Christoffel papers

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Ainyee:Pe A)AAGERE COARSE 2oe ERYGe BoSrOeNYS A, s\\ Git 5“oOATH (Vege AN 8KZ ERENY po)Se2WisWyNice,oFPaige:© WRAY.a WGoyWeawe; ARS BixA)Q DG RUGS AAI Lm ramSig\\ea OWee20;otooSo YZ@are Ws OV OM(OO) WAS SpexWM PSION NW: geal Bip Warate EEDY(WAG PBI &ABos SSeAgasnACeeES cone (Sy Seesg>* ALON ¢PORCg =oeaAlLa 4$.4vigWe Rp £4Asilfpe E.B,CHRISTOFFEL GESAMMELTE MATHEMATISCHE ABHANDLUNGEN UNTER MITWIRKUNG VON A.KRAZER up G.FABER HERAUSGEGEBEN VON L.MAURER ERSTER BAND “LEIPZIG UNDBERLIN DRUCK UND VERLAG VON B.G.TEUBNER 1910 ad COPYRIGHT 1910 BY 3.0. TEUBNER IN LEIPZIG. ALLE RECHTE, EINGCHLIESSLION DES OBERSETZUNOSRECHTS, VORBEHALTEN 152341 APR_L >11 LB C46 T VORWORT. Essind zehn Jahre verflossen, seit Christoffel kurz nach Voll- endung eines 70.Lebensjahres gestorben ist. Seine Publikationen eratrecken sich Gber einen Zeitraum von 40Jahren. Da istesselbst- verstindlich, da® einiges davon veraltet, einerheblicher Teil durch neue Arbeiten Gberholt ist. Aber somanches, was ergeschaffen hat, gehdrt heute zum festen Besitz derWissenschaft —sodieBegriffs- bildungen, dieerindieFlichentheorie eingefuhrt hat, und dieTheorie derUnstetigkeiten, diemit dem Fortbestehen partieller Differential- gleichungen vertriglich sind. Seine Arbeiten dber algebraische Funk- tionen und ihre Integrale, mit denen ersich inden beiden letzten Jahrzchnten seines Lebens fast susschlicBlich beschiftigt hat, ten noch heute ihren EinfluB aus, Allen Christoffelschen Arbeiten gemein istdieklare, sorgfaltig durchgearbeitete Darstellung; ein Vorgug, der ihr Studium beson- ders flrdieheranwachsende mathematische Generation empfehlens- wert macht. Ein groBer Teil der Abhandlungen istinden Annali dimate- matica vonBrioschi erechienen undinfolgedessen manchen Fachgenossen weniger leicht quginglich. Um sodankenswerter erscheint es,daB der Teubnersche Verlag eine Gesamtausgabe sciner Werke unter- nommen hat. Herr Geiser hatdieGite gehabt, denAbdruck seiner Biographie Christoffels aus dem 34. Band der Mathematischen Annalen zuge- statten und sieaugleich durch Zusiitze 2ubereichorn, diedasBild der eigenartigen Persbnlichkeit Christoffele schirfor hervortreten lassen. Wir verdanken ihm auch diePhotographie Christoffels, die der vor- stehenden Heliogravure zugrunde liegt. Die Abhandiungen I—XXXII sind zuLebzeiten Christoffels er- schienen. DieAbhandlung XXXII ,Ueber dieVollwertigkeit und die Stetigkeit analytischer Ausdriicke“ haternoch selbst andieRedaktion derMathematischen Annelen eingesandt, aber ihre Drucklegung nicht mebr erlebt. Die Abhandlungen XXXIV und XXXV_,,Vollatindige ba Vv Vorwort ‘Theorie derRiemann'schen &-Function“ und ,,Querschnittstheorie haben sich imNachlaB vorgefunden. Dieerstere war mitdem Vermerk ,druck- reif verschen undistobne jede Anderung indenAnnalen erschienen. Inderletzteron hatderHerausgeber, Krazer, diecinzelnen Abschnitte mitOberschriften versehen; imdbrigen istauch dieses Manuskript unveriindert zum Abdruck gekommen. Christoffel hatte dieAbsicht, diesen Abhandlungen noch weitere folgen zuInssen, dieebenfalls Fragen aus derTheorie derAbelschen Funktionen behandeln sollten. Aus seinen Vorlesungen istbekannt, daB das Material dazu bereit Ing. Leider hat seine fortschreitende Krankheit diese Absicht nicht zurAusfihrung kommen lassen. DIE HERAUSGEBER. Exwm Bruxo Cupisrorren. You ©. F,Queen in Zarich. Elwin Bruno Christoffel istam10,November 1829 inMontjoie, einem Kleinen Stidtchen inderpreussischen Rheinprovinz (nahe ander belgischen Grenze)geboren. AufdemFriedrich-Wilhelms GymnasiuminKoln, woderbald darsuf durch dieBefreiung Kinkels berthmt gewordene Karl Schurz sein Mitschiler war, erwarb ersich dasMa- turititezougniss, Seine Studienzeit verbrachte erander Universitit Berlin, woihn vorAllem Dirichlets Vorlesungen anzogen, mitderen Form und Gedankeninhalt ersich aufs Genaueste und Tiefate vertraut machte; siesind furseine ganze Thitigkeit alsLehrer und Forscher masagebend geworden. Daneben interessirten ihnBorchardt’s gehalt- volle Vortrige ber elliptische Functionen; Steiner's geometrische Lebren suchte ersich wenigstens indenGrundprincipien anzueignen. Scherz- weise bekannte ersich auch alsSchtler Martin Ohm's und belegto dies durch cin Blatt von sweifelhaftem ktnstlerischen Werthe, auf welchem erdenbeidiesem Docenten inderersten Vorlesung gehdrten Satz illustrirt hatte: Lagrange stand aufden Schulte von Euler, wiraber stehen aufden Schultern von Lagrange.“*) DasBedtirfnisseinenvollkommenen EinblickindieVoraussetzungen zugewinnen, suf welchen Dirichlet cinzelne seiner Vorlesungen auf- baute, veranlassto Christoffel, sich eingehender mitExperimentalphysik zubeschiftigen, alsdies damals beiden Studirenden derMathematik ~ ‘iblich war, Erkam dadurch inpersdnliche Beziehungon xDove, *AlsWeierstrass seinenerstenBeruchbeiSteinermachte,fragteihndieser inseiner ironischen Art: ,Sie kommen wohl hauptelichlich nach Berlin, umOhm ‘ennen zulernen?™ ,,Nein, ichwollte suThnen und zuDirichlet. ,,Dann haben BieGritee imKopf; wer Gritee hat, kommt zuDirichlet und mir, dieandern geben maOhm.“ a ©.F,Geiser: E.B.Christof was ihm dieMoglichkeit gewihrte, gelegentlich cigene physikalische Versuche anzustellen. Ermuse indieser Richtung cine entschiedene Begabung besessen haben; icherinnere mich noch lebhaft andioAn- schaulichkeit, mitwelcher ermireinst unter blosser Benutzung eines cisernen Lineals, eines Bindfadens und derBrettchen einer Cigarren- iste zeigte, wiegewisse Fundamentalgesetze desMagnetismus experi- mentell zupriifen seien. Auch indem Laboratorium desChemikers Sonnenschein arbeitete ereifrig; ertrug beieiner Explosion schwere Verwundungen am Kopfe davon, deren Narben noch lange Jahre sichtbar blieben. Nachdem Christoffel verhiltnissmissig spitseine Universitatastudien abgeschlossen hatte (erpromovirte am12.Marz 1856), kebrto ernach Montjoie zurfick und blieb dort bis zum Tode seiner Mutter, dieer wihrend der Leidenszeit einer Krankheit nicht hatte verlassen wollen. Der mehrjihrige Aufenthalt indem abgelegenen Orte, derkeinerlei wissonschaftliche Anregung bot,jasogar dieeinfachsten geselligen Be- zichungen vermissen liess, istvongrosser Bedeutung flrseine ganze Individualitét geworden, Auf Grund einer hervorragenden Arbeitskraft und einer zielsicheron Intelligenz, unbeirrt vonirgend welchen fremden Einmischungen, gewann ereine geistige Selbstindigkeit, diesich inder Wissenschaft freivonEinseitigkeiten und unfruchtbaren Speculationen hielt. Erdrang tiefindieRiemann'echen Schdpfungen ein, soweit dieselben damals schon publicirt waren. Inden Dirichlet'schen Vor- lesungen erblickte ereine ausgezeichnete Vorechule frdieses Studium, ebenso inden functionentheoretischen Abhandlungen Cauchy's, dieer damals schon genau gekannt haben muss. Ermeinte gelegentlich, mit dem Citat in§6derAbhandlung Ober dieAbel’schen Functionen habe sich Riemann dieHilfte desUmfangs derAusarbeitung seiner Theorie gespart. Aber indiesen Jahren einsamer und angestrengter Studien Dildeton sich auch einige Singularititen desCharakters aus; erselbst sagte, injenen Zeiten hitte ersogar dasSprechen verlernt. Und so verblieb ihm einofter hervortretender Zug von Menschenscheu, sowie eineReizbarkeit, dieauch denFreunden gegentber sichleicht inSchroft- heit undMisstrauen gelteud machte. Selbst sein sonst sosachkundiges und gerne anerkennendes Urtheil aber diewissenschaftlichen Leistungen anderer Mathematiker konnte insolchen Momenten getribt erscheinen. Als vollig reifer Mann habilitirte sich Christoffel imJahre 1859 ‘anderUniversitit Berlin, woerebensowohl durch seine wissenschaft- liche Bedeutung wiedurch scine Thitigkeit alsDocent sich dievolle Anorkennung vonKummer undWeierstrass erwarb. Hauptsichlich auf ihre Empfehlung hinwurde ihm 1862 diedurch Dedekind’s Weggang ©.P.Geiser: B.B.Christoffel. vn erledigte Stelle ameidgendesichen Polytechnikum zuZtrich Ubertragen. Bei Annahme des Rufes freute ersich darauf, voreinen grésseren Horerkreis treten 2ukénnen, beidem ereine weitgehende mathema- tische Vorbildung glaubte vornussotzen zudUrfen. Unter dieser An- nahme hatte erinsbesondere alsEinleitung 2useinen Vorlesungen cine exacte Darlegung derGrundbegriffe dorInfinitesimalrechnung sorgfaltig ‘susgoarbeitet. Dererwartete Erfolg blieb runichst aus, und dieStu- direnden ersuchten ihn,nach Verfluss desersten Quartals, einen zuging- licheren Weg einzuschlagen. Ohne jede Empfindlichkeit entsprach er dem geiusserten Wunsche, begann dieVorlesang noch einmal auftotal verinderter Grundlage und nun miteiner Wirkung, dase ersofort 2u densusgezeichnetsten Lehrern derAnstalt gezihlt wurde. Spiter durfte erauch erhdhte Anforderungen stellen, zudem vereinigte sich inseinen Privatvorlesungen eingrosser Kreis von Schillern, welche ermitden- Jjenigen Parthigon derWissenschaft bekannt machen konnte, indenen sich seine eigene-Forschung bewegte. Eswar einunvergleichlicher Genuss, den Vortrigen Christoffels zufolgen. Schon dieiuseere Erscheinung deskriftig gebauten Mannos mitderungesucht eleganten Haltung, dem festwieinBronze geprigten und doch geistig durchgearbeiteten Kopfe, den wunderbaren Augen, ‘Ubte eine grosse Anzichungskraft aus. DieSprache war einfach und lebendig, voneinem leichten Flusse, ohne jede unndthige Wiederholung oder nachtrigliche Correctur. Indem flrdiekinftigen Techniker obli- gatorischen Unterrichte liebte eres,biszuausfihrbaren geometrischen ConstructionenundnumerischenRechnungen vorzudringen, derenSchluss- ergebnisse erohne Pritention und Pedanterie inUbersichtlicher Ord- nung anderTafel zosammenstellte. Der Heuptreiz und der Haupt- vwerth aller seiner Vortrige aberlagdarin, dasserinbewuseter Nachfolge Dirichlet’s die Mathematik als eine Wissenschaft des reinen Gedankens behandelte. Dieallgemeinen Grundbegriffe undMethoden warden immer mit dergréssten Pricision erliutert, dieepeciellen Probleme klar und scharf bogrenzt, diegefundenen Lésungen inBezug aufdienothwen- digen und hinreichenden Bedingungen ihrer Richtigkeit umfassond dis- cutirt. Betrachtungen ber dasUnendlichworden, Uber denGrenzprocess, fiber Unstetigkeiten wandte erseine besondere Aufmerksamkeit zu, indem ersievon denzufiilligen Umstinden, unter denen siesich dar- boten, befreite und inihrer philosophischen, oder wieerlieber gesagt hitte, rein begrifflichen Bedeutung auseinanderlegte. Damit hing wohl dieKunst zusammen zuconcentriren und 2ucondensires. Sogab er inein- biszweistiindigen Semestervorlesungen cine Theorie derbe- stimmten Integrale, oder derpartiellen Differentialgleichungen, oder der vu ©.F.Geiser: E,B.Christof. krummen Oberfiichen, die alles Wesentliche enthielt und hervortreten liess, ohne dass erndthig gehabt hitte durch geistreiche Apergus oder deriehungsvollen Citatenreichthum diedem Gogenstand anundforsich innewohnende Bedeutung noch besonders zuerhéhen und inktnst- licher Beleuchtung erscheinen 2ulassen. Freilich verwandte erauf derartige Collegien eine vorgingige Gedankenarbeit, dase ermix, jeden- falls ohne jede Usbertreibung, beiBeginn eines derselben sagen konnte: nich weiss jetzt schon, was ichinjeder derfolgenden Stunden vorzu- tragen haben werde“ Insofern man sus derZeitfolge dervon ihm publicirten Abhand- lungen einen sichern Schluss ziehen darf, soistderZiricher Aufent- halt frChristoffel auch inBerug aufdieselbstindige wissenschaftliche Arbeit diereichste Zeit seines Lebens gowesen. Das Inhaltaverzeichniss des Crelle’schen Journals flr die Binde G1—70 fuhrt zehn hierher- gehdrige Abbandlungen auf,2uwelchen man noch eine indenAnnali di Matematica erechienene und eine von der Berliner Akademie der Wissen- schaften verdffentlichte zurechnen hat. Eswar eine woblverdiente Aus- zeichnung, dass erinAnerkennung dieser Leistungen vondereben ge- nannten Kérperachaft zuihrem correspondirenden Mitgliede erwahlt wurde. Aber nicht nur durch seine eigene Thitigkeit slsForscher und Lehrer hatChristoffel dem Polytechnikum voraiigliche Dienste geleistet. Ersuchte, namentlich seit ihm dicLeitung derFachlebrerabtheilung Ubertragen war, denmathematischen Unterricht durch neueinzuftthrende Vorlesungen jOngerer Docenten auszudehnen und aufeine hohere Stufe zu heben. Aber schon friher war es seiner Initiative 2u verdanken gewoven, dass beieiner Budgeterhéhung imJahre 1863 eine neue Pro- fessur flrhdhere Mathematik vorgesehen und andiese alsVertreter derFunctionentheorie Herr Prym berufen wurde. Wie hoch Christoffel diewiasenschaftliche Bedeutung dieses Collegen schitzte, klingt noch nach inderposthumen Abhandlung Uber dieTheorie derRiemann'schen ‘@-Functionen, woesheisst (Math, Annalen, Bd. 54pag. 391): Ich kann diese Gelegenheit nicht vorlber gehen lassen, ohne dieunbeschreib- lichen Verdienste inErinnerung aubringen, welche Herr Prym sich durch seine damaligen Publicationen umdasVerstindniss Riemann's erworben hat“ InderThat hatdieZdricher Schule dieEinfthrung indieSchépfungen des grossen Gittinger Mathematikers schon 2u ciner Zeit inihren Lebrplan aufgenommen, alsdieselben noch echwer zuginglich und nur von einer Kleinen Zahl von Mathematikern ge- kannt und nach ihrer ganzen Bedeutung gewirdigt waren.*) *)Hiner Darstellung der witeuschaflichen Leistungen Clebech's entuimmt man, dase dieser tovieleitige Mathematiker emt durch Herm Gordan, nach C.F. Geiser: E.B.Christoffel 1 ZudenCollegen Christoffels ameidg. Polytechnikum hatte wihrend einiger Zeit such Reuleaux gebért, dervon dort imJahre 1864 als Professor an das Gewerbeinstitut inBerlin berufen und Ende 1867 zumDirector derausdiesemhervorgegangenen Gewerbe- Akademieemannt worden war. Dies gabdieVeranlassung, dass auch Christoffel andieneuorganisirte Anstalt gezogen wurde. Eine bald nach Usber- nahme derneuen Stellung anihnergangene vertrauliche Anfrage, ob ereventuell dieLeitung derpolytechnischen Schule inAachen dber- nehmen wirde, beantwortate erinablehnendem Sinne. Erwollte seine wissenschaftliche Thitigkeit nicht durch Amtegeschifte sdministrativer Natur cinschrinken Inssen —und wohl mochte erauch fulhlen, dase ihm manche derwetentlichen Eigenschaften feblten, diecine solche Anitsfthrang nothwendig fordert, Christoffel hatdieRuckkehr in’sVaterland alseine grosso Ehre und Freude geschitst. Der Aufschwung, den Berlin wihrend seiner Abwesenheit genommen, lioss ihn dieAnregungen und Vortheile einer Grossstadt sufs lebhafteste empfinden. Vor allem pries oresalsein ‘besonderes Gltick, dass erdiegrosse Zeit von1870—71 indem Centrum dermateriellen und geistigen Machtentfaltung Deutschlands miterleben durfte. Ereraihlte, wieindenTagon derErwartung desEntacheides wahrend einer seiner Vorlesungen platzlich eine grosse Bewegung unter den Zuhdren entstanden und aufseine Frage nach derUrsache die Antwort ertheilt worden sei:,Der Krieg isterklirt.“ Und unvergesslich blieb ihm diedarauf folgende, durch tiefen Ernst infesten Schranken gehaltene Entachlossenheit derBevélkerung, insbesondere derilteren Juhrginge dernoch waffenpfiichtigen Manner, diesich beidenControll- stellen ansumelden hatten. Grisseres und Edleres schien ihm der Mensch nicht erleben zukénnen, jedes persdnliche Interesse werde in dom allgemeinen anfgeldst oder von demselben zurlckgedringt. Und doch sprach erspiter mit einem gewissen Geftthl desMisebehagens von den drei Jahren (1869—72) seiner Thitigkeit ander Gewerbe- akademie, Zwar stand ermit seinem nichsten Collegon imbesten Einvernchmen: Aronhold’s liebenswirdige und lebendige Art war ihm durchaus sympathisch. Von derArt, wie sich dieser Mann aus den beschrinktesten Verhiiltnissen, durch energische Usberwindung der mannigfachsten Hindernisse cine bedeutende Stellung imLehramte und inderWissenschaft errungen hatte, sprach ermit rickhaltloser An- erkennung, Aber dass esihm trotz derUnterstfiteung durch einen s0 essen Habilitation inGiessen (Sommer 1863) ymit den damals noch verbiltoias- miasig neuen und wenig verbreiteten Miemann'schen Untersuchungen" bokannt goworden sei(Math. Annalen Bd.7pag. 19). x ©.F.Geiser:H.B.Christof. ausgezeichneten Mitarbeiter nicht gelingen wollte, eine groseere Anzahl yon Studierenden zudauerndem Interesse anhdhern mathematischen Vorlesungen heranzuziehen, veranlasste ihnzusehr unlicbsamen Ver- gleichangen mitdenZdricher Verhiltnissen. Esmag vielleicht, wenn auch unsusgesprochen, einAnderes dazu gekommen sein. Christoffel war frOher Privatdocent anderUniversitit gewosen, ersihlte zuden correspondirenden Mitgliodern derAkademie derWissenschaften; istes nicht denkbar, dass ersich neben seiner eigentlichen Lehrverpflichtung noch einen weitern, seinen Neigungen und Fahigkeiten entsprechenden ‘Wirkungskreis ersehnte? Alle Schwierigkeiten dieser Situation wurden durch dieBerufung nach Strassburg geldst. Freiherr von Roggenbach, dermitderersten Einrichtung derneu mgriindenden Hochschule betraut war, wandte sich, um Aber dieBosetzung dermathemstischen Professuren fach- Kundigen Rath einzuholen, anKronecker. Dieser nannte inerster Linie Christoffel, derauch, nachdem seinen Anforderungen entsprochen worden war, dieihm angebotene Stellung tbernahm. Damit war er, noch inderersten Hilfte derVierziger stehend, also invollster Mannes- kraft ancinZiel gelangt, dasallen seinen Winschen und Hoffaungen dieErfllang 2ugewihren schion. Aber dermitdenreichsten Mitteln durchgefthrte grosee politische Gedanke: indemwiedergewonnenen Reiche- Iande eine Universitat ersten Ranges aufrurichten, fand beiderdeutschen Jugend nicht diofroudige Aufnahme, diezurSicherung einer dem aus- gezeichneten Lehrkdrper unddenaufs grossartigste eingerichteten wissen- schaftlichen Instituten entsprechenden Frequenz ndthig gewesen wire. DieAnzabl derStudirenden blieb inden ersten Jahren sogar hinter bescheidenen Erwartungen zurick; insbesondere war inden mathe- matischen Fichern kein Grundstock von Schillen vorhanden, welche ineiner systematisch goordneten Reihe vonVorlesungen einen hhern Abechluss ihrer akademischen Bildung gesucht hitten. Somusste sich Christoffel einen Hérerkreis erst heranbilden. Er that esunter Einsetzung aller seiner Krifte, sogar unter Einschrinkung der bie dahin mit80reichem Erfolge gekrinton Publication wissenschaftlicher Abhandlungen. DieResultate seiner Forschung sollten nun inerster Linie den Vorlesungen 2uGute kommen, ausderen Bedirfnissen sich umgekebrt hiiufig dieZiele seiner Untersuchungen ergaben. Gewiss war Strassburg durch diese Thitigkeit nicht indemselben Masso zu einem Mittelpunkte mathematischer Studien geworden, wieesnach- und nebeneinander Kénigeberg, Berlin, Géttingen waren oder sind. Aber Christoffel, der inderWissenschaft gerne seine eigenen Wege ging und beiallem licbenswirdigen Verkehr mitseinen Zuhdrern doch ©.F.Geiser: E.B,Christoffel. diepersdulichen Bezichungen mehr vermied alsaufeuchte, hatniemals dieNeigung besessen, einebesondere Schule zugriinden, undsoerfullte ihn dasErreichte mitdervollsten Befriedigung. Seitdem erinder Auswabl des zubehandelnden Stoffes imWesent- lichen freie Hand hatte, bildete indenVorlesungen, wonigstens inden- jenigen, deren Inhalt mir bekannt geworden ist,dieFunctionentheorie den Hauptgegenstand. Kefolgten sich insystomatischer Anordnung: Bestimmte Integrale und unendliche Reihen; Einleitung indieTheorie der Functionen einer complexen veriinderlichen Griese; Theorie der elliptischen Functionen; Theorie derAbel'schen Functionen; Anwen- dungen derLebre von denAbel'schen Functionen. Aber auch inVor- esungen, diemit diesem Cyklus nicht inunmittelbarem Zussmmen- hange standen: Algebraische Theorie der homogenon Formen und invarianton Substitutionen; Theorie der quadratischen und bilinearen Formen; Ausgewablte Kapitel ausderLebre von denpartiellen Diffe- rentislgleichungen, wurden Uberall dieBezichungen zuAufgaben aus jenem centralen Gebiete derMathematik hervorgehoben. Esistviel- leicht vonInteresse 2uwissen, dase erschon imBeginn derStrass- burger Zeit, alsereben ernout all’ seine Arbeit derFunctionenlehre zuwandte, dioTheorie derAbel'schen Functionen alseine vollstindige Theorie deralgebraischen Functionen bezeichnete, diejedoch zuihrer Erledigung nicht mit algebraischen Hilfsmitteln ausreiche, sondern auch transcendente erfordere, Ervermied dasDirichlet’sche Princip, dessen Wahrheit unter beschrinkenden Voraussetzungen ihm zwar un- aweifelhaft, dessen Begriimdung ihm aber unsicher schien. Wie weit ersich inderUmgestaltung derRiemann'schen Methoden und Resul- tate mitWeierstrass begegnet haben mag, muss ichausdem einfachen Grunde mangelnder Sachkenntniss dabingestellt lassen. Nur das sei noch hervorgehoben, dass ersich unausgesetzt bemtlhte, die,impo- santen“ Leistungen desgrossen Berliner Mathematikers, soweit dieselben durch denUrheber selbst publicirt waren, inihrer ganzen Bedeutung 10 erfassen. Mebr alszwanzig Jahre lang istChristoffel inseinom Strassburger Lohramte thitig gewesen; sobald esdieindieser Hinsicht eben so liberalen alsverniinftigen Statuten derUniversitit zuliessen, trat erin denRahestand. Esentsprach seiner ganzen Lebensauffassung, wenn erauch inBesug aufseine eigene Person gefunden hatte: esliege nicht imInteresse derHochschulen, Professoren biszum Acussersten imDienste zubelaseen und aussunutzen. DerEinwurzelung noch so berechtigter wissenschaftlicher Richtungen und Traditionen seieine Ablésung durch neue Krifte, diesichaufverdnderten Bahnen bewegen, xiL C.F.Geiser: E.B.Christoffel. vorsuzichen. Fr sich selbst hoffte ernoch aufeine Zeit intensiver, von jeder dussern Ricksicht unabhingigen wissenschaftlichen Thitig- eit; sogar dieAnregung: diegewonnene Musse zurAusarbeitung und Publication solcher Ergebnisse seiner Forschung zuverwenden, denen cerselbst einen grossen Werth beilegte, wies ervon derHand. Neben den mathematischen Studien 2og ihn die erneute Lecttre der alten Klassiker on. Erhatte sich einst aufdem Gymnasium eine ungewshn- liche Kenntniss dergriechischen und lateinischen Sprache angeeignet; wihrend desZricher Aufenthalts bildeten Plato und Tacitus) seine Lieblingslectitre indenStunden derErholung vonangestrengter Arbeit; jetzt vertiofte ersich indiezeitgendesischen Quellen derrémischen Kaisorgeschichte Leider war seine Gesundheit schon beim Rucktritte stark erschiittert, ImJahre 1892 hatte ernoch infast jogendlicher Spannkraft des Korpers und desGeistes einpaar frohe Tage desWiedersehens und derErinnerang inZirich verlebt. Erhatte dieAbsicht sich von da nach Interlaken zuwenden; aufdem Wege dorthin trafihnbeiBrannen das Missgoschick, von einem Velocipedisten Uberfahren zuwerden und einen Armbruch zuerleiden, dernurlangsam und mangelhaft heilte. Zugleich vermehrten sich asthmatische Beschwerden, dieihn schon frither gelegentlich heimgesucht hatten. Wohl brachte spiter ein Winteraufenthalt inGrindelwald eine bedeutende Besserung und neuen Lebensmuth, aber inden letzten Jahren, dieerinzunehmender Ab- geschlossenheit und Einsamkeit verbrachte, sanken seine Krifte mehr und mehr. Den siebzigsten Geburtstag verlebte eriniusserster Stille, dsman anfseinen dringenden Wunsch von Deputationen und dergl. ginzlich Abstand genommen hatte, Bald nachher stellten sich die drohenden Anzeichen seiner letzten Krankheit ein, eines schweren Herz- und Nierenleidens, zudem schliesslich noch dieWassersucht trat. Am 15, Mira 1900 hat ihn der Tod erlést. Ueber dieStellung Christoffels anderUniversitit Strassburg und ‘uber den Eindruck, den seine Persdnlichkeit indem Kreise seiner Col- legen hinterliess, hatsich beiderBeerdigungsfeierlichkeit Prof. Windel- +)inen beitern Beweis seiner genauen Kenntnia des grossen Historikers bewahrt daseidgendssische Polytechnikum. ImJabre 1864 hatte Christoffel als Actuar derGesammtconferenz das Protokoll ineiner Sitzung 2ufuhren, welche wogen Auflehnung der Studirenden gegen die oberste Leitung der Anstalt ein- erufen war. AlsMotto tber seine Wiedergabe derVerbandlangen schrieb erim Originaltext und indeutecher Usbertoteung das Citat ans den Annalen (V,6): Bei diesem Anlasse wurden vierundviersig Reden gebalten, einige aus Furcht, ‘ie moisten aber sus Gewohnbeit= C.F. Geiser: E.B.Christoffel. XuI band ineiner schénen undtreffenden Rede ausgesprochen, dieinden Math. Annalen Bd.53pag. 341 otc.abgedruckt ist. Dem Hinweis auf dieselbe migen hiereinige Erinnerungen folgen, diedasdort entworfene Bild des Menschen ansserhalb seiner Wissenschaft noch 2erginzen bestimmt sind. DieErziehung durch eine ihrem katholischen Glauben fromm er- gebene Mutter hat nicht #0eingreifend und dauernd gewirkt, dass Christoffel beieinem bestimmten religidsen Bekenntniss geblieben wire. Doch haterderKirche, inwelcher eraufgewachsen war, eine lebhafte ‘Sympathie bewahrt, dieimZusammenhang mitdem Bedirfnisse stand, sichliebe Jugenderinnerungen unverletzt undungetribt zuerhalten. Da- mitverband sich inpolitischen Fragen eine conservative, streng monar- chische Gesinnung, welcher ereinen um 0entachiedenern Ausdruck gab, jemehr siesich mit den Anschauungen seiner Umgebung in ‘Widerspruch befand. Erhatte dazu indenersten Zeiten seines Ztricher Anfenthaltes reichliche Gelegenheit. Unter seinen dortigen Landsleuten fand sich noch einStamm alter ,Achtundviersiger’, diedasHeil ihror Heimath inderbaldigen Aufrichtung einer Republik erwarteten, cine jlngere Generation stand aufdem Boden desNationalvereins oder der liberalen Mebrheit despreussischen Abgeordnetenhauses; daneben er- hoben dieStddeutschen dieschirfaten Anklagen gegen dasnorddeutache Junkerthum und einzelne Stimmen traten fir das im Sinne des Libe- ralismus zureformirende Ocsterreich ein, dem dieFuhrung des zu einigenden Deutschlands zudbertragen sei. Indiesem Gewirre war cinMann, welcher derfesten Haltung Kénig Wilhelms undderkihnen Kampfesweise des Ministerprisidenten Bismarck freudig zustimmte, véllig isolirt. Eret derKrieg von1866 brachte dann diegrosso Wand- lung und Christoffel erblickte ganz unbefangen indem Siege der preussischen Waffen augleich eine persinliche Genugthuung flrdie vielfachen Gegenstdsse, diesein temperamentvolles Auftreten gefunden hatte. Auch diepolitischen Verhiiltnisse derSchweiz, welche von den- jenigen seines Heimathlandes soganz verschieden waren, fesselten die ‘Aufmerksamkeit Christoffels inhohem Grade, Er hat aus der Nihe dioeigenartige Bewogung verfolgen kénnen, diedenKanton Zirich aus ¢inem reprisentativ regierten inein rein demokratisches Staatawesen Uberfthrte. Das gelegentliche Zusammentreffen mitMitglieden der damaligen Regierung hatte ihmdenKinblick indieverstindige Tuchtig- keitdieser Manner gewihrt, ounsaher,wieeine geschickt geleitete Opposition, theilweise unteratilizt voneinem talentvollen und inseinen Mitteln nicht wahlerischen Pamphletiir, dasganze System, aufwelchem xv ©.F.Geiser: B.B.Christoffel, dieRegierung beruhte, und damit diese selbst xuFall brachte. Es stimmte ihnnachdenklich, dass sogar inderRepublik, trotz derfort- wibrenden Besprechung und Kritik der dffentlichen Angelegenheiten durch diePresse und politische Versammlungen, sich diewahre Stim- mung eines Volkes nicht immer aufderOberfliche derTageemeinungen zeigt. ErwarZeuge davon, wiesich unbeachtet imUntergrunde eine wachsende Unbehaglichkeit undUnzufriedenheit auch derruhigen Ele- mente angesammelt hatte, dienur eines letzten ginstigen Anstosses bedarfte, umdasStastswesen bisinseine Grundfesten zuerschilttern, wie dann aber sofort inemnster Arbeit dioErneuerung desselben an dieHand genommen wurde. Gottfried Keller hat inder Schluss- erzihlang derLeute vonSeldwyla: ,Das verlorene Lachen' einleben- diges Bild von derUmwilzung gegeben, dasChristoffel nicht nuran one Begebenheiten erinnerte, sondern auch andieStunden, dieereinst auf dem Zunfthause zur Safran mit dem sfrcherischen Staateschreiber augebracht hatte. Die Unabbingigkeit seiner Ansichten von den Tagesstrémungen hat Christoffel in besonderm Masso wihrend der Zeiten des Cultur- Kampfes bewihrt, daernun inentechiedener Weise sich gegen die Kirchenpolitik Bismarcks sussprach, auch diegleichgerichteten Vor- giinge inderSchweiz missbilligte. Wobl hatsich dabei eine starke Nei- gung ruparadoxen Behauptungen sowie eine verachirfte Reizbarkeit gegentber allfilligem Widerspruch geltend gemacht, aber derGrund- gedanke seiner Argumentationen hat sich inDeutschland doch nach und nach allgemeine Anerkennung erworben. InderSchweiz hatsich dienimliche Wandlung vollzogen. Schon vordem vatikanischen Concil hatte Jakob Burckhardt ineiner seiner Vorlesungen*) gesagt: ,Von Seite desStaates isteslicherlich, wenn ergerne ‘liberale Prilaten’ bitte, dieseiner Bureaukratie keine sauren Tage machen sollten“ Und derbedeutendste Staatsmann desLandes schrieb wihrond derKampf amheftigsten tobte: Leider haben wir uns zaciner eigenen und Klar vorgezeichneten Politik inden Kirchenfragen nicht ermannen Kénnen. Wir bitten auf das Anathema des obersten der Priester mit derProklamation derunbedingten Freiheit antworten sollen. Aber das Vertrauen indieMacht desGeistes hatuns gefehlt und wirhaben unshinter dieLandjiger verkrochen. Esistwahrecheinlich, dass dertiefgehende Meinungsunterschied, dersich indieser Frage zwischen Christoffel und denjenigen Kreisen gezeigt hatte, aufdieeramtlich und gosellechaftlich angewiesen war, *)Weligeschichtliche Betrachtangen, pag. 142. ©.F.Geiser: E.B.Christoffel. xv amseiner Vereinsamung wesentlich beitrag. AlsderStreit verstummt und einAusgleich derGegensitze méglich war, hatten vorrickendes Alter, dann Verzicht auf das Lehramt und beginnende Krankheit die ‘Wiederaufoshme eines regen Verkehrs zunichst erschwert undschlieB- lich vOllig unméglich gemacht. Sohatdenn sein Tod nicht eineLitcke ineinen grossen Kreis lebendiger Interessen gerissen oder eine be-doutendedirectoWirksamkeit aufeinejtingereGeneration jiblingsunter-brochen. Aber derKleinen Zahl von Freunden, denen ereinst seine * persdnliche ‘Theilnahme zugewendet und intreuer Anhiinglichkoit be- wahrt hat, istderauch ausserhalb seiner Wissenschaften #0bedeutende Mann indankbarer Erinnerung geblicben und ebenso werden diezahl- reichen Schiler, dieerwihrend einer fast vierzigjahrigen Wirkeamkeit heranbildete, denunvergleichlichen Lehrer nicht vergessen haben. INHALT. “LDemota permanent clectricitatis incorporibus homogencis. Insugural-"” Dineriatin1860.000stcseesesseteense oO 41,Ober dieGanbische Quadratar undciseVerilgeminerang derelben, Jouraal f.Mathematik, Bd.66,3858... ss ne 68 4M, Ueber die Tineare Abbingigkeit von Functionen einer eiasigen Ver- Anderlichen. Journal.Mathematik, Bd.65,1658.00... 