coriolis-force-texte-1

ee——— MEMOIRE Surleprincipe desforces vives dans lesmouvemens relatifs desMachines; Par M. G. CORIOLIS. LUAVACADEMIE DES SCIENCES, LE6JUIN 1831. Ladétermination dumouvement d'un systéme decorps {iésd'une manigre quelconque adespoints quisont entrainés dans l'espace, est unedesquestions quiintéressent leplus fathéorie desmachines, parti- culiérement celle desroues hydrauliques. Jean Bernouilli atraité te mouvement d’un point matériel pesant dans untube droit tournant horizontalement d'un mouvement uniforme autour d’un desespoints. M.Ampére, danslesAnnales demathématiques, arésolu faquestion ana- logue pour fecasoitfetube décrit uncéne vertical. Onpeut généra- liser cesquestions, enconsidérant lemouvement dans uncanal entrainé dans espace d'une maniére quelconque; mais cedernier probleme n'est encore qu'un casparticulier decelui dont jemesuisoccupé dans ce Mémoire. Ilcomprend lesmonvemens d’une machine quelconque dont certaines parties sont entrainées d’un mouvement donné. J'aitrouvé relativement acette question uneproposition assez générale qui,jecrois, n'apasencore étédonnée: voici enquoi elleconsiste. Siunsystéme depoints matériels soumis Adesforces estassujéti a desliaisons s'exprimant aumoyen decoordonnées relatives desplans quisemeuvent d'une maniére quelconque; danslemouvement parrapport ces plans, onpeutappliquer 'équation desforces vives enyfaisant PRINCIPE DESFORCES VIVESDANSLESMOUVEMENS RELATIFS. 269 entrer lesvitesses relatives ,etlesquantités d'action oudetravail quise rapportent aussi auxdéplacemens relatifs. Mais dans cesquantités d’ac- tion, enoutre desforces quisont immédiatement données etquicon- courent aumouvement absolu, ilfaut enconsidérer d'autres dont ilest facile d'indiquer 1anature :ellessontopposées auxforces qu'ilfaudrait appliquer aux points matériels dusysteme siilsétaient libres, pour les obliger 4conserver parrapport auxplans mobiles lespositions relatives quis ontauninstant donné, et&n/avoir ainsi quelemouvement quils prendraient s'ilsvenaient aétreinvariablement liésacesplans. Pour mieux fairecomprendre cette proposition parunexemple, nous . supposerons iciqu’il s'agisse dumouvement d'un courant fluide glissane pareffet desonpoids dans uncanal, pendant quecelui-ci prend un mouvement derotation autour d'un axevertical. Dans cecas, leprin- cipe qu’on vient d’énoncer apprend que, pour calculer l'accroissement de fademi-somme desforces vives dufluide, enn’ayant égard qu'aux vitesses relatives aucanal, ilfaudra ajouter faquantité d'action duealades- cente verticale desoncentre degravité, celle qui, dans leméme mou- vement relatif, résulterait pour chaque point d'une force derépulsion égale alaforce centrifuge fictive queceméme point produirait 4chaque instant si,contrairement acequiarrive, ilrestait alaplace oitilse trouve dans fecanal etdécrivait simplement uncercle autour deI'axe derotation. Lorsquil s'agit de’équilibre d’unfluide contenu dans unvase tour-’ nant autour d'un axe, onvoit immédiatement qu'il faut introduire des actions égales auxforces centrifuges; mais iln’en estplus deméme pour leprincipe desforces vives appliqué aumouvement relatif:onse méprendrait sifonregardait laproposition comme évidente, méme dans cetexemple assez simple. Ilestsipeuévident qu’on doitintroduire ces forces, quel'onarriverait adesrésultats fauxsiYonprocédait ainsi pour toute autre équation quecelle desforces vives. Lorsque lesquestions demouvement relatif 4desplans mobiles ne renferment qu'une variable indépendante, {eprincipe général qu’on vient 4énoncer suffira pour résoudre complétement feprobléme; iln'yaplus 270 PRINCIPE DES FORCES VIVES autres difficultés &surmonter quefintégration d’une équation entre fe temps etunevariable quifixelaposition dusystéme. Lescalculs sachévent complétement pour toutes lesmachines quisontentrainées d'un mouvement derotation autour d’axes verticaux, ensupposant qu'il nyaitd'autres forces extérieures quelespoids desmobiles. Lebutpratique decesquestions étant detrouver faquantité d'action transmise alamachine pendant qu'elle estentrainée; j'aicherché asim- plifier l'expression decettequantité enréduisant autant quepossible celle quirésulte desforces introduites envertu dumouvement detransport desaxesmobiles. Voici comment onpeutsereprésenter l'expression de cettedernidre quantité, Ilfautd’abord laconcevoir partagée endeux par- ties:unepremitre, quiestdueauxforces opposées acelles quiprodui- raient surchaque point femouvement queprend unpoint donné pris pour origine desplans mobiles; etuneseconde, quiestdueauxforces opposées acelles quiproduiraient farotation autour decette origine. Liexpression de1apremiére quantité s'obtient trés-simplement; elleest nulle quand fecentre degravité dusystéme nesedéplace pasparrapport auxplans mobiles. Lavaleur delaseconde offre plus dedifficultés dans saréduction. Pour enénoncer expression, nous remarquerons d'abord quedans lecasoit{esplans mobiles tournent avec unevitesse angulaire constante autour d'un axequinechange pasdedirection, elleestsim- plement accroissement que prendrait laforce vive despoints dusys- téme silsn’avaient dans leurs premitres etderniéres positions queles seules vitesses d’entrainement axec lesplans coordonnés mobiles, Dans lecasgénéral, elleestégale aceméme accroissement deforce vivedimi- nuée deLintégrale d'une certaine différentielle dont onpeut serepré- senter assez facilement favaleur. Onimaginera surI'axe instantané de rotation desplans mobiles, unpoint situé 4une distance delorigine égale alavitesse angulaire. Cepoint décrira unecourbe parrapport ades plans coordonnés dedirection constante passant parVorigine mobile, On concevra feplan normal acette courbe, et'onformera 1asomme des produits desmasses multiplies parlesprojections surceplan des aires décrites pendant untemps infiniment petit parlesrayons vecteurs DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 290 . menés deforigine auxpoints mobiles; ladifférentielle aintégrer serale produit decette somme multipliée par1avitesse dupoint fictif prissur faxe instantané, Ceténoncé montre quelle estl'influence deJavariation deIavitesse angulaire etdudéplacement deI'axeinstantané surlesquantités d'action dues auxforces qu’il fautintroduire enraison dumouvement d’entraine- ment desplans coordonnés mobiles. Onapergoit quil yadescaso& cette quantité d'action seréduira comme silemouvement decesplans sefaisait avec une vitesse derotation uniforme autour d’un axe invariable dedirection. Ilsuffit pour celaque!'intégrale dont onvient deparler s'évanouisse entre leslimites dumouvement. Leprincipe desforces vives étendu auxmouvemens relatifs donne trés-facilement unethéorie exacte desroues hydrauliques comme celles deBorda outurbines deM. Burdin, Pour fesroues &aubes courbes de M.Poncelet, ifmontre quetoutes lesfoisquel'eau sortdeVaubeafa méme distance del'axe derotation oiielleestentrée, sil'onnéglige fes frottemens, ellenepeut avoir acquis ouperdu quelavitesse relative dueaaction delagravité, rapportée alaroueconsidérée commeimmo- bile;desorteque,d’aprés laformeordinaire desaubes, favitesserelative de{'eau estplus grande ensortant qu’en entrant. Enappliquant leméme principe général auxseuls mouvemens de“ translation, onenconclut lapression qu'une veine fluide produit contre unplan qu'elle vient choquer obliquement. Lerésultat nedépend nides pertes d'action detoute nature quipeuvent avoir lieuparlesfrottemens dans lefluide, nid’aucune hypothése particulizre ,comme celles dont on avait eubesoin jusqu’a présent pour trouver cette pression. Ilsuffit d’ad- mettre seulement queleplan estassez étendu pour permettre I'épanouis- sement deIaveine. S'ilyafrottement duftuide contre feplan, laméme expression subsiste pour lacomposante normale auplan delapression oblique quecelui-ci éprouve defaction dufluide. Parlaméthode quim’a conduit &cerésultat, onvoitque, pour évaluer I'effetduchocd'uneveine fluide surlespalettes inclinées d'une roue, iln'est pasnécessaire d’attri- buerunevaleurparticuliére afaforceviveperdueparfechoc;ellepeut 272 PRINCIPE DES FORCES VIVES étrenulle ouellepeutétretoute faforce viveinitiale, sansquefamesure deeffet change devaleur. Tels sont lesrésultats principaux decemémoire. Itmesemble que Jeprincipe d’oit ilsdécoulent trouve assez d’applications dans lathéorie desmachines pour qu’on {femette aunombre despropositions de1amé- canique rationnelle. DEMONSTRATION DU PRINCIPE DES FORCES VIVES APPLIQUE AUX MOUVEMENS RELATIFS QUELCONQUES. Si{onréprésente