairesdisparaissent aussi, c'estceluioùlesmouvemens relatifsetvirtuels sefontpourchaque pointdansunplanparallèle àl'axederotation desplansmobiles. Il estclair,eneffet,quelesairescomprises entrecesdeuxvitessesde­ viennent nullesenprojection surunplanperpendiculaire àl'axede rotation. Ainsi,danscecas,toutesleséquations dumouvement, par exemple, cellesducentredegravitéetdesairesontlieupourle mouvement relatif,enajoutant seulement lesforces-Xe,-Ye,--Ze. Lorsqu'on veutavoirdeséquations qui,pourcemouvement relatif, serapportent aucentredegravité, c'est-à-dire quirésultent' devi­ tessesvirtuelles égalesetparallèles àl'un d~saxesmobiles, ilsuffit d'ajouter ensemble toutesles,éq:?a~i?ns (A~,quiserapportent àune mêmecoordonnée. ,',',\l,i. 'c'. ' Enreprésentant par~,"et~,lescoordonnées ducentredegravité, parrapportauxaxesmobiles, etposantJ.m=M,ona• • J.md'x·Ma'~ dt' .dl' et • dx d·t; J.mdt=Mdl; .dl' • 1r dZd' ceqUIonnepouressommesenquestlOn, oueslorces Àdx,etc., IS- paraissent toujours, (C)Md'~M'(dt d'J) Vdi'+2qdi-rdt-J.X-J..a., Md'" (de dD -+2Mr--p- =J.Ydl' di dt Md'{M' ('d" d;) di'+2.Pdt-qdt=J.Z Si,da~slemouvement relatif,lecentredegravitédusystèmereste 15:J MOUVEMENT RELATIF surunedroiteparallèle àl'axederotation desplansmobiles, ona oubien tIr, d'lqdtrat=0, d~ dt,rdt-Pdl=0, d'l depdl-qdt=o. Ainsileséquations ci-dessus n'ontplusdesecondterme,etserédui­ sentà Uneseuledecestroispeutsubsister delamêmèmanière sansle secondtermedecorrection, siladirection delacoordonnée relative,qui entredansladifférentielle dudeuxième ordre,setrouveperpendi­ culaireàlafoisàl'axederotationetàlavitesseducentredegravité. Caralors,sic'estlacoordonnée ~,parexemple, ona Ainsiquanddeuxaxesseulement descoordonnées relatives sont mobiles, etqueletroisième, celuides~,parexemple, restepa­ rallèleàl'axederotatiop: auquelserapportent lesquantitésp,q,r, commeonàalorsq=0,r=0,onaural'équation DESSYSTÈMES DESCORPS. .155 ;Enfin,silecentredegravitésemeutsurune-ligne,donnéepar d"­rapportauplanmobile;enlaprenantpouraxedes~,onauradi=0, àç . dt=0,etparsUIte, • Simaintenant nousv8llonsexaminer cequedeviennent leséqua­ tionsdesaires,ilfaudra,dansl'équation (B),prendredesvitessesvir­ tuellesderotation autourd.'undesaxesdescoordonnées, par exemple, poser /z=0,x/x+yJY=0, ou Onohtiendra alDSt (dax d~Imydt'-xdi')-2rIm(xdx+ydy) +Im(p~+qy)dz= I(Xy~XX)-I(XeY-YeX). Cetteéquation, ainsiquelesdeuxautressemblahles qu'onohtiendrait pourlesvitessesvirtuelles derotationautourdesautresaxes,decoor­ données, nesesimplifient pasengénéral. Sil'axederotatiori desplànsmohiles aunedirection constante dansl'espace, auquel-cas onsaitqu'ileD:est ainsiparrapportauxaxes mobiles; onpourraleprendrepouraxedesz,etl'onaura .p=0,q=0. L'équation ci-dessus devientalors Im(Yd'z;;,ZdA0-2rlm(xd:r:+ydy) =I(Xy-Yx)-I(XeY- Yex). XXl~Cahür. 20 154 MOUVEMENT RELATIF ÙESSYSTÈMES DESCORPS. Ainsicetterelation-esttoujours aunombre deséquations dunlOuve~ mentrelatifquandl'axederotationdumouvement quientraîne les plansmobilesaunedirection constante dansl'espace. Silespoints mobiles, dansleurmouvement relati"nechangent pasdedistance parrapportàl'axeautourduquelonprendlesaires;c'est-à-dire à partirduqueloncompte ici lescoordonnéesxety;letermedecor­ rection2rJ-m(xdx+ydy)disparat! dansl'équation ci-dessus. SilesforeesXYsontdirigées versl'origine descoordonnées, elles disparaissent decetteéquation. IlenserademémedesforcesXe,Ye, sil'axederotationconserve unedirection constante qu'onprennepour axedesz,etsila.vitesseangulaire derotationdesplansmobilesest uniforme, c'est-à-dire sirestconstant etégalàtü;onauradonc Endésignant parAlemoment d'inertie -variable dusystèmeàun instantquelconque, etparÎ\lasommedesairesdécritessurleplan desx,y;onaura,enintégrant entredeuxinstans, etindiquant la première limiteparl'indicezéro, d"_d>.o=2",(A_A )dtdt O' Ainsi,danslesh~thèses précédentes, lesdifférentielles desaires danslesmouvemens relatifs, lorsqu'elles sontprojetées surunplan perpendiculaire àfaxederotation, croissent commelesmomeDS d'i­ nertie. ..