88 “FV, ZurAbhandluog vonHeine: Ueber Zahler und Nenser derNukerange- vwerthe von Kettenbricheo” im 87. Band des Joumale fir die reine nd aogewandie Mathematik, Joumal {a za. a,Mathematik,BU681000 ceeveteccreereece) HO Y.Ueber’ die Dispersion des Licht," Monstaberchte “der BerlinerMlademieW6lr eevee cereeteeestesHS Vi.Veraiigemeinerang ciniger Theorem desHerra Waiarsin®. Journalf.Mathematik, Bd.68,1864.0vestscreevees138 VII. Ueber diskleivenSchwingungen tines peridincheingerichtetenSyitems natereler Pankte, Jouroal fMathematik, Bd,2, 1804... 148 VUlL, Ueber dieBestimmung derGestalt einer krummen Oberiiche durch lokale Mesrungen aaf derelben, Journal f.Mathematik, Bd.04,1685 162 IK.Uober dieDisparvion det Licht. Annalen der Physik .Chemie,BO2,196500cece eteeee esHB X.Zor Theorie der cinwerthigen Poteatile. Jouroal £ifathensaii,BiG186eee cecescene ceeees186 1X4, Usber den Einfob von Reslitite- and Stotigheilabedingungen auf die Lorung gendholicher Dtferetilglechangen. Joumal f.Mathematik,Ba,66,3866 Deteuttnet eresserene, 398 XM, Solproblema delle temperature staxionarie claseppreseniatione di tna data superficie, Anneli diMatematica, Ser. Bd.1,1868...240 Mall Ueber einige allgemeine Eigeoschaften derMinimamaichen, JoaraslfMathematik, BO,4867ssceecveer cee388 XIV, Bewein des Fandamentaleasee der Invariantentheoria. Joural’f Mathomatik,Bd.68,1868v0swewv eevee: B10 XV. Theorie der bilinesren Fonctioneo, Jourasl f.Mathematik, Ba68,WEoweeeeereneevere weeeer XVL Allgemeine ‘Theorie der geoditschen Dreiecke, AbhAndlungen der Borliver Akademie 1868 vsstv vcs nen ess 27 XVI Uber dioTransformation gearer’bomogenct Differentialausdricke Monstabericte der Berliner Akademie 1869. 0s sss ss M7 XVIIL, Usher dieTransformation derhomogenen Diferentiiauadzicke zweiten Grades, Jouroalf.Mathematik,Bd.10,188.sss 52 XIX, Ueber cindieTransformation homogenet Differentialauadricke zweiten Gradee betrefendes Theorem. Journal f.Mathematik, Bd.70, 1869 378 L DEMOTU PERMANENT! BLECTRICITATIS INCORPORIBUS HOMOGENEIS, DISSERTATIO INAUGURALIS quan CONSENSU ET AUCTORITATE AMPLISSIMI PHILOSOPHORUM ORDINIS ALMA LITTERARUM UNIVERSITATE PRIDERICA GUILELMA Ro SUMMIS IN PHILOSOPHIA HONORIBUS RITE CAPESGENDIS DIE XIL M.MARTI A.MDCCCLYI. AUCTOR ELWIN BRUNO CHRISTOFFEL OPPONENTIBUS: J.0RUHARUSER ‘AvetaVALETTEBT.GEORGE,vax.ox,AKREMER,rm.cas. BEROLINI TYPIS GUSTAVE SCHADE. ImOriginal befinden sich aufSeite 8bis6folgende Widmungen: MATRI CARISSIMAE NEO MINUS VIRO ILLUSTRISSIMO CELEBERRIMO EXPERIENTISSIMO HENRICO GUILELMO DOVE PHIL. ET MED. DOCTORI ABT. LIB. MAG. PROPESSORI P,0.IX UNIVERSITATE PRIDERICA OUILELMA ORDDUS REGII AQUILAE RUBRAE EQUITI SOCIRTATUM MULTARUM LITTE- ‘BARIARUM SODALI CRT, ORT. PRAECEPTORI DILECTISSIMO HANG COMMENTATIONEM PIO ORATOQUE ANIMO OPYERT AUCTOR Postquam @.S.Ohm theoris suaelectricitatis galvanicae") ana- lysinovam campum aperuit, multae inguisitiones inilloinstitutae, mul- taque egregia inventa sunt. Consideratione enim adcorpora duarum, trium dimensionum ex- .tensa theoria amplificabatur: casu inde speciali, quem Iustrissimus hhujus theorise Auctor tractaverat, ¢principiis generalibus eruto, cele- berrimae illae leges fiuminis galvanic distributionisque viselectro- scopicse inconductoribus linearibus adsummum, quod ipsa theoria paticbatur goneralitatis fastigium evchebantur. Omnibus hisdisquisi- tionibus, ©quarum numero commentationes #Cl?Kirchhoff inAn- nalibus Poggendorffii*) Tom. 64.67.75.prolatas commemorare sufficiat, physice valde promota experimentoramque copia aucta est, Sed tamen haec theoria incompleta erat, quum eam tantum elec tricitatis proprietatem, corporibus procedendi adcorpora contigua, respiceret, actione neglecta, quam corpora electrica incorpora remota exercent, —influentia, disjunctio electricitatum conjunctarum, —quae tamen abillins natura separari nequit. Quse quidem quum parum momenti habere videatur adphaenomena constantia incorporibus bene conducentibus, incorporibus male conducentibus econtrario sicprae- valet, utillaneglecta, electricitatis distributio nullo modo explicari possit. Quod desiderium explere conatus, quom experientia nulla phae- nomena suppeditaro videretur electricitatis motae, quibus calculi apto superstrai poseent, »phaenomenis profectus sum staticis, quae eodem modo tractare licebat, quogeometrae generaliter intransitu abactionibus diserotis ad continuas uti solent. 1)Die galvanische Kette, mathem. bearb, von Dz.G.8Ohm. Berl, 1827. 2)Tom. 64, Usber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, besonders eine krcisfOrmige. —67.Nachtrag dasu. —15.Usber dieAn- wendbarkeit der Formel flrdie Intensititen der galvanischen Strtme ineinem Systeme linearer Leiter aufSysteme, diezum Theile sus nicht linoaren Leiter. Vestehen. " an! : 4 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. Jam etiam alia parte asuppositionibus usitatis discedere coactus sum, ubidevielectromotorica calculo subjicienda agebatur. Equa re nova quae sequantur cum experientia egregie consentire videntur. Hoo incommentatione maxime curandum esse censui, utomnes notiones, quae adelectricitatis motum, qualem hicconsideramus, faciunt, proferantur notionibusque comparentur, quae iisintheoriis cognatis respondent. Cujus reiutilites primum eoversatur, uttheoriam nostram cum alia quadam frequentissima omnino congruere demonstretur: tum eo, uteasdem notiones majori securitate tractare liceat, quando de clectricitatis motae theoria generali collocanda agetur. Jam quod adcalealos subductos attinet, practer casus extremos conductorum optimorum velpessimoram electricitatis motum insphaera, plena tractavi omni generalitate tam physica quam analytica, Qua in reomnes calculos exhibere placuit, quorum incorporibus sphaericis opus esse possit. Formularam autem generalium adformam simpli- ciorem redigendaram usuique practico accommodandarum negotium ab hac commentatione procul habendum, aliisque reservandum esse censui occasionibus, ubiexreiutilitate necessitas oritura sit. Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. Declectricitatis mota scturi enumero causarum, quibus corpus aliquod statum clectricum induit, statuamus eas, quas abhine prac ce- teria eonomine comprehendemus. Sunt autem illae: 1.fontes electricitatis, puta corpora electrica illicontigua, quae ideelectricitate sua impertiunt; 2.actio illacorporum clectricorum abexistentia ipsius electrici- tatis inseparabilis, qua simul inomnibus corporibus, quorum natura nonrepugnat, electricitates conjunctae certo more dissociantur, simulque corpora ipsa viribus moventibus sollicitantur; 8.viselectromotorica incontactu corporum heterogeneoram agens, quae estcausa illorum phaenomenorum, quae proprie galvanica dicuntur. L Sielectricitas subdatis conditionibus incorpore Amovetur, quod variis modi, hiepronotis habendis, cognoscitur, tempore progrediente trium harum rerum observatur una: 1.Sicausae, quibus motus clectricitatis provocatur, manent, ita quidem utperpetuas mutationes subeant, status electricus ipsius A 1.Demots permanenti clectricitatis incorporibus homogensis 5 perpetuo stempore pendebit, atque abuna epocha adalteram varia- bitur. Sitamen causse illac invariabiles ffunt, hoc etiam cum stata lectrico ipsius Alocum habebit, qua inredistinguendi sunt casus sequentes: 2,SitAinsuperficie sua nonnisi non-conductoribus contiguum, sitdistributio copiarum lectricitatis extra ipsum Aoccurrentium con- stans, omnibus, quae ineystemate sunt corporibus abomni motu im- peditis: incorpore Asequilibrium constituetur electricum, quod secun- dum leges Electrostaticae determinatur. 3,Sitamen iprum Ainsuperficie sua invariabili modo cum fontibus clectricis constantibus conjunctum est, ceteris conditionibus * jisdem permanentibus, quales modo exposuimus, acerta inde epocha clectricitatis motus inipso Astabilis fiet. Quistatus idproprii habet, ut,clectricitate perpetuo ipsum Apermeante, innulla ipsius Apar- ticula status electrici mutatio operetur. Quiquum eiprorsus analogue sit,cuiintheoria caloris nomen ,motus caloris permanens“ tribuitur, insequentibus etiam appellabitur ,electricitatis motus permanens. Quem scouratins examinare inhaccommentatione nobis propositum est. 2. Jam utproblema adtumeros revocetur, suppositionem facimus generaliter acceptam, electricitatis mensuram esse densitatem electricam, signo positivo velnegativo praeditam, prout electricitas estvitrea vel resinoss, Quae quantitas utplane determinate sit, definitionem ejus usitatam repetamus. Quodsi duo corpora habemus AetB,ipsa quidem omnino paria unitatemque voluminis occupantia, electricitatis autem ratione diversa, quae deinceps iisdem conditionibus electroscopio opponuntur indistan- tinr:electroscopium deinceps attractiones %,%ostendet, quainre repulsiones proattractionibus negativis habebimus. Siigitur ponimus, corpus illud Acontinue ineodem statu, inquo quam hocexperimen- tum fieret ert, conservari, autinbunc statum redigi posse provolun- tate nostra, sequitur, utasitquantitss constans, quae tamquam ex- perientia datasupponi possit; quare rationem +,cujuslocoetiam rationem intersingulas attractionos intercedentem %:,ponilicet, sequentes vooem alias usitatam densitatem electricam medicam corporis, Bsppellabimus. 6 LDemotu permanenti electricitatis incorporibus homogencis. Porro siBestparticula corporis, perquod electricitas migrat, omnia quae ininterioribus ejus sunt, electricitate imbuuntur. Siigitur corpus C,quod ejusdem naturae estsicat B,eadem qua ipmm B densitate electrica media gaudet, volumen ejus tamen estipsius Bpars dimidia, tertia ..., electricitatis inipso Ccontentae copia manifesto critpars dimidia, tertia ...copiae inipso Bcontentae, idest: Electri- citatia copia, quae corpore continetur, perquod eleotricitas migrat, producto sequiparatur edensitate electrica media volumineque corporis conflato. Quae definitiones hacobservatione valde simplificantor, attractionem, quam corpora electrica exercent, abipsorum corporum substantia ease independentem. Eoenim postulata abjiciuntur decorpore Afacta, unde locoattractionis electricae “,vimaliquam constantem ¢natura apte petitam introducere licet. Quam sutem motus electricitatis generalis ineoversetur, utcor- poris, per quod clectricitas migrat, particulne externa electricitate impertiantur, electricitatemque propriam reddant, motum permanentem ineopositum esse apparet, utinhacipsius electricitatis viciesitudine nulla corporis particula densitatis clectricae mutationem patistur. Si igitar incrementum copise electricitatis, quae insliqua particula inest, ensuppositione computamus, utelectricitas inillamotum permanen- tem modo relictura sit,hoc incremonto nihili sequiparato conditionem habebimus, utinparticula illastatus electricus nonmutetur, aequationem igitar habebimus, quamotus permanens inilladeterminatur. Phaenomens fandamentalis, 3. Jam exponam, quae velexperientia dantur, velhypothetice assu- menda sunt, utincrementum illud determinetur calculorumque funda- mentum ponatar. Qua inremihi inmentem venire non potest, principia rursus fir- mare atque probare, quse jamdudum abaliis proposita, atque cum ipsa natura egregie coneentire experta sunt: simpliciter illaafferam atque adnotabo, ubiampliora deiisinveniantur. Jam primum illius sententise mentionem injicere debemus, secun- dum quam electricitas profluido habenda eatcorporeo, cujus particulae ‘mutuam repulsionem exercent secundum legem Newtonianam. Cuicon- fisus sisequationes motus permanentis exhibes fluidi illius —utsupra ‘motum permanentem vocabimus adensitatibus permanentibus —ad 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogencis, 7 eum quidem casum spectantes, quovelocitates singularum particularum Perparrae sunt, easdem obtinebis sequationes, quales exaliis deducemas Principiis, quae denatura ipsiue clectricitatis minus supponere vi- dentur. Cujus sententiae autem utmerito ratio habeatur, infra occasio invenietur. Nos igitur, slim viam ingreseuri; aduabus rebus proficiscemur ‘experientia confirmatis, quibus phaenomenis fundamentalibus nomen erit. Siduo corpora Aet4’,diversa densitate clectrica praedita, in contacta perfecto sunt, alterum alteri deelectricitate suatradit. In tomporis intervallo infimite parvo dthac ratione per clementum @ superficie’, inqua AetA’contingunt, exipso A’inAclectricitatis copia E’transmigrat, dum exipso Acerta quaedam copia EadA redundat. Quantitas, qua Z’ipsam Eeuperat, secundum @.8.Ohm fadifferentia densitatum electricarum pendet, quae proxime abipso @ induobus ejus lateribus inveniuntur, Sint w’,udensitates dequibus diximus, secundum ea,quae Ohm p.103. et106. op.1.proposuit, differentia E’— E,quam ,fiumen condustivum“ vocabimus, hacexpree- sione utitur: A QW'-sodt, ubi 2estquantitas abipsis u,wo, dtindependens, quam considera tionibus idoneis determinare oportet. Hacc expressio duos casus amplectitur valde distinctos, prout A etA’oxendem vel exdiversis substantiis confecta sunt. Jam suppositionem facimus cum experientia consentiontem, ad motum electricitatis spectantom hanc: 1.densitatem clectricam incorpore homogeneo apuncto inpune- tum continue variare, itautdifferentia densitatum induobus punctis propinquis distantiae panctorum proportionalis sit. Casas simplicissi- mus, adquem generalem revocabimus, isest,quo inter utrasque quan- titatos perfects sequalitas intercedit; 2,densitatem clectricitatis, ubi superficiem contectus corporum heterogeneoram transmigrat, subitas mutationes pati, unde differentia densitatum electricarum, inpunctis propinquis, sedsuperficie illasepa- ratis, baud amplius adistantia eorum pendet, sed generaliter valore finito goudet, quiincasa simplicissimo, adquem ceteros revocabimus, unitatem sequatur. 3 I,Demota permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. Hujus suppositionis opeexpressionem A.incasibus assignatis ita transformare licet, utnullas quantitates involvat nisi definites. Simplicitatis causa primo loco eum casum consideramus, quoA’ otAsunt corpora heterogenes. Siigitar eocasu, quisequatione a w-uml significatar, b qodt quantitas ostelectricitatis, quae tempore déexipso 4’inAper@ transmigrat, sequationum A.ets.openanciscimur sequentem: Qadt =godt, @qua hoc quidem cau Ray sequitur. Quantitas igitur electricitatie, quae generaliter indirectione commemorata peripsum @transit, haec est B. a(w'—u)odt. Exdefinitione autem ipsius q(form. b.)apparet, quoties AotA’ boni conductores sunt, quantitatem gprocul dubio valorem valde magnum induere. Secundo casu, quo ©ininterioribus conductoris homogene! situm est,roshaud itasimpliciter absolvitar. Aconsideratione proficiscimur locorum geometricorum, inquibus densitas electrica uvalore constante gandet, quse igitur date sunt ‘aequatione © 4=const. Qaum autem exsuppositione nostra usitfunctio continua coordine- tarum, hacaequatione superficies repraesentatur, quae nisi incasibus specialibus puncta vellineas singulares non pracbet. Quibus casibus u—rti—. Fig. 1. inpracsentia exclusis, six,y,ssunt coordinates orthogonales puncti alicajus 3Msuperficiei c.,Fig. 1,inboo puncto illaplanum tangens ddhabet, cujus aequatio est du au aw a(X-2)g,+(¥- Mayt+2-Day —% siX,¥,Z sunt ipsius plani coordinatae. Jam sistatuimus, elementum 1.Demotu permanenti electrictatis incorporibus homogensis. 9 @punctum Mcontinere atque perpendiculare esse adplanum tangens dd,esse insuper utsupra u,u’densitates electricas inutrisque ipsius @Isteribus locum habentes, trans ©tempore disecundum suppositio- nem nostram permeat electricitatis copia Q(w'—u)odt. Quum sutem exsequatione 4.pateat, uw’otunonnisi quantitatibus se- cundi ordinis differre, manifestum est, sitantum quantitates primi or- dinis respicimus, flumen conductivum hoccasu nihil aequale esse, ¢qua restatim deducitur, flumen conductivam ubique adsuperficies c.per- pendiculare esse Quibus positis consideramus ee id casum, quoo,etiam nune punctum ld Mcontinens, cum plano tangenti d. certum angulum @facit. Sitab, 7 ‘ Fig.2,ipsius@,ddautemplani¢ GB @ tangentis intersectio cum plano tebulse,©etdinhocplanoper-pendicnlaria. Sit porro o’pro- jectio ipsins inplanum d,a’b’ Fig. ejus intersectio, erit angulus bMO'=0,eto'=«cosO. Jamexiis,quaesuprastatuimus, mani- fostum est,per@eandem necessario clectricitatis copiam fluere debere acperipsum @. Sint igitur Mr, Mg perpendicula inMsupra a’b', aberecta, ‘m,;,m, poncta, ipsiMfpropingue, s'coram distantia; sit1,',4,densitas clectrica inhispunctis, secundum aequ. A.pera’tempore dtindirec- tione m,'m, electricitatis copia 2(uy 4)o'dt transmigrat. Jam sieocasu, adcujus normam nosgeneralem direc- turos esse supra annunciavimus, scilicet quisequatione e u/— 4=8" £ ko'dt entquantitas clectricitatis, quae indirectione dicta per o'fluit, —ubi igitar &ostquantitas definite experientia determinanda, quae conducti- bilitas vocari solet —nanciscimur sequationem Rs'o'dt =ko'dt, 10 _L.Demotu permanenti electrictatis incorporibus homogeneis. unde nostro casu ant, ideoque . & 2(u/—w)o'dt =k5" @'dt!) sequitur. Epanctis m,’,m, lines ducamus ipsi ddparallelas, perpendi- culum Mq supra @erectum inpunctis m’,msecantes, sitque horum punctorum distantia —s, unde s'=scos;sintdeniquew,udensitates electricae inhispunctis: uw’abw',u abw,non different nisi quanti- tatibus secandi ordinis. Itaque expressio modo inventa g.quantitatispero”veletismper@migrantis inhancetransit: ©. bMS oft=kS"dt; qua aequatione loco fluminis adIsevum, oblique indirectione m,’m, per©transcuntis substituitur flamen alterum, quod indirectione ad ipsum @perpendiculari m’m differentiationique contraria movetur. Sienim, quod secundum hypothesin fieri debet, adlimitem trans- imus, ubisevanescit, “—“ fitquotiens differentialis ipsius uindi- rectione Mg formatus, unde ernimus propositionem sequentem: Sit©clementam areso infinite parvum ininterioribus corporis homogenei situm, sint 4,8,7anguli, quos perpendiculum certo sensu supra @erectum cum sxibus ipsorum =,y,#facit, sitdenique uden- sitas electrica inpunctis ipsi oquam proximis, per @tempore dtin directione differentiationi (vel perpendiculo) opposita transmigrat elec- tricitatia copia au du du D.i(Gicose+Zycos+5;cosy|dt. Qua inexpressione siponis 180°+a—a’,1804+6=f’,180+7—7, hhane induit formam . 44oga’4.oon84.4con9”D. —(75cone’+74cos+45c08']odt, 4)Uthomogoneltas formularum perspiciatur, hace obvervamus. Siunitatem Tongitadinis dosignamos Z,formolae.aocuratius itaezhibenda et:t4’—ty=~ Ubigitarinsequentibus ipsum«°obvenit, ajusloconamerum ¥subintelligns. Inf,ipsum&lineamdesignat,ing.autemlocolineae&areakLobviaeat,undo abhine aream repracscatat, I.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. ‘oa quae estintensitas ejusdem fluminis, nisi quod ejus directio indirec- tionem differentiationis incidit. Exhoc sutem corollarium sequitur, : flumen nogativum certa directione motum sequivalere flumini positivo ejusdem intensitatis, quod directione opposita movetur. Jam quod eum casum attinet, quem hactenus proexemto habui-mus,quovidelicetsuperficies u—const.punctavellineassingulares pracbet, hoc solum reminiscaris, intalibus locia planum tangens ans- -lytice indeterminatum ease, ideoque valere aequationes aug ui G278GO,FEO. Quum igitur inpropinguitate talium locoram usitconstans, lumen conductivam inillis nihili sequale sitnecesse est, unde expressio D. etiam adhune casum pertinet. Tsdenique casus, quo trium differentialiom partialium ipsius alterum infinitum fieret, suppositione excluditur, uease functionem coordinatarum continuam. Corollarium. Antequam adphaenomenum fundamentale secundum pergimus, expressionum modo impetratarum opeB.otC.significationem mechanicam statuemus hypothesium denatura functionis usupra fac- tarum, equibus expressiones illae sequebantur. Siconditiones, adquas formulae illse spectant, easdem esse supponimus, itautvalores ipsorum ©,dt,(v—u) inutrisque iidem sint, atque designamus 4(v—1)odt =B,k*>"odt =6, sequitar “ bh, B=%0, quae sequatio docet, electricitatom persuperficiem contactus corporum heterogencorum migrantem resistentiam pati, quae causa est, utloco quantitatis Cquantites infinite minor Btranseat. Talis resistentiae effectus, quaccunque ceterum ressint, nonnisi in hac reconsistere potest. SitIo—Iquantitas electricitatie, quae peraream @moveretur, irosistentia ibiunitatem sequaret: si resistentiam opponit duplicem, triplicem, ...o**™, eritquantites quaeper@penetrat, =201”, For... LoL"; velutaliisvorbisutamur: Siresistentia est—¢, ceteris nihil mutatis, trans @totidem electricitatis permeat, quam per 12 1.Demotu permanenti clectrcitatis incorporibus homogencis, elementum ons penetraret, siresistentia unitatisequalis esset.Sit I),hace copia, erit i h-To'-<r, atque©=¢resistentiam metitur. Suppositiones igitur ‘nostrae defunctione uadhoc redeunt, ut clectricitas, ubisuperficiem contactus corporum heterogeneorum adit, inresistentiam ingentem incidst, cujus mensura est k z,ra siresistentia ininterioribus corporis, equo electricitas prodit, pro unitate habetur, designaturque &hujus corporis conductibilitas, atque s distantia media particularum deelectricitate suatempore dtcommuni- cantium. Cujus resistentise magnitudo etiam experientia certissime indicatur, praccipue observatione Cl'Péclet, superficiebus metallicis contiguis, nullo vernicis velamine separatis vim quandam condensatoriam inesse Jam hypotheses nostras, eforma speciali primitiva adsignifica tionem generalem evectas adomnes casus analogos applicare licebit atque oportebit. 2.Disjunctio electricitatum conjunctarum, Phaenomenorum fandamentalium, quee nobis investiganda sunt alterum actione gignitur, quam corpora clectrica incorpora remota exercent. Quae actio duplici modo eocernitur, utcorpora conducentia, inquae illaexercetur, simul etipsa electrica evadant (electricitas influentia provocata), simulque locum mutare nitantur (attractio electrica). Quos effectus singulos soorsim tractaturus primum ostendam, © qnovis puncto materiali ininterioribus corporis conducentis sito, quamdiu infiuentia electrica sollicitatur, propter hane influentiam conti- nenter quantitatos aequales electricitatis positivae etnegativae indiree- tiones oppositas profiuere, atque inde copias electricitatis apparere, quse cum iis,quas insectione praecedenti determinavimus, generaliter com- parari possint. Fig. 3.Sicorpus electricitatem conducens B,cujus superficie 5 yocamus, inpropinquo estcorporis Aelectricitate imbuti, quam, ut deredefinita loquamur, positivam esse statuimus: inipsius }parte ea, 1.Demotu permanenti clectricitatis incorporibus homogeneis. 13 quaeipsiAopposite est,cernitur copiaclectricitatis negative —4,dum quantitas sequivalens clectricitatis positivae +4inreliqua ipsius bparte distributa invenitur. Jam siutraeque ipsius &partes paulisper e 8 . 