parx,,J.»Zilescoordonnées relativesadesaxes fixes dans espace pour lespoints matériels dusystéme; parx,y, 2,les coordonnées desmémes points rapportées Adesaxes mobiles, etpar £,n,C,lescoordonnées deVorigine decesaxesmobiles; onauraparles formules connues, x=E+ axa by+ez, yer tadx +by+cz, uel +a's +My+¢z Onsaitqu'entre fescosinus abe, a'8'¢, a’b'c", ona lesrelations, are +e m1, ae eere = 1, . a be ec = 1, ad +bh +ecd =0, aa" +bb" +ec" = 0, da" + b+ dé = 05 oubien également, a+ra*+a* = 1, e+ oe + 5% = 1, ‘ oreae=1, ab+ dh’ + a’h’ = 0, ca+ca +a" = 0, be+bed +Be" = 0. DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 273 Nous supposerons quelesliaisons quisubsistent pendant femouve- ment soient exprimables entre lescoordonnées x,y,z,relatives aux axes mobiles ;feséquations quienrésultent étant L—=o, M=o,&c., onsaitquef'onpourra regarder chaque point comme libre, pourvu qu’on ajoute desforces dont lescomposantes, suivant cesaxesmobiles,seront exprimées par att LaTeo a+ Key aL 4M ADp+H>+&e., ate +beqth es A,#,&c., éant descoefficiens arbitraires. Ainsi,parexemple, lorsqueleséquations L=o,=0,&c.,seront celles desurfaces entrainées avec lesaxes mobiles, cescomposantes 4b dM 4A=, uwST,&e.,seront celles deforces normales acessurfaces. Lesprojections decesmémes composantes surlesaxesfixes seront - aL aL surcelui des x,aA2+bate +caSE4&., dx dy qe 1,ab 1,ab »,db desy,aAat BAT HCA +ben nyab adb wy)ab des2,ara +BAe On +&e. Desorte quen appelant X,,Y,,Z,,lescomposantes desforces données dans fesensdesaxesfixes, leséquations dumouvement seront ax aL aL 4 — — = AS osmo Hib wate +ba +AG +ee ay’ ab 1,dh 1,a = y+ waz +bay +On +&e, ay nydh oydk yaa= Zot ara Ate Ova &e. Onpeutpasser deceséquations acelles quiexpriment leséquiva- Jences semblables entre tescomposantes desmémes forces estimées XI Cahier. Mm 274 PRINCIPE DES FORCES VIVES suivant lesaxes mobiles. Sil'onappelle, pour abréger, X,Y, Z,les composantes desforces données suivant cesaxes, onaura . (A)ame amf anit=XLAE+w+ Bes bmEm E2Um=OY+at+ca+8s emi ema+ontt=Z+az+we &e. Onferadisparaitre lesforces dues auxliaisons, siYonajoute ceséqua- tions pour tous lespoints mobiles, aprés esavoir multipliées parles vitesses relatives dx,dy,dz,&c., quiseproduisent dans lemouvement dusystéme parrapport auxaxes mobiles. Avant d’effectuer cette opération, ilconvient d’exprimer lespremiers membies al'aide desdifférentielles dx,dy,dz,etdecelles desquantités 7.0, a,b,ca, U,¢,&c., quidépendent dumouvement desaxes mobiles. . Nous désignerons, pour abréger, pard,toutes lesdifférentielles prises seulement parrapport auxdernigres quantités a,6,¢,&c., Cest-A-dire, prises ensupposant quelescoordonnées x,y,z&»,C,nevarient pas, etquelespoints, nesedéplagant pasparrapport auxaxes mobiles, ont seulement lemouvement d’entrainement avec cesaxes dont l'origine serait supposée immobileetquin’auraientqu'unmouvement derotationautour decette origine. C'est pour rappeler quecette différentiation serapporte Aceseulentrainement desaxes, quenous mettrons ainsi !'initiale, enbas desd.Lesdsans indices indiqueront tesdifférentielles totales prises par rapport autemps. Onad’abord dx =adx+bdy+cdg+xda+ydb+ede+mdf, dy,=a'dx +b'dy-+ cde+xda'+ydb’+-de+mdy, dz,==a"dx-+ b'dy+c'dz+xda"+ydb"+-ede"+-mdC, etparsuite () md*x=m(ad*x+-bd*y +-cd*7-+- adxda+- 2dydb-+- 2dgde-+-d,x)-+ md*,dty—=m(u'd*x +bd'y-e'd*7-+-2dxdal-+-2dydb'-+-2dzde'-+-d,"y)-md*»,md*==m(a"d*x-+b'd*y-+e'd*7-+-adxda" +-2dydb"+-2dzde"-+-d,'2) +-md*C DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 275 Lesderniers termesm(d,*x,-+-d* £),m(d,*y, +-d*n), m(d,*z,+-d'C), nesont uutre chose que lescomposantes dans lesens desaxes immo- biles, desforces quiproduiraient surchaque point femouvement qu'il prendrait s'ilrestait aaméme place parrapport auxaxesmobiles des x,Js2.Nous désignerons cescomposantes parX,, YuZ,..etnous re- présenterons parX,Y,,Z,,lescomposantes desmémes forces dans le sens desaxes mobiles x,y,z.Onaura donc pour lesdeux derniers termes desexpressions ci-dessus dx, EY dy,|diny ee oY(TEA) HoMBA) atomGTe)Son Pour avoir facomposante surI'axeimmobile desxdelaforce quipro- duirait lemouvement effectif d'une masse m,ilfaudra substituer les valeurs (n)dans leséquations (A), etensuite remettre X,,Y;,Zepour fes sommes (aX, +aY, +@'Z,.), (6X, +UY, +WZ), (eX, +d¥, +Ze). Fnvertu decequeada+ada’ +a"da"=0,onauraainsi,enné& gligeant pour abréger d’écrire lesdénominateurs dt*sous lesdifféren- tielles dupremier membre, md*x+-2mdy(adb--a'db' +-a'db")+- 2mdz(ade-+-a'de' +-a'de") +-X, =X+ ae+&e. Onarrivera deméme pour fescomposantes surl'axe desya md*y +-2mdx(bda +b'da’+-b'da’)+-amdz(bde +Bde’+b'de)+Y, =V+atei +Ke, y etsuraxe desza maz+-2mdx(eda+dda’+-c'da") +2mdy(edb+¢'db'+-c'db")+-Z, . =Z+ ate+&e.az . Mm* 276 . PRINCIPE DES FORCES VIVES Onaura deséquations toutes semblables pour lesautres points. Sion lesmultiplie pardx,dy,dz,etqu’onlesajoute, lesforcesASX,&e., disparaitront. Onauraainsi, enreprésentant par&lasomme destermes semblables pour tous espoints mobiles Emi(dxd'x-+-dyd"y-+-ded"2) +Eamdxdy(adb-+a'db'—+-a'db"-+-bda-+-'db-+-6'db") +Eamdzdx(cda--e' da’+-c'da" +-ade--a' de+-a"de")~+Eamdyde(bde+-8'de' +-8"de'edb+-<'d0'-+-c"db") +E (Xde-+ ¥idy-+-Zde) =E(Xdx+-Y¥dy-+-Zde). Lesfacteurs quimultiplient lesproduits ddy, dedx, dydg, sontnulsen vertu decequeYona ab+ah +a'b' =0, ca+ ca +c'a" =0, be +Be + Be mo. Ainsi cette équation, enrétablissant fedénominateur dt",seréduit & Bm(de +dy4dg2)4EXdx+Yedy+Zaz ==(Xdx +Ydy +Zaz). Sifonappelle V,favitesse relative d'un point quelconque parrapport aux axes mobiles, onaura VAV,=dx2%+dyt+dy SO bhOG Tae Sion désigne parP,{1aforce opposce acelle dont X,,Y.,Z.,sont lescomposantes, pards,arcdecourbédécritdanslemouvement relatifd'un point quelconque parrapport auxaxes mobiles, onaura —~ Xx +Vody +Zdq =—Peoos(P.ds) ds,. Enseservant denotations analogues pour lesforces données, etdé- signant parPfaforce dont X,Y,Z,sontlescomposantes,, onaura —~ Xdx +Ydy +Zdz =Pcos(Pds,) ds, .DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 297 Ainsi 'équation précédente peut sécrire ainsi:—~ o> EmV,dV, =Peos(Pds)ds, +P,cos(P:ds,) ds, Enintégrant cetteéquation etdésignant parV,lavitesse d'unpoint quelconque alafindutemps ¢,etpary,Javitesse duméme point a Torigine decetemps, onaura pte ome=ppeos(Pain)ds, +[P.cos(Pa.)ds Cette équation renferme cethéoréme, queleprincipe desforces vives 4aencore lieudans lemouvement relatif auxaxes mobiles, pourra qu'aux quanttés d'action [Pcos(Pds)ds,, calculées aveclesforcesdonnées Petles, arcsds,décrits danscemouvement relaif, onajoute d'autres quantités d'action quirésultent desforces P,,quisontegales etoppostes acellesqu'ilfaudrait appliquer &chaque pointmobile pourluifaireprendre lemouvement qu'ilaurait S'ilétait invariablement liéaux axes mobiles. Nous indiquerons plusloinlemoyen dereprésenter cesforces etde simplifier lescalculs desquantités d'action quileursontdues. Mais aupa- rayant nous allons examiner lesprincipaux avantages duthéoréme pré- cédent. *Cette extension auprincipe desforces vives oudefatransmission de Jaquantité daction donnera uneéquation différentielle quisuffira pour déterminer toutlemouvement quand iln'yauraqu’une variable indépen- dante etquelemouvement dentrainement desaxes mobiles seradonné 4priori :tadifficulté neseraplusquedansVintégration decetteéquation oitlesforcesPetP,etlescosinus cos(Pdi), cos(P,ds)serontengénéral desfonctions dutemps etd'une variable serapportant a1aposition du systtme relativement auxaxes mobiles, Lebutordinaire decegenre deprobléme demouvement dansunsys- téme entrainé parunemachine d'une maniére donnée 4priori, comme celaseprésente pourlesroues hydrauliques, estdetrouver Jaquantiteactiontransmise alamachine:nousallonschercherl'expression decette quantité, ° 278 PRINCIPE DES FORCES VIVES RECHERCHE DELAQUANTITE D’ACTION OUDUTRAVAIL TRANSMIS ALA MACHINE QUI PORTE LES AXES MOBILES. Onpeut appliquer feprincipe desforces vives aumouvement dusys- téme dans l'espace, pourvu qu'on tienne compte detoutes lesforces aux- quelles lespoints mobiles sontsoumis, cest-d-dire, pourvu qu’on ajoute auxforcesdonnéescellesquiremplacent lesliaisonsparrapportauxaxes mobiles enayant égard aumouvement donné decesaxes, Cesforces, jointes acelles quisontdonnées, remettront fesystéme dans l'état ordi- naire odiln'yapasdeliaisons dépendantes dutemps. Laquantité d'action * quecesysttme aurarecue parI'effet decesforces seraensigne contraire .celle qu'ilauratransmise auxsystémes desaxes mobiles. . Nous désignerons, pour