4 esOe O Fig. 8. corporibus «etftanguntur, quorum ulterius electricitatem positivam indobviam tollit, electricitate negativa adipsum «transeunte: corpusBinstatumanelectricum recedit,sedpropteractionem assiduam ipsius A,tempore certo Tdelapso, inpristinum statum restituitur, utsicut ‘antes, denuo copise —4et+4 supra bdistributae reperiantur. ‘Tempus illud 7goneraliter valde exiguum est, sicut experimentis de influentia cleotricitatis notum est: si,quod infra supponetur, Bet ipsum parvum est, ipsum 7’psene evanescere patet, quum evidenter una cum Bdecrescat. —Quod experimentum sirepetitur, itatamen, utinter singula experimenta tempus 7’intercedat, semper idem ejus eventus erit, sipropter causas qualescunque conditio electrica ipsorum ct6immutata manct: qui, quatenus nobis interest, eoconsistit, ut corpora «otBcopias —4et+4obtineant, quoties cum ipso Bin directione supra significata contingunt. Haec autem directio illoindicio sino ulla ambiguitate definitar, siAotBinfinite parva statuuntur: tune enim manifesto inlineam incidit corpuscula AetBconjun- gentem. —Sitmmultitudo experimentorum, quae tali modo per unitatem temporis instituuntur, ipsum «per idem tempus obtinet copiam —m4——E, per tempus xigitur, quod multiplum esse statuimus temporis 7,copiam —+Z, ubi Ejam atempore +‘indepen- dens erasit. Sinautem nunc corpus Bmagis magisque decrescere facimus, se- eundum es,quae supra monuimus, etiam 7’decrescit, sedgeneraliter Joquendo jam infra omnes limites abiorit, dum Badhuc sensibili quamvis exiguaextensione utitur.Quopactoprimum+areservations‘llaLiberatur, utexactum multiplum ipsius 7’sit, quam propter exiguitatem ipsius 7’ejus partes aliquotas respicere non oporteat. Secundo loco singulse tactiones ipsius Bperaet6inunam conjun- guntur tactionem continuam, singuli discessus electricitatis abipso B inunam continuam emissionem. Quae emissio, sietiam Ainfinite parvam esse statuimus, inlinea locum habet corpora AetBjungente. 14 I.Demotu permanenti electricitatis incorporibus bomogeneis. Sijam ultra supponimus, corpora B,«,6inunumcorpusCsupra spatium finitum patens conjungi, cujus Beatparticula ininterioribus ita, exipso Bindirectione B—Apertempusxproceditelectrici- tatis copia —rE, indirectione autem opposita copia sequivalens ++E. Sed quantitas Enonjam tota exintensitate influentise pendet, quam AinBexercet, sodotiam aresistentia, inquam electricitas exB procedens incidit. Qua inreproprincipio habendum est, Influentiam, quaecunque sitejus intensitas, incorpusculo quo- * dam Binfinite parvo etsubstantia conducente circumdato nun- quam majores electricitatum conjunctarum copias rovera dis- sociare posse, quam exeoprocedere possunt: ut,aliter lo- quendo, electricitatis copiae, quae pro intensitate influentiae disjunguntur, sed propter impedimenta ipsum Brelinquere nequeunt, prorsus itasehabeant, scsi non separatae essent. Qua responte sequitur, copias exipso Bprodeuntes semper esse aequivalentes. Sub factis suppositionibus denique ipsum Einfinite parvum evadit: sedquum jam exomnibus punctis ipsius Ceodem modo quo exB clectricitatis copiae profiuant, talium copiarum multitudo infinite con- currit, quarum summa determinanda est. Flumina autem hae ratione ecopiis —rE et+E ort disjuncto tractanda esse vix moneri debet. Jam utdeterminetir quantitas clectricitatis influentia ipsius A provocatse, quae tempore infinite parvo déperdatum elementum arese ©pormeat, abcocasu incipiamus, quo @perpendiculare estinrecta, c quae punctum aliquod ipsivus @cum ,4conjungit, Fig. 4.Supra oin ———* directione A— exstruimus cylin- drum normalem. Exomnibus punc- tisininterioribus hujus eylindri sitis propter influentiam ipsius A Fig4. clectricitas negativa procedit indi- rections @—4. Quui eutem velo- citas electricitatis finita sit, persuasum habere possumus, tempore dt non alia puncta copias sensibiles electricitatis exillis procedentis trans @esse missura, nisi quae ipsi oproxime adjacent, inquae igitur A actionem constantem exercet. Quum porro clectricitatis copine, quae tempore dtindirectione dicta equolibet puncto procedit, ad—dt proportionalis sit,haee proprietas etiam copiis convenit, quae epunctis illis trans mittuntur. Sidenique loco ipsius ejus partem dimi- I.Demotu permanenti electricitatis incorporibus bomogeneia. 1b diam, tortiam, ...consideramus, manifesto eritelectricitatis copia priorisparedimidia,tertia,...exquointelligitur, hanecopiamadipeum@ esse proportionalem. Unde, si—H estdensitas clectricitatis per@ migrantis, porro —haodt ejus copia, sicasct H— 1,generaliter habetur Pro quantitate clectricitatis transeuntie —hHodt. Estigitur Aconstans exobservationibus petenda. Puncta autem, 8quibus copia illsdiscessit, quum ipsi @quam proxime adjaceant, manifestum est,ipsum Hnonpendere nisi abactione, quam Ainhace puncta exercet. Sitamen 4estcopia clectricitatia inipso Acontentee, rejus distantia ab@:secundum legem 8Coulomb detectam inpuncta ipsi @propinqua attractio exercetur, quaead“,proportionalis est.Quae attractio sievanesceret, etiam Hnullum esset: attractione crescente, ALangetur. Suppositionem igitur facimus simplicitate suacommenda- bilem, densitatem Hease proportionalem adhanc attractionem'), poni- musque L Hm, ubi¢estlinea, quum yvolumen contineat. Quantitas igitur electrici- tatis, quae tempore dtper@indirectione @—Atransit, haec est: Ae Aa(e m.—4-4-odt— 25(E)oat. Jam qusestio oritur, quanta sitelectricitatis copia, quae subhypo- thesi nostra per transit, siquidem hoc elementum quocunque modo Versus directionem attractionis inclinatum est. Sitab,Fig. 6,intersectio hujus elementi cum plano tabulae, atque inhoc planum perpendicalare. Circa peripheriam ipsius @pro directrice habitam cylindram ponimus, cnjus rectae generatrices in directionem attractionis incidunt. Sito,ejus sectio transversa, hujus 1)Ipes hypothesis nonnova est, sedejus applicatio. Biot illam inopere suo: ,,Traité dephysique“ (Paris 1816.) Tome Il.pag. 284. hisverbis protulit: ‘vLoraqu'un corps conducteur otisolé B,qui estdans l'état natarel, ext ‘mis onprésence d'un autre corpsAélectriséetisolé,I'électricité distri- bbuée sur lasurface deAagit par influence sur lesdeux électricités combinées deB,endécompose une quantité proportionelle aI'intensité aeaon action ote, ete." . postes autem actionis infuentise intensitatem eodefinit, utattraction! electricae eam soquiparet 16 1.Demotupermanenti electricitatis incorporibus homogeneis. intersectio cum plano tabulse ab’; sit@angulus acutus rectis ba,b’a interceptus, undea’[email protected], quantitates electricitatis, quae pera’et@transeunt, aequales ecse, vel & bad ——e | Fig. & siplacet, quantitatibus tantum oltiorum ordinum inter sodifferre. Quae igitur per@transit clectricitatis copia secundum m.haec est: » car (Fade—PapF)e088oat Hane expressionem adformam simpliciorem redigere licet. Supra @inpuncto aperpendiculum erigimus retrorsum spectans aay, exa,iterum perpendiculum a,a, inacdirigimus. Sitaa,—dr, aa,=ds,a,a,=dp,eritdr=dscos0,dp=ds-sin 8.Sintporro 0,0,,%, valores, quos©inpunctis a,a,,a, induit, habemus me 84 ee dp me aeee oeer velsiadlimitem pergimus, ubidsevancecit: $5=Fin+FEcon0, Jaminvaloremipsiuszginguiramos. Estautem1 ad T lim 2 1 1 ‘ima,7limalyerbaps-+}lim&-0, unde 4 0 ‘atque de do$cos0=F, unde obtinemus E bay(F)ootoat=24(Feat 1.Demotu permanent clectreittis incorporibas homogensis, 17 Hee autem sequatione loco fluminis adlaevum, oblique per@ transeuntis substituitur flumen alterum,- quod indirectione aaadip- sum ©perpendiculari differentiationique contraria movetur. Sielectricites ipsius Anegativa esset, expressioni praecedenti tale signum tribuendum esset, utvalor ejus positivus evaderet; quam autem secundum §2.hoccasu pnegativum sit,forma expressionis nihil mu- tatur, quae igitur etiam adhune casum spectat. His praeparatis, casum aggredimur generalem, quo influentia a ‘variis copiis eleotricis, quocunque modo inspatio distributis exereetur. Sit@clementum areae ininterioribus corporis conducentis situm, ; sint 2,y,#coordinatae puncti ipso @contenti, sint «,p,7anguli,quos perpendiculum supra @incertam regionem exstructum Ncum axibus coordinatarum facit. Sint porro m,,m,...varia volumina infinite parva,copiaselectricitatis 4,ug,..-possidentia; sint2,yi,4}ZYayMy---corumcoordinatae, r,,1,--- eorumdistantine abo,velsiplacet,a puncto z,y,s. Quonism —cos, —cosB,—cosysunt cosinus angulorum, quos perpendiculum supra wretrorsum erectam cum axibus facit, per tom- pore dtindirectione perpendieuli N,sigeneraliter ponimus ap _ap ap ap aN dxC88+GyCB+geO87 propter influentiam ipsins 4,copia electricitatis transit Aa (my—tan(S)oas, propter influentiam ipsius jicopia eletricitatis transit Aa—tay(R)ed, clectricitatis igitur copia, quae peroeodem tempore ineadem directione propter influentiam omnium illaram quantitatum transit, haec estAad[ye 7—tan{24}ea, velsiponimus F. Stas, ubi»estpotentiale omnium massarum electricarum, vel,utbrevitatis causa dicomus, polentiale elecricum, hace: @. =2[FEcone+$5conp+$20087}wdt. Jam quod flumen attinet”©copiis+Eformatum,omniaquae exposuimus adliteram repetuntur, nisi quod copiis electricis obve- 1B Ohrlatotet, eamacteAbbenlvagen. 2 18 1.Demotn permanenti electrictatis incorporibus homogenti nientibus ubique signum contrarium tribuendum sit,flumenque resul- tans indirectione opposita dirigatur. Praster copiam G.igitur per@ indirectione differentiationi opposita transit copia H. (GEcone+GFcoh+3%cosy}oat, ubisccentibus, quibus ipsum vornavimus, indicatur, valorem potenti- alispaullum differre abeo,quiinform. G.obvius est. Inutrisque enim expressionibus potentiale adeascorporis partes referendum est, quae copiis istie electricitatis proxime ante transitum per@pene- .trantor. Flamina @.etH.inunum flumen colligere licet, quod lumen in- ductioum vocare placet. Quum enim secundum corollarium eform. D. deductum flomen H.contra directionem differentiationis motam pror- susitesehabeat, sient fiumen 2[gEcose+fye088+Sec087]odt indirectione differentiationis motum, manifestum estflumina G.otH. conjunctim ita#0habere sicut flumen indirectione differentiationis motum, quod abhoe L —7A(7%oosa+$5coxp+$2cosy]wat nonnisi quantitatibus altiorum ordinum differt. Quibus negloctia, I.eat flumen, quod inductivum sppellabimus. Experimentum, aquo inantecedentibus profecti sumus, abaltera quoque parte, quam supra indicavimus, examinari oportet. Corporibus enim AetBiterum advocatis, practer phaenomenum modo tractatam inter corpora illaetiam visintercedit, quae distantiam eorum mutare contendit. Quum igitur omne punctum materiale ininterioribus cor- poris conducentis situm viribus accelerantibus sollicitetur, generaliter inmotu electricitatis tertium exstat phaenomenum fundamentale, vide- licet motus interior etexterior corporis, per quod electricitas movetur. Simplicitatis causa autem corpora, dequibus hicagetur, supponi- mus itaesse comparata, utneque ipsa, neque corum particulne loco suo moveri possint. Hisstatutis, adtempus finem facimus considerationum hypothe- ticaram. Inposterum semel tantuminodo, ubideelectricitate incon- tactu corporum heterogeneorum orta, deque ratione agetur, qua elec- tricitas oxinfluentiae actione orta sehabet insuperficie corporum, ad phaenomena redire cogemur simpliciora IDemotu permanenti clectricitatis incorporibos homogencis. 19 ‘De motu permanenti electricitatis ininterioribus corporum homogeneorum. 4 Proponitur corpus 4,extensum, homogeneum; puneta ininteriori- busejus sitaadcoordinatarum systema orthogonale referuntur ipsorum z,y,#. Densitas electrica utsupra vocatur w,potentiale electricum v. Secundum ea,quae subfinem §'2.statuimus, idnune agitur, utinore- mentum inveniatur, quod copia electricitatis inelemento aliquo ipsius A contenta aceiperet, sielectricitas statum permanentem modo relictura esset. Quod incrementum secundum prineipium euperpositionis parvarum matationum aequale estsummee incrementorum, quibus copia illaauge- retur, siutromque phaenomenum fundamentale solum existeret. Unde jam protinus conductionem electricitatis actionemque influentise sepa ratas tractare nobis Licet. Ipsum corpus Aplanis, quae coordinatarum planie parallels sunt, inparallelepipeda dividimns infinite parva, quorum laters, axibus ipso- rum z,y,# parallel, sunt dz,dy,dz, Brevitatis causa haec element nomen ducent abillacuspide, cujus coordinatee algebraice minores eunt: itaut©,g.parallelepipedum, quod cuspidibus (z,y,2)et(e+dz, y+dy, 24s) determinatur, adpunctum (z,y, 2)pertinere dicatur. Inpraesentia tamen non alia elementa considerabuntur, nisi quae tota ininterioribus ipsius Asita sunt, quom clementa superficiei ni- ‘ium propinqua peculiarem tractationem sibi poseant. 1.Incrementum ¢conductione ortum. Per unumquodque sex late- ram parallelepipedi adpunctum (z,y,)pertinentis secundum ea,quae inprima sectione §antecedentis invenimus, flumen conductirum transit, cujus intensitas formula D.determinatur. Sie. g.latera duo contemplamur, quae indirectione ipsorum 2 perpendicularia sunt, etplanis X—2, X—2+dz continentur: in formula D.ponendum erito=dyde, «=0, B=y=90°. Perprius illorum igitur indirectione abscissarum decrescentium, idestexinte- rioribus parallelepipedi, copia electricitatis transit kay deat; qua inexpressione siipsum xquantitate dzaugemus, eruimus copiam, quae abaltera parte inparallelepipedum ingreditur, igitur R(GE+dxf)dydeat, Dequa siquantitatem priorem deducimus, obtinemus inerementam, Pr 20 1.Demotu permanenti electrcitats incorporibus homogeneis. quod copia electricitatis inparallelepipedo nostro fluminibus illis acce- Pit,hoe ”Rade dydedt. Simili modo parallelepipedum eduabus reliquis coordinatarum direc- tionibus incrementa accipit kGidedydedt etkids dydedt; unde incrementum econductione electricitatis ortum integrum hoe est: audw,dw K. R(Gant Gytger)dedydeat 2.Incrementum exelectricitatibus influentia dissociatis. Sint 0,0 Oy valores, quos potentiale electricum inperallelepipedis contiguis, adpuncta (e@—dz,y,2), (9,4), (@+dz,y,#) pertinentibus obtinet, secundum formulam @.§antecedentis primo parallelepipedo insecundum electricitatis copia transit . —AMaydedt, esecundo autem intertium hae —Say dedt. Porro secundum formulam H.ejusdem § 6tertioparallelepipedo insecundum copiatransit nahdydedt, esecundo inprimum hae Ady dedt. Insecundo igitur parallelepipedo, quod adpunctum (2,y,2)pertinet, copiaremanet Ayav,dedyde Ayan,_ae’ etaetaetGe—ae)eydedt F(Z-Glave aardydedt, quod estincrementum copiae electricitatis inparallelepido nostro con- tentae, illiparti fluminis inductivi debitum, quae perlatera parallel- epipedi adplanum ipsorum yet¢parallela penetrat: atque apparet, ‘adejus formationem quantitates, quae exipso elemento processerunt, 1.Demotu permanonti electrcitatis incorporibus homogeneis. 21 nibil contribuisse, sicut revera secundum principium §'3.2)eve nire debet. Simili modo eduabus reliquis coordinatarum directionibus obti- nentur incrementa Beaadzdydedt ot27Cdedydedt, unde omnibus collectis, incrementum exinfluentiae actione ortum inte- grum hoc estAideate|de} L.Mist GetGSldzdy deat. Sed©nota potentialium proprietate quum sit Pp GtGatGaoaau, incrementam L.hoe evadit M —*thy.dzdydsdt, quae expressio docet, actionis, quam inffuentia inpunctum aliquod in interioribus corporis conducentis situm exercet effectum non pendere nisi adensitate electrica inipsius puncti propinquitate 5. Aequatio motus permanentis ininterioribus corporum homogencorum. Quum autem propter suppositiones, quas denatura conductoris fecimus, jam nulla alia incrementa speranda sint, secundum eaquae §°antece- denti monuimus, inerementum completum, quod electricitatis copia in isto parallelepipedo contenta obtinet, summam sequat expressionum K. etM,unde hoo est: ‘du du dw Bah N.(RGB+FatGal—"Fs|axayaeat. Utigitur sequatio formetur, quamotos permanens definitur, hance quantitatem nibili sequipsramus, ¢quo, factore dzdydssublato, se- avitar dudu h tu dtu, dtu) On 0.Raetay+aa)euO Quae sequatio adomnia pancta spectat, quae ininterioribus cor- poris A.versantur. Hac occasione adnotare convenit, expressionem N.nequaquam va- lereadaequationem motus generalem exhibendam, quod itapatet. Con- siderationes enim, quas in§3.instituimus, praecipue eanituntar sup- positione, distributionem electricitatis, dequaagitur, initio temporis dt 22 I.Demotn permanenti electrcitatis incorporibus homogentis, permanentem fuisse: simul hypotheses, quas ibicollocavimus, praeser- tim ea,quae insectione secunds posita est, nomnisi tales modificationes sunt hypothesium generalium, quales motui permanenti conveniunt. Ad disquisitionem denique’ motue generalis notiones inpraesentiarum ad- hibitse non sufficiunt, quum etiam velocitates electricitatis insingulis punctis incalealum introducere opus sit. ‘Adexactam cognitionem phaenomenorum, quae electricitas mote praebet, praeter densitatem electricitatis etiam flumen electricum in quovis puncto conductoris determinari oportet. Quem infinem sitrur- sus@clementum arese infinite parrum panctum (z,y,#)continens, et «,B,yanguli, quos perpendiculum supra@incertamregionem erectum cum axibue coordinatarum facit. Secundum formulas D’.otI.per© indirectione hujus perpendiculi transit flumen conductirum —k[FEcosa+9%cos8+$*cos7}wat, otflumen inductivam =(FEcova+$2cou8+4°0087]ot, unde electricitatis transeuntis copia universa haec est: +—{ae(entBe)cone+Zt(ku+Be)con +(ku+to)cosy}oat Quo expressio siadunitatem areae ettemporis refertar, non tamen neglectis iis, quae desitu aree statute sunt, eruitur flumen clecricum adtalom arene unitatem pertinens. Unde siponimus P. hut hom kw, ejusdem fluminie expressio haec eat dw ae de Q—k(GZcone+Geconf+Gycon7}. Invenimus igitur, quod attentione satis dignum este videtur, lumen clectricum permanens ¢duobus fiuminibus conflari, flumine ordinario conductivo etflumine extraordinario inductivo. Jam angulos «,,7 itadeterminare licet, utfumen Q.quam maximum evadat. Qua inresirelationem respicis cosa?+cos6"+cospt—1,hujus fluminie statim obtinebis expressionem dwt,(din?,(dy? R8—kV(32)+(a)+a) 1.Demotu permanenti electrcitatin incorporibux homogeneis. 23 etadejus directionem definiendam 8. cosa=—59%,cosp—— 54%,cosy——542. Sint «',6’,7’ anguli, quos recta inhac direction perpendicularis cum axibus coordinstaram facit, ¢relatione cos«cos.’+cosfcosA +cosycosy’=0 sequitur, flumenelectricum inhacdirectione essenullum. Quum autem influmen R.eaedem considerationes institui porsint, quae initio §!3.1)factae sunt, percipitur, flumen Q.non esse nisieam partem fluminis R.,quae per unitatem arese adform. Q.pertinentem transit inplanum addirectionem ipsus R.perpendiculare projectam. Flumen R.igitur estflumen electricum proprie dictum. Quibus positis omnes notiones patent, quae inproblemate nostro determinandae sunt: omniaque addensitatem electricam u,potentiale » inpatio externo etfanctionem wrevocantur. Functiones autem vet tomore satis memorabili conjunguntur, quem infra ostendemus. De motu electricitatis permanenti insuperficie corporum homogencorum. 6 Calouli hactenus institnti quum adomnia clementa valeant, quae tota ininterioribus ipsius conductoris versantar, talia tantum nobis consideranda restant elementa, quae superficiei illius quam proxime adjacent. Quae clementa prac ceteris corporis partibus variis proprietatibus excellunt: primum propter ingentem resistentiam, quam clectricitas in superficie conductoris patitur (§3.Corollarium), tum eo,quod practer conductionem etdisjunctionem electricitatis etiam adactionem viselec- tromotoricae respiciendum sit. Jam inhac disquisitione iterum principio §!2.utemur, motum permanentem electricitatis eodeterminari, utsumma singulorum incre- mentorum, quibus electricitatis copia inelemento aliquo contenta per datum temporis intervallum augetur, nihili aequiparetur. Quae method acqualitas, quum inipsius reinatura posita sit, tamen nos coget, ut actionem viselectromotoricae talimodo incaleulos introducamus, cujus nexum cum praeceptis abIll.Ohm prolatis non primo adspectu diju- dicare liceat. 24 I.Demotu permanenti electrictatis incorporibus homogensi Fig.6. Sits superficie inquacorporaAt4’intersecontingunt, quam a ubique continue curvatam essesupponi- 4i mus. (Figura nostra sicutsuperiores inter- v}—Ip « —sectionem planam exhibet)) Sit@elemen- . je tumillius infinite parvum, a.’ejusinter- tt—r 4 sectio. Supra @inutrasque directiones A cylindros perpendiculares exstraimus sec-Tie. tionibustransversistorminatosabca’,a'be'a,quorum volumina sint @@, 0’. Secundum §3.adformationem fluminum ibideterminstorum eae tantum corporis particalae contribuunt, quarum distantia abelemento o, perquod illamigrant, infinite parva est,etquidem facile intelligitur, distantiam punctoram ultimorum, ©quibus electricitatis copiae sensi- biles trans @mittuntur, avelocitate clectricitatis pendere otamagni- tndine elementi temporis. Ttaque, si6et@infinite parva esse statuimus, tamen supponere faseat, areas bc,B’c’ utique postulatis §3.respondere: dum abaltera parte persuasum habere possumus, tales sectiones transversas fy,B’)', quarum distantiae abaa’ respect ipsorum @,8°satis parvulae sunt, ppostulatis iisdem nullo modo esee responsuras. Jam utsequationes obtineamus, quibus motus permanens insuper-ficiedeterminatur, quatuorillsclementa Bbcy,aBya,,a'f'y'a,BBey’singula seorsim examinabimus. Qua inreillsrum clectricitatis copiarum, quae per superficiem cylindricam fiuunt, nulla ratio babenda erit: quum enim illae leges supra exhibites sequantur, secundum §4,quae exillis oriuntur incre- menta quarti ordinis sunt, unde, quod mox patebit, prae quantitatibus, doquibus hicagendum est,omnino negligenda sunt. Brevitatis causasint=,-quotientes differentiales fanctionum P,P, exclomentis bey, f'b'c'y’ indirectionibue perpendiculi adinteri- oracorporum A,A’spectantibus sumti*):dumfunctioP’incorporeA’ easdem partes agit, quales Pincorpore A. Quibus positis, elementa bey, A’b'c'y’ perIatera be,b'c’tempore dt secundum §5.q.copias electricitatis obtinent: du.thdo’ , rdw’|2h’do’ rn (éBtraed, r. (et dp)odt Quum sutem secundum suppositiones, quibus hae formulse nituntur, 1)Have denotatio quotientinm diferentialiom, eujus inposterum semper suru crit, abositata tantam signo difer, aed reram natarae magis convenire via eet, 1.Demotu permanenti electrcitatis incorporibus homogencis. 26, xillis clementis per be,b’c’ clectricitatis copiae influentia ortae -2Kedt, —Fipodsecesserint, exiisdemelementisquantitates aequivalentes ted signo oppositas perBy,f’y' profluant necesse est. Unde elementa afya’, a’f’y’a abclementis Bbey, f’b'c'y’ quantitates obtinent:Ado :wae *Piedt, % Fede Jamutsequationes eruantur, quaeadclementa Bbcy,f'l'c’y’ spectant, copise determinandse sunt, quae exelementis afya,a’’y'a inille procedunt. Quse determinatio quam exconsiderationibus superioribus hand amplius succedat, ¢conditione nobis resultabit, motum electrici- +tatis etiam inelementis afya’,a’6’y’a permanentem ease debere. Sint t. Qadt, t edt quantitates, quae requiruntur, siexpressionum r.s.t. etrt’. opein- crementa formamus, quae elementis Bdcy, f'¥/¢'y’ accipiuntur, hisincre- mentis, utidebet, nihili sequiparatis, obtinemus sequationes du, thao hava kaptcapt %—cap . yaw WW de. g, Wdo w. Wt aptl Fano ubj factor communis edt sponte abiit. Adelements afya',a’f'y'a transimus. Iniisexprossiones s,#'. pro incrementis, contra t,t. pro decrementis habendse sunt. Porro secundum §3.B.aBya’ abipso a’6’y'a copiam obtinet Wve q(u’—u)adt. Jameprincipiisin§°3.prolatissequitur,utelectricitatie copine, quse ininterioribus elementorum nostrorum actione influentine separan- tur, exiisque procedunt, prae ceteris quantitatibus incalculis nostris obvenientibus prorsus negligendae int. Ponamus enim, actionem influentiae (cujus intensitas abeffectu, ereli-quisconditionibus pendentebenedistinguenda est),inelementoaya’tan-tamesse,utfumenperaa’transeuns Eadtincitaret,siaa’eandemresisten-tiam exerceret, quaeininterioribus ipsiusAlocumhabet:hoeflumensecun- dum§8.Corollerium form.k.resistentiam patitur *(abisestdistantia ‘mediaelementoram, qusetemporedttransareamwdeelectricitate suacom-‘monicent): unde pars illius tantum revera superficiem penetrat, scilicet quantitas infinite minor 4°.Kodt, Secundum principium autem, quod 26 1.Demotu permanenti electrcitatis incorporibus homogencis. §°3.2)collocavimus, perByetiam nilpluris transit, nisi quantites —4Eodt, partesque fluminum, quaeininterioribus ipsius aBya’ reti- nentur, secundum hoeidem prineipium pronon-separatis habendse sunt. Qua resententiam nostram cum considerationibus superioribus consen- tire evictum est. Jam advim electromotoricam examinandam transimus, Cujus ac- tionem inhactantum reconsistere posse manifestum eat,utiniiscor- porum contiguorum particulis, quibus superficies corporum constant, clectricitates conjunctas certo modo digjungat. ‘Adrem melius cognoscendam advocamus tabulam Voltae dupli- A cfm, quae physice satisnoteeat,Fig.7.SitBy6'y'hsectabula,etquidempareafya’ezinco,| @’By'a ecupro confecta. Quaram prior propter actionem viselectromotoricae electricitatem posi-7Gi FHtivamexhibet, dumalteraelectricitate negativa Fig.7. imbuta est. Jam siatraque pars corpore abdu- cente tangitur, (itatamen, utnovis tactionibus effectus viselectromo- toricae inaa’ agentis non diminuatur), ecupro continenter totidem clectricitatis negativae, quam ¢zinco positivae profluit. Quo experi- mento ratio, quomodo actio visclectromotoricae incalculum introdu- cends sit,omnino decernitur. Sienim, Fig. 6.,discum infinite tenuem Ay6’y’ pro tabula Vol- taica habemus, prima viselectromotoricae actio ineoconsistit, utin duabus illius partibus electricitatum conjunctarum disjunctionem operet. Sint—H,+H’densitates electricitatum hocmodoexelementis afya’, a'f'y‘a versus aa’propulsarum, +Higitur et—H'densitates electrici- tatum,quaeexillisversusBy,f’y’propelluntur: secundum formulam: §'3. B.clementum afya’ peraa’obtinet " +4(H' +Hodt, ipsum a’f’y/a autem w. ~(H+H)odt Lilas autem copias, exactione viselectromotoricae ortas, quae perBy, fy’ fluunt, determinare non opus est,quum expressionibus tett’con- tineantur. Cetera siinhasquantitates inquirere velles, necnon in istas, quae ininterioribus ipsoram aya’, a’p’y’a remanent, iterum prin- cipio in§°3.2)collocato utendum esse Expressionibus s,t.v.w.ets'.t’.v',w’ritecollectis, positoque H+H=-4, 1.Demoto permanenti elecricitats incorpribus homogensis. 27 conditiones, utelectricitatis motus inparticulis uBya’,a’f’y'a perma- nens sit,haeinveniuntur x 2Ea+aw—u44)=0, Pa Pay2-4 —ut4)=0, ubifactor communis wdt sponte abiit. Jam sisummas conficimus sequationum u.etx,u’.etx’,quanti- tates 2et2’abeunt, eruimusque de hav ye U.aayBee+g—ut 4)=0, " dul hide ,wu. wet atau—w— 4)=0. Quse inhisaequationibus adlsevam obveniunt expressiones sifac- tore wdt afficiuntur, inerementa completa exhibent «copiis electrici- tatis inipsis abca’,a’b’c'a contentis accepta. Quum igitur omnibus satisfecerimas casibus, quiesitaparticulae, perquam clectricitas migrat, oriuntur, persuasum habere possumus, alias sequationes addensitatem electricam determinandam non amplius esse circumspiciendas, atque ininterioribus corporis Aunam tantum valere sequationem 0,insuperficie tamen ejus totidem sequstiones forma U.gaudentes exstare, quot ipsum Acorporibus diversis contingit. Sin autem sequationum x.etx’.summam fecimus, sequatio sequitur bdo Ld )(F-9) +FaR-2)-% quse docet, flumen electricum ipsius viselectromotoricae actione auctum, imsuperficie perpendicalare, adutrasque ejus partes eodem valore eademque directione uti, Quae tamen sequatio propter U.etU’. superfiua redditur. Acquationes nostraeU.etU’.sicumilliscomparantar, quasIl.Ohm inopere praeclaro pag. 123, exhibuit, primo adspectu legem ampli- tudinum constantium (das Gesetz derconstanten Spannungen) impugna- visse videmur. Sed in§°sequenti hanc legem, experientia nonnisi in casu apparatus voltaici aperti (deroffenen galvanischen Kette) probatam, eodem casa etiam enostris formulis sequi demonstrabitur. Jam propter dignitatem reiindicabimus, quis sitnexus inter aequa- tiones nostras U.etU’.illasque, quae alias intheoria contactus galva- niciexhiberi solent. Aequationibus illis inseductis invenimus du|thdey|(yaw,aa(a+BS)+("5p+Fe) 28 1.Domotu permanenti electrcitatia ineorporibus homogencis. tande sequitur, flumen electricum, insuperficie perpendiculare adutrasque aqjus partes eodem valore eademque directione utidebere: quae est prima conditionum aCl?Ohm prolatarum, nisi quod nostra fluminis definitio abusitata influentise ratione differt. Porro jam in§°3.6 definitione quantitatis qconclusimus, valorem ejus, quoties AetA’ boni conductores sunt, procul dubio permagnum fore. Quod siadmitti- mus, siconditionem addimus, flamen electricum nonnimio valore gaudere, exU,siper pdividitar, sequitur, spproximatam haberi sequationem u-w=4, quae estaltera sequationum aClOhm L.¢.exhibitarum. Jam casus nonnullos proponemas, quibus sequatio U.simpliciorem formam impetrat. Inter quos maxime referendus estsequens. 1)Sit4’non-conductor electricitatis, erit g—=0,unde sequatio in superficie oritur du,thdo U,. eeethe m0. Secundum §1.2)tamen problema nostrum non existeret, sihaec aequatio intota superficie locum haberet. 2)Corpus 4’propristatibus utatur flatus aéris, male conducentis, continue serenovantis: insequatione genorali ponendum ettu’=0, 4=O,eritque ae aauthe U,. Rate apen Ratio autem, quadeperditionem electricitatis inaérem respeximus, cam lege aCleCoulomb inventa omnino consentit. De motu clectricitatia in condustoribus Linearibus, actione influentise neglecta. 7 In§antecedenti amethodo hactenus intheoria contactus galva- nici usitata discedere coacti sumus. Equa renova quae redundant tatcam consiliis priorum comperari possint, electricitatis motum in conductoribus linearibus tractabimus ita comparatis, utquantites *(vide§5.0.)respecta ipsius&tamparvasit,utotipsaetomnes quantitates ipsiproportionales sine damno negligi possint. Quae postu- latioquumetiamitapronunciari possit, ut&ipsum*eximie superet, manifestum est,corpora dequibus agimus, siquidem exstant, praecipue bonis conductoribus adnumeranda esse. Etiam quae esuppositione illa 1.Demotu permaneati eletrcitatis incorporibus homogeneis, 29 resultant, egregic cum observationibus consentiunt inbonis conductoribus institutis, dam mali conductores, sicut experientia infraque calculi docent, longe alias leges sequuntur. Unde jam hocloco proponemus, quod sequentibus comprobabitur, suppositionem patere adomnes optimos conductores, neque tamen adullam aliam corporum speciem. Fingamus igitar cyclum clausum conductorum linesrium, sectionibus transversis constantibus utentium 4,,4,,...4q, quiinordine indicum sese contingunt, quorum ultimus primo contiguus seriem concludit. Conduetores omnes insuperficie libera non-conductoribus contiguos esse statuimus, Sint proindicis wvaloribus 1,2,...m HarbarOurhy densitas clectrica, longitudo, sectio transverea, conductibilitas ipsius A,, porro u,°,u,’valores ipsius «,inpropinquitate eorum locorum, ubi A,cum’ A,,”, resp. 4,,, contingit; sintdenique g,,4,valores, quos ipsa q,4(conf. §6.U.U’) insuperficie contactus ‘communi corporum A,,4,44 obtinent: siomnia puncta adcoordinstaram systema ortho- gonale ipsorum §,7,¢referuntur, addeterminationem ipsius u,uequa- tiones habemus sequentes. Ininterioribus ipsius A,(§5.0.): ce aagetagt tape=9 insuperficie libera ipsius 4,(§6.U,.): au, ® ann in0aipsins A,superficie, quacum A,_, contingit (§6.U’): ® BBE+aya(rns84s)=05 ot,ubiA,cumA,,, contingit (§6.0.): C) k,=$4,(Urge +4,)=0.a Jam sistatuimus, indicem inferiorem m,sivunitatibus augetur, non transire in(m+) sedin»,principium equo signa quantitatom 4cliguntur, praccepto continetur, utaequationes, quae adreliquos conductores pertinent, ¢praecedentibus eoeruantur, utomnes indices eadem unitatum copia sugeantur. Itae.g.sequatio ipsius uf,, ¢ tertiaemergit hace: a© BaaGet!+4(twins 4,)=0. 30 I.Demotu permanent slectrictatis incorporibus homogenci. Quae formulae utcasni nostro applicari queant, formulam notissimam advocamus A aA, aA radSap eae+pattnt=SSFas, inqua dsestclementum superficiei ejusdem voluminis, supra quod integrale triplex extenditur, denotante Ftquotientem differentislem ipsius Aindirectione supra (§6.)determinata, ea A Qua informola si ote ponimusA=u,,inte 4, ¥ gralitriplice supratalem * ipsiusA,partemextenso, er + Ape quae (Pig. 8)sectionibus —e transversis a,d,,byc,tr- fig8 minatur, propter 1.ob- tinemus au, @Sape0 Propter 2.autem exhoc integrali eapars abit, quae adsuper- ficiem ipsius A,spectat. Unde siinposterum axes conductorum line- arium, velrectas velcurvatas, pro axibus abscissaram habemus, in singulis conduetoribus originem abeaparte ducentibus, quae corpori inordine indicum antecedenti quam proxima est,ipsis insuper abscissis2%,%,..-,Yocatis,acquatio7,Intitudine discia,b,¢,d,posita=dz,,inhane transit: “t,az,Jaaa8=0, ubidsestclementum sectionis transversae constantis o,. Valorem igitar medium ipsius u,inhacsectione siu,vocare pergimus, sequitur a, atdz,=0, veldenique ou, 8)af-°. Equa, sif,,¢,sunt constantes indeterminatae () el sequitur. Inhacsequatione autem =,limites 0otJ,egrediatur mefas est. Porro est (10) Wate Wht Mt, 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibas homogeneis. 31 Acquatio 7.etiam tune valet, sidsestclementum superficiei talis partis abcd (Fig. 8)ipsius A,, quae finem ejusfacit, ubicum A,,, contingit. Insuperficie autem hujus partis distinguenda est: 1)sectio transversa bc,cujus clomentum sitde,; 2)superficies Libera, enjus clementum sitds,; 3)superficies denique aa’,inquaA,et4,,, contingunt; aream ejusponamus ~@,,,elementum =d2,. Quibus praeparatis, aequatio 7. inhanetransit‘du, Pau, aw,SitetfietuSG42,=0, ubipropter equ. 2.integrale secundum sponte abit. Intertium autem integrale aoquationem 4.ducimus, unde, siiterum advalores medios redimus, haneco obtinemus formulam ay, (anyKyGe—Guu(Wessta+4,)=0, quam factore k,affecimus, Informula 7.ponendo 4+1loco ,siadinitium a'U'éd eam applicamus conductoris 4,,,, eodem modo formulae 6.opeeruimus sequentem a(12) aseasge+GR(ethgs—-4,)=0. ‘Jam in11,et12.valores introducamus e10.petitos: as) KsQaly +We faba tou Susi—Au)=O (14) Kaenurihers+GM(ubetS—Susi4}=9, ¢quibus igitur (1) KisQuty=bastOnsitars sequitur. Hane aequationem loco unius alteriusve aequationum 13, 14,introducere licet; partes expleat ipsius 14. Jam siobservas, aequationes praecedentes non cessare recto valere, siomnes indices cadem unitatum copia augetur, statim videbis, in aequatione 15.systema contineri aequationum (as) By04hy=hyOghy=bgahn: Quantitates autem singulse, quae itaaequales inveniuntur, magni- tudinem exprimunt fluminia electrici insingulis conductoribus; quod si Svocamus, eruimus 8 8 8 anfim Ama fee 82 1,Demotu permanenti lectrcitats incorporibus bomogenss, ‘Adsequationum systema transimus, quod exformula 13.oritur. Loco ipsius f,valore ejus introducto, sequatione per9,, divisa, si ipsi valores 1,2... mtribuimus, obtinemus s 449, 94 Su + 8 sh (18) 44a, HS te wa 8s+ Quarum sequationum sij#primas addimus, sequitur ms, ms, oR vel att 7 ko,*4,2, " Omnibus autem sequationibus 18.computatis, omnes cabeunt, habeturque oan mS vel 24 @) 8= SinDeri) a te __. cho ggte PyRe,thet te tae tga, tte, ‘Adbane aequationem, siinformulam q.valores nunc determinati substituuntur, accedunt hae: (21) Has te hoy yk Fut 4Ly tl tesfeatnit tnetoate teamtea| —{[At4t-+4,) +6, 1.Demota permanenti electricitatis incorporibus homogencis. 33 Sitamen omnibus diversorum indicum abscissis cumipsis,originem communem esse placet, novaeque abscissse vocantur 2,inantecedentibus ponendum est2,—2,2,4,—-2—(h+h+---+1,)) Jam casus nonnallos, quiinformulis nostris continentur, exponemus. LSitcorpus 4,,non-conductor electricitatis, igitur k, 0,ipsins Sdenominator infinitus est, itaque S—0. Unde formulae 21.inhasce transeunt Hm RGAy=G—(Ath).... Mma (ATA H+qs) Exhissequitur HM iyMythyDayMi nt=Innaquae estlexamplitudinum constantium, quae experientia inapparatu Voltaico aperto probate eat. Siigitur apparatus, inquem antes inquisivimus, qui mconduc- toribus confectus erat, eoinapparatum apertum mutatur, utconduc- tore A,induas partes diviso, conjunctio tollatur, designaturque u,,, densitas clectrica ineaipsius A,parte, quae cum ipso A, conjuncta permansit, habetur HE MG yothe(At ytya). Matta(t ate+4,), ideoqueMhMetAtAt$4. Hoe igitur modo obtinetur numerator ipsius S,quem summam amplitudinum inapparatu aperto obviarum appellabimus. Quoniain autem exoxpressionibus densitatum clectricarum quanti- tates @etQabierant, inapparatu illoaperto distributio etintensitas clectricitatis amagnitudine sectionum transversarum etsuperficierum contactus estindependens. Jamsiquantitatem ,"--vocamus resistentiam conductoris 4,item izresistentiam, quamsuperficies 2,exercet, aequatio 20.docet, ""in apparatu Voltaico clauso flumen clectricum sequale esse summse amplitudinum inapparatu aperto obvenientium, per summam omnium resistentiarum inapparatu obviarum divisse. Lex fluminis electrici sihisvorbis pronunciatur, omnino cum eaconsentit, quamCl.Ohmprotulit; totadifferentia ineopositaest,utinnostra formula etiam resistentise occurrant, insuperficiebus contactus locum habentee. Quarum visscpotestas quomelius perspiciatur, casus considerabimus sequentes. +)Deaequ.20.et21.conf.Diegalv.Kettopag.148et178HB.Obrletettes, GommneteAtandlangss 1 A 34 I,Demotu permanenti electrcitatis incorporibus homogencis IL.Statuamus, singulis conductoribus ordineque eorum omnino immutatis manentibus, unam superficiem contactus diminui: quod quo- modo fieri posit, ©figura nostra 8.satis perspicaum est; quae ubi satis parva facta est, ipsum Siterum tantum denominatorem obtinet, utpro evanescente haberi possit. Simul electricitatis distributio ad 1 ejus similitudinem pergit, quae inapparatu aperto invenitur. Cum hacrecautela illainapparatibus galvanicis usitate cobaeret, utsuperficies contactus quam maximae reddantur. IIL.Hune denique casum fingamus, quoconductoria A,loco succes- sive alii aliique conductores substituuntur exeadem substantia confecti, quiitecomparsti sunt,utipsis4eto,decrescentibus, ratio4vel Byimmutata manest.Simplicitatis causastatuamus, corporaA,ot A,abipsaA,toteejussectione transversa tangi, esseigitur 2,,~2,—@,. Quibus positis, simulatque ipsum o,infra certum limitem decreverit, omnes terminos indenominatore ipsiusS$obvios praehiscei 1 " 7 .* +gee;Megligere licet,obtinoturque * aRAt4, +--+)Sra (4+4,4--+4,), oonity Gm Ng Gel tyr APA TSaba tate.alta) Haec apparatus constructio igitur, eaproprietate excellit, ut 1)fiumenelectricum valdeexigaumsit,quamvisquantitas2,4,nonnimio valore gaudeat, quae reenotissima ¢sola deminutione conductibilitatis ipsius A,explicari solebat, quae phaenomeno quodam secundario, quod casu nostro evitari nequit, operatur; 2)utinconductore A,densitas clectrica apuncto inpunctum rapide varietur, dum inreliquis condue- toribus electricitas adinstar apparatus aperti distributa est, Jam adquaestiones pergimus generaliores, Calouli pracliminares. 8. Simplicitatis causa siponimus ke aaah an motus electricitatis incorpore Asequationibus determinatur sequentibus: 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. 36, Ou du a La(tataytae) I. os LE+Wut 4)=0, quaram prima sdinteriores ipsius Apartes spectat, altera adoss superficiei partes, inquibus corpore 4’contingitur. Aequstioni I.formulas nonnullas superstruamus, quae quum ad tractationem ejus faciant, eoetiam excellunt, quod modo satis concinno notiones quaadam inter seconjungent, quae intheoria nostra fundamen- tales sunt. Jom quacramus potentisle »puncti x,9,4,respocta corporis formandum, inquo electricitatis motus permanens factus est. Aequationis I.ope, sistatuitur r=(2+ —#+(4— ” habemus Cudadyd: _,(dedyde [@™,dtu,dw ofstedydsasfzs(iataptah, ubiintegratio supra corpus universum extenditur. Inhac expressione siintegratio perpartes more solito perficitur, obtinemus, designante ds elementam superficie’ 1 1 1 aat at sftude flaws autre, dute on-afroof{ésdz+aydytae|cedyae, uubi{¥eatitorumquotiensdifferentialis ipsiuewindirectione perpen- diculi sdinteriora ipsius Aspectantis formatus, Est autem at . auar aueaveMOF 1aw dzdzt’'°“ arr iteque gogeto —ape unde integrale triplex informala antecedenti obveniens aequale esthuic af'au,dedyds| velsiloco orthogonalium coordinatae polares r,0,yintroducuntur, punctumque z,,y,,#,earum initium esse statuitar, dwa8fGar.sin0a0dg. Jam casus distinguendi sunt, prout punctum attractum ininter- ioribus ipsius Apartibus situm est,autinspatio externo. i 36 1.Demotapermanenti electricitatie incorporibus homogeneis. 1)Punctum sttractom sitinspatio extemo. Hicquoniam distantia rnunqusm evanescit, integrale nostrum insummam integralium transit forma utentiom rae:otfsinadedgfizdr—afw—w) sin0d0dg, ubiaccentuum significatio sponte patet. Sint ds’,ds”clementa super- ficiei radiis vectoribus 1’,r”correspondentia, «’,«”anguli aradiie illis uno tractu cum perpendiculo adinteriora ipsius Aspectanti inter- cepti, fit _ inpunctoanteriore sin040dg——agen, atqueinaltero sin@d0dp— “2°”, unde integrale nostrum invenitur esse Inquo siintegratio aduniversam superficiem extenditur, valor etiam integralis triplicis suppeditatur. Exclementis trigonometrine planae patet esse 1 at ariaome oF cona=— 4%,ideoque%f—35, unde denique, omnibus rite collectis, habemus 1atroaa} ml. onafluan~Faghes 2)Panctum attractum autem siininterioribus ipsius partibus versatur, eorum quae modo exposuimus nihil mutatur praeterquam quod integralium, inquae triplex illud decomponendum est, unum limite inferiore utitur evanescenti. Hoc autem, siuestdensitas elec- trica inpuncto attracto, aequale fitexpressioni arfeineavefsar=asf(uw)sin0d0dp a4xatut afsin04049; unde eodem modo quo supra obtinemus sequationem 1aW. ontaatuttf[ua-thos 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. 37 Quotiesigiturvalores,quosuetPAinsuperficieinduunt,inno- tuerunt, innotuit etiam potentiale inspatio externo; quum idem prac- terea ininterioribus adensitate electrica inpuncto attracto pendeat. Integrale duplex inaequationibus IU.etIV.obvium summi momenti est,quum ¢jus differentiale ininterioribus corporum flumen electricum completum, inspatio externo tamen flumen inductivum attractionemque electricam metintur. Quod igitar insequentibus litera distincta deno- tabitur, statueturque at 1Fade v wnbffetta ttl Unde sequitur esse waa mtwets, prout ipsum wadpunctum inspatio externo autininterioribus ipsius ‘Asitum refertur. ‘Haec functionis wdefinitio sicum ea,quam in§°5.P.dedimus, comparatur, aequatione V.definitionem illam amplificatam esse patet Erationibus autem, quas infra afferemus, productum exipso wet conductibilitate kconfiatum pressionem vocabimus electricam. Quoniam autem ipsum w,simulatque punctum, adquod pertinet persuperficiem ipsum Apermeat, saltum definitum facit, adsequa- tionem pervenimus notatu dignam. Sienim adsuperficiem ipsius A perpendiculum ducimus, ineoque adutraque superficiei latera puncta mumimus superfciei infinite propinqua, adquae ipsum wdeinceps refertur, inpuncto exteriori est —¢°-,, inpuncto autem interiore w =+555quivalorpriorem illum,quumdistantia punetorum infinite parva sit,quantitate «superat. Abaltera parte integrale du de ap inutrisque casibue candem valorem impetrat, unde obtinemus 1 1 a— avi Sears aydsAnu, at ubi¢’adpunctumexteriusrefertar,atqueGEestquotiensdifferen-tialis inperpendiculo extrorsum spectanti formatus. —Abhaeformula sine difficaltate adaliam quandam transire licet, intheoria attractionis gonerali gravissimam. 38 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. Sinenovorum calculorum institutione eformulis superioribus duas alias sccigimus. Adquas efficiendas inmemoriam revocamus formulam in§°4.sdhibitam T+GatGan—saw. Quaesifactore 4494 multiplicatur, integratione supra totum corpus extensa, sipunctum 2,,y,,4,inspatio externo situm est,effi- citur at 1a :Vu. —4dav= {ese—sates, siautem ininteriore corpore situm est, evadit VIL 0.S|{“rade 4 =) \oae- Fi fas. Quae utobtineantur, nihil faciendum est,nisi utinduabus prio- ribus formulis inparte dextra a?— 1ponatur, et»loco «substituatur. Subsoquenti autem exemplo harum formularum usus apparebit. Fingas solidum sphaericum radii c;sitpotentiale respectu illius in superficie formatam functio arbitrarie data anguloram polarium 0,g’, quam v’vocamus; sint porro R,0,pcoordinate polares puncti, in quod sttractio exercetur, atque 08@=codcos0’+sin8sin6cos(p—g'), rit P=c—2cRcose+R et at at 7_ oF ap ae" Jam siprimum R<csupponimus, constat esse 1 -ate 1Re .7oyie FD aPa(cova), ideoque4-2(m+1)Zi,Pq(cova), Quibus informulam VII. introductis, brevitatis causa statuto sin6'46'd” =do, unde ds=cde, obtinemus sequationem identicam < =f.$ [de Domrn() “foPa(cosa)ie'— 2(2)efieP,(c080)do’, unde coéffcientibus comparatis emergit sequens Ix. efiP,(coso)de =(m+1){vPalcora)as. 1.Demoto permanenti electrictatis incorporibus homogentis. 39 Inspatio externo quum sitR>c, habemus 1 -as 1 a ‘ r eti-2FartPa(e0@), ideoquegt——2mF;Pa(cone); formala igitur VIL. inhane mutatur Sr pent Senet (av , dave2(9) fePa(ooo)ae +>(5)of4Pq(cota)da velsisequationem modo inventam IX.advocamus xX onSEEGoPalomas, quae estexpressio nota potentialis inspatio externo. Puncto autem altracto versus superficie pergente obtinemus evolutionem notissi- mam hane XL °“DH Jw'P,(cos 0)de’, cujus convergentia aCl?Lej.-Dirichlet indiario Crelliano tom. XVII. Iucalenter demonstrate ost. 1at Adnotamus, evolutionem XI.eformula VI.evolutionum ipsiuse adjumento sine ullo paene calculo provenire. Formula X.integrale completum praebet hojus sequationis aede,ate mLantaptan~° intoto epatio extra sphseram, radio ccirca originem coordinataram descriptam; inqua sicoordinatse polares orthogonalium loco introdu- cuntur, innotescit etiam integrale quod huic casui proprium estsequa-tionis :1d (aX), 1ax XMgas(8i0Ge)+anaragetmm+1)X—0, hoe est . X=fvP,(cos@) do’; quae quom sintnotissima, ampliori tractationi supersedendum est. Sed quam hisformulis inposteram utendum sit,demonstrare eas, quam afferre solum maluimus, quippe quarum deductio satis commoda reique conveniens vixplus operis postalaret, quam sola commemoratio. 40 I.Demotupermanenti electricitatis incorporibus homogeneis. De motu permanenti setheris repulsivi. a Antequam adsccuratiorem tractationem sequationum supra ex- hibitarum transimus, monstrabimus, qaomodo adidquoque insorvire possunt, utelectricitatis motus quasi subvisum etadspectum ponatur. Itae.g. indootrina demota permanenti caloris incorporibus homo- geneis temperatura potentiali molium externarum repraesentari potest. Aptiorem imaginem condeneatio veletiam densites praebet aéris per- manenter semoventis, —siutsupra motum permanentem yocare per- gimus adensitatibus permanentibus, —cujus partes nulla viaccele- rantur, quiinclusus estparietibus, quibus sdris externi, etiam perma- nenter semoventis sccossus ubique eodem quidem sedimperfecto modo arootur. Ponamus igitur omnes conditiones, quales inhoeexemplo descrip- simus, iisque hocetiam addamns, aéris singulas partes secundum legem Newtonisnam mutuo soropellere; tum igitur, siU,V,Wvelocitates secundum directiones coordinatarum sunt, @densitas prima, wdensitas instata turbato, deinde #condensatio, ideoque u— 9(1+); sideni- que»potentiale omnium molium repellentium est, eprincipiis hydro- dynamicis notum est,sivelocitates satis exiguse sunt, valere sequationes au, de, do av, gide, aotat 0, Teas ao, aw yids, de de, au av aw ata tan aetaetayt a7% exquibus, siprocondensatione sdensitas «introducitur, suasponte au au du dwGeA(Gataptap)—Axem : sequitur. Simotus estpermanens, parslava evanescit, unde patot, hhabere nossequationem I.§'8,siquidem A*= 4x9- a"ponitur. Jam siinsuperficie perpendiculum erigimus, duoqueinojusdirectione esse statuimus voluminia elementa seinvicom tangentis, quorum alte- rum superficiem tangit, necesse est,inutroque sccelorationem accurate candem esse. Quodsi igitur w’estdensitas externa, (eiconsiderationos 85.ot6.doresistentia insuperficie hicetiam adhibentur), Q(w'—u)dt estelementi prioris acceleratio indirectione perpendiculi introrsum spectantis, deinde ads, de dudBae ta)tt~(teotg+ap) I.Demotu permsnenti electricitatis incorporibus homogeneis. 41 estscceleratio elementi alterius; quibus sequatis, etQ—4xb posito, sceipietur oesE+bw-0, quae absequatione Il.§'8.nonnisi deficiente termino bdiffert. Sed hicetiam insequationem introduci posset, sisuperficie’ attribueretur Proprietas, uta8rem motum inunam partem facilius transmitteret quam inalteram. Quum autem edeductione harum sequationum prima, quantum quidem eprincipiis mechanicis concludi liceat, demonstratum sit,suffi- cere easadipsum «omnibus numeris determinandum, alise relationes non amplins circumspiciendae sunt. Itaque concludimus: Electricitas ubiincorporibus homogencis inmotu permanenti est, iisdem obtemperat legibus quibus fluidum elasticum exigue motum, cujus partes secundum legem Newtonianam mutuo serepellunt; atque quidem fluidi densitati respondet densitas electrica; pressioni quam fiuidam in interiores partes propter expansionem suam etrepulsionem, inexteriores propter repulsionem solam exercet, respondet pressio electrica; denique accelerationi ininterioribus fluidi partibus respondet flumen electricum, repulsioni fluidi disjanctio corpore electrico operata. Patet igitur principia, aquibus profecti sumus, ineocasu electri- citatis moventis, quem hicconsideramus, analytice perfecte congruere cum iste sententia denatura electricitatis, cajus initio §'3.mentio facta est. Unaque demonstratum est, quod disertis verbis monemus, sialterius theorise partes sequuntar, alterius phaenomena fundamentalia haud amplius esserespicienda. Siigitur e.g.sicut nosquidem fecimus, influentise actionem indisjunctione electricitatum conjuncturam versari putas, haud amplius repulsionem respicies, quam electricitates ejusdem generis mutuo exercent, quia aliter ejusdem effectus bis rationem haberes. Coterum hooadextremum observamus, omnia quae contra sethe- rem repulsivam permanenter sese moventem dici possunt, etiam dici contra eam theoriam, quae electricitatem tale fluidum esse contendit. Do mot permanent! electrioitatis incorporibus sphaericis. 10. Formularum §!8,auxilio integrationem sequationis_L incorpo- ribus sphsericis absolvere possumus. Introductis enim coordinatis po- laribus: z=rcosd, y=rsindcosy, s—rsindsing, 42 I.Demotu permanenti electrcitatis incorporibus homogencis. inhane transformatur 2{4 (adm, 1a(gd 1dw XIV.ot{Se(Ge)+anado(tinGs)+igorays)=PH cujus ¢sola comparatione cam aequ. XIII. patet esse integrale parti- calare Ag) X,(8, 9), ubi¢notations usitata X,estfunctio sphacrica nordinis. Quod ubi inequ. XIV. loco wsubstituimas, formulae XIII. openanciscimur sequentem aaa,X,{at(PY)—n(n+1)4,]-7°4,} =0, velsi,ipso X,sublato, statuimus A,(r) =4,(7), uy,Int2duu, xv.drt+ r dr~a Integralium hujus sequationis particularium qualia circumferuntur, ‘uno tantum innostro casu utipossumus, inquo mestnumerus posi- tivas, quum alterum omni sensu careat, quoties nextra limites 0,—1 versatur. Everificatione tamen prioris methodam petere licet sequentem. Sitproomnibus indicis mvaloribus Yee*(1), facile obtinetur aequatio identica: 149641 ty Bnt3 dy atade a Quam quoties secundum zintra tales limites intogramus, ubiy, covanescit, formam eruimus sequationis XV. unaque integrale ejus parti- calare. Tales limites autem sunt, siquidem quantitates (n+1)et positivas supponantur z=—1, +1, +0, unde integrale completum emergit sequens: XVIwomAfe*otrassBfeTety, Hoe autem integrale prout casus postulat, inaliss formas redi- gendam ost. Quoties enim revanescere, neque tamen infinitum fieri potest, constantium una, generaliter inarbitrio nostro posits, peralte- ram definitur, ponendumque estB—— A,unde efficitur LDemotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. 43 (@) u(r)=afore 1ydz, quod estintegrale supra commemoratum. Quoties tamen rinfinitum fieri, neque tamen evancscere potest, ponendum eat @) u()= 4a,e#(e—1)'dz; sidenique ipsiromnes valores positivi competunt, nullo excepto, fit (3) u(r) =0. Adinveniendam formam algebraicam integralium insequatione XVL.occurrentium ponamas ©=ket fore—1demets,¢sfDat1)tdz. ? # Ubisilocoxnova altera variabilis yintroducitur ponendo x1—y, erit aaforpysiay =(—1spJery £2yrdy. Jam est secundum theorems binomiale ,. .nt i. as 2k)fovossray -Dagtnters ferris thSE, unde denique - o 2.{ore tye=(—1ymtet 2[aiSe"): Siigitur proomnibus quifingi possunt ipsius &valoribus ponimus XVI. 1)YQ)ge 2 provalore ipsius &positivo erit 2)fore Inde=+(1MlV4),+ 44 I.Demotupermanenti electricitatis incorporibus homogencis. ‘unde sequationis XV. integrale completum hoc est XVI u(r)=AV,(5)+BY, (—£)- Ipsins «inde derivatur expressio generalis baec mx unDe{F.(5)X09)+¥.(—Z)20,9)) Formulis XVI. 1.23.respondent valores ipsius wsequentes: DnwmBele) +V.Ca)] Xe) 2) weDrv.()X00,9) 3) u=0. Eproprietatibus functionis V,quae adpropositum nostrum faciunt, adnotemus sequentes. Funetionum V,("), V,(—2) siumaaliavedenotatur V,,exin- togralibus definitis (XVII. 2))invenitur formula recurrens: XX.1) 80mwmVas Cujus adjumento exsequatione XV. haec deducitur 2) (Bay, Jamsiinsequatione XV.locoipsiusuprimum v.