abréger, cette dernitre quantité d'action parQ: nous appellerons yetVlespremitres etlesderniéres vitesses d'un point quelconque pour son mouvement absolu dans espace, cest-a-dire, parrapport auxaxesfixes,et nous désignerons pards lepetit arcdécrit parrapport &cesmémes axesfixes. Lesystéme étantdevenuisolédesaxesmobiles, quandonconsidere les forces quiproduisent laquantité d'action Q,onaura parleprincipe des forces vives dans cecas sem _pm—sypeos(Pas\ds —Q,2 2 ou a my mvs Q=BSPcos(Pds)ds+7—Bm, Lecalcul desquantités quisontdansfesecond membre estsubordonné Alaconnaissance dumouvement despoints etauxvitesses initiales. Distinguons comme précédemment pardesrmisenbasdeslettres les quantités quiserapportent aumouvement relatif parrapport auxaxes mobiles, etpardesemiségalement aubasdesmémes lettres, lesquan- titésdeméme nature quiserapportent aumouvement d’entrainement de cesaxes, lorsque fespoints matériels sontsupposés liésinvariablement DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 279 avec eux. Lespremiéres etdernitres vitesses vetVseront lesvitesses . résultantes dey,v,,etdeV,,V,.Ainsi onaura “A wv= v2+ ¥*+ayy, cos(¥y,), a Ve=V+ Ve+2VV,cos(VV)). Desorte que'équation ci-dessus devient my mye ins Q=EfPcos(Pds)ds +ES+E+ Zmy,y, cos(¥,¥,) _zee_baa—EmVV,cos(V,V,). Lesquantités quiserapportent auxvitesses initiales y,,»,,seront don- nées, ilrestera acalculer {esvitesses V,,V,,etleterme E{Pos (Pas)ds: Cestcequiseferaquand onaura {aconnaissance compléte dumouvement parl'intégration def’équation desforces vives pour lemouvement relatif, puisque, connaissant lespositions despoints parrapport auxaxes mo- biles, onconnaitra aussi leurposition dans lespace. : Sans rienparticulariser surcesmouvemens, onpeutnéanmoins pré- senter desrésultats généraux quisesimplifient beaucoup dansdeshypo- théses conformes acequeprésentent lesapplications decesquestions a athéorie des machines. : Remarquons qu’on apour lesmouvemens relatifs enverfu duprincipe établi aucommencement decemémoire mVe my — of. ()BE eh =x/Peos(Pds,)ds, +B/P.cos(Pds,) ds, substituant cettevaleur dansI’équation précédente quidonne {avaleur deQ,onaura = —_ — Q=Em/Pcos(Pds\ds —¥fPcos(Pds)ds, —¥fP.cos(P.ds)ds, +Ee etl4Emyycos (in)—EmV.Vc0s(V,V). Sifon appelle ds,lepetitarcquedécrirait unquelconque despoints s'il 280 PRINCIPE DES FORCES VIVES était liéinvariablement auxaxes mobiles; lepetit areds,décrit dans le mouvement absolu, sera {adiagonale construite surds,etds,comme cbtés, Done sif'onprojette ds,ds,,ds,,surtadirection de{aforce P, on aura “~ — —~ dscos(Pds) =ds,cos(Pds,) +ds,cos(Pds,), ou bien— ma — ds,cos(Pds,) ==dscos(Pds) —ds,cos(Pds,). Enréunissant pour chaque point lesdeux intégrales — —~[Pcos(Pds)ds, Pcos(Pds) ds, onauradone—_~ —~ —JPcos(Pds\ds —/Pcos(Pds,)ds, =fPcos(Pds,)ds, . Ainsi 1avaleur deQdevient — — mvs \v) Q=¥fPcos(Pds))ds, —EfP,cos(Pds)ds, +B. ~~ mvs —_. +Emy,y(r,%) —E=E —EmMV,VcoslV,V). Telle estlaformule générale dutravail transmis alamachine a laquelle tiennent lesaxes mobiles. LecalculdecettevaleurdeQestsubordonné aceluidesintégrales {Pos (Pds,)d5., [P.cos(P.ds,) ds,, etauxvaleurs deV,etdeV,qui résulteront detl'intégration de{'équation (c).Nous allons voirdescasott {escalculs s'exécutent sans complication, etnous montrerons comment cette formule, lorsméme quecescalculs nes'achévent pas,permet de reconnaitre lescirconstances quiinfluent surfaccroissement ouladimi- nution defaquantité Q. SIMPLIFICATION DANS LECAS OULES QUANTITES DEMOUVEMENT DUES AUX VITESSES D'ENTRAINEMENT SEFONT EQUILIBRE D'ELLES-MEMES DANS LA MACHINE AU DERNIER INSTANT. Hyades casoitfeterme ©mV,V, cos(V,V,) seranul:pourcelail DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. .281 suffira quelesvitesses d'entrainement V,soient telles queJespoints étant dans lespositions oiilssont, restent enéquilibre dans amachine parrapport auxplans desx,y,z,sans produire aucun mouvement re- fatif, sifonsupprime lesvitesses relatives, etqu'on nedonne quele mouvement dentrainement avec lesaxes. Eneffet, lesquantités demouvement imprimées auxpoints seraient alors mV,; lesvitesses relatives V,sorit desvitesses virtuelles pour les mouvemens defamachine; ainsi onaurait =m V.V,cos(V,V,) =0, cequidonnera dans cecas . — — moe nVeQ=SPcos(Pds}ds, —fP.cos(Padin)ds, +BM—ypBle — +2Emy,v,cos(y,%,). EXPRESSION GENERALE DELAQUANTITE D/ACTION QU’IL FAUT INTRODUIRE DANS L’'£QUATION DES FORCES VIVES, ENRAISON DUMOUVEMENT DES > AXES MOBILES. —~ Nous allons examiner comment {aquantité d'action E/P, cos(P,ds) ds, dépend dudéplacement deI'axe instantané derotation desaxes mo- biles etde1avariation delavitesse angulaire. Lesforces P,peuvent sedécomposer endeuxesptces :fesunesdont . ca ay eo, {escomposantes, suivantlesaxesfixes,sontmE,m=,mL,cest a-dire, lesforces capables dedonner &chaque point leméme mouve- ment que forigine desaxes mobiles;{esautresdontlescomposantes suivant esmémes axesfixes,sontm“@**.,m“2+,m“%, jesquelles forces sont celles quiproduiraient 1arotation dusyst?me avec lesaxes dans laposition otilsetrouve achaque instant. Onchoisira lorigine descoordonnées x,y, z,pour rendre leplus simples possible lesforces m2, m2, m££,Parexemple, siunpointsemeutuniformément.de de’ de ’ XX1s Cahier. Noa 282 PRINCIPE DES FORCES VIVES ouavec unmouvement uniformément accéléré, enleprenant pour origine ,cescomposantes seront nulfesouconstantes. Ilestfaciledevoirque,si4’,Y',Z!,sontlescomposantes suivantlesaxesmobilesdesforces opposées acelles qui produiraient surchaque point femouvement de Vorigine, laquantité d'action due acesforces directement appliquées auxpoints mobiles, sera hEfinX'dxVYdx-¥-Zde)=-fX'Emdx--f¥ Emdy+-fZEmdz. Six’y'Zsont lescoordonnées, relatives auxaxes mobiles, ducentre de gravitédusystéme, cettequantité devient, enappelant AZlamassetotale, , +Mf(X'dx’+Y'dy+Zdz). Endésignant parP”,laforce accélératrice opposée Acelle quiproduirait cemouvement deforigine, lamasse totale yétant concentrée, etpards, Vare décrit parfecentre degravieé dusyattme; onpourra encore larepré- senter par es+M[P’, cos(Pds)) ds,. Sife centre degravité n'avait pasdemouvement relatif parrapport aux plans mobiles, cette expression serait nulle, puisque ds,’serait nul. Revenons aucalcul de/P,cos(P_ds,)ds,, ennenous occupant plus des forces dues aumouvement del'origine desaxes mobiles. : Enserappelant cequedésigne P,,onverra facilement quelescompo- P, Not, by santessurfesaxesfixesde—sont,enn’écrivant pas,pourabréger, les dénominateurs de, —(xdta +yd*b+ ede). : —(xd*a' +yd*l! +zd*e’) —(xd'a" +yd*b" ++ed*e") etsur fesaxes mobiles , DANS LESMOUVEMENS RELATIFS. 283 —x(ada-+a'd'a' +a'd'a") —y(ad'b+a'd*h'+adh) —¢(adte +a’d*c +a’d*c") —x(bdta +B'dta+b'dta") —y(bath+Bath+b'd*b") —abdte +bide!+b'd'c’) —x(ed'a +dtd +eda") —y(cd*h-+ edb+cath") —gedtebedtd rec'd'e"). Lesprojections deds,surlesaxes mobiles sont dx, dy,dz;lemoment ~ virtuel P.cos(P.ds))ds,Sobtiendradoncenfaisantlasommedesproduits descomposantes ci-dessus pardx, dy,dz:onaura ainsi !asomme suivante ; —xdx(ad‘a-a'd'a'ta'd'a")— ydy(bdb-U'd'b bab) Pscos\Pedids,edeledet-ddte+-c'd*e’) =|—xdy(bd*a+b'd'a'-b"d"a") —ydx(ad*h-a'd*b-+a"d*b") cds (adepa'd'd'--a"d'c’) —xdeled'a-cd'a+¢'d'a") ydeled*b-c'd'b--c'db') —zdy(bd'e- bide4-6'd*c’), Or,envertu desrelations entre lesquantités abc,a’B'c', a’b"c’, ona . ada +a'da' +a'da’ =0, doit fon tire —(ada +a'd'a’ ++a'd'a") =(da* +da’+da’). Onaurait deséquations toutes semblables pour leslettres }etc. SiI'onporte surl'axe instantané uneJongueur égale alavitesse angu- laire,etqu'onappellepgrlescoordonnées parrapportauxaxesmobiles dupoint ainsi obtenu enportant Jalonguéur d’uncétételqueJavitesse angulaire fasse tourner dans unsens déterminé autour decetaxe, par exemple dexvers y,sicepoint était surVaxe deszducdté des positifs, onaura par{esformules connues eNno® ‘ . , 284 PRINCIPE DES FORCES VIVES —(adb-Ha'db'-t-a'db") =(bda--8'da'+-b'da") =rdt —(bde+U'del-+- W'de")=(cdb-+-c.db’ +c'db)=pat —(eda-pe'dal-pe'da) =(ade-balde'-Ha'de’) =qdt, etdela bdta +Uda’ +b'd*a"=—drdt—dbda—db'da!—db'da" ad*h -+-a'd'8 +a'd*h!