(2) deinde v,(-)substituuntar, terminisquiaddextramsequationum inveniun- turcliminatis, sequatio evadit integrabilis, ©onjus integratione prodit nyi(-2)_ yl)_ V(E) a Da ge ubi¢abipso rindependens est. Siinhane aequationem symbolorum loco ipsa integralia introducis, ipsique rpost transformationem idoneam valorem 0tribuis, invenies esse c=(—1)*+#(2a)!**4, unde aequationes efficiuntur av,(—£) ay,(2) tl/gq\tat ir a, nr ey ‘ta 9) EE ae 1.Demota permanenti elootrictatis incorporibus homogeneis. 45 B 8 " ry4 aytnre 4)Fa(5)Pass(—3)—Fai) Mann()CY quarum posterior e3.formulae 1.opesuccedit. Formuls 3.adomnes ipsius nvalores spectat, quisupra —1ver- santur, siinquantitate (—1)*** cautiones necessariae adhibentur. Lliue opedemonstratur, quantitates 7,(2)et¥,(-2), sihaecdenotatio formulse XVII. 2)beneficio adomnes ipsius »valores concessos ex- tenditor, revera integralia esse sequationis XV. aseinvicom indepen-dentin.Quodsinonesset,constantem quandam 6itadeterminare li-ceret,utaequatiohaberetur identicaV,(5)-oy,(-4)‘Toneautem” pars laeva ipsins 3,evanesceret, quod locum non habere inconapectu est.Quse demonstratio principio generali nititur huic. Sin functiones unius variabilis x,puta s,,4,,..., aseinvi- com pendere autindependentes ease convenimus, prout sequatio Oh +yy ++ +04, =0 valoribus constantibus ipsorum a,,a,...a,, quorum unus saltem a« nullitate differt, identica reddi potest, necne, theorema habetur generale: Functiones #,,s,...#, 8seinvicom pendent autindependentes sunt, prout determinans Ztay i? identiceevanescit, neene.Inhoedeterminante positumeat1?Ft, Quod theorema praesertim insequationibus differentialibus linea- ribus utile est, quibus quum determinantis illius formatio facillima reddatur. Observationem adjungere placet, saepe utilius ease, sifunctionis V, loco hace functio ky 5) Wh)=(GyLAC) incaleulos introducitur, quae quum variis rationibus istam simplicitate ‘superet. Cujus tamen inpraesentiaram usum non faciemus. i. Jam clectricitatis motum insphaera plena radii c,incujus super- ficie clectricitatis fontes arbitrarii inveniuntur, dum non-conductores electrici, quiquocunque modo inspatio distributi sunt, effectum ineam 46 |.Demotu permanenti electricitatia incorporibus homogencia, exercent, examinemus. Expressionem igitur ipsius ueform. XIX. 1) nobis sumere debemus, et,sipro hac quidem disquisitione a ¥.(2)+¥.(-f)=4 ponimus, fit b. umD>ru) X,(6,9)- Deinde siVpotentiale complotum est, secundum soqu. I.pror—chabemus: aaywd : °ade,LY4bw 4)=0. Insequentibus loco ipsius w’+ 4ejus evolutionem secundum functiones sphaericas adbibebimus, ponemusque a. w+4— >)46,9). Estautem Vsumma algebraica ipsius vrespectu sphaerae formati, ot |ipsius 04,si¢0potentiale omnium non-conductorum signamus, Jam vero sipror—=c est a =DEG 9) facile eformulis VII. etVIII. intelligitur, pror<¢esse =D>()2.69), ideoquepror—=eae,*e ]DTA, 9). Restatigitur,utexpressio 4(au+4.0)pror-—eevolvatur. Secun- dum form. IV. ost autde o (14 1 aw 1 .--EsuaTeercavetry+Gpleserconw15)O88 syn dul ’.~EDOSSlor neefs)Plcoeerans inquasievolutiones ipsorum uetn-—{*imponimus, reductioni- bus obviie factis efficitur 1.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogencis. 47 ftattLomaDS[ul+agp|X,9), ideoque pror—e 4(as, 2S net a &HotegeoDine"[400)+anpaden)HO9) Jamsivaloressequationibus b.e.g.effectiinc.imponuntur, obtinetur 0D409) ~42.EO.9), atque inde secundum theorema, unamquamque fanctionem unico tantam modo secundum functiones sphaericas evolvi posse: (arme—"[n (0+gaiaMO]+bem}XG9) —4,(6, 9)—.",F089). Equaformala utabestdifferentiale 4¥*siformulam XX.1)adhibe- mus, etsemel omnino statuimus u,(c) =w,,adelectricitatis densitatem insphsera exprimendam hanc habebimus sequationem (5)mtn{02-440,9)— 7069) XXI. 3) {saat al+ (tnt Deda EE a Porro puncti inexterno spatio sitir,8,ppotentiale sphserae respectu formatum ate pent .veteyenl) Hes(Beda(0.9)—7,Fx(0.9)} XXL =itil) Ae, ntba+eaay Deinde ex f.efficitur xxi wtih (atmddmg+PEtes etdenique adpressionem lectricam ininterioribus sphaerae deter- minandam 48 1.Demotupermanenti clectricitatis incorporibus homogenels, XXIV. wtSEM 3eytaaeigates]WOOttteF@o) bee \e) oe ee(etntbomtSA Mao Formulae XX. 2)opehaeeummse, siterminus n=0excluditur, simpliciores reddi possunt, quom secundum formulam illam habeatur net tna? (atm+de),+APEygDemy+AOtay toe 2 “tampidetentaapaMet Exexpressione XXII. suasponte efficitur electricitatis summa in spheera contenta; estenimsequalis coéfficienti ipsius +inevolutione ipsius ».Quam si2vocamns, fit Q=2xcks,-“,% veladbibitis formulis hue spectantibus §10. faery(E41)r XXV. Q=4sxatcd, (FG+)~, velsi,£<xsuppotito, evolvitur Sy(=Bangs (20) h 2=16224, >Geysi(a) ubiB,,By,-..numeri Bernoulliani +,3,...sunt. Exaequatione XXV. quum omne ipeorum }et»,vestigium sbie- rit,sequitur, inmotu permanenti clectricitatis summam insphaera ho- mogenes contentam omnino non pendere adiffcultatibus, quibus eleo- tricitas superficiem permeans impeditur, neominus adisjunctione, quae non-conductoribus extra sphseram positis efficitur. Similiter Coulomb observavit, insphaeris clectricitato imbutis, inquibus electricitas, quantum quidem fieri potest, inaequilibrio est, deperditionem insérem circumdatum asubstantia sphserarum esse in- dependentem. Confer Biot traité dephys. tome Il.pag. 256. 12, Formulis §'10.omnia absolvi possunt problemata, quae epectant adpluria corpora, quse etsphaeris concentricis definiuntur etomnia concentrice sita sunt, Attamen computationes, illascilicet excepta, 1.Demota permanenti electrcitatis incorporibus homogencis. 49 quae incorpore indefinito, equo sphaera exsecte est, versatur, tam molestae sunt, utearum perfectio vixoperae pretium esse videatur. Quare hoc tantum agemus, utexemplo simplici monstremus, quomodo corporum, quae certis conditionibus inmotu permanenti sunt, summa electrica constitui possit. Quem infinem theorems advocamus Gaussianum (vide Journal de mathémat. deM.Liouville Tome VII. pag. 304. Théorémes généraux cet.), integrale 1 [aeafap? supra unam velplores superficies clauses extensum, moli aequale esse attrahenti, superficiebus illis inclusae. Quod statim formulae 6.§'7.opededucitur, inquasiloco Apo- tentiale »substituitur, asequationesque ipsius potentialis advocantur differentiales. Jam casum consideramus corporis, quod duabus sphaeris concen- tricis definitur, cujus superficies interior velamine non-conducenti ob- ducta est. Sint c,¢radii sphserarum, ¢<q, sicontrum commune proorigine coordinataram habemus, secundum §10.XIX. erit densitas clectrica . w=Srl) X,G9)+(VO 9), Ubibrevitatis causav,(r)=7,(5),w,(r)=Va(—Z) positum est Proinde sivestpotentiale omnium quantitatum electricitatis quae etincavitate interiori, etinipso corpore, etinspatio externo versan- tur, addeterminationem ipsius «habentur sequationos du ide krc Ot azar L rag ate bu 0)=0, ubiUfontium electricorum insuperficie obviorum ubertatem metitur. Quas sequationes sisupra totas superficies, adquas referuntar, integramus, observamusque, propter sequationem 6.§7.exaequatione 1 1 1 Matut er) Maus fy adarut oo) at aye tae sequi du, 1do)SH+AB)aso, manifestum est,integrale expressionis (u—U),supra superficiem r=c, R.W.Obristettel, Gevmmnlie ADbandiangen, 1. ‘ 50 I.Demotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis: extensum, evanescere. Quapropter, siabhine ds,ds, sunt elementa superficierum r—c, r—¢, habemus mJSu-nas,=0, afaracsd[tas—o, dw “aafiat [aas—0. Sitamen ponimus esse&summam quaesitam electricitatis inipso corpore contentae, @copiarum electricarum summam, quae incavitate illius interiori versantur, etheoremate Gaussiano supra commemorato sequitur ‘ae te Lfitas-—o, BSa= +2. Porro exsequ. i,advocata formula XX. 1)sequitur atfdas=2xct|y,(c)X+«,(0)Yel, otfdda2xetle6)Xo+(6)Yas fds, =Axed[v9(€)Xp+14(c)als unde, sijamultra ponimus suas, =420U,, ubiigitur U,estubertas media fontium electricorum insuperficie, substitutis valoribus modo acceptis inaequationes m.,adipsa2,Xy,Yy determinands eruimus uequationes: (6)Xo-t14(@)¥o—Uy0, ©KH+MO Veale, 814)Notmy(@)¥%o— GEE=0, equibus deducitur SEEberwoled ~iOmole)+gSesle0(@) mG)—male) I : +Uslos(a,)wa(e) —w,(4)04 (01=0, velquum eformula XX. 3) t9(4)¥ (4)—woe) (4)==8 sit, 1.Demotu permanenti electricitatia ineorporibus homogeneis, 51 aot e XXVL2-- ellcane mene) HOw)—MOM) fy—— 3a — +PrtOeomey=money~~Olt po —=lG@toe* —@—oe * Vt Ve act (23)(24i)e* —(241)(2-1)e = tna, EVE) EHVE—Ye Ea(eaayes Exhacformula patet, nostro casu certam partem electricitatie in corpore contentae unice exactione proficisci copiarum electricitatis in cavitate interiori distributarum. Facile autem demonstratur, factorem ipsius @,quamdiu quidem ©et&positiva sunt, quod nostro casu evenit, semper fractionem esse genuinam negativam. Siigitur e.g. corpus illud insuperficie exteriori aére uniformiter sese moventi con- tingitur, (§6.U,.), habetur U,—0, clectricitatisque incorpore con- tentae copia estpars aliquota electricitatis incavitate incluase, siguo tamen opposito praedita. Simul copia illa natura séris circumdati ullo modo pendet. 13. Additio ad§10. In§°10.invenimus, quoties X,(0, 9),Y,(8,9) sunt functiones sphacricae nordinis, sequationi I.velXIV. semper satisfieri expressione e{¥.(4) X69) +%.(— 5)X89) - . Cujus casas specialis is,ubin—0,pracceterisattentionedignus est. Hoc enim casu X,etY,constantes sunt, unde siloco eorum ponimus AetB,nequationis I.habemus integrale particulare a, uaAV,(5)+BY(-1)—2(de«—Ber), inquo est =2*+y?+4.QuumautemaequatioI.nulloscodffi- cientes variabiles involvat, expressio illatunc etiam satisfaciet, siloco ipsorum2,y,#ponitur2,—2,y—¥,4—#,igiturr=(x,—2)?+, —9 +(4-5), abix,y, %abipsis 2,y,ssuntindepen- dentin. Expressionem hoemodomutatam,positoineuperA=9(2%,94,4) etB=¥(z,,%,%), sivolamine dz,dy,ds, multiplicamus supraque volumen finitum Vintegramus, intograle ° 52 1Demotu permanent! clectricitatis incorporibus homogenci XXVILw=f(90,404) Fol)+¥Gos)Po(-2)eerdnde, manifesto proprietate gaudebit, ut,quoties punctum 2,y,2extravo- lumenVversatur, sequationi differentiali sfdw, dtu sd sotisfaciat, Quod tamen punctum sivolumine illo continetur, eadem methodo, quaGauls incommentatione supra laudata addemonstrandas equationes differentiales potentiales usus eat, invenitur, expressionem equationi satisfacere au du ae 2) aS +GtGalwet4x0(v9.8) —992)) Videmus igitur, cum aequatione XXVIII. 1)aliam quandam aretis- sime conjunctam esse, quam informam fee eu de 3)altetagtan)met redigere licet. Atque sirationis memineris, qua terminus uinaequa- tionem XXVIIL 1)ingressus est(§4.L.M.), facile casum electrici- tatis motae finges, quiadhane aequationem ducat. Porro exiis, quae modo invenimus, perspicitur, integrationem aequationum 1)et8)adproblema reduci posse, utexpression. tali modo evolvatur, utvariabiles @constantibus arbitrariie separatae pro- deant: quoimpetrato, expressio XXVIL sine mora formam induit talem, quam ulterius tractare licet. Quse evolutio, sicoordinatis polaribus ordinariis utimur, sine diff cultate ecalculis supra exhibitis elicitur. Posito enim z= cos, y=raindcosp,=rsindsing; z= r,c080,, mn sinO, cong, #7, sind, sing, cos=cos0cos0,+sin0sin0,c08(~9%), Gi—2+ (Yy—9+2)==Ber,co8@+rmBY, atque °. n>nfunetio a=ay,(2)+By,(-2) Temmatis sequentibus omnibus numeris definitur: 1)@tam respect variabilium r,0p quam ipsorum r,,8,,9, estintegrale aequationis XIV. itacomparatum, utsecundum fanctiones 1.Demotu permanent clecticitatis incorporibus homogencit. 53 sphaericas, nominatim secundum fanctiones P,(cos a)evolvi possit. In ipso &siloco rr, ponis ra,r,4, igitar Ra’loco R,&abipso ain- dependens evadit. 2)Ipsius &evolutio, siaininfinitum erescit, inevolutionem Leplaceanam ipsius47”transit. 3)Inipso@siseribitur —a,B,A,locoa,4,B,&nonmutatur.4)Siponitur B=0,a—oo,fit2-0. Quibus lemmatis advocatis, invenitur XXxIX. 2—A¥,(2)+By,(—2) ~TELE amWie i (_fh) =Somer Gant +29] [n(2)+7 f))Pcre. Hac formala opesequationum XVII. 2)veletiam XX. 1)et2) ‘ogrgie utilicotadevolutionem functionum V,(2), quodtamen hoc loco omittimus. Qua evolutione sisecundum praccepta supra tradita uteris adinte- grationem aequationum XXVIII. 1)et3)alter quidem casa iteram formulas §!10,obtines, sltero tamen endem resultant, quae methodo ordinaria variationis constantium obtinorentur. Insequatione enim XXVIIL 8)si,functione u,secundum functiones sphaericas evoluta, adintegrationem via tentatur §'10., quaestio reducitur adinte- grationem sequationis differentialis, quae abaequatione XV. nonnisi novo termino differt, etvariation constantium integrari potest. Qua inrehoc memorabile intercedit, utomnes implicationes, quibus methodus lleIsborst, propter singularem naturam functionum V,proreus evitari queant, quotios u,estintograle sequationis XXVIII. 1)vel8). Quod quum edaccurstiorem notitiam functionum illarum, quae inphysice mathematica tanti momenti sunt, nonnihil afferre vi- deatur, breviter exponamus. Sitigitur primum mmDe[F(A]HG9)+¥.(—4)¥.(89)}, aequatio XXVIII. 8)inbane transit: @edu 1de pdm 1ate pa5(a)+sinodo("iOa9)+aaorayel ~res Sen()at ee 2. 54 De moto permanent electricitatis incomporibus homogenein ‘Adejus integrationem ponimas w=U+ZA X09)+BU)Y189)), ubiUesdem forma sit,qua«,utitur. Quae series siinp.substitui- tur, habetur: arex, {o[arg"Ft?4,]-4,- ¥.(2)] +arr, {o[ay+ 84?BJ-B-¥.(-2))-9 unde :AntYn(Z B.+¥.(- 7 AntFtape re),b+ BHnl2) sequitur. Quarum sequationum loco generaliorem consideramus hane: CHe¥a (6)48% (—2) ‘Adintegrationem ponimus =Blav(s)+an(- a] Exaequatione sutem differentiali ipsius V,(vide §10.XV.) advo- ata formula XX. 1)sequitur ae etee akA) 1)Methodus, quam adconelantiom variationem evitandam biosahibuimus, ‘quae 00nititar, quod siinIsevam sequationis q.partem unsalterave fanctionum V,eubstituitur, duse line reprodacantor, ssepe, +iaple modifeatur, uaurpesi potest, semperque methodo generali pracferenda ext. Atque utalio eam exemplo ‘Mlustremus gravi acpraestanti, afferre juvat, Cl"Neumann functionum Q,(z) Clr Heine inattractionia otcaloria theoriam introdectaram determinations €0 revocane, utfanctio algebratcs integra (»— 1)"ordinis inveniatar, quae sequation! « L(@—ngs)annt nsate satisfacil, Sienim 8, oathaee functio, ecundam Neumann et: ’ @@= BH(rwirti+ss}- Jamaiconeidernaans, functions P,,oiinlnerasequationisa.parteloeo3 subelitnitar, roproducl, facile apparet, ingrediendam eee bane viam. Pro S 1.Demota permanent olectricitatis incorporibus homogensis. 55 Unde siloco Cseriem insequationem q.substituimus, sequitur: Do), Fags(F)+BMeee(— F)]ePa(G) +8%a(-5)s ©quadeducitur 6686oqt=844)Baniyuea,otB,ar- bitraria, coteras constantes tamen evanescere. Estigitur «Vina(5)+8%m-1(— 4) . + BOett Ma(G) +Baa5) Hac formula patet casus exclusos esse, ubim—0velm=n+1. Quorum ulterior etipso satis concinne functionum V,ope tractari potest: quod tamen calculos sibi poscit, quos brevitatis causa praeter- mittimus, Eocasu, quo habetar m=0,siloco¥,(£)et¥,(—£) eorum expressiones substituimus, aequatio q.hancce induit formam: _¢anolee * OmtO ante % quam insequationes aae*—pe® woe- (nia =0—ano discerpi posse patet Obtinemus igitur prom—0: 1 ae*4fe* r r tOnE +00a(5)+8.%.(-5)- : samenda estsorieesecundum ipaP,progrediens, ponendague eetloco972ajus evolatio Fann tenOPatOn—OP gts tone sequitar . an—1ans an aeerce a ee dequa siipsius 5,_, valor depromitar, substituiturque insequationem p.,eruitur Inti) ett gftn—t an—s an—9 &Qala ENRytgtaf PatgenPeategegPeete] quae aequatio coinservre potest, utfonctio @,() proomnibus quifingi possunt, ipsine 2valoribos definintar. —Quee determinatio, iattmactionis theoriam non rospicia, etiam aliin rationibos ogrogii unas eet. Dofonctionibus ince confer: Heine: deaoqa. diff, Berol. 1848, idem: ‘Aufg. fdrpars. Diffrenziagl. Diar. Crell. XXVI, idem: Attraction derEllipsotde ibid. XLM. —Neumann: Magnetisirung eince Rotationsellipsoe ibid. XXXV. 56 J,Demotupermanenti electricitatis incorporibus homogeneis. Omnes hasintegrationes exaequatione identica eruere licet sequenti. Sitproomnibus ipsius mvaloribus ne @-I), erit Quae facile demonstratur, siidentitas in§°10obvia factore f(z) mul- tiplicatur. Eodem modo, sicut haec, tractands est,functioque f(z) sin- gulis casibus adaptands est. Qua inreadcasus modo tractatos eru- endos formula XX. 1)utendum est. Jam siinr,ponimus m—n, int.tamen n=O, ipsoram A,ot B,obtinemus expressiones has: Ap=— F*Ayaa(S), Be—Fe"B=Mas(—4), ‘ubiconstantes arbitrarise nullitati aequiparstae sunt, quae quum nisi constantes adhuc indefinitas inipso Ucontentas afficere possint. Aequationis p.itaque estintegrale completum a wnu-2(eF xeeK) +Be(Ma(SSM HI Integratio uequationis s.formulam generaliorem suppeditabit. Sit enim proposita aequatio LTT Gataa]H+«Fo(5)+0%(4), ubi1?=(z— x)?+(y—y,)* +(e— 4), atque 21,44, abipsis z,y,2 independentia. Manifesto ejus integrale completum habebitur, sialicui ejus integrali particulari integrale additur completum Usequationis XXVIIL. 1).Quod integrale particulare itaeligimus, utsitfunctio mera ipsus r.Quo pacto v.inhanc transit: auadu_teh(GOR(~4) ante arm a ~~ unde integrale illud particulare hoeest: umslee*+pe"), IDemotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. 57 eritque generaliter w. w=v—alee*460°), Sitamen loco «,f datas fanctiones ipsoram z,,y,,#, ponimus ¥(21i»%)etH(2,44,4,)(quaeinipsoUcontinentur constantes arbi- frarine eteaedem protalibus functionibus haberi debent), poniturque dz,dy,ds,=dm, esse elementum dativoluminis V:siporro integralia Suam, Tam, iterum vocantur «etU,poniturque rit (vide XVII) 1) integrale soquationis 2(at5aydtu e(GatGt+Gelos aut hujus (98 +9+G0]=m+dee, 1,9-999), prout punctum 2, y,#extra utintra volumen Vversatur; 2)simal cat yr u-u-4 lpet+e ham, integrale completum sequationis Suppositione igitur speciali defunctione u,exexpressione ipsius w trea integrationes abierunt, velpotius nullae tres integrationes adillas accesserunt, quae inipso tperficiendae sunt, quod tamen ©compars- tione sequationum XXVII. etXXVIII. 2)exspectandum erst. De locis geometricis, quae inmota permanenti electricitatis respicienda sunt. 4. Eformularum §'11.qq. complicatione satis intelligitar, priuequam defanctionibus wu,’eto, quibus problema pendet, certa conjectura facta sit,determinationes sccuratiores proponi non posse. Nihilominus tamen hseo inuniversum observare juvat. 58 1.Demotu permanent electricitats ineorporibus homogentis. Potentiale quum intoto spatio continuum sit,inunoquoque igi- tur puncto unum tantum valorem recipiat, omne punctum necessario inuna velaltera superficierum 9=c,nunquam autem induabus earam situm est. Quodsi igitur constantem ¢continue muteri statuimus, eve- nire oportet, utcorpus attrahens aliqua harum superficierum inpuncto aliquo tangatur. Talia autem puncta aceteris omnibus superficiei punc- tiseodifferant, quod iniisattractio insuperficie perpendicularis eet. Jam siP—0 entaequatio superfciei, punctorum illoram conditio ana- Iytica sequationibus aedede_aPdPaP &dz'dy'ds7 dz‘dy'de * P-0 expressa est. Curva £.estlocus geometricus eorum punctorum, inqui- bus superficies eystematam v—c, P=’ inter seosculantur. Eodem modo locus omnium punctorum, inquibus systematum w—c, Pc! superficies setangunt, eoexcellit, quod superficiem iispanctis, inqui- bbusflumen electricum adsuperficiem perpendiculare inspatium exter- num effunditur, secat. Aequationes ejus sunt: 4 dwdw,do_aPdPdP .dedyde~dedy*des atque adoraetiam ejus invenienda, addenda¥est aequatio 7. Exharum curvarom definitione perspicuum est, cas, simulatque una velalter superficieram P—c’ cuspidem pracbet eut inunum punctum recidit, semutuo secare. Insphaera igitur utraque perejus centrum permeat. ‘Tam vero eacurva, quae superficieram w=, »=c’oscalatione gignitur, consideranda est. Cuitriplicom esse originem, superfcieram systemate uc” assumpto, statim intelligetur. Attractionis directio in eacum flumine electrico congruit; aequationes ejus sunt dwdwde _de.do.do_ du.du.dw. “de!dydedx‘dy‘ds~da’dy’de} quarum, prout unavelaltera origo consideratur, pars unaomitti potest. ‘Tribus hiscurvis respondent superficies hae: . dvdP,dvaP,dvaPfe. dzdz+dydy+aede7. dwdP,dwaP,dwdPo. dzdz+dydy+dzde~ . aedw,dodw,dedea dzdz+dydy+dzds7° 1.Demotu permanenti electrictats incorporibus bomogancis. 59 Prima cerum, {",superficie 7.secat incurva, inqua attractio inplanum superficiem tangens incidit: altera, 0",cum 7.conjuncta om- nium punctorum hujus superficiei definit locum, inquibus flumen elec- tricum inplanum tangens incidit, ‘Tertia denique locus estomnium punetorum, inquibus flumen eleetricum inattractions perpendiculare est. Jam vero haeo loca geometriea admotuum rationes infaciliori conspectu ponendas aptissima sunt; inomnibusque doctrinis coguatis corum invenjuntur similitudines; praeterea arctissime cobscrent cum Maximi etMinimi determinationibus, quibus parumper immorabimur. Curvas f.etsuperficie! ¢’.nulla alia, utfacile patet, pancta com- mania sint, nisi quae aequationibusadeyde aP_94P_9Fe Gg79TO GAHOGyHOGem definita sunt. Posteriora haec, quorum jam supra mentio facta est,si negligimus, videmus, curvam {etsuperficie ¢'.communia habere omnis puncta, inquibus potentiale Maximum, Minimum velMaximo- Minimum eat. Jam sint 2,y,#talispuncticoordinatae, v5ineovalorpotentials; coordinatarum origine adillud translata itautf,m,€ lant coordinatae novae, pro omnibus punctis vieinis accipimus 20a) FhBH2SSatte, inquaaltioris ordinis termini neglecti sunt. Punctam autem 2,y,# siinepatio externo situm est, coéfficien- tium ipsoram #,7%,{" summa evaneecit; estigitar une trium harum quantitatum proedita signo aduabus reliquis diverso. Jam sivvaria- mus, illasequatione significatur copia similium similiterque sitarum superficierum sccundi ordinis; atque valori v=v respondet conus, qui eatfinis inter duo systemata, quorum alterum hyperbolica, alterum clliptica hyperboloidea continet, Quiquum simul sitomnium harum super- ficierum asymptota, singulae superficies utrarumque copiarum paulum ‘avertice ejus distantes, eicelerrime appropinquantur. Sinautem punctum 2,y,#ininterioribuscorporisattrahentissitam est,idaccidere potest, utsuperfcies illae inellipsoides transeant. Eodem modo superfcies 0’.secatur curva 0.inomnibus puncts, inquibus pressio clectrica valorem maximo-minimum sceipit. Denique omnia puncta, quibus loca «.et«’.communibus utuntar, fauthujus generis sunt autillias, quod supra consideravimus. uum incorpore interiore semper sit dhe,tw|deaot Geta 60 1.Domotu permanenti eletrcitativ incorporibus homogensis. insecundo punctorum genere byperboloidica tantum systemata consi- deranda sunt; inquorum centro flumen electricum, prohoram pune- torum natura, nullum est. Sed utriusque eystematis superficieram tam magna adasymptotaram conam appropinquatione non procal acentro lumina fortissima existere oportet, quia hoc loco pressiones olectricae diversse intensionis proxime sibi sunt oppositae, simulque flumen elec- tricum virium illnrum differentine directe, distantise inverse proportio- nale est. Quao observationes siconjanctae cum determinstionibus nonnullis demotu electricitatis incorporibus male conducentibus, quae mox se- quentur, adathmosphaeram terrestrem applicantur, —deconsideratione hiesermonem esse levi tantum spproximatione valitura vixmonendum videtur, —memorabilia quaedam sequuntur, quae tamen hoe loco sup- primere debemus, quum adcampum quendam aproposito nostro nimis remotum pertinentia, oxadjumentis alienis vigorem disiderent. De motu permanent electriottatis incorporibus male ‘conducentibus. 16. Jam adextremum consideramus eum casum, quo corpus Aita comparatum est,utfractio AS,quam=a?posuimus, valorem valde exignum obtinest. Talia corpora siexistunt, manifesto praccipue cor- poribus male conducentibus adnumeranda erunt. Neque tamen statim contendere licet, quod postes demum probabitur, ipsum a?inomnibus corporibus male conducentibus perparrum e380. Exscquatione ininterioribus ipsins Alocum babente aidetwdw waa’(Tataptzal suppositione illasequitur, quoties expressio Mu du ae det apt an7& non valore gaudet valde considerabili, densitatem uetipsam minimam fore, etvice versa, quotios ininterioribus ipsius Adensites waliquo loco valorem accipit, quimensura definiri potest, expressionem Kin eodem loco valorem admodam magnum necessario induere. Cirea punctum 2,y,¢superficiem clausam ponimus infinite parvam, quae volumen dm continet: secundum §4.1) kKdm LDemotu permanenti electricitatis incorporibus homogeneis. 6L erit quantita, qua flumen conductivam perdm transeuns, ubi invo- Tumen hoe intrat, valorem superat, quem obtinet, ubi evolumine eodem progreditur. Quoties igitur Kinloco quodam permagnum est, flumen conductivum, ideoque etiam flumen electricum completum mu- tationes rapidas patitur. Unde videmus, ininterioribus corporum ejus naturae, qualia supra descripsimus, densitatem electricam generaliter valde exiguam esse; quoties tamen illa insliquo loco mensura definiri potest, intensitatem fluminis electrici ineodem loco rapidas subire mutationes. Ininteriori- bus talium corporum igitur evenire potest, utincerto loco flumen electricum valorem considerabilem habeat, dum flumina circumfusa ad- modum parva sunt. Constans @hujus phaenomeni conditionem praebet. Quoties enim, utrem adomnia corpora extendamus, ininterioribus corporis cujusdam densitas electrica alicubi tanta est, utquantitates ordinis a*cum illa comparatae pro levibus etparvulis haberi possint, semper violentae ‘illae electricitatis vicissitudines exspectandse erunt. Longe diversa insuperficie ipsius Aeveniunt. Inaequatione U. §'6, siponimus u’+ 4=, hanc illformam induit: RE AGE+aH) 0, ubi Vestpotentiale omnium copiarum electricarum obvenientium. Ex hacaequatione patet, ipsum uinpropinquitate superficiei generaliter valores finitos obtinere, talibusque directionibus, quae superficie’ paral- lelae sunt, non nimias mutationes passurum esse. Jam legem determinabimus, quadensitas electrica asuperficie inde decrescit, suppositione nitentes, ipsum wininterioribus ipsius Anon valores nisiexiguos induere. Qua inreomnes quantitates negligemus, una cum ipso aevanescentes. Quod utimpetremus, initio coordinataram inpunctum superficie’ ipsius Atranslato, perpendiculum inillopuncto introrsum spectans pro ‘xi positivorum xsumemus, axibus ipsoram yet#inplano super- ficiem tangenti sitis. Eas denique tantum corporis partes considerabi- mus, quae inaxiipsorum =jacent. Quibus positis babemus sequationes: olin+Gtaa-« etproz—0 ag+TT+au—w)=0. 