=—drdt— dbda—ddal—dB"da. Onaurait desrésultats toutsemblables pour lesautres combinaisonsenbeetac. Sion appelle w,,dy,uz,lesvitesses angulaires desaxesdesx,desy etdesz,onaura dat + da* +da’ = ogdt db+db* +db" =ade de +de® +de® =ogdt et ~~ dadb +da'd¥) +da"db" ==waycos(oxy)dt*em dade +da'dé +da'de" =axuyc0s(a,ay) dt*LY dbde +d8'dé +db'de’ =aywzcos(exa,)di. Enintroduisant cesvaleurs dans lexpression précédente dumoment virtuel Pecos(Pedr) dsr,danslaquelle onremettra ledénominateur d¢*quon wavait pasécrit parabréviation, onaura Pe 5. s,Fecos(Pedsdldsy==axtxds+ay'ydy+agtede A Ae(xdy +ydx)q0yc05(dn0y) ~bh(ude++zdx)eax0,008 («yeae)aN +(yd+Zdy)wyeezcos (yz)d) —(xdy —ee) di—(cde—xd)SE Ey—(vde—dy)2. DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 285 Lesquantités xa, yoy, Zz, sontlesvitesses d’entrainement despoints situés sur[esaxes mobiles avxdistances x,y,zdeLorigine. Orla vitesse dentrainement dupoint dont x,y,zsontlescoordonnées, est larésultante deces trois vitesses, comme cela résulte des relations entre lescoordonnées. Ainsi enserappelant qu’on adésigné parvela vitesse d'unpoint supposé liéauxaxesmobiles, onpourra poser : ~ Ve*=Wx?X*bEWy*y*WZ" 2XWx@yCOS(xy) “A 2XWx@zCOS(GxGz)++2YZ@ye2C0S (ayer). Or, encomparant cette expression avec lessixpremiers termes dela ~ valeur précédente dePecos(Pedsr)dsr, onreconnaitra quecestermes forment favaleur ded,—*-; ledydésignant unedifférentiation faite parrapport aumouvement relatif, lorsque x,y, zchangent seulement etquelesvitesses wx,ay,;etleur direction nechangent pas. an P. > Pourréduire l'autre partie de1avaleur de~cos(Peds+)ds,,o&se trouvent lesfacteurs (xdy—ydx),nousdésignerons pardM,lapetiteaire décrite dans letemps dtparlerayon vecteur quivadeforigine desplans mobiles aunpoint quelconque dusystéme, ennetenant compte quedu mouvement relatifparrapportacesplans,etnousreprésenterons parA,u,7 lesangles quefait, avec lesaxes mobiles, laperpendiculaire auplan de cette airedMr, enportant cette ligne d'un cdtételqueIarotation du rayon vecteur sefasseautour decette direction, dansleméme sensque celui quiseproduit parlarotation desaxes mobiles autour del'axe instantané prisdans fadirection quivadeYorigine aupoint dont les coordonnées sont pgr. Les trois derniers termes delavaleur deP.cos — (Peds,) ds,seréduiront évidemment & dp dq dr (cosaE+ cosySh+cosy)24m, Sifonappelle p,g,r, desquantités analogues &pgr, mais serap- portant @desaxesfixes, onaura > 286 PINCIRE DESFORCES VIVES 7 pap, +4g +a'r, q=bp,+Ugh br, rep tg ber. Onsaitque{'axe derotation estperpendiculaire auxvitesses detous les points, etparconséquent acelles depoints pris&lunité dedistance surlesaxes mobiles, etquelescomposantes desvitesses decespoints sont da, da’, da’, etc., onaura done pda +q.da +r,da =o : pdb +9,46 +r,db"=0 pide +qidcé +r.de' =0; ainsi, endifférentiant lesvaleurs précédentes depgr, ontrouve, en vertu des relations ci-dessus, . dp=adp, +a'dg, +a'dr, (e) dg=bdp, +dq, +B'dr, dr=cdg, +¢dq, +c'dr,. Sil'onappelle A,u,¥, lesangles del'aire dM, avec lesplans fixes desx,y,Z,,onaura cosA, ==acosA ++ bcosp + ¢cosy cosa, =a’cosA +Ub’cosu+cosy cosy, ==a’cosA ++a’cosm ++c'cosy; ainsiYexpression précédente devient, aprés 1asubstitution desvaleurs dedp,dq,dr,fournies parleséquations (e), . - apy dq, dry(cosa, PL+cosu,SE+cosy,+)2dM,. Mais p,,q,.¥,représentant lescoordonnées d'un point porté surl'axe instantané &unedistance delorigine égale A1avitesse angulaire absolue quiest//p7-g,-r7+ +Sil'oncongoitunetangente alacourbedécritepar DANS LESMOUVEMENS RELATIFS. 287 cepoint, etqu’on appelledelepetitarcqu'ildécrit,ou/Ipp+raqp anti lecosinus deangle detaperpendiculaire auplan dePélément dM, avec latangente enquestion sera conn, itt a dnCosa, ES +cosm, Te =bcosy, TS. Ifsensuit que, sifonprojette cette airedM; surleplanperpendiculaire &cette tangente alacourbe décrite parlepoint dont p,g,r, sont les coordonnées, etqu’on appelle dV, cette projection, onaura 2dN=24M;\cosa,PR+cosu,A+cosy,|, -Ainsi l'expreesion précédente destrois derniers termes dePecos (Peds) ds, deviendra . —.dN, St. On adone Pp, (ve*) decos (Pedse)dse=dp“1—aAt; ainsi (ve) de EfP.cos(Pedsx)dsy =Bfmd, “).—2EmfdN, =. SiVonintégre parpartie lepremier terme dudeuxiéme membre, en vertu delaformule d(ve)' =de(¥e)* +delve}, on aura BfPecosPedy)dsy=BE —eB fmd, 2) de—2mfdN, Enappelant A,B,C,lesmomens dinertie principaux dusysteme pour une position instantange despoints mobiles, etensupposant quelesaxes mobiles soient cetinstant lesaxes principaux pour cette + . 288 PRINCIPE DES FORCES VIVES position despoints mobiles, cequiestpermis puisque jusqu’a présentcesaxesmobilesontétélaissésarbitraires ;onaura mye 4. BY. ce.PSST tyres Maispouravoir Emd,2”,ondoitdifférentier lavaleurprécédente sans faire varier lespositions despoints, cest-i-dire sans faire varier A,B,C, etengardant toujours pour axes principaux lesaxes mobiles; ainsi onaura . Em£00"—Apdp+Bydq+Crdr. Sifoncongoit tespetites gires décrites dans letemps dtparles rayons vecteurs dans lemouvement d’entrainement desaxes pour une . position donnée dusystéme parrapport auxplans mobiles, lesquan- tivesApdr,S-qdt, dt seront lessommes desprojections de cesaires surcesplans mobiles choisis comme plans principaux pour cette position dusystéme. Sil'onappelle dMzfune decesaires, etAcieee les angles defaperpendiculaire acette aireavec {esaxes mobiles, enfa prenant d'un cété telque farotation durayon vecteur sefasse autour decette direction dans feméme sens otfonadéjasupposé quelle se faisait autourde1adirection prisepourfaperpendiculaire auxairesdM,; on aura dM, Ap=2Em ~~ cosre : aM, . Bg=2Em cosue dM, Cr=2Em = cosre, done d _ aM.,d d Apdp +Bqdq +Crdr =2m——(cosredp +costedg +cosredr). . DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 289 Sionremet pour dp,, dq, dr,leurs valeurs endp,, dq.,dr,, tirées deséquations précédentes (£), etsil'onfait cOsA,, ==acosdA, +bcosm, ++ ¢cosy, ccsfy, ==a’cosA, +b’cosm, +¢cosy, c0s¥,, ==a’cosa, ++bcos, +c'cosy,, cequirevient adésigner parAyesvesVierlesangles quefaitl'aire dM, avecfesplans fixes; l'expression précédente deviendra aM, 2m—T—|cosAredp, +cospyedg, cos¥,ed¥,|5 donc, enappelant comme précédemment de[arc décrit parfepoint géométrique obtenu enprenant surI'axe instantané derotation unefon- gueurégaleafavitesseangulaire, quiest/p>aqr re»expression précédente peut s’écrire ainsi: am |cosryePE+costtyeHE+cosre|de. Sifonreprésente pardN,laprojection delaire dM, surteplan per- pendiculaire aupetit arcdo,laquantité ci-dessus devient 25mrode; ainsi favaleur de{'élément différentiel delaquantité d'action dueaux forces P,sera EP.cos(P.ds;)dsr =EmdOH—aemMede+ aN,— 2Em de. Or,sil’on désigne pardNlaprojection surfeméme plannormal la courbe dont deestlepetit arc,pour l'élément dire décrite dans le mouvement absold dans l'espace parlerayon vecteur mené fundes points mobiles, onauradN=dN, ++dN,; onadonc XXL! Cahier Oo 290 PRINCIPE DES FORCES VIVES d(¥)* dN EP.cos(Peds,)ds, =Em220 _gem2%de. Ainsi, lorsquin neconsidére que{esforces dues afarotation, la quantité d'action seréduira endéfinitive & mV mv dN E/P.cos(Prdsy)ds, =EAE 2Emfe do, Onconclut decette formule que, siles points décrivent detrés-petitsairesdansespace, oudesairesparalléles aladirection de,dans laquelle marche lepoint fictif prissurfaxe instantané, alors laquantité d'action EfP.cos(P,ds;)ds, estlaméme quesicetaxenechangeait pas, et quelavitesse angulaire fitconstante. Si,lavitesse anguiaire desaxes mobiles étant variable, cesaxes tournent autour dumémeaxeinstantané; alors©fm44dedevien- dralasomme desaires projetées surunplan perpendiculaire acetaxe. Sidoestnul,cest-a-dire silavitesse angulaire nevarie pas, etquel'axe instantané derotationsoitfixe,alorsleterme2m{4%deestnul,* etlaquantité d'action dueauxforcesP,serédvittoujours az2H. =TE, cest-a-dire, alaccroissement delaforcevivedueauxvitesses dentrainement avec lesaxes. Si,pour calculer lavaleur defaquantité d'action P,cos(P.ds,)d5-, onaégard maintenant aumouvement deLorigine desplans mobiles, il faudra ajouter leterme M{P,cos(Peds,)ds'r, dans lequel Mrepré- sente lasomme desmasses, P,'faforce accélératrice opposée acelle quiproduisait lemouvement deYorigine, etds,élément décrit par rapport auxaxes mobiles parlecentre degravité desmasses. Ainsi on aen général mV my? dN EfPrcos(Peds,)ds =EM—eM 2EmfFdo +MIP/cos(Pids)d5q . DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 291 Quand l'origine desplansmobiles aunmouvement rectiligne uniforme, ouqueIecentre degravité dusysttme nesedéplace pasparrapport auxaxesmobiles, /P,'cos(P,'ds,) ds,estnul,etonaseulement meV* mev* dN EfP,cos(P.ds,)ds- =S——5 23fr do; cecasestpresque toujours celui quiseprésente dans lapratique. Ensubstituant cette derniére expression dans {avaleur (p)deQ,on aura faquantité d'action transmise alamachine lorsque leterme /P,'cos (Pids,) ds¢estnul:ellesera Q= EfPcos(Pds,) ds,-+-Emy,t—EmV,A +Emy,v,cos(r%) de —EmVVcos(VeV,) —2BfmdN . Lorsque /mdN4%=0,cequiarrive,commeonvientdeledire, quand larotation