62 _L.Demotu permanenti electricitats incorporibus homogensi. Quarum prior,positoz=a§,inhanetransit ae eu, ewaetelipt ial velsisupponimus, quod exobservatione supra facta sequitur, quanti- aw du sat tatem$5+24nonnimiovaloregundere a apo ex qua wmAe t+Be, vel nmAe*+Be# sequitur. Quum sutem densitas uesuppositione nostra ininterioribus ipsius Anon valores nisiexiguos indust, ponendum estB= 0,obtine- musque legem quacsitam, formula expressam hac x u=Ae, ubiAdeuno perpendiculo adalterum variatur. Jam utadipsum Adeterminandum sequatione utipossimus pro 0 locum habento, observamus, eformula IV.§'8.exdem, inqua hoc loco acquiescimus approximatione haberi 1 ~ad 3, aftr1 Ana’noma {agi+JAlas, vel a 2hth raya tuthonthafay +)Ads. Quumigiturquantites ku+2",ideoque etiamjusquotions dif- ferentialis ipsiaproportionalis sit, hune inaequatione nostra negli- gamus necesse est. Quae itaque, siv,designamus potentiale omnium copiarum electricitatis externarum, loco uejus valore Asubstituto, in bane transit: 2a4g(u,—A)=0, unde : 2hde,Ant Gedr 1.Demota permanent electricitatis incorporibus homogeneis. 63 denique w(t ea) sequitur. Itaquo electricites incorporibus, qualia consideravimus, nonnisi in profanditates valde exiguas procedit, densitate ejus inprogressione geometrica decrescente. Hae deductiones, quae cum ratione, qua electricitas incorporibus male conducentibus versatur, optime consentire videntur, nostrae theoriseproprisesunt,nequeullomodo¢theorishactenusacceptaeruipos-sunt, Revera hace theoria ¢nostra sequitur, siubique (nisi forte in calculis spproximatis modo propositis) ipsum aininfinitum crescere statuitur: dum calculi modo peracti econtrario ipsum ainfinite par- ‘yum esse supponunt. Quae phaenomena autem quum inomnibus corporibus male con- ducentibus appareant, sequitur, utinomnibus hiscorporibus asit quantites admodum parva Sienim incorpore male conducenti, in quo igitar kperparvum est, ipsum avalorem acciperet finitum vel deo infinitum, secundum caleulos nostros lectricitas non insuper- ficio ojus moraretur, sed densitate sonsibili per tota ejus interiora penetraret. Formulam x.subcertis conditionibus adsubstantine qualescunque extendere licet. Ipsum enim a-quoniam pro datis substantiis per cortas lineas repraesentatur, quas hactenus tacite admensuram omnibus corporibus communem rettulimas, manifesto illud valorem numericum eominorem impetrabit, quomajor eritunitas longitudinis, quae singalis casibus incaleulos introducitur: etvice versa, Itaque siindisqui- sitione corporis, cujus dimensiones respectu lineae avalde considera- biles sunt, unitas longitudinis satis magna etcalculis accommodata ad- hibetur, linea @numero valde exiguo exprimetur. Inde sequitur, utform. x.adomnia corpora qualiscunque valeat, quoram dimensiones respectu linese asatis magnse sunt. Neo minus vice versa patet, legem illam ctiam incorporibus quam . pessime conducentibus tandem necessario irritam fieri, sidimensiones corum magis magisque diminuuntur. Cogitare licet,constantes ket*aseinvicem pendere, itaut altera mutata etaltera mutetar. Sedhocjam evictum ost,ipso &in indefinitum decrescente, quantitatem ESmultosaltemlentiusdecrescere quamk,itautratio*€denique cumkevanescat, Eodem modo¢ 64 I.Demotu permanenti electrictatis incorporibos homogensis, consensu calculorum §'7.cum observationibus inbonis conductoribus institutis percipitur, crescente conductibilitate etiam qnantitatem a? suger, iteutetiam inane partem quantitas multo lentius varietur, quam conductibilites Quamquam igitur secundum nostram theoriam modus, quo elec- tricitas incorpore quodam distribuitur, vere evalore pendet, quom constans ainhoccorpore induit, tamen corporum inordinem digeren- doram rationem semper ©conductibilitate eorum petere licet, quae quam indeterminations ipsius aomnino praevaleat, Die beiden lotsten Seiten dee Originals entbalten: VITA. Natur sum ego Elwin Bruno Christoffel inoppido Rhenano Montjoir‘anno1829die10.Novembris patreFrancisco Carolo, quemmortemihiereptum Tugeo, matre Maria Helena ¢.g.Engels, quam vivam sdbuc veneror. ‘Fidem contteor catholicam Primis Literarum elomentis domi imbutes Coloniam Agrippinam mecontali ‘gymnasisque, quae ibiforent, primum Catholicum deinde Friderioi Guilelmi ‘quinque per annos frequentavi Matoritatie tostimonio munitue Berolinom petit, ubi ubIl.Busch rectore ‘magnifico inciviam acadenicorum numerum receptur otabll.Boeckh decano spectabili inalbum faealtatis philosophicae relatis sum. Perquadriennium lee- tionee sudivi virorum MWstrissimorom, Clarissimorum, Bxperintinsimoram Borchardt, Lejeune-Dirieblet, Dove, Eisenstein, Encke, Joachimsthal, Lichtenstein, Magnus, Mitscherlich, Ohm, Steiner, Trendelenburg, Wiedemann, Guibas omnibor viria dememaxime merits summas quam possum gratinn | gosemperque habebo. THESES. 1.Mathosis adomnia valet, quae menguram etordinom habent 2,Non dari aaltum innatara eatpropostio mere theoretice, 3.Incaleulo infnitesimali methodus differentialium estomnium praestantisaiia 4,Velocitatem, qua ealor propagatur, fnitam eave dice I. Uber dieGaufsische Quadratur und cine Verallgemeinerung derselben. (Gooroal fOraiereine und angowandte Mathematik, Bd.6,1868, 8,¢1—#2) Das Folgende enthilt eine neue Darstellung desbekannten, von Gaufs (Comm. Gott. rec. 1814—15) erfundenen Verfahrens zur an- gentherten Berechnung bestimmter Integrale, ImAnschlufs hieran wird dasselbe inderWeise verallgemeinert, dafs zueiner Anzahl be- liebig gegebener Zwischenwerthe dieabrigen nach denvonGaufs auf- gestellten Prinzipien ausgewiihlt werden. Diese neue Methode kann in verschiedenen Beziehungen von Nutzen sein, wie weiter unten nach- gewiesen werden soll. 1. Dadiespiteren Entwicklungen instetigem Zusammenhange mit den Formeln firdiemechanische Quadratur imAllgemeinen stehen, sokann eine kurze Herleitung derletztern nicht faglich umgangen werden. Sei (a) f(@)=A(@@—a)(2-4) ++.(@—4,), sofallt die Fonktion Fe) Fea) opFao @) 90-10 pare atreine tt reera) mitderFunktion F(z)firdieWerthez=a,,a,...a,susammen, tndonint9(a,) =F(a), (4) =F(a), ---9(0,) —F(@.). Aus(2) folgt @) Sows jl 4 , _F@)freee,Fo)(reve,,FlyPraae Ff2+Bs2S+ +Peasee, WROhrloterte, OnamaateAthndlnge 1 5 66 I.Ober dieGaufeieche Quadratur uad eine Verallgemeinerang derselben ‘und dieser Ausdruck jistbissuf einen bestimmten Fehler gleich dem : Integrate _fF(z)ax. ‘Umdiein(8.)angedeutaten Integrationen auszafthren, istimAll- gemeinen folgender Weg einzuschlagen. Istueine beliebige, aulser- halb derGrinzen —1 und 1liegende Gréfse, sohatman identisch fi 1 1 1LEE [28+ [Seas reotg +[Seen Daf(z) eine rationale ganze Funktion vonzvom n'Grade ist,90ist f@=L) sbenfalls einesolcheFunktion vom(n—1)Gradevonx wie von u. Setzt man demnach ) [SaPe-no, 0istf;,(u) eine ganze Funktion (n—1)** Grades, und (6) Jfete—FW)le}+fw). Diese Formel bleibt offenbar selbst dann bestehen, wenn uzwischen dieGrinzen —1 und +1 fallt, sobald nur dieunter dem Integral linkerHandstehende Funktion /)innerhalb jenerGrinzen aberall endlich bleibt. Die Formel (6.) gilt daher, wonn wueiner derGréfaen 4,,a,...a,gleich gesetzt wird, unter allen Umstinden, mégen diese Gréfeen aufserhalb oder innerhalb dererwihnten Grinzen liegen. Da- durch geht dieGleichung (3.)infolgende ber: an—4%)pq)4A)1 han) (6)foo=Fa)EU)+ayFe)++FGFO), und man hat annihernd (a) SF@e ~free. 4 a: Durch Zerlegung inPartislbriche folgt: : AM) Lf) 3 ,h@) we AG) 1fw)~Fa)eatfe)watt FQ)wma 80datsfiedormittelet derZwischenwerthe i,a,...a,berechnete ULOber dieGaufaische Quadratur andeine Verallgemeinerung derselben. 67 angeniiherte WerthdesIntegralsi2%,istsundwennmandiesin(6.) anwendet : 7 He)ae mp Mgt4AO).2gA)tg glety, 10)(eSt+Re)waatheywegttPeeal Sotzt man vonjetat an @) Jf2-H, 80istwegen (5.)” (10, fw)es* i=) +hw, und wegen (8.) 1 or phi), 1 fil) opAld A) hw), aypete (Radwa,tFedattPESwa)whe Ezistsomit©)derUnterschied zwischen demwahren unddeman- A genitherten WerthevonJgt,lettt. Entwickelt mandsherin (11)dieLinkeSeitenachabsteigenden Potenzen vonu,undsetatden Uberschufs deswahren Werthes vonf2"é2 therdenangeniherten Werth desselben, nimlich~ fala)gmgAa)gm.4Film)gm) (zyfre (pahartPaar +Beyar]hes 80 erbiilt man: a re On ag)wtyetat fi) Sotet man andererseits a4) fiWa)er— A, und allgemein 18.) Jfe)eer= As, s 63I.Uber dieGaufsische Quadratur undeineVerallgemeinerung derselben. forner aoa a a" fo)Taw tae tara toy 80ist (as) Aw-t+aeaee- und mithin hy=k, =ky=~ =,_,= 0.DieFormel (7.)liefert also alle- * ‘maldengenauen Werth vonfF(z)é2, 20oftF(z)eineganzeFunktion -t ist,welche den(n—1)"* Grad nicht dbersteigt. Man hatferner B=AAyWyAA'tAA",byyyAp’A,A"tALA,ee Kann man nun f(u) sobestimmen, dafs inderEntwicklung von/,(\) diemersten Glieder, alsoinderEntwicklung von/(u)lg“+* die Glieder, welche +,3,,--- ienthalten, vonselbstwegfallen, #0be- ginntdieReihefir) mitdemTerm.Set%,, unddieFormel(7.) istfuralle ganzen Funktionen vom (m+ —1)" oder einem niedri- gem Grade vollkommen strenge. Gleichzeitig ist Kage Antsy Kaper Amys +Amid’ ete. Eswird sich bald zeigen, dafs derhichste Grad vonGenauigkeit, welcher mitdervorausgesetzten Form vonf(z) erreicht werden kann, dem Falle entspricht, wom—n ist. Esistdies dernimliche Fall, den Gaufs inder oben angefthrien Abhandlung, und Jacobi in gegenwirtigem Journal behandelt haben. 2 Das Folgende beruht aufdiesem Lemma: Unterwirft, man cine ganze Funktion /(u) vom n'*Grade der Bedingung, dafs aus derabsteigenden Entwicklung von flu)igtt+ dieTerme, welche +,4,,-.. 2,enthalten, von selbst wegfallen, sogiebt esstets eine Funktion, welche diesen Bedingungen geniigt, und dieselbe istbisaufeinen constanten Faktor bestimmt. Verlangt man aufserdem, dafs dasGlied mit aviYerschwinde, sowirddieFunktion /(u)identisch gleich U,Uber dieGaufeiache Quadratur undeineVersllgemeinerung derselben. 69 Null, indem jener constanto Faktor den bestimmten Werth Null erhalt. Dasselbe ergiebt sich leicht mittelst derFormeln (10.) und (14), denenzufolge allgemein derCoefficient von+inderabsteigenden Ent- wicklung vonF(u)ig"*t gleichfF(2)2x ist,vorausgesetat, dale K(u)einerationale ganze Funktion ist,Seizuniichst f(w)sobe- stimmt, daB in(10.) f,(u) dieForm hat, und seiferner /(u)=P+Qi,woPundQreelleganzeFunk- tionenvonwsind;0multiplicire mandieGleichung(10.)mitP—Qi. Dann ist(P— Qi)f,(u) wieder eine ganze Funktion von u,wihrend dieEntwicklung von(P—Qi)f,(u) mitdemTerm2,beginnt. Also istderFaktor von+gleichNull. Daderselbe abergleich ff(P-Qiou= [P+ Qow ist,und dieElemento dieses Integrals allepositiv sind, eomufs, wenn dasganze Integral gleich Null cin soll, jedes cinzelne Element ver- achwinden, also, wie behauptet, /(u) identisch gleich Null sein. Dasomit die, inBezug aufdieunbekannten Coefficionten der Funktion f(u) linearen Gleichungen A=0, 40, 40, Ayr0 von einander unabhingig sind, indem sich aus ihnen flrjede der (n+1) unbekannten Gréfaen eineinziger Werth ergiebt, 20folgt, dals man unter den(n+ 1)Coeflicienten vonf(u) wenigatens aufeine Art einSystem vonnderselben soauswihlen kann, da(s dienGleichungen (A) 4-0, 4-0, 2. A=0 inBerug aufdieses System vonUnbekannten voneinander unabhingig sind. Denn wire dies nicht derFall, som(fsto man, wie leicht zu sehen ist, ans den Gleichangen Amy Apeey Amey Anhaa simmtliche Unbekannten eliminiren kénnen, was nach dem eben be- wiosenen nicht mglich ist. 70 UW.Uber dieGaufsische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben. Daendlich dieGleichungen (A.) linear sind, sobestimmen sicdas Verbiltnifs von nCoefficienten um (n+1)" aufeine cinzige Weise, wodurch obiges Lemma inallen seinen Theilen bewiesen ist. Differentiirt man nun die Gleichung (10.), und multiplicirt mit uw—1,80folgt: 8) Wty ight} apsty2h4W136, und eine nochmslige Differentiation gisbt: Bul H)WEE=430+(05) +(HDR) Diese beiden Gleichungen haben wieder dieForm von (10.). Nimmt ‘manaberjetztan,datsf,(u)diePotenzen 1,J,.--2nichtent- hilt, dale also ist,20folgt(wv) ae oy #0dafsdioFunktion 2(ut—1)24)—n(n+1)f, nachnegativen Potenzen vonuentwickelt, diePotenzen i,a,:®A,nicht enthilt. Multiplicirt man daher dieGleichung (10.) mit(w+ 1)und mbtrahirt sievon dervorstehenden, 0folgt Lee(O°30)—m+yr)eS AEFpa(@-DFE)—meotDh+[34(—DF)—meot DA}s unddaderFaktor vonIg"++ den(w+1)Gradnichterreicht, 80 folgt vermége desobigen Lemmas, dale eridentisch gleich Null sein muB, Dafener aufderrechten Seite diedrei ersten Glieder nurpo- sitive Potenzen von uenthalten, wihrend dasFolgende sich nuraus negativen Potenzen von «susammensetst, und dadiese beiden Theile firsich verschwinden mtssen, sohaben wir (19) 2,(w—134)—a4yf=0, (20) A(w-1%)—m+04-0, (21) A(w=1)38)—nep+42=o. ILOber dieGaufsische Quadratur undcineVerallgemeinerung derselben. 71. ‘Nach denbekannten Untersuchungen iberdieGleichung (19.) folgt hieraus @) Ww=-Pw area. bbe tnat 1-8-6---99-48 -*resSiw4:188g by und wegen (9.) 3) f=00=fBEE, welche Bezeichnung von dergewéhnlichen nur wenig abweicht. So- dann folgt, dafs dieGleichung (24) 2(w-0¥) =nmenu—42 zuihrem completen Integrale einen Ausdruck von derForm (25) U=AP,(u) +BQ,(u) +B,(u) hat, woR,(w) eine rationale ganze Funktion vom (n—1)** Grade, und nichts Anderes, alsdiebisher durch /,(u) bezeichnete Funktion ist.Die Funktionen P,Q,Rstehen inFolge derGleichung (10.) inderRelation (26) PWigity=Qu)+Bu), oder auch @t) Q,(u)=Pw)lgS+4—BW), sodafs nurnoch dieFunktion R,(w) zubestimmen dbrig bleibt. Zu- vor will ich aber noch die Formeln (28) (w=1)Py)SEEDR00—Px), Qn+1uP,W) =(+ DPW) +P), 28)JOn+14) =H+DQ)+9Qa), (n+ DuRW) =(n+ DR ys) +Rw) einschalten, welchesichaufverschiedene Art,unterandermauchmittelst obigen Lemma’s beweisen lassen. Sctzt man z.B.in(18) P,(w) fir f(u) ein, sobeginnt dieEntwicklung von (wu?—13mitdemTerm —@+ 24s. Bedenkt mannun,dafemansetzenkann (et=1)PL(W)=ays(W)+OPyaw)+0P,al)+o, sofolgt aus unserm Lemma, dafs auf der rechten Seite alle Coeffi- 72ILWher dieGaufeische Quadratur undeine Verallgemeinerung derselben cienten, mitAusnahme von aund 6,verschwindén. Die Bestimmung derConstanten aund bhatkeine Schwierigkeiten. —ZurHerleitung derGleichungen (29.) hatman nor(26.) mitu2umultipliciren, und gant iholiche Betrachtungen anzustellen. Diese Gleichungen stimmen ‘brigens imWeeentlichen mitdenen dberein, deren sich Gaufs inden artt, 17.und 18.seiner Abhandlung bedient. Differentiirt man dieGleichung (28.) sofolgt wegen (19.) Pia) —Paw) =@n+1)Pw), also auch Pi_a(w) —Pi_s(¥) =@n—3)P,_a(), u.8£,wornus durch Addition (80.) Plys(4)—(2n+1)P,(w) +(2n—3) P,_s(u) +(2n—T)P,_ (wt folgt. Vermige dieser Formel geht dieGleichung (24.) infolgende aber: @L) A(w—2)-a@tnu +4(@n—1)P,_, +@n—5)P,_, +Qn—9P,_ gto} $0. Um nun zurBestimmung von R,(u) dberzugshen, bemerke man, dafs dieGleichung (26.) durch Aenderung desVorzeichens vonuund nach- folgende Multiplication mit(—1)*~! folgende Gestalt annimmt: Pw)igstt=(—11Q(— 0)+(—RW), woraus durch Vergleichung mit(26) R,(—u) —(—1)*-*R,(u) folgt. Dasomit R,(u) nur diePotenzen u*~', w*-*, w°~* ete, enthalten kann, 20hat esdie Form Ryu)—4Py_a(W)+OyPys(tl)+OyPas)+°° Setzt man dies in(31) flrUein,sofolgt: Oma [(n—1)mn—n(n +1)]P,_,+alm—3)(n—2)—n(n+DIP, +4(Qn—1)P,, +4@n-5)P,, +4,[(n—5)(n—4)—n(n+I))P,gto +4(Qn—9)Pg toy undhieraus On) Pas tn—t 2n—5 an—9 nett, gates, gm2it3,ua. Damit sind dieverlangten Funktionen f,f,,f,vollstindig be- stimmt; esistnimlich: I.Ober dieGaufsische Quadratur undeineVerallgemeinerang derselben. 73 away Mw)=PW) =grees fiw)=Ry(w)=2(295"Pau)+gePoa) an—o(2) +eeePest}, fw)=Q,)=P,(u)igttt—Rw)=JBide "SS _aepisepesepn 1 Den allgemeinen Ausdruck der Funktion P,(w) hatGaufs inseiner Abbandlung gegeben, doch rihrt dieelegante, obenstehende Form der- selben von Jacobi her. Auch findet man bei Gaufs den Ausdruck von Q,(u) sowohl inForm einer hypergeometrischen Reihe, wie in seiner Reduction aufeinen algebraischen undeinen transcendenten Theil. Obgleich aufdiese Weise dieCoefficienten inderGleichung (6.) explicite dargestellt sind, 80giebt esdoch mitRicksicht darauf, dale indenGroBen {4%dortfiirwnureolcheWerthe zusubstituiren sind, welche /(w) verscbwinden machen, noch einfachere Darstellungsweisen frdieselben. Aus denGleichungen Fle Pi) =n(n+Pw), Aw DRyw) =n(n+)Rw) —APL) folgt durch Elimination yon n(m-+1): PZ,(wR) —RZ(wtYP.)+4P,P,=0, und hieraus durch teilweise Integration (RR —BP.)+221=0. Far «=1ergiebt sichhieraus a=2,alsoistidentisch (3) “FPWRWR) Py(w))+PAW)—1, mithin flralle Werthe von u,fiirwelche P,(u) —0ist: @4) 1S"PRM) =1- Daraus folgt firdieniimlichen Werthe von u: 74ILOber dieGaafeische Quadratar undeineVerallgemeinerung derselben. A)_Raw) 1 2 (88) Fy*Pie)~~ B= aaycrray Dieerste dieser Darstellungen istvon Gauls gegeben; diezweite da- gegenhatdenVorzug, dafssiedieBerechnung derCoefficienten Ae blofs von der Funktion P,'(u) abhingig macht, deren numerischer Werth beiderAuflésung derGleichang P,(u) —0gleichzeitig mitder Warzel «bestimmt wird. Sind a,, ...a,dieWarzeln derGleichung P,(u)—0, 80ist (86)Pw)=EEEEN—a)(u—ay)(uw04), folglich nach derzweiten Darstellungsweise : Letteom yt(2) fla) macibte) _. F@)~A=a)EFa le—4)=a)“(Ga)”sodaissimmtliche Coefiicienten ineinfache,leichtzubildendeFaktorenzerlogt sind. Ichbemerke noch folgende Formeln, welche sich unter der Voraussetzung, dafs P.(u)=0sei,aus(28.)und(29.)leichter- geben: (88) (1—wPu) =nP,_y(w) =— +DPW), hw) 20-4) tua (39)FW)"Py)” WED, ,05"" Diose Auedricke treten durch Aufléeung inlineare Faktoren incine interessante Beziehung 2um Produkte Balas) Balen)... Balan), Pye) Pa)" Paton) Dies vorangeschickt haben wirdasResultat, dafs, wenn F(2) eine rationale ganze Funktion vonzist,welche den (2n— 1)" Grad nicht berschreitet, man diestreng richtige Gleichung hat *(ayaa—BHF(a.)4Be Rye) (40.)JFlayix=piesF(a)+pig)F(a)++pig)F@)- Lafst sich ferner F(z) ineine nach positiven ganzen Potenzen von xfortschreitende Keihe entwickeln, welche flrallezwischen —1und 1 liegenden Werthe vonzsostark convergirt, dafe man dieReihe, ohne ihren Werth merklich zuiindern, aufihre 2nersten Glieder reduciren Kaun, sogiltdieFormel (40.) wieder ohne merklichen Fehler. Das- selbe gilt, wenn man vermige derbesondern Beschaffenheit von F(z) I,Ober dieGaufsische Quadratar undeineVerallgemeinerung derselben. 75 alle aufdas2n* folgenden Glieder indensogenannten Rest derReihe vereinigen mufs, wofern nur dieser Rest gegen 7(z) vernachlissigt werden dart. Unhiervon eine Anwendung 2ugeben, werde ichdieInterpola- tionsformel (2.)ftirdenFall, wodieGrifsen a,,a,...a,dieWurzeln dorGleichung P,(w)—0 sind, ineine andere Form bringen. Icher- innere zudem Zwecke andie bekannten Formeln PRR eee, [ROPE sei von denen sich dieerstereausderBotrachtungdesProduktosP,(1)Qu9(\) unter Anwendung derGleichung (14.) leicht ergiebt.—Intnunptv-<2n und auch 2v-<2n, somuB man mittelst derFormel (40.) dengenauen Werth dieser Integrale erhalten, und esistsomit (41) >?.()P,(@) Be=0 (a2) DPOP =sey wodieSummen sich sufdieWerthe a—a,, a, ...a,besiehen. Willman jetzt dioFunktion F(2) durch eine Funktion f(z) vom (n— 1)" Grade ersetzen, welche mitihrfrdieWerthe z=a,a,...a,Sber- instimmen soll, #okann man setzen £(@)=BPo(z)+ByPy(2)+BrPy(z)++++ByPail), und hat zur Bestimmung derCoefficienten B,B,,... A,» dieGlei- chungen F(a) =BP(a) +ByPy) +ByPal) +++ +By Peal) F(a)=BPa(a)+ByPy(dy)+ByPa(y)++>+BusPas(a) F(G,)=BPo(4,)+ByPa(@q)+BsPa(4,)+++ByntPaa(@) Maltipliciert man diese derReihe nach mit By@) (a)Bela) p(a,)Balt) Pra)Bay Pola) pays Pal) pia undaddirt, sofallen wegen (41.) alle weg, deren Index von»vor- schieden ist:dahingegen nach(42.)derCoefficient von,gleich5"; ist,20folgt 241 pea)pg)BO 8FD Fa)Pla) a 76 I,Ober dieGauseische Quadratur undvine Veralgemeinerung derselben. wodieSumme wieoben zuinterpretiren ist. Diesobestimmte Funk- tion f(z) istmitderdurch dieGleichung (22)definirten @(z) identisch, dabeides rationale ganze Funktionen (n—J)"* Grades sind, welche far mWerthe von 2mit einander Abereinstimmen. Es istalso (43.) 92)=2"FIPR@DrOr@ Re IstF(a) eine ganze Funktion (n— 1)"Grades, sofillt diese Formel mit derbekanntenEntwicklung zusammen. Setztmanz.BF(a)OP):80istg(2)—F(z),fernerF(a)—ze,mithin tetd P,(@)Rela) AaEEPO)TeBe att ‘R,(a)PAY) Py)—P,(@)Ry(a) AP POD reeePDD TO BO) Iudiesem Ausdrucke istdieerste Summe gleich R,(y); dieandere kann,da.PTB eineganzeFunktion vonzist,welcheden20"Grad nicht erreicht, nach (40.) durch dasIntegralif’POPOez—Ry) orvetat worden. Folglich ist* 6,=*F4(PWRW —RORY) und P,(2)—S Iv IPE DE PRY —ROR) PG). Setzt man hier ¢zund tystatt zund y,soGberzeugt man sich leicht, daB f,héchstens vom (n—v— 1)" Grade sein kann. Dieerveugende Funktion derAusdrticke Fy=Pal)Bypm()—Pas()By), nimlich »v=S712", gentigt derDifferentialgleichung + (120 +22224(@—aar =22", wieman durch Substitution derReihe flrvmittelst (29.) leicht veri- ficirt; und esfindet sich =2f__soz eyi-etefVisuze U.Cer dioGaufeinche Quadratur undeineVoralgemeinerung dervlben. 77 Daraus ergiebt sich SPP al) May2Dmfperi? also wenn »<n: PSPPapas PR-PR2Deet? wodurch diooben nachgewiosene Reduktion bewerkatelligt ist. Eine interessantare, auch inderFolge nitzliche Anwendung von (43,) istfolgende. Sotzt man indieser Formel ®POP,1W—PAWPya) FG)=FOr % , soerhiltmanwiederg(z)—F(z),daletatereFunktioninBezugauf=ganz und vom (n—1)" Grade ist, Esistaber mPa) Pasa) Fo)=fPa-s009, folglich mnQv+t ‘Py(y)Py(@)Py_1(0)Ry(a)Bras ae oa) me ‘Aus (38) und (84) folgt weiter (1a) Py@)=nP,_,@), (1—a) P(@)B,(@) =P,_,(@) Ra) 2, mithin ett SRY)Bo)_ett 8EEDe BGT Pw). Es istdaher identisch 1Py(2)Py-,(V)— Pale)Pyy(2)_"5)29 A)OBEOI SPE RGR, wieman auch durch Multiplication mitz—y undAnwendung von(29.) verificiren kann 3. Seijetzt, umzudom in1.angedeuteten allgemeinen Falle aber- zugehon, f(u) cine Funktion vom (m-+n)** Grade, welche dieEigen- schaft hat,dafssusderEntwicklung von/(u)lg"++ dieTerme +, deyosGewepfallen, undseiwiefruher oy fi)=f= ex; 78 U,Ober dioGauteische Quadratur undeine Veraligemeinerang dervelben. seien fener a,,1, ...4,4, dioWurzeln derGleichung /(u)=0,20 giebtder Auedruck AO) (2)Q=2here imAllgemeinen einen genitherten Wert desIntegrals F(z) 22,wihrend erdiosen Werth gonsudarstellt, #0oftF(2)eineganzeFunktion ist, welche den (2m-+n—1)" Grad nicht abersteigt Zur Bestimmung derFunktion /() bietet sich zunichst einWeg dardurch dieGleichungen 1.(14.), (15.), denen zufolge dieerwihnte Kigenschaft vonf(w) durch dieGleichungen (8) ff@ee—0, fr@eer—0, ... ff(@e-tra-0 bedingt wird. Dadiese Gleichungen mach dem inart.2Kingangs Bemerkten voneinander unabhiingig sind, solassen sich ausihnen mCoefficienten vouf(w) durch dietbrigen (w +1)ausdricken, Geht man also suf dieWurzeln vonf(w) zurick, sosind durch dieGleichungen (8)m dieser Wurzeln durch dietbrigen »sufeine cinzige Weise bestimmt; Tetztere dagegen bleiben vollkommen willktzlich. Genau gesprochen beateht also dievorliegende Aufgabe darin, da8man diejenige Funktion {(w) vom (n4-m)** Grade bestimmen soll, welche denGleichungen (8.) Gentge leistet, undfirgegebene nWerthe vonuverschwindet. Zu- gleich istersichtlich, dafsdieae Aufgube stets eine, undnureineein- rige Léeung zulifs Gegenwirtige Methode gewihrt demnach dieMéglichkeit, beider angeniherten Integration einer geyebenen Funktion alleVortheile 2aver- einigen, welche einerseite ausderBerlcksichtigung desnumerischen Verlaufs dieser Funktion, und andererseits ausderAnwendung der Gaufsischen Methode entapringen kénnen, Man wird nimlich jene n willktrlichen Wurzeln sowiblen, dafe firsiedieFunktion F(2) be- sonders einfache, oder auch solche Werthe annimmt, von denen ein grofser Einfluls aufdenWerth desgesuchten Integrals zuerwarten ist. Man kann aber auch indonFall kommen, dale der analytische Ausdruck vonF(z) unbekannt ist,wihrend dieWerthe F(a,), F(a), ...F(a,) beispielsweise durch Beobachtungen bestimmt worden sind. Kann man esalsdann dahin bringen, auch noch dieWerthe vonF(z) furdiedbrigen Wurzeln derGleichung f(z) —0zubestimmen, #0ge- wihrt dieFormel (2.), abgesehen vonden Beobachtungsfeblern, einen ILOber dieGaufsieche Quadratur undeine Verallgemeinerung derselben. 79 hdheren Grad vonGenauigkeit, alssich mitjenen nundirgend welchen andern mZwischenwerthen imAllgemeinen wirde erreichen lassen. Seien also a,a,...a,diegegebenen Wurzeln vonf(z), und aC) y=(@—a)(e—a) ...(@—4,), sokann man setzen 6) Fle)=(Ayam+Anant. +A). ‘Setst man ferner (>) JSyriz-Y,, 80gehen dieGleichungen (3.)infolgende aber: OmAnYq+AnYuintoeFADY, OmAY tAn%qytoFADY, OmAaYams+ARYamintootAFaaay und hieraus ergiebt sich, wenn y,,%,.-. YqdieWerthe von yfur =%,%,... %qvorstellen, und man von einem constanten Faktor absieht 1) fig)=ufitian stale 2)—9)=ae) s T(E)Hyp+Sy)My!TRON Oy.Balms Wo(Hs4---Bq)(Hy—%)(4%)(Hy—Hy)o>ttTatiybyosig irgend eine Permutation derZahlen 1,2,... m,soistdiesauch gleich eo VfV9<=Yul—(BM). @—Ay) gyBayooHig)HioaBRNO Oey.Bye Bringt man aber in17dieIndices wieder indiefrihere Ordnung, so erhilt: a,ay-atdasselbe Vorzeichen, welches esinderDeter- minante Ebay. at=Me,ay---Bq) hat. Folglich istauch (8) Tm +1)-F(2) -IfGe--Yal@—2)(2)oolHeMa2:ig)POR,By6p. Dies istderallgemeine Ausdruck derFunktion f(z), undessteht seiner 80I.Uber dieGaufsische Quadratar undcineVerallgemeinerung dervelben. Anwendung nichts imWoge, alsdiezablreichen und unbequemen In- tegrationen, welche orinvolvirt. Ichwerde daher fireinige besondere Fiille seine entwickelte Form hersetzen. Es ist fur m= 0f(e)—y m—1 f(z)—y{z%—Y%) m2 fe) =y{21¥'—¥¥)—21¥, YYI+ KY) (9)731@)HAL LBA LUBEWI NVM; ~ALYY,-YFLYNLNAYYLY) 441%Y-YYKANYVAN WY+tHY-W KdUS KKK BUY +YK NK) ete. ete. Far gowisse Anwendungen istesnéthig, dieGleichung (2.) in eine andere Form 2ubringen. Sei y-(@-a)(@—a)... @—a)=Ae), (2) =yBz) =yAg(z —)(@ —by) --- @—buy 80dafs dieGrofsen B,,04,..Bqmitden frther durch a4, 4) s+.@j4q bezeichneten zusammenfallen, Seiferner Fa)A) (10) 9-73 Ae, F(a)A(z)Bie) FQ) A@)Be@) 1) 6)i) ety +Droehay 480istdierechte Seite von(2.) nichts anderes alsdasvonz=—1bis = 1genommene Integral von y(z). Man kanu aber diese Funktion such indie Form Fo)—90) A) (12) ¥@)=90)+ay Pe bringen, indem beide Ausdricke flrx—a,ay,.--dyyb,,yy---Om mitF(z) tbereinstimmen, und somit alsFunktionen des(n+m—1) Grades identisch sein mUlssen. Dies festgestellt, erhalten wirstatt der Gleichung (22)folgende: AL) py (0) —@@)(°A(z)Biz) welche fiirdieAnwendung gegenwirtiger Methode einen neuen Ge- sichtspunkt darbietet. Betrachtet man nimlich Joe -S49 re TL.Ober dieGaufeische Quadratur undeine Verallgemeinerung dervelben. 81 1 alsersteAnniherung andenWerth von{F(z)éz, 60stelltsichder ‘Ansdruck _1 FO)—9) (A@Be) 4->Tit|42aon alsdieCorrection dar, welche man anjener anzubringen hat, umeinen genauern Werth zuerhalten. Sosufgefafst kommt also unsere Methode darauf hinaus, die Warzeln },,by,...b,80auszuwihlen, dafs diemittelst derselben be- rechnete Correction 4eine héhere Genauigkeit erreicht, alssich im Allgemeinen mittelst irgend welcher anderer mWurzeln wiirde er- zielen lassen. IstK™derbeiderIntegration von 2*begangene Febler,. sohat man nach art.1K™=Kim ---— KM, .=0, ear ee 0Bewatts+BREtoGSDes Jef(a)ox, also Ke,=timSh) afe/(a)az. Aus (7.)folgt aber weiter, dals 4 tng [2122 atary FiggRE2gOOBag der Coefficient der héchsten Potenz von zin pasIf 4 Yas@—2)(E—H) ---@—Fa4) “ +yyByosggPAE2044920. Bayar also nach derBezeichnung derFormel (6.)gleich A,,, ist. Folglich hatman allgemein kp, Sat iw AG, also 2.B. ¥¥ ¥,|[EB FB%x PeeaA in|1Bonristettet, GamatAMtaniengs, ‘ 82 ILOber dieGaufsische Quadratur und eine Verallgemeinerang derselben. 4 Obgleich dieEntwicklungen desvorigen art,flralleinderPraxis vorkommenden Félle ausreichen dltrften, 90werde ichdoch eine zweite Herleitung derselben nicht tbergehen, dadiegesuchten Ausdricke auf einem andern Wege eine vollkommnere Gestalt annehmen. Istf(2) eine ganze Funktion vom (n+m) Grade, sokann man stets setzen F(@) APam(@)+AyPapal) $20+AnesPi@)+AngePol) SollennunausderEntwicklung vonf(2)Ig2+1 dieTerme +,4, +++Jeausfallen, sosichtmanausdenfriher entwickelten Eigen- scbaften derFunktionen P,dale f(z) dieFunktionen Py,P,,... Pas nicht enthalten darf, und esistdaher derallgemeinste Ausdruck der Funktion (n+m) Grades, welche jener Bedingung genigt, dieser: 12)=APagm(@)+AyPrgms) +001+AnPa(@)- Diese Funktion sollferner firz=,,0,...a, verschwinden. Wenn man daher von einem willkirlichen constanten Faktor absicht, 80er- halt man CL)f=ZtParPagmils)Papm—a(ta) ++Plas und eshandelt sich darum, diese Determinante durch das Produkt (e—-a,)(@—q)...(@—a,) wirklich zudividiren, Furn—1 gelingt dies mittelst derFormel (44.)art,2,Sotztmannimlichdortm+1stattnunda,statty,80or- giebt sich Ppss(2)P(t)—Pra(t)Pras am+1 Sle aaeaTyep aPPLa) Ichwerde jetzt cinen Halfesatz beibringen, durch welchen man von vorstehender Formel zurDivision derGleichung (1.)durch denAusdruck (2—a,)(2—a)... (2-4, gelangen kann. aN 0)oe) Bezeichnet man diein(1.)rechts stehende Determinante durch 4, sobilde man die Funktion aa 24 Parmae5 Prom-al)gp @) U=— CENEPyim) 4TN OPrem() 4s. @=a)@=4)..Ga)+a)ea)PromealOn)p peas +ayaa). ea) ILOber dieGaufsische Quadratur undeine Verallgemeinerung derselben. 83 also(ea)(@—4)...(@-a)Uas a4=©4)Papmal)aRGe)+E) Papm—s() oPnia)to $=) Pagmi() gpa5* Nun istnach den bekannten Kigenschaften derDeterminanten a4 a4 Prymail) gpa+Parm-sgpay+ a4 +Paraildgpa5= mithin vorstehendes gleich —{Pap @FRG+Pare aR+: Transformirt man hier die Faktoren der Partialdetorminanten mittelst der Formel (29. art. 2 HPgmail) =ayThe Promlt)+EBEEPromaalWs 0zerstiren sich alleGlieder, welche Faktoren von derForm ntm—1antTai Perna) erhalten, und dieser Ausdruck ergiebt sich gleich atm a4 a4 ~ awpio (Poem)gps+Pareara t atm ~~ante it Daraus folgt dieFormel tt tmnt a Ga) ea) ea) nam U: Dadiepartiellen Determinanten ,we vonderselben Artwie4 selber, aber cine Ordnung niedriger sind, soreducirt sich durch (4.) dieHerstellung derQuotienten zurLinken aufdievon msndern Quo- tionten derselben Gattung, indenen Zibler undNenner umeine Ord- nung niedriger sind. Mittelst derFormeln (2.)und (4.)erhilt man EEPropsg(@)Pa14)Pon)a) ea) am+3 EPaslPu EtPassle)Pula ATTEE[Paesloy7EPetSPA) —Py.(o)EASA EA} mame pLapeaPOZEPayal)Pla), ” 84 ILOber dieGaufeische Quadratur undeine Verallgemeinerung derselben. Ebenso ergiebt sich EtPmoy(2)Paes(Qs)Psy)Pra)(@—a)(@—4)(@—4a) am4+5 ZAPrass(®)Prue(Gs)Pra)Trp [Pao @—a)e—a) EA Payot) Pins1(Oy)Pr +Passa) re EdPaisle) Pos()P, +Paga(os)7FassTussleFale} mtn Et SPHPEPasl)Paslt)Pa) ‘Man kann aufdiese Weise fortfahren, und eshatnicht diege- ringste Schwierigkeit, durch Induktion folgende allgemeine Formel nachzuweisen: (8) £@) =2B Pasa(® Pane s(@) ++Pal) INTE PEPose(0)PavalOe-DPO): Esergiebt sich ferner unter Beibehaltung derfrihern Bezeichnung «)[fiomBtBaslePoonsle) Pale fz) =E£ Qnsa@) Pasi) Pal, welche Determinanten durch Permutation der anden Funktionalzeichen befindlichen Indices zubilden sind. Setzt man surAbktrzung Et Papns(ts) Pagnas(ty)++Pal@y)=Bay 80erhiilt man ftirden beider Integration von 2'"+* begangenen Fehler K™,,, welcher mit dem inart.3bestimmten identisch sein muB, infolgender Weise einen neuen Ausdruck. Daniimlich nach art.1 Wing Wee hw) int,sofolgt, dafe K™,, dieGriinze ist,welcher sich afl) wanenes OOOPA)_Pa) 22)mt TPmen) IL.Ober dieGaufsische Quadratur undeine Verallgemeinerung derselben. 85 mit wachsondem wnihert. Man erhilt ane) » 2 Lede 12m pn oP), (1)nen"mfGesam—dT8eawaI afle) 2Pavn® 2 etm etme ty lOCescreeosireeree Bezeichnet mandenCoefficienten von2inP,(2), nimlich *-5~2—=* durch y,,und setst vorstchenden Ausdruck7dem inart.8gefundenen gleich, 80folgt: Amss I ssA,7emFintan We? vmithinmt ratarn Bm 4n enemy AyTTSRMFHTwTalaTownMy Esistferner A,— 1,und wiesich leicht findet HrooMyOyoBy folglich aaceena yorPee (B.)gggy at20tant(OyO492g)Ae Setzt man indiese Gleichung dieAusdricke flr&,und 1-2---m,, cin,indem man letztern ausart.3(8.)entnimmt, #0folgt Zt Payas(@,)--- Pal) (cytranten00 YomM0 Pngn—1TTay+By) a! afYeYLTByyyHy) EyBy Dehnt man diese Formel aufn+1Argumente z,a,,... a,aus, 90 ergiebt sich (9) Zt Paya)Papn-s(A)+++Pale) (cyfrantsn gm MoM YnPOPPmgnTT(yy+++Oyy2) tmfee YaB)(Hy)oo(B=Fy)yyooHyIPA Egy wodurch derZussmmenhang xwischen denFormeln desgegenwirtigen und desvorigen art.dargelegt int. Ichwerde jetzt noch einen dritten Ausdruck fr/(2) herleiten,derobenfallseigenthimolicher Naturist,Integrirt mandieGleichung (1.) 86ILOber dieGaufsische Quadratur undeineVerallgemeinerung derselben. mmalhinter einander nach zvon —1bisx,ebenso mmal nach a,, 4,...a,von —1 bisa,,—1 bisa,...—1 bisa,,und wendet dann injedem Term derDeterminante den Jacobischen Satz am 2 P(n—m+41)aP,(2) JPden =ereset) an,soerhilt man fe tmnt)Sia(erea,...2a,)" Em (m) nlm) DEPoeniarfProms(OeahoofPalty)20r Pare)... Pn +1) = *Fam+remys)...ramFw(Yat 1)...(@— DI Et PEg(2) Pita a(@) +PQ). Indieser Determinante kann man aber zufolge eines bekannten Satzes alle Elemente auf ihren ersten Term reduciren. Schreibt man darauf diegemeinsamen Faktoren aller Elemente derselben Vertikalreihen her- ‘aus, 80ergiebt sich vorstebendes =f(x 1)(a 1)... (@— 1)PE aah"... a8 =(t=10}1)...(@E=IPTG0,4)yy2)y wozurAbkirzung gesetzt ist . c= 1__Remo(2m+2)m+4)---2m+ IM)y("Tf ayyttmm), (m+2.Om ay? und ,wie iblich den Coefficienten von 2*inderEntwicklung von (1+2) bezeichnet. Esistdemnach auch (10) Et Pasn(E)Pasnns() +++Pa(@y) =gehen pagyeWC—Wet 1)(= DIM O45 842)), oder wenn man . o 2 a =) 1)agegageUGE—DQ1).DIGG,4,1)y2))=P setat: 2) BkPua(@)Pagal): Pal)=0” Istnun derAusdruck Vreell oder sobeschaffen, dafs erdurch Multiplication miteiner constanten Grifse reell gemacht werden kann, IL,Ober dieGaufeische Quadratar undeineVerallgemeinerung derselben. 87 soschliefst man susdieser Gleichung nach bekannten Methoden, dafs zum Mindesten mWurzeln derGleichung f(z) =0reell und zwischen den Griinzen —1 und +1 gelegen sein milssen. Sind also zB. die gegebenen mWurzeln a,,ay,...a,reellundaulserhalbjenerGrinzen belegen, somiissen dieibrigen mWurzeln echte Briché sein. —Sind ferner alleWurzeln derGleichung V=O reell, sosind esauch alle ‘Wurzeln derGleichung f(z)—0, und dieAnzahl deraufserhalb der Grinzen —1und 1liegenden Wurzeln istinbeiden dieselbe. Hiieraus istesersichtlich, dafsman gegenwiirtiges Verfahren zur ungeniherten Integration von F(z) mitgrofsem Vortheil 2.B.dann wird anwenden kénnen, wenn sichF(z) fir»bestimmte, aufserhalb desIntegrationsintervalls, undfurbeliebig viele innerhalb desselben will- kiirlich vertheilte Werthe vonxannihernd oder genau ermitteln lifst. Anmorkang Indem Handeremplar Christoffel, das imVorwort erwihat ist, finden sich siemlich umfangreiche Ausfibrangen, die auf eine Ausdehnung der Gaufsechen Quedratar sof dou Fall unondlicher Grenson abrielen. Sie beechitigen ich haoplatelich mit den Funktioneneyetemen, diodurch dieGleichungen én-« O(eaten tn saWOepRwepRayaaTT) Ceposti f="GP"&Z(e#) Cormitesche Polynome) dlefiniert sind Dove Ausfthrongen sind indieAbhandlong Surune classe pati calitr defonctions eatires etdefractions continues (XXVII)tbergegangen und dort verallgemeinert. Uber dieVerwendung dieser Funktionen zurAusfihrung AerSnUadihe eecken Tlgastin denwichnorKrAndstngen TL. Ueber dielineare Abhangigkeit von Functionen einer einzigen ‘Veranderlichen. Gournal firdiereine und angewandte Mathematik, Ba.85,1868, 8.261299.) Eine lineare Differentialgleichung n**Ordnung ohne zweiten Theil zwischen yund der unabhingigen Verinderlichen zhat bekanntlich stotsnIntegrale y,,Yo)-+-Y%ayderBeschaffenheit, daleesunméglichist,mConstanten ,,d,,...d, 20bestimmen, welche denAusdruck: GY, +04% +--+ 0,4, —A identisch 2Null machen, ohne dafs 2ugleicher Zeit alle diese Con- stanten verschwinden; esistindiesem Falle Hdascomplete Integral jener Differentialgleichung. Lalst sich dagegen Hdurch constante Werthe vona,dy,...@,, diealleoder sum Theil vonNull verschieden sind,zumVerschwinden bringen,soreichendieFunctionen ¥,,$4).-%yzurDarstellung descompleten Integrals nicht aus. —Ganz ahnliche Verhiltniseo finden beiden linearen Differenzengleichungen statt, Hat man demnach nIntegrale einer solchen Gleichung gefunden, somufé man untersuchen, obzwischen denselben eine lineare homogene Relation existirt, oder nicht, obman also ausihnen dascomplete, oder noreinpartiknlares Integral zusammensetzen kann. DieEntacheidung dieser Frage hiingt vonanalytischen Kriterien ab,welche imFolgenden hergeleitet werden sollen. Wenn ferner durch dieAnwendung dieser Kriterien gefunden ist, dale nwischen gegebenen Functionen cine lineare homogene Relation besteht, sokann man verlangen, dale dieselbe wirklich aufgestellt werde, Dabei zeigt essich, dafe dieWerthe derCoefficienten, mitwelchen die einzelnen Functionen indieser Relation behaftet sind, imAllgemeinen von den Grenzen abbiingen, zwischen denen die unabhingige Ver- nderliche liegt, und flrandere Grenzen ganz verschieden ausfallen. Die folgende Untersuchung wird Iehren, dafs auch dieBestimmung dieser Grenzen nach allgemeinen Prinsipion von Statten geht, sodale ULVeb.dlineareAbbingighkeit v.Functionen einereinsigenVerinderlichen. 89 flrdiebeiden Hauptfragen, aufwelche man aufdiesem Gebieto stdfst, leitende Grandsitze vorhanden sind. Um diemdioser Untersuchung erforderlichen Unterscheidungen troffen zukénnen, istesnothwendig, den Begriff derFunction in folgender Weise zuerweitern. Exbezeichne 2eine Verinderliche, welche jeden reellen Werth an- nehmen kann, meine zweite Verinderliche, welche nur positive und negative ganzeahlige Werthe snnimmt. Istnun eine Function f(z) awischen denwillktrlichen reellen Grenzen aund bgegeben, sostellt dieGleichung y—f(z) eine Curve dar, welche vonr—a bisz= ingogebener Weiso verliuft. Die Gleichung y—/(m) dagegen stellt vermige derOber mgetroffenen Bestimmung einSystem von Punktendar,derenAbscissen die’zwischen denGrenzenaundbenthaltenengonzenZablensind.Sowienunf(z)eineFunction von2ist,weilesflrjedeszwischen aund&liegendezeinenbestimmten Werthhat,60istf(m) eine Function vonm,weil esfirjedes zwischen aund b liegende meinen bestimmten Werth hat, Daman aber durch jenes System von Punkten beliebig viele unter einander nicht imMindesten verwandte Curven y=/f,(2) legen kann, sodafs, fiirjedes awischen aund 5liegende m,f,(m)=f(m)ist,20siehtman,dafsdieNatur dicees Systems von Punkten, nimlich dieFunction f(m) ganz un- abhingig istvon denWerthen, welche /(z) frdienicht ganzzahligen Abscissen annimmt, Man mufs also bei der Definition der Function von mdieVorstellung, dafs sieineinem Ausdrucke enthalten sei,der auch frnicht ganzzahlige Werthe derVerinderlichen gewisse Werthe hat, aleganz unwesentlich fallen lassen, und sich diese Function ent- woder graphisch durch einaufbestimmte Axen bezogenes System von Pankten, oder was genau dasselbe ist,numerisch durch eine Tabelle gegeben denken, inwelcher die cine Colonne diejenigen Werthe ent- halt, welche monnehmen kann, wihrend dieandere Colonne jedesmal den zugehirigen Functionalwerth liefert. Danach dem Gesagten unzihlig viele Functionen von zdieselbe Function von menthalten, sokann durch eine Function von mohne Hinzufllgang weiterer Bedingungen keine einzige Function von zbe- stimmt sein. Aber esistwesentlich zubemerken, dafs man von den Functionen von m2udenFunetionen vonzUbergehen kann. Hingt nimlich f(m) noch von einer willktrlichen Constanten ¢inderWeise ab,dats/(m)=F(me)ist,wo¢nichtanderealsinderVerbindangmevor- kommt, 60setze man me=2;dann entapricht derAenderung vonmum eine Einheit dievonzum6,d.b.umeine Gréfse, welche vermige ihrer Willktrlichkeit aufjeden Grad von Kleinheit gebracht worden kann. 90 IL. Usb.a.lineareAbhAngigkeit v.Functionen einereinzigenVerinderlichen. Auf dieselbe Art, wie dieFunctionen von m,lassen sich auch Funetionen einer Verinderlichen m’definiren, welche sich nicht mebr wiemumconstante, sondern umgany belicbige Differenzen andert. Aber dadieWerthe, welche m’annehmen kann, eine bestimmte Auf- einanderfolge zeigen, s0kann man m’,und folglich auch jede Function yon m’als Function von mbetrachten. Sindm+1Funetionen vonmgegebon,/(m),f,(m),...f,(m),80 kann man stets cine lineare homogene Relation A/(m) +A,f,(m) +++++A,f,(m) =0aufatellen, inwelcher mindestens einer derCoef- ficienten A,A,,-..4, von Null verschieden ist,und welche frbe- stimmte naufeinanderfolgende Werthe von m,etwa fir m— mg, my+1,...m-+n—1 gilltigist.Indembesonderen Falle,wodiese nimliche Relation auch noch fiirWerthe m—my—1, 1 —2,...1%—45 my+n, m+n-+1,...m,+n-+p stattfindet, nenne ichdieFunc- tionen f(m), f,(m), ---f,(m) linearabhiingig fiirdieWerthe m—m,—q, my—q+1,.+.my+n +p.DieAnzahlderWerthevonm,furwelche gegebene Functionen von mlinearabhiingig sind, kann demnach nie Kleiner sein, alsdieAnzahl derFunctionen. Esistnach dem Voran- geschickten kaum néthig zubemerken, dafsdieEigenschaft derLinear- abbingigkeit sichnichtaufdieFunetionen f(x),f,(2),-- f,(2)beziebt,inwelchen jene enthalten sind, sondern nuraufdiebesondern Werthe, welche diese Functionen flrdieangegebenen ganzzahligen Werthe vonz ‘annehmen. —Sind diegegebenen Functionen indenIntervallen m—m’, m+1,...m"—1; m=am",m"$1,om—15... ms,mit1,-..m*—1 linearabhiingig, wibrend dieRelationen, durch welche diese Abhiingigkeit ausgedrickt wird, indeneinzelnen Intervallen verschieden sind, sonenne ichdieFunctionen wieder linearabhingig furdieWerthe m= m,m' +1,...mb—1. Wenn diegegebenen Functionen ineinem bestimmten Intervall den Bedingungen derLinearabhiingigkeit nicht gentigen, sonenne ich sie linearunabhdngig fiir die injenem Intervall enthaltenen Werthe ‘con m. Esistnach dem oben Angedeuteten einleuchtend, wiediese Defini- tionen sufdenFall einer continuirlichen Verinderlichen 2tbertragen werden. Will man dieselben benutzen, umzuuntersuchen, obund innerhalb welcher Grenzen dieFunetionen f(m), f,(m), ...f,(m) linear abhingig sind, 90mufs man zuniichst dieCoefiicienten A,A,,...4, 0bestimmen, dafsdieGleichung Af(m) +A,f,(m) +++++A,f,(m) =Ofirm=mg,my-+1,...m,-+n—1 stattfindet, wom,irgondeinenbe- +sonderen Werth von mvorstellt. Istdies geschehen, #0mals man‘vorsuchen, obdieseGleichung auchnochfureinenderWerthem=m,—1, TLUeb. alineare AbhAngigkeit v.Functionen einer einsigen Vertnderlichen, 91 ‘my+bestebt,undwenneinsvonbeidenderFallist,weiterver-suchen, obsieauch noch firfolgende Werthe vonmgiiltig bleibt. ‘Man gelangt alsdann von selbst zudenGrenzen, innerhalb derer dio Linearabhingigkeit stattfindet. Besteht diese Relation aber nicht mehr fir m=m,—1, m, +0,80mufs man dieCoefficienten A,A,,..4, ‘yon Neuem fiireinen andern Werth von m,bestimmen, und dasselbe Verfahren wiederholen. Um dieses grade inden wichtigsten Fallen unbrauchbare Verfahren dberfidssig zumachen, dienen dieimFolgenden zuentwickelnden Kriterien fiirdieLinearabbingigkeit derFunctionen von m. 1 Seien n+ 1Functionen f(m), f,(m),... fa(m) gegeben, welche fr dieWerthe m—mg,my+1,...my +n+plinearabbiingig sind. Dann mufe pS0 sein. Essind nun drei Fille méglich: 1)entweder bestebt zwischen diesen Functionen nur eine einzige lineare homogene Relation, welche firallejene Werthe vonmgiltig ist; 2)oder esbestchen mehrere dieser Relationen, furdienimlichen Werthe von m; 8)oder endlich zerfallt jene Reihe vonWerthen ing++rIntervalle (deren jedes ausmehr alsnWerthen besteht) von zweierlei Art, #0 dale inden gIntervallen derersten Art eine einzige lineare homogene Relation existirt, wibrend inden rIntervallen derzweiten Art dic gegebenen Functionen durch mehr alseine dieser Relationen mitein- ander verbunden sind. Hierin istderFall mitbegriffen, woeine der Uahlen qoder rgleich Null ist. Imersten Falle batman, wenn meinen derWerthe mg,m+ 1, +++iM,+pbedeutet, dieGleichungen: Af(m) +Aifi(m) +--+ +Agfa(m) =0, Af(m+1) +Afi(m+1) +-+++Af(m+1)=0, Af(m+n)+Apfi(m+n)+--++Anf(m+n)=0. Setet man demnach: (1) E+f(m)f,(m+1)...f,(m+n) =A(m), @) Faoay~44> sofolgt ausdennersten jener Gleichungen freinunbestimmtes o: (3) A,=04,(m). Danun der Voraussetzung gemils wenigstens einer derCoef- ficienten A,vonNullverschieden ist,sofolgt, dajsinunserm Falle 92. IILUsb. d.ineare Abbiingigkeitv. Functionen einer einsigen Verinderlichen, wenigstens einederGrifsen 4,(m)fiirjedesderReihem,,m,+1,ss:t™e+p+1 angehirige mconNullverschieden ist,wihrend dieDeterminante A(m)fiirdieWerthem—my,m+1,...1m)+pver- schwinde Imsweiten Falle hat man fitrjedes der Reihe m,,my+1, s+My+p+n angehérige mwenigstens zwei voneinander unabhingige Relationen: Af(m) +Ayfi(m) +--+ +Anfa(m)=0, Bf(m) +Byf,(m) +-.-+Byf,(m) =0, worauswiederum firdieWerthem—mg,ig+1,...1mp+pdieGleichungA(m)—0 folgt. Daaber derVoraussetzung gemifs dieQuotienten 2,2.Zswenigatens sumTheilvoneinander verschioden sind,20erhilt man,‘wennausbeiden Gleichangen cinederFunctionen f,,eli- minirt wird, stets eine Relation derselben Art zwischen den Ubrigen Fanctionen, inwelcher wenigstens einCoefficient vonNull verschieden ist. Daraus folgt, da/s man indiesem Falle nothwendig dieGleichungen 4,(m)=0 hat, wowjede derZablen 0,1,...n, und meinen be- liebigen derWerthe my,my-+1,...m,-+p+1 vorstellt, Bestehen mehr alszwei Relationen zwischen den gegebenen Functionen un- abhiingig voneinandor, soerbilt man aufser denGleichungen 4(m)—0, 4,(m)=0 noch weitere Formeln, welche firunsern Zweck jedoch kein niheres Intereste haben, Wes den dritten Fall betrift, sosieht man leicht, dala, wenn alle indenunentwickelten Determinanten 4(m) oder 4,(m) vorkommenden Argumente demselben Intervall angebdren, sich dioindenbeiden ersten Fallen gegebenen Erérterungon mitdennéthigen Modificationen wértlich wiederholen lassen. Liegen diese Argumente dagegen inzwei auf- einanderfolgenden Intervallen, solassen sich inBerug sufdieindiesen Intervallen stattfindenden Relationen sehr verschiedene Voraussetzungen machen, von denen hier nureine einzige discutirt werden soll. Nimmt man an, dafé von den linearen Relationen, welche inden einzelnen Intervallen stattfinden, keine auch imandern giltig ist,sokann man augenscheinlich ausdiesen Relationen keine allgemeingiltigen Gleichungen herleiten, inwelchen ausbeiden Intervallen bestimmte Functionalwerthe, aber aufser diesen keine anderen Gréfsen mehr vorkommen. Man Kann daher iiber denWerth von4(m) oder 4,(m) imAllgemeinen gar nichts festsetzen, sobald die inihnen vorkommenden Argumente ver- schiedenen Intervallen angehiren; liegen dagegen diese Argumente in demselben Intervall, soistaufjedenFall4(m)=0,undessindaufser- demalle4,,(m) gleich Null, oder wenigstens einTheil derselben vonNull II],Ueb.d.lineare AbbAngigkeit v.Functionen einereinzigen Vertinderlichen. 93 verschieden,jenachdemdasIntervallvondersweitenoderdererstenArt ist Die Anzahl der Werthe von m,fir welche die in4(m) vor- kommenden Argumente zwei aufeinanderfolgenden Intervallen angehdren kénnen, istgleich m,und kann dieso Zahl nicht Ubersteigen, dajedes Intorvall mehr alsnArgumente umfafst. Sind daher n+ 1Functionen Uinearabhiingig, s0kannesvorkommen, daftn,abernichtmehrauf-einanderfolgende Werthe ihrer Determinante 4(m) vonNull verschieden sind. Istumgekehrt 4(m) fiirmehr alsnaufeinanderfolgende Werthe‘conmvonNullverschieden, sokinnenjeneFunctionen nichtfiiralleWerthe von mlinearabhiingig sein. 2 Ichgehe jetzt von der Voraussetzung aus, dafs 4(m) fir die Werthem—mi,m+1,...m,+pverschwindet, dagegenfirdieWerthem—my—1,m,+p+1vonNullverschieden ist.DanngiltderSatz,dafsdieFunctionen f,f,,...f, fiirdieWerthem=my,m,+1, 1:1+p+nlinearabhiingig sind. Essoll zunichst bewiesen werden, dafs dieser Satz fir+1 Functionen gilt, wenn erflrmFunctionen stattfindet. Setzt man: qa) 9(m) =Af(m)+Af(m)+--++Anf(m), und nimmt flrdieCoefficienten A,4,,....4, bestimmte Zahlen, welche den Gleichangen: @) 9(m')=0, pm’ +1) =0,...9(m'+n—1) —0 gentigen, wom’irgend einen besondern Werth vonmbedeutet, soer- hilt man ousden Gleichungen (2.)und einer derfolgenden: Af’=1)+Ash(m1)+--+Ayh(m’—1)=@(n'—1), Aflm!+1)+Aif(m' tn)+--++AL(om+0)=om’+n), dieGleichungen: . (3) A,Am’ —1)= 199m! —1)4,(m/), a) A,A(m') =o(m' +n)4,(m'). Istnunm’einederZahlenm,,m,-+1,...m +p,#0verschwindet in(4)derVoraussetzung zufolge dielinke Seite, und man hat: (©) (mn +n)4,(m') =0, 0dafsentweder @(m'+n)—0ist,odersimmtliche 4,(m’)verschwinden.Eszerfillt daherimAllgemeinen dieReihem,,m,+1,...m,+p in Intervalle von zweierlei Art; indenen derersten Art istwenigstens eine derGréfeen 4,(m’) vonNull verschieden, undossinddaher, wie 94IILUeb.d.lineareAbhingigkeitv, Functionen einereinzigenVerinderlichen. behauptet, dieFunctionen f;f;,..f, indiesem Intervall linearabhingig. IndenIntervallen derzweiten Art, inwelchen man die+1 Rela- tionen 4,(m’)—=0 hat, sind jemdergegebenen Functionen linear- abbingig vermge derVornussetzung, dafs obiger Satz fiirnFanctionen gilltig sei.InderThat haben dieDeterminanten 4,(m) dieselbe Form wie 4(m), wihrend sieeine Function weniger enthalten. Ineinem Intervall der ersten Art kann nur eine einsige lineare homogene Relation swischen den gegebenen Functionen stattfinden; in einem der zweiten Art dagegen bestehen inFolge der gemachten Voraussetzungen m+1 Relationen, deren jede von einer Function frei ist. Eine Anzahl von m +1Relationen dieser Form kann sich nicht ‘aus einer einzigen Relation herleiten lassen, esbestehen daher inden Intercallen der sweiten Art mindestens swei lineare Relationen swischon dengegebenen Functionen unabhiingig von einander. Da(1g—1)=(—1)"{f(g—1)Jom)+f,(OMe—1)4,(m9)+---) vonNull verschieden ist,somuB vondenGrdfsen ,(m,), alsoauch vondenzuibnen proportionalen GréBen A,,eine wenigstens vonNull verschieden sein. DieWerthe ma,m,-+1,...my+gehdrenalsozu einem Intervall derersten Art, inwelchem nur eine einzige Relation p(m) =O stattfindet; und diese Gleichung kann wegen (3.)nicht auch furdenWerth m—m,—1 bestehen. —Gehért ferner derWerth my+p zueinem Intervall derersten Art, sobesteht dieindemselben statt- findende lineare Relation wegen (4.)auch frdenWerth m’=m,+p+n, wibrend sieunméglich furden folgenden Werth von m’stattfinden ‘kann, Liegt jener Werth ineinem Intervall derzweiten Art, sohat man derVoranssetzung gemifs mindestens zwei von einander un- abbiingige lineare Relationen ¥(m) =0,z(m) —0,welche frdieWerthe m+ p+n—l1,m+p+n—2,...stattfinden, Fardieselben Werthe besteht also auch dieRelation ay(m) +Bz(m)—0; inwelcher man die Zahlen «und A90bestimmen kann, dafs dieselbe auch fur m= my+p +n stattfindet. Auch diese Relation kann unméglich fur m= my+p+n+1 stattfinden, wie man leicht sieht, wenn man in (4)mi!—my+p+1setzt.Esbleibt nurnoch Ubrig, obigen Satz firzwei Functionen nach zuweisen, daeralsdann aufjede Anzahl von Functionen ausgedehnt werden kann. Dieser Boweis ergicbt sich ohne Weiteres ausdem Voran- gehenden, danimlich inunserem Falle 4,(m) =—f,(m), 4,(m) =f(m) ist,sobesteht indenIntervallen derxweiten Artjede beliebige lineare Relation zwischen den gegebenen Functionen, wihrend frdieInter- valle derersten ArtdieLinearabhiingigkeit dergegebenen Functionen bereits nachgewieson ist. Auch wiederholen sich die Bemerkungen, TIL.Ueb. d.lineare Abbiingigkeit v.Functionen einer einzigen Verlinderlichen. 95 durch welche dieGrenzen nachgewiesen wurden, innerhalb deren die Linearabbingigkeit nothwendig stattfindet. Aus diesen Beweisen ergoben sich nun weiter folgende Sétzo: 1)Damit gegebene +1 Functionen f(m), f,(m),...f(m) flr alloWerthe vonmlinearunabhingig sind, isterforderlich undhinreichend dafs ihre Determinante 4(m) flralle Werthe von mvonNull ver- schieden ist. 2)IstdioAnzahl aufeinanderfolgender Werthe von m,flrwelche 4(m) von Null verschieden ist, niegrofser alsn,sosind dieFunc- tionen /(m), f,(m),...f,(m) firalle Werthe von mlinearabhingig. Andiese Sitze, welche inVerbindung mit den imAnfange be- wiesenen dievollstindigen Kriterien flrdieLinearabhiingigkeit oder Unabhingigkeit gegebener Functionen enthalten, schliefsen sichfolgende Bemerkungen, die zur Bestimmung der Grenzen dienen, innerhalb welcher die Linearabhingigkeit imAllgemeinen durch verschiedene lineare Relationen ausgedriickt wird. 8)Sind 2wei Intervalle, inwelchen 4(m) verschwindet, durch » oder weniger Werthe von mgetrennt, firwelche 4(m) vonNull ver- schieden ist,sokann keine lineare Relation zwischen den gegebenen Fonetionen, welche indem einen Statt findet, auch imandern gilltig sein. Dies ergiebt sich unmittelbar ausdem vorhin gefhrten Beweise. Istferner m’dererste Werth von mineinem Intervall derersten Art, m'—1 derletzte ineinem vonderzweiten Art,und@(m)—0 dieinjenem stattfindende lineare Relation, welche alsofirm—m',m’+1,... besteht, s0istin(3.)4(m’—1) =0,dagegen vondenGrifen 4,(m’) mindestens eine von Null verschieden, also nothwendig g(m'—1)—=0. DafernerinderGleichung A,4(m’—2)—(—1)*- @(m’—2)4, (m'—1)beideSeitenunabhingig von(m’—2) verschwinden, sokann dieser Wert vonNull verschieden sein, 20daB also dieRelation o(m)—0 nothwendig fur m= m'—1, aber nicht auch firm— m'—2 stattfindet. —Istferner m' +1dererste Werth ineinem Intervall derzweiten Art, m’der letate ineinem von derersten Art, und g(m) —0dieinletzterem statt-. findende lineareRelation,s0istnachdemvorhinBewiesenen (m’+-n)=0; aber dainderGleichung A,A(m!+1)=gm’+n+1)4,(m' +1) beide Seiten unabbingig von g(m’ ++ 1)verschwinden, sokann dies yon Nall verschieden sein. 4)Sind also zwei Intervallo derersten Artdurch eines von der aweiten Artgeschieden, #0istdiolineare Relation, welche indem einen stattfindet, nicht nothwendig such indem andern giltig. 96TL.Ueb.dlineareAbbAngigkeit v.Functionen einereinsigenVerinderlichen, 5)IntcinIntervall derersten Art, welches dieWerthe m—m,, my+1,..