estuniforme, puisque de=0,ona ~ Q=EfP cos( Pds,)ds,+Emy,—EmV2 +Bmy,v,cos (%,%)a —EnV,V,cos(V,V,): leméme résultat aurait encore lieusi,den’étant pasnul, onavait entre eslimites dumouvement dN Em[- de=0. APPLICATION AUX CAS OU LEMOUVEMENT DE ROTATION DES PLANS MOBILES EST UNIFORME AUTOUR D'UN AXE DEDIRECTION CONSTANTE QUI N'A QU'UN MOUVEMENT DETRANSLATION UNIFORME. Supposons quelemouvement desplans mobiles soitunmouvement derotation uniforme autour d'un axefixeoud'un axesetransportant uniformément dans espace parallélement alui-méme, Alors onade Oo* 292 PRINCIPE DES FORCES VIVES =0,etlesforces dues aumouvement delorigine, enfaprenant sur Yaxe, sontnulles, desorte queledernier terme delavaleur précé- dente deQestnul.Ainsi cette valeur devient . Q=BfPcos(Pds,)ds,-+ Emy —EmVe +Emyv, cos(yr) —EmV,V-cos(V,V;)- * Sit'on désigne par«Iavitesse angulaire derotation desaxesmobiles, etparKetlesmomens d'inertie dusysttme parrapport aaxede rotation dans sespremitres etdernitres positions, onaura mye mV _wt pe et =tk). Dans lecasoflesforces Psonttoutes paralléles aaxe, alorsona cos(Pds,) =0, puisque ds,estunarcdécrit dans unplan perpendiculaire a{adirection deaxe oudeP,Deplus, endésignant parretRlespremiéres etder nigres distances despoints mobiles aaxe derotation, ona¥,=or etV,=wR; lavaleur deQdevient donc Q= wEmrv,cos(vv,) —@EmRV,cos(VrV,) —a(K—h). Siln'ya,comme onlesuppose, qu'une variable indépendante dans le mouvement delamachine, onconclura lavitesseV;d'undesespoints del'équation me any,* tm, SalES BE +BfPe0s (Psy)dsp+EfP,cos(Ped 51)dsr ouAcause de EfP,cos(P.ds))ds, =EMME ee Kk) ve ve ot (pan Em Em SK Aft)+BfPos(Pdi) dir. Lesforces Pétant parexemple despoids dont fadirection estparal- Réle&axe derotation supposé vertical, sionappelle 4fahauteur DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 293 dont fecentre degravité desmobiles estdescendu parallélement acet axe, etMla masse totale despoints mobiles, onaura — EfP cos(Pds,)dsr=gMh. Enfin, sifonappelle V;’etv-'lespremiéres etderniéres vitesses pour unpoint particulier dusystéme quisoittelqu'on aitV,=AV," et ¥=av’, Aetadépendant delaposition defamachine etpouvant diredesfonctions defare s,parcouru parcepoint, onaura SEemAt=EEmat+2(Kh) +Mh, dou FY OE St ETZL Vi=Vw toa+tea +Sma Remettant dans l'expression deQpour »,etVylesproduits ay,'AV;’, etsubstituant enméme temps pour V;'lavaleur ci-dessus, onaura Q= +4%’Emarcos(y,V;) RELICSeELA Vj1SeptA SE|smareos(h, 4)0"(2) Lesfacteurs cos(v-¥,), cos(VrVe), sont delanature descoefficiens aet A,etdépendent aussi despositions dechaque point du-systéme; tes sommes Emarcos(-y), ZmAReos(V;V,)serontdesfonctions defa variable unique quifixera laposition relative delamachine aupremier etaudernier instant. Desorte que, connaissant lapremiére etladerniére position dusyst@me parrapport auxaxes mobiles, etconnaissant »,’et«, onaura Q.(Voir fanote (a),ensupplément.) APPLICATION DELAFORMULE QUI DONNE LAQUANTITE D'ACTION TRANSMISE AUNE ROUE HYDRAULIQUE TOURNANT AUTOUR D'UN AXE HORIZONTAL, : . Onpeutappliquer fesformules générales desarticles précédens ala 294 PRINCIPE DES FORCES VIVES question dumouvement del'eau dans lesaubes courbes desroues de M. Poncelet. Sitonconsidére Yaube comme uncanalotl'eausemeutpendant quil estentrainé d'un mouvement derotation uniforme, favaleur de V,seradonnée dans cecaspar mV mv, Bat BdeBa Sa ZfPcos(Pds-) ds,+BfPcos(Pds;) dsr. Silesmolécules fluides sortent alaméme distance deI'axe &laquelle elles sont entrées, onaura V,=y,,d’ot mVe mv 2 =~, 2 2 Rae inst etparconséquent £/P.cos(P.ds-)ds =0;ainsi onaura mV mit I ET e+ E/Pe0s(Pdix) dsr. Lintégrale dusecond membre neserapasnulle lorsméme quefespar- ticules sortiront 41améme hauteur alaquelle elles sont entrées, parce que, laforce Pfaisant desangles différens avecds,quand l'eau monte dans l'aube etquand elleenredescend ,lesdeux portions designes con- traires del'intégrale pour cesdeux périodes demouvement nesont pas égales. Suivant laforme ordinaire desaubes courbes, 1agravité serap- prochera davantage deIadirection deds;, cest-d-dire delatangente aucanal queforme l'aube, pendant ladescente del'eau que pendant we mV vet sonascension; ils‘ensuit que ©——— estplusgrand que5——,et quiainsi l'eau sortdefaroue avecuneforce vive relative plus grande que celle qu'elle avait enyentrant. DE LA PRESSION QUE PRODUIT UNE VEINE FLUIDE QUI RENCONTRE OBLIQUEMENT UN PLAN FIXE OU MOBILE. Lorsqu'il n'yaquedesmouvemens detranslation, lestermes /P,cos DANSLESMOUVEMENS RELATIFS. 295 -—~. (P.d5,)ds, sontnuts, puisque lesforces P,fesont :enméme temps on av,=V,,puisque toutes lesvitesses d’entrainement sontégales. Ainsi, enreprenant favaleur (p)deQdel'article (2),onaura — Q= ¥/Pcos(Pds,)ds,+ oe o>. Emy,V,cos (vpV,)—EmV;V,cos(VrV;). Dans fecasodune veine fluide arrive surunplan, sifonsuppose queceplan aitunevitesse d’entrainement V,perpendiculaire asasur- face, alors favitesse V;étant dirigée dans fesens duplan, onaura cos(V,V,)=0;ainsi -~ Q= EfPcos(Pds,) ds,— Emv,V,cos(v-V,). Laquantité (Pcos(Pds,)ds, nedoit étreprise quepour lesfrotte- mens del'eau. Or,lesfrottemens étant desactions mutuelles quise- raient enéquilibre silefluide restait immobile surleplan, ets'iln’avait ainsi quelemouvement d’entrainement; onaEPcos(Pds,)ds, =0. Ainsi ilreste > Q= Emy,V,cos(rV,). . op P, SS V,esticiun"facteur commun. Sif'onsuppose que »,etlangle v-V, restent lesmémes pour toutes lesparticules fluides, etsilonappelle M{amasse totale d'eau quiacoulé surfeplan, onaurapour faquan- titéd'action Qtransmise auplan tandis qu'il semeut avec lavitesse V,, etquil aregu famasse Mf, — Q=My,00s(eV.)V.. Onpeutremarquer que,comme yestlarésultante de»,etV,,ona enprojetant cesvitesses sur¥,, vcos(vV,)=v,c0s(%V,)+Ver ou v,c08(¥,V,, =vcos(v V.)—V,; ainsi Q=M |v008(¥V,) —Ve}Ve - . 296 PRINCIPE DES FORCES VIVES Side1aonveut faquantité d’actién, nonplus pour unemasse donnée Mdefluide, mais pour untemps donné, parexemple pour uneseconde; alorsMseraégalAlamassed'eauquiarrivedansunesecondeSurleplan. Or,siaestIasection delaveine, 1aquantité defluide quiarrive sur leplandansuneseconde aurapourvolume a,etpourmasse“<*, enappelant 2lepoids dePunité devolume del'eau. Ainsi onaalors pour favaleur deQdans uneseconde ——-Qatecos(eV)Ves sion appelle Plaforce produite perpendiculairement auplan, onaura Q= PV, ;ainsi “oo™~ PY.=7a cos(v¥,¥,) Vi, dou > P=wa~ cos(nV,). SiV,devient trés-petit, alors vdevient égalafavitesse absolue. du fluide avant quil sedétourne par1aprésence duplan; vitesse que —nousdésignons parv.Enmémetempsl'angle,V;devientlangledeV, avec ¥,Cest-a-dire celui quefaitladirection deJaveine fluide avec aperpendiculaire auplanouavecfaforceP.Ainsi onapourfapression produite contre ceplan av aS P=— =cos(vP). 8 Cerésultat subsiste quels quesoient lesfrottemens deeau. Onpeutvoirqu'ilsubsiste méme pourdesmouvemens defeausut feplanquidonnent desvitesses V;nonparailéles ceplan,pourvuquele terme SmV,cos(V;V,) soitnul,cequiauralieusifonpeutpartager le fluide étendu surJeplanenportions quisoient tellesqueleurscentres de DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 297 gravité semeuvent parallélement asasurfaces caralors y;cos (v,V,) Gant {avitesse dechaque particule dans lesensperpendiculaire auplan, onauratoujours Emy,cos(y,V,) =0,ouLmy,V,cos (v-V,)=o. (Voir fanote (4).) XXL! Cahier. Pp 298 PRINCIPE DES FORCES VIVES NOTE (a). Nous appliquerons lesconsidérations précédentes &lathéorie d'une roue&axe vertical quiestmue parunechute deau, etquisertdemoteur &unmoulin ou& toute autre usine. Lathéorie deces rouesaétédonnéedéjaparBordaetM.Naviermaisilne sera pasinutile delaprésenter icicomme application desrésultats dumémoire précédent. ‘Auliew@appliquer directement lesformules générales, nous reprendrons dans cetexemple lesconsidérations quiyconduisent. Nous concevrons qu'un courant d'eau sort d'un certain réservoir etdescend Gabord dune hauteur &depuis leniveau supérieurdeceréservoir, soitenparcourant uncoursier, soitentombant librement, etquiayant acquis aprés cette descente unecertaine vitesse y,ilentre dans uneespéce decanal tenant &uneroue quitourne autour d'un axevertical avec unevitesse angulaire constante «.Nous supposerons que cette eaudescend dans cecanal d'une hauteur Hf— etqu'elle ensort ensuite avec unevitesse absolue V.Isagit decaleuler faquantité duction que recoivent lesparois ducanal dans lequel eau estdescendue, ou,cequiestlaméme chose, fa quantité d'action que recoit laroue quileporte, etparconséquent celle quelle communique &famachine dont elleestlemoteur, Nous examinerons ensuite dans. quelle circonstance cette quantité d'action estunmaximum. Considérons ladescemte d'une masse deau égale &m.SiQestlaquantité action transmise Afaroue parcette masse, etsiAreprésente laperte daction due aux actions moléculaires parleffet duchoc quel'eau éprouve &sonentrée dans lecanal, onaparle principe desforces vives pour femouvement absolu La A=mg(H—-h) —Q—A. Icinouséerirons pourabréger“Y” aulieudelasommedesforcesvives(*)étendue &toutes lesmolécules delamasse msitoutes lesvitesses n'étaient paségales. On tire defa Q=mg(Ht) +ME Eg, Pour rendre Qleplusgrand possible, AYet&étant donnés, ilfaut rendre AetVle plus petits possible. 4neprovenant que duchoc &entrée dufluide dans lecanal, (°)Nous continuons iciCappliquer ladénomination deforce vive&tamoitié duproduit mY, ainsi quenous Favons faitdans cesMémoires, etdansceluiquiapour ttreDuealeul del’effet desMachines. | DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. 299 fonpeut rendre cette perte sensiblement nulle endisposant Finclinaison ducanal & son entrée dans ladirection méme deIavitesse relative,quiestlarésultantedeVet |unevitesseopposée&celleducanal.Danscecas,Iavitesseabsoluedel'eaurestera | 4trés-peu prés vAsonentrée dans lecanal; celaétant admis, onaura seulement H _ H k my mvs| Q=mg(H —h)+ —-——.- Tne reste qu’a calculer V*pour avoirfaquantitédactionQ.Pourquecettequantité | devienne Iaplusgrande possible relativement &Vil faudra queVdevienne nulow | lepluspetit possible. Sil'ondésigne parRladistance &Vaxederotation dupoint ducanal parofteau sortenbasdelaroue, etparV,lavitesse relative aucanal pour l'eau quiensort, onaura Vi= Vit +otRY+20RVicos(aV;). Ainsi facondition pour queQsoit'un maximum étant V==0deviendra a os Vt+ath? +2@RV,cos(wV,): équationquiexige,commeonsait,queYonaitcos(#V,)=—1etVp=wR:il 4reste’ calculer V,,Pour celaonappliquera leprincipe desforces vives aumouvement relatif, enremarquant que, #étant favitesse angulaire deIaroue etrladistance de entrée du canal 2Vaxederotation,faquantitéactionquillfautajouterenvertu duprincipeétablidanscemémoire, cest-d-dire cellequiestdueiciauxforcescen- trifuges deIarotation, ayant pour expression Paccroissement deforce vive duau seul mouvement derotation, sera 22(RP) Ainsi, enappelant toujours »,Iavitesse relative dePeau dans fecanal aupoint ot elleyentre, ona mV? mys mo" pp,ES mg(H—ft)+“2 (RP), Maispuisquevest Iarésultante dey,etdewr, ona vy?==v*+wrt —2arvcos (wy). insi | mVe my met=ES OF MerV008(wo)+mg(H—h) me Rs “+ (Re—v), . .Ppt 300 PRINCIPE DES FORCES VIVES Comme ondoitavoir, pour queQsoitunmaximum, V,=#R,cette equation devient, enréduisant, my (4)0=““ —marvcos(wr) +mg(H —A). Cette condition étant jointe &cos(#V,) =— 1,donnera Qleplusgrand possible savaleur estalors CHmgH—+. , OntiredePéquation (A)cidessus ¥ _—6A) +> Or—eitvey ‘elle est1aformule quiindique larelation quidoitexister entre lavitesse vdeNeau quientre dans fecanal, sonangle avec Iavitesse derotation w,etIavitesse derota- tionwr&Pentrée ducanal qui regoit cette eaudans Iaroue. On voit quion peut fairetournercesrouestrés-vite,sansperdredeleureffet,pourvuquecos(v4)soittrés-petit oubienqueyfui-méme soittrés-petit, cest-t-dire queAlesoit. Sion admet qu’il n'yaitque despertes d'action insensibles dans tadescente deeau defahauteur 4,depuis leniveau supérieur jusqu’a sonentrée dans fecanal toumant, on aura = mgh. Lavaleur maximum Qdevient alors Q=mgH, etlacondition pour quecette valeur soitarrivée &cemaximum devient or 4, vcos (wy) NOTE (d). Onpeut retrouver directement defamaniére suivante fapression produite contre leplan parIaveine fluide. . DANS LES MOUVEMENS RELATIFS. or Onconcevra queleplan aitune vitessewperpendiculaire &sasurface,etque, pendant quil semeut ainsi, Iaveine fluide Patteint avec unevitesse absolue v,etpat conséquent avec unevitesse relative quiseralarésultante devetd'une vitesse égale etopposée auw. Laquantité d'action dueauxforces moléculaires pendant lemouvement dedévia~ : tiondufluide contre Ieplanpour Punité’de temps, pourra s‘évaluer danslemouvement relatifenappliquant Ieprincipedesforcesvives2cemouvement. Sil'ondésigneparA cette quantité action, parwIavitesse d’une molécule dufluide relativementauplan considérécomme fixequandune foiscette vitesse estdevenue paralléle &ceplan; y*-u" : A —2uycos{us) étant lecarré deIavitesse relative dufluide avant quill sesoitdévié parlaction duplan, onaura 2A=Em(vt +ut—aucosuy) —Emw*; fe=s'étendant &faquantité defluide quiarrive surfeplan enuneseconde. Appliquons maintenant feprincipe desforces vives aumouvement absolu dufluide, enayant égard aux actions moléculaires et&fapression produite surleplan qui réagit surlefluide. SiPest fapression surfeplan, faquantité d'action que celui-ci produit surfe fluide dans uneseconde sera—Pu,Ainsi ladiminution deforce vivedufluide qui passe surfeplan dans uneseconde sera Puta pour toute I'étendue dumouvement dedéviation desmolécules. Laforce vivedu fluide,qui arrive surleplanétaitprimitivement Emy* roan fe=sétendant &toute faquantité defluide quiarrive surleplan dans uneseconde. Laforce vivedesmémes molécules fluides, lorsqu’elles semeuvent parallélement auplan,etquellesontaccomplileurdéviation, est Jpn(weew) > , puisque lavitesse absolue d'une molécule estIarésultante defavitesse relative wet deIavitesse u,quiestperpendiculaire &w. Onadone, parleprincipe desforces vives appliqué aumouvement absolu, Smyt Em(w?+u)am ae) = Pa .z > +A * sseeeeemereteeeeesaacascacaaaaaasaaaaaaaaaaaaaasaaaaaaaasaaaaaaamsasssmmsammsmmamsamisiiil 302 PRINCIPE DES FORCES VIVES &c. Or, ona24=3m/(r* +ut—2uycosuy) —2mw*,Ainsiilviendra,ensubs- tituant ettirant Pu, . 2Pu=Smv*—Bm(wt+ut)—Em(v*+ut—2uycosuv) + Emw; ou, enréduisant, P=Em(vcosuy —x). Siaest lasection delavéine, Iaquantité defluide 3m, quipasse surleplan dans une seconde, est - ou « Em=a(vy———_)x+, étant lepoids delunité devolume dufluide. Ainsi ona Pa Zag Loa,¢7coy siu=0, Cestardire sileplap estimmobile, alors ontrouve ad P=~ay'cos (uy). 6 Telle estexpression defapression produite paruneveine fluide surunplanim- * mobile quelle rencontre sous uneinclinaison quelconque (uy) avec Ianormale au phan. Cette formule nesuppose autre chose qu'un écoulement quiaitassez dedurée pour quil devienne permanent etpour quelesmolécules fluides finissent parne plus avoir que desvitesses paralléles auplan. Dureste, illpeut exister desfrot- temens surleplan etdesactions moléculaires quelconques entre lesmolécules du fluide; celui-ci peut étretrés-visqueux sans queIapression change; seulement fe frottement surleplan donnera liew&uneaction dans lesensduplan, mais quine changera rien&lacomposante Pperpendiculaire auplan, MEMOIRE Surleséquations dumouvement relatif dessystemes decorps; Par G. CORIOLIS. Dans unMémoire quifaitpartie duXXI* Cahier duJournal de l'Ecole Polytechnique, j'aimontré quepour appliquer leprincipe desforces vives auxmouvemens relatifs dessystémes entrainés avec desplans coordonnés ayant unmouvement quelconque dans l’espace , ilsuffisait d’ajouter auxforces données d’autres forces opposées acelles quisont capables deforcer lespoints mateériels arester invariablement liésauxplans mobiles auxquels onrapporte lesmouvemens relatifs. J’aifaitremarquer dans ceMémoire quelaproposition quienest Yobjet ,nepeut s’appliquer engénéral 4d’autres équations dumouve- ment quecelles desforces vives; mais jen’avais pasexaminé alors s'il yadescirconstances oulamarche qu'elle fournit peut s’appliquer A certaines équations dumouvement; etsi,dans lesensowellenes’ap- plique pas,onpeutdonner uneexpression simple desnouveaux termes decorrection. C’est laquestion dont jemesuisoccupé dans leMémoire queje présente aujourd'hui. J’ydonne cetteproposition générale, savoir :que pour ¢tablir uneéquation quelconque demouvement relatif d’un sys- téme decorps oud’une machine quelconque, ilsuffit d’ajouter aux forces existantes deux espéces deforces supplémentaires; lespremiéres sont toujours celles auxquelles ilfautavoir égard pour I’équation des forces vives, c’est-a~dire quecesont desforces opposées acelles qui sont capables demaintenir lespoints matériels invariablement liés auxplans mobiles :lessecondes sont dirigées perpendiculairement aux vitesses relatives ct4l’axe derotation desplans mobiles; elles MOUVEMENT RELATIF DES SYSTEMES DECORPS. 143 sont égales audouble duproduit delavitesse angulaire desplans mobiles multiplide parJaquantitéde mouvement relatif projetde sur unplanperpendiculaire acetaxe. Cesderniéres forces ontlaplus grande analogie avec lesforces cen- trifuges ordinaires. Pour mettre enévidence cette analogie, ilsuffit deremarquer que laforce centrifuge estégale 4laquantité demouvement multiplicée parlavitesse angulaire delatangente alacourbe décrite, etqu’elle estdirigée perpendiculairement alavitesse etdansleplanosculateur, c’est-a-dire perpendiculairement aussi al’axe derotation delatan- gente. Ainsi, pour passer decesforces centrifuges ordinaires auxse~ condes forces dont lesdoubles entrent dans l’énoncé précédent; on n’aqu’a remplacer Iavitesse angulaire delatangente parcelle des plans mobiles, etsubstituer aladirection del’axederotation decette tangente, ladirection del’axederotation decesmémes plans mobiles. End’autres termes, ilsuffit desubstituer 4tout cequiserapporte en grandeur etendirection 4larotation delatangente, cequiserap- porte acelle desplans mobiles, etdeprendre ledouble desforces ainsi obtenues. Crest &cause decette analogie quej’aicrudevoir donner acesnou- yelles forces ladénomination deforces centrifuges composées :elles participent eneffetdumouvement relatif parlaquantité demouve- ment, etdumouvement desplans mobiles parl'emploi deleuraxede rotation etdeleur vitesse angulaire. - Ondira done quepour poser une équation demouvement relatif , quin’estpascelle desforces vives, ilfautintroduire deplusquepour cette equation ,lesdouble desforces centrifuges composées. Lesdirections decessecondes forces supplémentaires étant perpen- diculaires auxvitesses relatives, onvoitdesuite qu’elles disparaissent dans’équation des.forces vivespourlemouvement relatif, puisqu’on n’emploie dans cette derniére quelescomposantes desforces dans le sens des vitesses relatives. C'est dans cette disparition decesforces centrifuges composées que 144 MOUVEMENT RELATIF " consiste lethéoréme quej’aiprésenté AAcadémie desSciences , en1831. Ildevient maintenant uncasparticulier del’énoncé plus général surVintroduction decesforces centrifuges composées. Ilyadans certaines circonstances d’autres équations oucesforces centrifuges composées disparaissent encore; cesontcelles quiserap- portent Adesmouvemens relatifs quis’operent dans desplans mo- biles quipeuvent rester paralléles 4axe derotation decesplans. Il estclair eneffet quelesforces centrifuges quisont perpendiculaires acetaxederotation ,aussi bienqu’aux vitesses relatives, disparaissent quand onnes‘occupera quedesprojections desforces relatives sur lesplans dans lesquels lesmouvemens s’opérent. Onpeutaussiprésenter Vintroduction desforces centrifuges com- posées ,enemployant dans lesénoncés lesvitesses virtuelles relatives quiontservi aobtenir chaque équation demouvement. Onarrive ainsi 4cette proposition, que lesdeux espéces determes supplémen- taires quientrent dans uneéquation demouvement relatifs sont, les premiers, lesmomens virtuels desmémes forces quientrent dans V’équation desforces vives, etlesseconds, lesdoubles dessommes des aires desparallélogrammes construits surlesvitesses relatives etles vitesses virtuelles, cesaires étant projetées surunplan perpendicu- laire 4V'axe derotation desplans mobiles. , ' Cedernier énoncd montre dans quels cascesseconds termes supplé- mentaires disparaissent, nonplus isolément, comme onlevoyait seu- lement parladirection desforces centrifuges composées, mais dans * leur ensemble. . Ainsi, siVaxe derotation auneposition fixedans J’espace, etcon- séquemment fixeaussi parrapport auxplans mobiles, lesforces cen- trifuges composées disparaissent toujours dans Péquation dumouve- ment delaprojection ducentre degravité suruneligne paralléle 4 cet axe. Silecentre degravité nepeut semouvoir quesurunedroite fixe parrapport auplan mobile, lesforces centrifuges compos¢es dispa- raissent dans V’équation dumouvement relatif dececentre. DES SYSTEMES DECORPS. 145 Dans leséquations desaires, lesforces centrifuges composées ne disparaissent quedans lecastrésparticulier ouaxederotation des plans mobiles estfixeendirection ,etqu’on prend lesaires surunplan quiluiestperpendiculaire etautour d’un axeparrapport auquel les momens d’inertie dusystéme nechangent paspendant lemouvement relatif. , Voici lesdémonstrations despropositions qu’on vient d’énoncer. Désignons parx,7,2,descoordonnées rapportées auxplans mo- biles; parL==o0, etc., leséquations deliaisons despoints mobiles , lesquelles sont supposées exprimées parcescoordonneées relatives x, ¥,2- Représentons para,etc.,descoefficiens disponibles; parX,,Y.,Z,, lesforces quiproduiraient lesmouvemens dusalaliaison avecles plans mobiles; etenfin parabc, a'd’c', abc’, lescosinus desangles quefontlesaxes mobiles avecdesaxesfixes. Onaétabli, dans lemémoire déjacité, page 275duJournal de U'Ecole Polytechnique, XXI* cahier, quepour undespoints maté- riels dontmest‘la masse, ona m£24.2(adb+aldb!+a'db")mdy— +2(ade+-a'de+al'dc"\mdz =X—X,+agi-rete., +o(4+Mae Meeim=Y—Y,+ as+etc., m=+2(cda +-c'da'+c'da") mdx +2(cdb+ odd!+¢'dB") mdy=L—L, +0%+ete. Designons comme alordinaire parp,q,r,lestrois projections de lavitesse angulaire derotation desplans mobiles surcesmémes plans, ouend’autres termes lestrois vitesses angulaires decesplans prises autour deleurs axes. Ceséquations deviendront ainsi XXIP Cahier. 19 146 MOUVEMENT RELATIF . m=2(rmx—qma4X—X,+- ast+etc., (A)mE=2(pm&—rm=)+Y—Y,+a atetc., moe.2(qm=pmZ)+Z-—4,+ az4-etc. Nous voyons ici,dans l’expression desforces qu’on doitconsidérer dans lesmouvemens relatifs, deux termes supplémentaires; lesuns sontexprimés par—X,,—Y.,—%,,etsont desforces opposées a celles quiseraient capables d’obliger lespoints mobiles arester inya- riablement lidsaux plans coordonnés mobiles; lesautres sontexpri- més par 2(rmoy—qmg), 2(pmF—rm§) > Remarquons quesix,7,2,x’,y’,2’,sont lesprojections dedeux longueurs ret7’;leparalldlogramme construit surretr’,etdont l’ex- pression estrr’sin(rr’), apourprojections surlesplans coordonnés - ~ (x2! —za’), (xy! —y2'), (yx! —ay’). Lesexpressions ci-dessus peuvent étreaussi lesprojections surles axescoordonnés d’une longueur égale Arr’sin(rr’), laquelle serapor- téeperpendiculairement auplan desdeux droites ret7etserasituée duméme cété, parrapport ausens quivaderversr’,que V’axe deszl’estparrapport ausensquivadeyversx. D’aprés cetteremarque, lesexpressions ci-dessus enp,7,7,dx,dy, dz,seront lesdoubles descomposantes suivant lesaxes d’une force dirigée perpendiculairemeut auplandel’axederotation etdelavitesse DES SYSTEMES DECORPS. 147 relative; laquelle force aura pour grandeur leproduit delavitesse angulaire Vp?+q?+7°,multipliée parlaprojection oulacompo- sante, dans unplan perpendiculaire AVaxe derotation; delaquantité demouvement duealavitesse relative dupoint matériel. Lesensdans lequel cette force devra étre portée, parrapport 4unmouvement se dirigcant del’axe derotation verslavitesse relative, seraleméme que celui del’axe derotation parrapport aJavitesse derotation. L’introduction destermes ci-dessus revient donc acelle d’une nou- velle force, qui aune analogie compléte avec laforce centrifuge ordinaire. Eneffet, endésignant par»lavitesse angulaire avec laquelle tourne latangente alacourbe décrite parunpoint matériel dont lamasse estm, parvlavitesse; laforcecentrifuge ordinaire peutsemettre souslaforme @INY , cest-d-dire qu'elle estleproduit decette vitesse angulaire multipliée parlaquantité demouvement dupoint matériel; deplus, sadirec- tion estalafoisperpendiculaire aJavitesse yet4l’axe derotation de latangente, puisqu’elle estdans leplan osculateur quiestcelui dans lequel tourne latangente. . Onvoitdonc que, pour passer desforces centrifuges ordinaires aux secondes forces dont lesdoubles entrent dans leséquations dumou- vement relatif, ilsuflit desubstituer enméme temps, 4V’axe de rotation delatangente, alavitesse angulaire, et4laquantitéde mou- vement dupoint mobile; Yaxe derotation desplans mobiles, lavi- tesseangulaire de‘cesplans, etlaquantité demouvement projeté sur unplan perpendiculaire acetaxe. Cessecondes forces centrifuges, résultant deYemploi simultané des mouvemens relatifs etdesmouvemens desplans mobiles, onpeut les nommer forces centrifuges composées. Onarrive ainsi acette pro- position ,quelesexpressions desforces &ajouter auxforces données pour avoir lesexpressions desforces dans lesmouyemens relatifs 19.. . 148 MOUVEMENY RELATIF sont, 1°.celles quisont opposées auxforces capables deproduire surchaque point lemouvement qwil aurait s'ilétait iéaux plans mobiles, 2°.lesdoubles desforces centrifuges composées. Onyoit desuite que cessecondes forces disparaissent dans I’équa- tion desforces vives comme lesforces centrifuges ordinaires, puis- quelles sont dirigées perpendiculairement auxvitesses relatives, et qu’on n’obtient l’équation desforces vives qu’en projetant lesforces relatives sur ladirection des vitesses relatives elles-mémes. Eilles disparaissent aussi lorsque lesmouvemens relatifs doivent se fairedans desplans paralléles 4Vaxe derotation desplans mobiles, puisque leséquations dumouvement dans cesplans necontiendront. pasdesforces qui, étaut perpendiculaires AVaxederotation, leseront aussi auxplans dans lesquels lesmouvemens s’opérent. Onpeut encore, sil'onveut, donner unautre énoncé destermes de correction dus4cesforces centrifuges compos¢ées ,lorsqu’on lescon- sidére, non plus isolément dans Vexpression dechaque force, mais . dans uneéquation quelconque dumouvement obtenue enchoisissant unsystéme devitesses virtuelles relatives. Enappelant dx,dy,dz,etc., lescomposantes desvitesses virtuelles prises dans lemouvement relatif, c’est-a-dire desvitesses compatibles avec lesliaisons relatives exprimdes parL=o, etc., onaura, enindi- quant par 2une somme s’étendant 4tous Jespoints qui entrent dans )’équation L=0, 3(fiw+2by+Ez) =o. Enmultipliant chacune deséquations (A)parlavitesse virtuelle correspondante etlesajoutant toutes ensemble, lestermes en gd,ae,etc.,seniront,c’est-a-dire quecesforcesquiprovien- nent desliaisons s’élimineront, etilviendra DES SYSTEMES DECORPS. 149 5 da ay az ‘dydz —dudy=m(&oa+ra+dz)+opim(22 or) dzdx —~dxdz(B) +agim(SA Toe) dxdy—dydx a+2rsm(WE) =2(Xdxr +Ydy-+ Zdz) ~3(X.dx+Yody+Z.dz). Telle estlaformule générale quidonnera toutes leséquations se rapportant auxmouvemens relatifs. Ceséquations, aulieud’étre 4deux termes comme pour lesmouve- mens absolus, contiennent toujours quatre espéces determes quidé- pendent 1°.desdifférentielles secondes; 2°.desdifférentielles premiéres ; 3°.desvariables elles-mémes; 4°.determes quidépendent desforces données, lesquelles, suivant lescas, dépendront descoordonnées ou. deleurs différentielles premiéres. Onvoit qu'il yadeux espéces determes supplémentaires; lesuns sont dusauxforces X,,Y.,Z.,quidépendent ainsi descoordonnées x,Y,2%,quisontlesinconnues duprobleme; lesautres quidépendent desdifférentielles dx,dy,dzdecesinconnues. Remarquons quelefacteur m(dydz —dzdy) -west autre chose quePaire duparallélogramme construit surlapro- jection delavitesse effective etdeJavitesse virtuelle surleplan desyz; ainsi um(dyéz —dvdy) seralasomme algébrique detoutes lesaires semblables pour tous les points dusystéme. Chacune decesaires, dans Vespace, peut sexprimer pars... msds sin(dss). Enreprésentant parA,“,v,lesangles quelaper- ' 150 MOUVEMENT RELATIF pendiculaire 4sonplan faitavec lesaxescoordonnés, onaura dy dz __ ds :, =mGoz—y)=im=,dssin(dsds) cosa, dz dz ds -7% zm(Gx —-abz)=im=,dssin(dsds) cose, dz dy ds .yt amGdy—FFdr)= um7,dssin(dsds) cosy. Représentons para,8,7,lesangles quel’'axe instantané derotation desplans mobiles faitavec cesaxes, etpar leurvitesse angulaire de rotation autour decetaxe; onaura Pp= ©cosa, q==®cos, r= @Cosy. Lasomme destermes enquestion dans l’équation (B), devient ainsi égalea d: .“~ * 2wlm 5dssin(dsds) (cos 20sA++cos6cos—+cosycosy). Onvoitquec’estlasomme desprojections desairesm*dssin(dsds) surunplan perpendiculaire 4l’axe derotation. Ainsi l'on peut dire que, pour avoir uneequation dumouvement relatif, ilfaut ajouter aux termes ordinairement existans pour lemouvement absolu, da- bord celui quiprovient desforces qui sont capables deforcer les points @rester invariablement lidsaux plans mobiles, etenoutre unterme quiestégal &deux foislavitesse angulaire derotation des axes mobiles multiplide par lasomme desprojections surunplan perpendiculaire &Caxe derotation decesplans, detoutes lesaires desparallélogrammes compris entre lesquantités demouvement effectives etlesvitesses virtuelles. . Dans lecasdel’équation desforces vives, chaque aire estnulle, puisque lavitesse virtuelle coincide avec lavitesse effective; lasomme decesaires estdonc aussi, etledernier terme decorrection dispa- DES SYSTEMES DE CORPS, 381 rait. Cette remarque forme précisément lethéoréme quej’aidonnd surleprincipe desforces vives dans lesmouvemens relatifs. Ilyaunautre casassez général oucesaires disparaissent aussi, cest celui otJesmouvemens relatifs etvirtuels sefont pour chaque point dans unplan paralléle 4l’axe derotation desplans mobiles. Il estclair, eneffet, quelesaires comprises entre cesdeux vitesses de- viennent nulles enprojection surunplan perpendiculaire al’axe de rotation. Ainsi, dans cecas, toutes leséquationsdu mouvement, par exemple, celles ducentre degravité etdes aires ont lieu pour le mouvement relatif, enajoutant seulement lesforces —X,, —Y,, —Ze. Lorsqu’on veut avoir deséquations qui, pour cemouvement relatif, serapporlent aucentre degravité, c’est-a-dire quirésultent devi- tesses virtuelles égales etparalléles aPun desaxes mobiles, ilsuffit @ajouter ensemble toutes leséquations (A)quiserapportent 4une méme coordonnée. Enreprésentant par&,»et€,lescoordonnées ducentre degravité, parrapport auxaxes mobiles, etposant m— M,ona i ay imGe=Me et dx at im=Ma cequidonne pour| mmes en ti tulesforces a2 di q pour lesso enquestion ,ottlesforcesa5-,etc. ,dis- paraissent toujours, d% a di .Ma+ oM(GF ~—rZ) =3X—=X,, a's & ay__ (C) MSF +oM(rG —pF)=2¥—2¥., at dn a. yMao+ aM(pz—45)=22—XZ. Si,dans lemouvement relatif, lecentre degravité dusystéme reste 152 MOUVEMENT RELATIF surunedroite paralléle aYaxe derotation desplans mobiles, ona- ayPp. @—— . oubien Cig aVa" aF% a aPa Pa =% dy dé Ainsi leséquations ci-dessus n’ont plus desecond terme ,etserédui- sent a aveM== =x—=X, M%—sY—sy a.=sY—5y., aMa==3%—xZ,. Une seule decestrois peut subsister delaméme maniére sans le second terme decorrection, siladirectionde lacoordonnée relative, qui entre dans ladifférentielle dudeuxiéme ordre, setrouve perpendi- culaire &lafois&laxederotation et4lavitesse ducentre degravité. Caralors, sic’est lacoordonnée ~,parexemple, ona a & 77 Ainsi quand deux axes seulement des coordonnées relatives sont. mobiles, etque letroisiéme, celui des§,parexemple, reste pa- ralléle 4Yaxe derotation auquel serapportent lesquantites p,7,7; comme onaalors gq==0, r=0, onaura’équation aMae=3X—2K. DES SYSTEMES DES CORPS. 155 Enfin, silecentre degravitd semeut suruneligne donnée par . a, rapport auplanmobile; enlaprenant pour axedesZ,onauraa=0, &=0,etparsuite, MSE—3X—X.. Simaintenant nous voulons examiner cequedeviennent leséqua- tions desaires, ilfandra, dans ’équation (B),prendre desvitesses vir- tuelles derotation autour d’un des axes des coordonnees ,par exemple, poser dz==0,xox+yby=0, ou de ay dz=0,7 oe On obtiendra ainsi a. 2, =m(Jar x52)—arsm(xdx+ydy) +3m(px+qy)dze= 3(Xy —Xx)—2(X.y— Y.x). Cette équation ,ainsi quelesdeux autres semblables qu’on obtiendrait .pour lesvitesses virtuelles derotation autour desautres axes decoor- données ,nesesimplifient pasengénéral. Sil’axe derotation desplans mobiles aune direction constante dans l’espace, auquel casonsaitqu'il enestainsi parrapport auxaxes mobiles; onpourra leprendre pour axedesz,etl'onaura P—9% GG=o L’équation ci-dessus devient alors (yum ad’ apeswhC=) —artim(axdx+ydy) =(Ky —Yr)—3(Ky— Y.x). XXIP Cahier. 20 . 154 MOUVEMENT RELATIF DES SYSTEMES DES CORPS. Ainsi cette relation esttoujours aunombre deséquations dumouve- ment relatif quand Vaxe derotation dumouvement quientraine les plans mobiles aunedirection constante dans espace. Silespoints mobiles, dans leurmouvement relatif, nechangent pasdedistance parrapport 4l’axe autour duquel onprend lesaires; c’est-a-dire & partic duquel oncompte icilescoordonnées xety;leterme decor- rection 2r2m(adx +ydy) disparait dans l’équation ci-dessus. Silesforces XY sont dirigées vers l’origine descoordonnées, elles disparaissent decette équation. I]enserademéme desforces X,,Y,, siaxederotation conserve unedirection constante qu’on prenne pour axedesz,etsilavitesse angulaire derotation desplans mobiles est uniforme, c’est-a-dire sirestconstant etégal a#;onaura donc =m(ee) =20im(adx +ydy). Endésignant parAlemoment d’inertie variable dusystéme 4un instant quelconque, etparAlasomme desaires décrites surleplan des2,7;onaura, enintégrant entre deuxinstans, etindiquant la premiere limite parVindice zéro, BOs a0(A—A,). Ainsi, dans leshypothéses précédentes ,lesdifférentielles desaires dans lesmouvemens relatifs ,lorsqu’elles sontprojetées surunplan perpendicalaire 4Vaxederotation, croissent comme lesmomens di- nertie.