+m'y umfabt, durch wei andere von derzweiten Artbe- grentt, 20findet inihm eine einzige lineare Relation statt, welche furdioWerthem=my—1,m,-..m'y+,abernichtnothwendigsuch nochfirdieWerthem,—2undm',+n+1 goltigist. Um diese Sitze aufeinBeispiel anzuwenden, nehme ichan,dafs: A(m)=0istfrjodesm,unddalesimmtliche 4,(m)verechwinden,‘wenn meiner derGruppen: mm,+1,..0m!— 1;my,myLy...my—15 fees My Ayoem =D angehért, wihrend flrjeden anderen Werth von mwenigstens cine Jjener Gréfeen von Null verschieden ist;und seim,<2,’<1,<1,’ sse<m,<m,’.Dann findet zwischen den n+1Functionen eine inzige lineare Relation statt fir m=——oco,...m,+n—1; cine andere farm=m,'—1,m,’,...m,+—1; einedrittefarm—m,'—1, m,’...m, +n—1; u.8.f; und endlich eine imAllgemeinen vonjenen veruchiedene frm —m,’—1,m,’,... 00.Dagegen sindjedebeliebige m von den gegebenen Functionen linearabhiingig frdieWerthe m= m,, my+1...mm!+m—25m—My,My$1,my+H—25...—My,m,+1,...m,+n—2, undesfinden indencinzelnen Intervallen imAllgemeinen verschiedene lineare Relationen statt. a Ichwerdo jetzt dielineare Differenzengleichung: (1) PCm)f(m-+ mn)+Py(m)f(m+n—1) +--+ +Py(m)f(m) =0 untersuchen, inwelcher dieCoefficienten P,P,,... P,analytische Func- tionon vonmsind, und dabei dieerlaubte Voraussetzung machen, dats fllr keinen Werth von msimmiliche Coofficienten verschwinden. Ist dies nimlich nicht derFall, sodarf man (1.)nurdurch eine Function ‘9(m) dividiren, welche nar dann verschwindet, wenn simmtliche Coef- ficienten verschwinden, und sich jedesmal inderselben Weise der Null nihert, wie derjonigo Coefficient, welcher von allen amlangeamsten gegen Null convergirt. Ebenso werde ichvoraussetzen, da(s flrkeinen Werth von meiner oder mehrere dieser Coefficienten unendlich grofs worden, Eshandelt sich beidieser Untersuchung, wieimFolgenden bei den linearen Differentialgleichungen, wesentlich darum, genau fost- zusetzen, welchon Grad von Allgemeinheit dascomplete Integral einer solchen Gleichung imAllgemeinen. und welchen dasselbe unter ge- LLUeb. 4.lineare Abbingigkeit v.Functionen einer einzigen Verfinderlichen. 97 wissen Bedingunaen erreichen kann. Dieser Grad hiingt abvon der Anzahl linearunabbingiger Functionen, durch welche jener Gleichung und gleichzeitig etwaigen Bedingungen genlgt wird. Das allgemeinste Verfahren zurIntegration von(1.)besteht darin, dafs man dieWerthe (rm), (mm +1),... flim +»—1)dergesuchten Function olswillktrlich gegeben betrachtet, und dann mittelst (1.) dieWerthe f(m,+n),f(m,+n+1),...flmg+n+p) successive be- stimmt, Istdies geschehen, und giebt man derFunction f(m) ftiralle Ubrigen Werthe von meinen willkitrlichen Verlauf, sosage ichder Karze wogen, dafs siederGleichung (1.)flrdieWerthe: («) mmmy,M+1...my+Pgentigt. Sind nmFanctionen /,(m), f,(m),-.-f,(m) gegeben, welche der Gleichung (1.)frdieWerthe (a)gentigen, sohatman demnach fur dio nimlichen Werthe von m: P(m)f,(m +n)+P,(m)f,(m +n—1)+--++Py(m)fi(m) =0 P(m)f,(m +m) +P,(m)f,(m +0—1) +--+ +Py(m)f,(m) =0, und wenn man hieraus dieCoefficienten P,,P,,...P,_, eliminirt, nach derfrihem Bezeichnung: @) P(m)4_(m+1)=(—1)"P,(m)gm). Mittelst dieser Gleichung lifst sich nun zunichst leicht nachweisen, dafs unter gewisson Umstinden mlinearunabhingige Integrale der Gleichung (1.) existiren. Setzt _man nimlich voraus, dals dieCoef- ficienten P(m) und P,(m) fOrdieWerthe (a) von Null verschieden sind,sokannmandiewillktrlichen Werthe f,(m,),f,(m+1),... F,(mg +n—1), fy(m,) etc.immer soannehmen, dats4,(m,) vonNull ver schieden ist.Dasomitauch4,(m, +1),4g(m,+2),...4o(m +p+1)‘yon Null verschieden sind, sofolgt mach dem Frahern, dafs dieFunc-tionenfy,fyy---f, frdieWerthe: (b) m= Mg, My+1,2. yt PtH linearunabhingig sind. Ichwerde jetzt umgekebrt beweisen, dafs flralleWerthe von m, firwelche nlinearunabhingige Funetionen derGleichung (1.)genigen sollen, dieGréfven P(m) und P,(m) vonNull verschiedon sein missen, Sind dievorhin gegebenen Functionen firdieWerthe (b.) linear- ‘unabhiingig, s0ist44(m) vonNull verschieden frm—mg,m+ 1,... m,+p +1, also inderganzen Ausdehnung derGleichung (3.)wederE.R.Osistoftel, GeummelteAbbandlonges. 1, 7 98IILUeb.d.lineareAbbingigkeit v.Functionen einereinzigenVerinderlichen. 4j(m) noch 44(m-41) gleich Null. Esistduher nicht moglich, dals cine derGréfeen P(m) undP,(m), aber nicht zugleich dieandere ver- schwinde; und umgekebrt wirde, wenn dies derFall wire, eine der Gréfeen 4,(m) und 4,(m+1) gleich Null sein, also cine Linear- abbingigkeit zwischen dengegebenen Functionen bestehen, DieCoef ficienten P(m) undP,(m) kénnen aber auch firkeinen derWerthe (2.) zugleichverschwinden. Setztmanniimlichsate)=4,,,(m),woraus o(m) =f,(m)4o,1(m) +fam) 43(m) ++ (HU o(m+1)=film +1)Soa(m)+fal +0)Soa(m) +--+ folgt, s0ergiebt sich unter derVoraussetzung P(m) —0undP,(m) =0 ausdenGleichungen (2.), dafs entweder simmtliche Coefficienten der Gleichung (1.), oder simmtliche Gréfsen 4,,,(m) verschwinden. Das Erstere istgleich imAnfange auegeschlossen’ worden; wire dasAndere dorFall, 00hitte man auch 4,(m)—0, 4,(m-+1)—0, woraus der Voraussetzung zuwider dieLinearabhingigkeit der gegebenen Func- tionen firdieWerthe vonm,m+1,...m-+4n folgt Bezeichnet man demnach durch m’diebesonderen Werthe vonm, fiirwelche einer der Coefficienten P(m) und P,(m), oder beide 2u- gleich verschwinden, sohatman folgende Regeln: 1)Gegebene nFunctionen, welche derGleichung (1.) fireinen derWerthe m’genigen, kénnen nicht linesrunabhiingig sein. 2)Will man dieGleichung (1.)durch mlinearunabhingige Func- tionen integriren,' soist dazu erforderlich, dale fir Keinen der Werthe m’jede dieser Fonctionen derGleichung (I.)Gendge liste. 8)Hat man umgekehrt nlinearunabhingige Functionen, welche der Gleichung (1.) inbestimmten Intervallen gentigen, sokann ee unter den Werthen m’keinen geben, firwelchen simmtliche Func- tionen derGleichung (1.)genigen. 4)Stellt man beiderIntegration derGleichung (1.)dieBedingung, dafs dasgesuchte Integral jener Gleichung auch noch flreinen der Werthe m’gentige, 20giebt esKeine n,sondern hichstens m—1linear unabhingige Functionen, welche diesen Bedingungen gengen, und ihre Anzahl kann durch weitere Bedingungen auch noch weiter reducirt werden. ‘Aus diesen Satzen folgt, date beiderIntegration derGleichung (1.) dieerste Aufgabe darin besteht, diebesonderen Werthe m’2uermitteln. Dadurch zerfiillt dieReihe derWerthe von minIntervalle, zwischen denen dieWerthe m’eingeschaltet sind; injedem einzelnen Intervall mule dieIntegration besonders vorgenommen werden. ILL.Ueb. d.lineare Abbiingigkeit v.Functionen einer einzigen Veriinderlichen. 99 Hieran scbliefst sich derbekannte Satz, dafs dieGleichung (1.) niemehr alsmlinesrunabhingige Integrale haben kann. Denn ge- niigen dieFunctionen f,f,,...f, jener Gleichung flrdieWerthe (s.) 10folgt 4(m)—=0, woraus sich weiter ergiebt, dafs diese Functionen flrdieWerthe (b.)linearabhingig sind. Bilden dieWerthe (a)eines dereben beschriebenen Intervalle, und sind indemselben die Func- tionenf,,fyy---f, linearunabhiingig, 80sind4,(m,), 4o(my+1),... 4q(m,+p-+ 1)vonNull verschieden, undesbesteht fiirdieWerthe (b.) eine einzige lineare Relation: Afl(o) +Ayfi(om) ++ +Afa(on) =0, inwelcher AvonNnil verschieden sein mufs. Denn, wire A—0, so mfifsten wegen der Linearunabhingigkeit von f,,f,,...f, auch die ‘ibrigen Coefficienten A,,4,,....4, verschwinden. Esbesteht also firsiimmtliche Werthe (b.)eine einzige Relation von derForm; fom)=af,(08)+ayfy(om)+--+a,Fa(m)- Geniigen dieFunctionen f,f,,...f, derGleichung (1) inmehreren aufeinanderfolgenden Intervallen, indenen f,,f,,.-. f,linearunabhingig sind, sokann flreinen beliebigen derzwischen jenen Intervallen ein- geschalteten Werthe m’wenigstens eine derletzteren Functionen der Gleichung (1.)nicht Gentige leisten, also4(m’) nicht gleich Null sein. Sind daher zwischen zwei dieser Intervalle noder weniger Werthe m’ eingeschaltet, somule dieindem einen stattfindende lineare Relation ‘von derimandern bestehenden ginzlich verschieden sein (§.2.3). . 4. Die noch rickstindige Untersuchung von Funetionen, welche von einer stetigen Verinderlichen abhingen, erledigt sich aus dem Voran- gehenden mittelst deridentischen Gleichung: Q)LEMMA (m+)... flmtn) =ZMm)Dh(m)-.. Ahlm), inwelcher nach dergewdhnlichen Bezeichnung vonDifferenzen: Afm=flm-+i)if(m+1+OPfm$12) +(YFlm) ist. Dieselbe wird einfach dadurch bewiesen, dafs man aufderrechten Seite frdieDifferenzen ihre Entwicklungen setzt, und dann durch Ad- dition von Verticalreihen reducirt. Aus (1.)ergiebt sich: (2) 4,(m)=Pe . ” 100ULUeb.a.lineareAbhogigkeitv.Funetionensinereinsigen Varkndelichen, Nun wird anden frthern Betrachtungen garnichts geindert, wenn man dberall statt derArgumente m,m-+q dereinzelnen Functionen dasselbe Vielfache derselben me,(m+)e einflbrt, also auch nicht, wenn man mé—z, ¢—/z setzt. Dann ist: Alms) =o2.0(2), giles 7ZHORO--. 1)=BO), 4u(ma) BE(z)pedro 72fua)7Be@s usw. Dies festgestellt, hatman folgende Sitze: 1)Verschwindet E(z) fiiralleWerthe von x=2, bis =x,,wo 2,<~%, ist,sosind dieFunctionen f(z), f,(z),-..f,(2) frdiese ném- lichen Werthe von zlinearabhingig. Isty(z)—0 eine derlinearen Relationen, welchefdrz=,undkleinere Werthe vonzstattfinden, and construirt man dieCurve y= (z) fir alle Werthe von z,die gréfser alsx,sind, sohatdiese Curve firz=2,mitderAbscissenaxe einen Contact von dern*®Ordnung. 2)Sind zwei Intervalle, indenen E(z)verschwindet, durch Werthe vonxgetrennt, flrwelche E(z) vonNull verschieden ist,80wird die Linearabbiingigkeit dergegebenen Functionen inbeiden Intervallen im Allgemeinen durch verschiedene Relationen ausgedriickt. 8)Damit gegebene n+1Functionen f(z), f,(z),...f,(2) furalle Werthe von zlinearunabhingig sind, isteserforderlich und hin- reichend, dafs ihre Determinante E(z) firalle Werthe vonzvonNull verschieden ist. Nennt man ferner einIntervall, inwelchem mindestens eine der Gréfsen E,(z) vonNull verschieden ist,einIntervall derersten Art, dagegen einsolches, inwelchem simmtliche E,(z) verschwinden, eines von der 2weiten Art, wihrend E(z)—=0 vorausgesetzt wird, sohat man weiter: 4)Sind zwei Intervalle derersten Artdurch eines vonderzweiten Artgeschieden, 80istdielineare Relation, welche indem einen statt- findet, nicht nothwendig auch imandern giltig. 5)IsteinIntervall dererstenArt,welches sichvonz—2,bis =, incl, ausdehnt, durch zwei andere vonderzweiten Artbegrenzt, #0findet inihm eine einzige lineare Relation g(z)—0 statt. Con- struirt man dieCurve y=g(x) fiirdieWerthe <2, undz>z,, 80 hatdererste Zweig firz=7,mitderAbscissenaxe einen Contact von derersten, derandere flrz=z,einen von dern*Ordnung. Nur ULUob.aKineareAbbAngighsit v.Punctionen einereinaigenVerhinderlichen. 101 inbesonderen Fillen kann indiesen Punkten der Contact auf eine hhere Ordnung steigen. Tehwende mich zurUntersuchung derDifferentialgleichung: 3) AG@)FM (2)+A@F*-@) +--+ 4,@L@ =0, und betrachte statt derselben zuniichst dieGleichung: (4)A(me)PE" 4A,(me)PEO 4...+A(medflme) =0, welche durch die Substitution: Ame [P,+(81) BaytOID Bytes n(n—1)... (m—s+1)+e 2] oder: Pome —ott) BetCOPE a Fe die Form: P(me)f((m +ne) +P,(me)f((m +m—1)e) +--+ +P,(me)f(me) =0 annimmt, Esli(st sich daber alles, was imvorigen Paragraph fest-gestelltwarde,auchaufvorstehende Gleichung (4.)tbertragen, ‘welches auch derWerth vonssei, also auch dann, wenn ¢unter einer be- liebigen Grenze liegt. Bezeichnet man daher durch m’die Werthe von m,fur welche beieinem bestimmten, unter einer gegebenen Grenze liegenden «eine der Gréfsen Poms) =4%, P,(me)=(—1)"{402—4)5Aw_ oder beide zusammen imVergleich zuallen dbrigen Grifsen P,ver- schwinden, so‘sieht man augenblicklich, dafs, wenn jene Grenze immer Kleiner genommen wird, diese Werthe sich aufdiejenigen reduciren, filrwelche P(mé) verschwindet. Macht man nun dieerlaubte Voraussetzung, dals eskeinen end- lichen Werth von xgiebt, firwelchen alle Coefficienten A,(z) ver- schwinden, oder flrdeneinen oder mehrere derselben dieGrenzen des Endlichen dbersteigen, und bezeichnet durch 2’diejenigen Werthe von z,fiirwelche A(z) verschwindet, soerbilt man folgende Re- ‘sultate: 102IILUeba.ineareAbbtogigkeitv. FnctioneneinercinigenVerinderichen. 1)Gegebene »Functionen, welche derGleichung (8.) flreinen derWorthe 2’genfgen, kénnen nicht Linearunabbingig sein. 2)Will man dieGleichung (3.)durch »linearunabhingige Fune- tionen integriren, #0iatdazu erforderlich, dafs frkeinen derWerthe 2° jede dieser Functionen derGleichung (3.)gentige. 3)Hat man umgekebrt »linearunabbingige Functionen, welche derGleichung (3,)inbestimmten Intervallen geniigen, sokann esunter den Werthen 2’keinen geben, flrden jede dieser Functionen der Gleichung (8)gentgt. 4)Stellt man beiderIntegration von (8)dieBedingung, dafs dasgosuchto Integral jener Gleichung auch noch ftreinen derWerthe 2° gendge, 20giebt oskeine nm,sondern hichatens n—1linearanabbingige Functionen, welche jenen Bedingungen gentigen, und ihre Anzahl kann durch weitere Bedingungen such noch weiter reducirt werden. Hat man nFunctionen f,,fy,..fy welche derin2)aufgestelltenBedingung genligen,eoerbiltmandurchElimination vonA,,4,,...dy ausdenGleichungen: AAO) +A@ACH@) +--+ 4,@AG@) 0 A@LO@ +AOA) +--+ 4.@F@) =0 diefolgende: A(z)BO+Ay(2)By(e)=0. Deinderganzen Ausdehnung dieser Gleichung A(z) vonNull ver- schiodon ist,sohatmanentweder E,(2)—0,alsoauch4°—0,oder: OB A Ras+27% woraus:°mm ) Be t8 folgt. Dierechte Seite dieser Gleichung enthilt eine durch dieInte- gration cingefthrte Constante, welche dadurch bestimmt werden mufs, dafs man flr 2einen besondern Werth einsetzt. Dabei entacheidet sich zugleich die"Frage, obEygleich Null oder vonNall verschieden ist,dh. objene Integrale linearabbingig oder linearunabhiingig sind. Dieobigen vier Sitze bedirfen einer Brliuterung, welche ichfur dendritten und vierten Satz anzwei cinfachen Beispiclen geben will. Die Gleichung (2"—1)f” +22f’—2/—0 hat dieIntegrale /,~ 2, frmzig?! —2,wihrend 2’=+1istDieseIntograle sindlinoar- ILUeb,a,lineareAbhAngigkeit v,Functionen einereinsigenVerknderlichen. 103 unabhiingig, alsodarfeinesderselben frz——1,undeinesflrz—1 dorDifferentialgleichung nicht gengen. Dies istinderThat mit/, derFall, daf,inderNahe jener Werthe aufhért derVorauseetzung 1mentsprechen, dale seine Aenderung derAenderung von«proportional sei,also vonderHerstellung derDifferentialquotienten f”undf”fr jene Werthe keine Rede sein kann. —Untersucht man dieWirme- bewegung ineiner Vollkugel nach derFourier’achen Theorie fir den Fall, wodieTemperatar unurvon derZeit ¢und dem ausdem Centrum’ genommenen Radiusvector xabhiingt, sohat man firalle du_at 0 (du ne wi PunktederKugelohneAusnahme 3°—$52(z#2%).Ist«einewill- irliche Constante, sokann man einparticulares Integral finden, wenn mannochdieGleichung 3%——owhinzunimmt, Dannerbiltman: und esisteinsolches Integral ausuchen, welches dieser Gleichung fir den Punkt r=0gentigt. DieseGleichung hatdieIntegrale: in#2 coe? haa haat vondenen dasLetztore zuverwerfen ist,weil esderGleichung nicht flr =0gentigt. ‘Aus art3Ubertragen wirnoch folgende Sitze. Hat man n+ 1 Funetionen f;f,,...f,y welchederGleichung (3.)fralleWerthevonz— 2,bisz=, genlgen, 00sind diceelben firdienimlichen Werthe von2linearabhiingig. Sind dieFunctionen f,,f,,-.. f,injenem Intervall linearunabhingig, #0besteht indemselben eine einzige Relation von der Form: Te)=of,2)+af(2)+--+ of,(2)- Gentigen diese nimlichen Functionen der@leichung (3.)inzwei auf- einanderfolgenden Intervallen, zwischen denen einWerth 2’liegt, fr den A(z), A'(z),... A(z) verschwinden, und ist»Zn,80mula die indem einen Intervall stattfindende lineare Relation von der imandern bestehenden ginzlich verschieden sein. 5. Esisthier amOrte, einige Kigenschaften derimVorhergehenden betrachteten Determinanten anzuschliefsen. Es ist: EtVO-V,D V0,"..V,U0 =VV...VEU0"... 0.9, 104ILUeb,dielineareAbbAngigket v.Functionen einereinsigenVertnderlichen. undwenn man UW), —U,#)=40,0),AU,—4,0)=40,0ete. setzt: EE UAV'SU"... FU =E400; Y,"...0f, cine Formel, welche man aufdieselbe Art, wie dieGleichung (1.) art.4boweist. Die Verbindung dieser Gleichungen giebt: a) ELVU-A(VU): 300")... a0) AVV,V,...V,2 4UAVAU"...0. SetatmanindieserV=tp,Vi—aNena #0fogs EEUAV'SU"... £U” Ty (2 ue=00,0,...U,544(G)a(F).-4 (FF). Wiederholt man diese Operation und sotzt: me ee ums4(y)- ure,4(ine)=OM, 4(gis)=UM,ete, voergiebt sich schliofslich: @) 24 UAU'AU"....3°UM DU Uy D028 038,UE UdyoP AAU, wodurch dieDeterminante zurLinken alsdasProdukt von"+1."+# Factorendargestelit ist.SetstmanUi")—f,(me+ 1s),V,—o(ms+ pe), me—zund6=22,soerhalt manaus(1),wenn mandurch 62?***? dividirt und 2urGrenze dbergeht: Bh Boh. Bl garizrg 2h2. OMe Bezeichnet manfornerdieGrenzevon'2””durchf,,,,80dafsmanbet: a(fe 2(he 8(fon tasaaP)> foamdefn)» feazel(pa)> le» 0folgt aus (2.): 4fhOMe peripmapact «) SAG lemPOfhi syaalan> DieGleichungen (3.)und (4.)sind auerst von Hern Hesse im54" Bande dieses Journals pag. 249, 250 veréifentlicht worden*) *)Die indiesen beiden Gleichuogen enthaltonen Ergebniase waren bereits vorInger alseinem Jabr vonHerm Christoffel gefunden und derRedaction dieses Journals mitgetheilt worden. Nur dem Umstande, dafe derHerr Verfasser dieser Arbeit einige Aenderangen indereelben vorsunehmen winschte, itex2a rurchreiben, dafe dienfmlichen Ergebnisee, welche Herr Hesse indorcitirten Abhandlang erhalten hat, von diesem friher verdffentlicht worden sind. B. IIL,Ueb. d.lineare Abbiingigkeit v.Functionen einer einzigen Veriinderlichen. 105 Zur Transformstion der Veriinderlichen indiesen Determinanten hat man die Formel: BhOhahe‘atyeene) Of,Oh|Oty ©) Barat GG) Pal GdGe welche sich sehr leicht beweisen Jafst, indem man firdieDerivirten nach 2die nach ¢mittelst der Formel: PLPT(a,|mot aSamGee(ge)FUGet+Fie einflhrt, und dann durch Addition von Verticalreihen reducirt. ‘Setzt man: ARO |Ate a4 a4, ZAbetel FE BfIeGer sohat man folgendes System von Gleichungen, dessen Beweis ich tbergehe: Z44,4/4,"...4,0 =a" 24 ody"... AEP =(“Wah 2444/4"... OP=(aes E 6) J244.4' 4"... dP=(Ia zsther Oh , f,Omfe LtAA!—(-1"-" 44h,ofoe4 em oh fy a4 -Cymesnh... Oe. Diese Gleichungen sind von Wichtigkeit fir dieUntersuchung solcher linearer homogener Differentialausdricke, welche nach derBe- mennung desHerrn Hesse zueinander complementar sind. Soenthilt 2.B.dievorletzte derselben dievollstiindige Integration einer linearen Differentialgleichung ohne zweiten Theil, frdenFall, dafsdasIntegral ihrer Complementargleichung bekannt ist. Montjoie, 1857. Anmerkung. Zndervorstehenden Abhandiang enthielt dasindorVorrede erwihnte Hand- exemplar Christofels einen Nachtrag, derauf§.108—110 sum ersten Male ab- gedruckt wird. Fr 106IILUsb.d,lineareAbbingigkeit v,Functionon einercinzigenVerknderlichen. Zusats xndervorstehenden Abhandlung aber dieLineare AbhAngigkeit von Funktionen einer einzigen Verinderlichen. (Aus dem Nachlafs Christoffels,) Durch eine gitige Mittheilung desHerm Prof. Kummer wurde ichaufeinen inderAnwendung derLehre vonderLinearabhingigkeit vorkommenden Fall sufmerksam gemacht, welcher sich mittelst derin obigen artt. gegebenen Regeln nicht erledigen list, nimlich denFall, woeine Function sobeschaffen ist,dale sieeiner gogebenen Differenzen- oder Differenzialgleichung nur innerhalb eines bestimmten Intervalls genigt. Dieinart.3.angestellte Untersuchung istnimlich nur 0 weit gefthrt worden, dale sich einSchlufa aufdasVerhalten solcher nFunktionen ziehen liefs, welche derGleichung 1.inallen p.98be- zeichneten Intervallen genigen. Esistdaher auch woeentliche Be- dingang 2uden durch 1)2)3)4)bezeichneten Sitzon, dafs dieFune- tionen f,,fy,--+f,derGleichung1.inmehralseinemIntervallgo- niigen, d.h. dale dieinFrage kommenden Werte m’zwischen Inter- vallen liegen, indenen derGleichung 1.durch jene Functionen Gendge geschicht, Dieansloge Bedingung giltflrdieSitze desart.4 ‘Um den obigen Fall 2ubehandeln, zorloge ichnach Anleitung vonpag. 98dieReihe derWerthe minIntervalle, zwischen denen die Werthe m’eingeschaltet sind, und seidieReihe a.einsolches Inter- vall; dann istalso sowobl firm—my—1, alsflrm=m,+p+1 eine derFunctionen P(m) und P,(m) oder essind beide gleich Null. Man befindet sich demnach indem pag. 97erdrterten Falle; dieunter den dortigen Voraussetzungen bestimmten Functionen sind firdie Werthe b.linearunabhingig. Handelt essich nun darum, dieWerthodioserFunctionen firm=mp—1undm—m+p+1 60mbestimmen, dafs derGleichung 1.Genge geechieht, sosind folgende Fille zuunterscheiden. A. 1)P(m—1)=0, P(mg—1)S0. Da4(m) vonNull ver- echieden ist,#0folgt aus3.4,(m,— 1)=oo,was unzulissigist,Eskannalsomindestens einederFanctionen f,,fy,---f,nicht biszudem Werthe m= m,—1 fortgesetzt werden. 2)P,(my—1)=0, P(my—1)—0. Aus2.folgt,dals4),,(my—1)—0firw=1,2,...m, also4y(m,)—0,wasnichtderFallist.Also haben wirdasselbe Resultat wiein1). 3)P,(m,—1)S0, P(m,—1)—0. Aus3.ergiebtsich4,(m,—1)—0;folglichsinddieFunctionen f,,fy,...f,linearabhingig flrm=my—1, mg...mgm —2. IL,Usb. d.lineare Abbtngigksit v.Functionen einer einzigen Verinderlichen. 107 B.1)P(m+pt+1)—0, Py(myt+p+1)S0. Unter dieser Vor- aussetzung wird 4,(m,+ p+ 2)— co,also kann zum wenig- sten eine der Functionen f,fy,-..f,nichtbiszumWerthe m— m+ pt+n+1fortgesetztwerden. 2)P(m+p+1)=—0, Pym tp+1)—0. Hierans folgt Ap,+p+1)=0firw=1,2,...m, alsoauch Ay(tny +p+1) =O, was nicht derFall ist,also giltwieder dasvorige Resultat. 3)P(m)+p+1)SO,P,(my+p +1)—0liefertdieGleichungA,(mm,+ p+2)—=0; dieFunctionen f,,fy...f,kénnenda- herbiszumWerthem=m+p+1fortgesetztwerden,sind aberfirdieWerthem=m,+p+2, my+p+3,...mytp+n+1linearabhiingig. Sollen demnach alleFunctionen f,,fz,... f,bis2obigen Wer- then mittelst derGleichung 1.fortgesetzt werden, soistdies nur in den Fallen A.3)und B.3)méglich, und osstellt sich dieThataache heraus, dafs dienFunetionen flrdienextremen Werthe desumdie Werthe m’—m,—1 und m’=m,+p-+n-+1 vermehrten Intervalle ihre Linearunabhingigkeit nicht bewahren. Um alle Fille zuerledigen, welche sich beider Fortectaung obiger Fonetionen mittelst derGleichung 1.darbieten kénnon, wenn dieselbe Oberhaupt méglich ist,gehe ichzurBetrachtung derWerthe m=m—2, m=m+p+2 Aber. Es sind dabei folgende Falle miglich. A.8)@)P,(m,—2) $0,P(m,— 2)$0. Aus3.folgt 4,(1my—2)—0, dieFunctionen kénnen also fortgesetzt werden, bleiben aber linearabhiingig. A)P,(m—2)=0, P(m—2)S0. Aus 2folgt, daBdie Werthe derFunetionen f;,f,,...f, frm =m,—2 willkar- lich sind; esistalso gestattet, diese Werthe eoauszuwahlen, dafs die FunctionenfurdieWerthem—2,my—1,...mig-+n—3 lincarunabhingig werden; jedenfalls wird aber die weitere Fortsetoung derselben von ihrem friiheren Verlauf unab- hiingig, indem zuderselben dieAngabe derzum—m,—2 gehdrigen Functionalwerthe erforderlich ist. 7”)P,(m,—2)S0, P(m,—2)—0; ans3.orgiebt sich Ay(1my— 2)=0,wieina). 4)P,(0mg—2)—=0, P(my—2) =05aus2.folgt4y,,(my—2) —=0 firw=1,2,...m, also istwiein@)und7)4,(m,—2)—0. 108 Ul.Ueb. dLineare Abbiingigkeit v.Functionen einer einzigen Verinderlichen. B.8)a)P(myt+p+2)S0, P,(me+p+2)S0giedtA4(m,+p+2)—0; dieFunctionen kénnen also zum Werthe m=m+ p+n+2 fortgesetzt werden, indem siodabei linearabhiingig bleiben. B)Ploy+p+2)—0, P,(m+p-+2)S0; dieWerthederFunetionen f,,fy,.--f, bleiben firm— m,+p+n+2 willktirlich; siekénnen also sogewihlt werden, daB die Functionen firm—m+ p+3, mytp+4,...mytp+nt+2 linearunabhingig werden; jedenfalls wird aber dieweitere Fortsctaung derselben von ihrem friheren Verlnufe unab- hbingig, indem auderselben diedurch dieGleichung 1.nicht vermittelte Angabe derzum= m,+p-+n+2 gehorigen Functionalwerthe erforderlich ist. 2)Pim +p +2)S0, Py(m+p+2) 0giebt wie in«) Ai(m+P+2)—0. 4)Pim +p+2)=0, P(m+p+2)—0 giedt aus 2.fur #=1,2,...m 4y,,(mo+p +2)=O, alsowiein«)und) Ao(my+p+2)=0. Daraus ergiebt sich nun folgender Satz: Gontgen mlinearunabhingige Funetionen f,,fy,---f, der Gleichung 1.ineinem bestimmten Intervalle a,welcher unten und oben durch dieWerthe m'=m,—1 und m'=m,+p+1 begrenzt ist, sokénnen nur dann alle Functionen mittelst der Gleichung 1.Wher das Intervall b.fortgesetst werden, wenn P,(— 1)undP(m,-+p +1) vonNull verschieden ist;istdies aber derFall, 0istauch dieweitere Fortsetzung derFunctionen ulisssig und richtet sich nach folgenden Gesetzen. Istunter den Zablen m—m,—2, m—3...mj—q die Zahl_m,—q die cinzige, welche der Bedingung (A.3)A) P,(m)=0P(m)$0geniigt,sosinddieFunctionen f,,fy,---f frdieWerthe m—q +1, m—q+2...my-+n—2 linearab- hingig. ZurBestimmung derfirm—m,—q unddariber hinaus stattfindenden Functionalwerthe reicht dieAngabe derWerthe, welche dieFunctionen firm=m, my+1,...my+n—1 haben, nicht mehr aus, sondern esmilssen mindestens diezum= m,—@ ge- horigen Werthe derselben unmittelbar gegeben werden; dies kann aber sogeschehen, dafs dieFunctionen von m,—q-+n—1 ab- wiirts linearanabhiingig werden, dawegen derwillkirlichen Func- tionalwerthe, welche beim,—q stattfinden, beliebig viele solche Fortsetzungen erhalten werden kénnen. Istunter denZahlen m—m+p+2, my+pt3,...m+p+r+2 dieZabl m,-+p-+r +2dieeinsige, welche derBedingung (B.3) 6)) Ill,Ueb. d.lineare AbbAngigkeit v.Functionen einer einsigen Verinderlichen. 109 P(m) =0,P,(m) $0gentgt, s0sinddieFunetionen f,,fy,---f. fardieWerthemy+p+2,m+p+3,...m+p+rt+n41linearabhiingig. Zur Bestimmung der flr m=—m,+p+r+2 und dardber hinaus stattfindenden Functionalwertbe reicht die An- gabeder Werthe,welchedieFunctionon firm=m1,..my-+n—1haben, nicht mehr aus, sondern esmilssen mindestens die zu m—m,+p+1r+2 gehdrigen Werthe derselben unmittelbar ge- geben werden; dies kann aber eogescheben, dafs dieFunctionen vonm,+p+r+3 aufwirts linearunabbingig werden. Jedenfalls kénnen aber dieWerthe, welche man hierdurch frdieFunctionen farfer«+>fyYOmy+p+r+2 anerhiilt,nichtmehralsdioFortsetzung des friheren Verlaufs dieser Functionen betrachtet werden, dawegen derbeim+ p+ r+2stattfindenden willktr- lichen Functionalwerthe beliebig viele solcher Fortsetzungen er- halten werden kénnen. ‘Was nundenUbergang vondiesen Betrachtungen zudenen des art.4betrifft, soistdartber folgendes zubemerken. Genigen nlinear- unabhingige Functionen f,,fy,...f,derDifferenzialgleichung 3.far alle zwischen x,’und z,'liegenden Werthe von 2,wihrend z,’undz,' den Coeffizienten A(z) zum Verschwinden bringen, sokann essich ereignen, dafs siederGleichung auch noch fureinen dieser Werthe oder fOrbeide gentgen; jedenfalls hatman dann firdiesen extremen ‘Werth vonzdieGleichung a,f,0)+a,fy)+----+a,f,0—=0,pm1,2,..00. Aber dieBedingungen flrdasEintreten dieses Falles Inssen sich nur auseiner genaueren Untersuchung derGleichungen (pag. 101) P(me)=0, P,(ms)=0 unter Anwendung obiger Sitze herleiten und sind der allgemeinen Untersuchung nicht zuginglich. Iv. Zur Abhandlung von Heine: ,,Ueber Zahler und Nenner der Naherungswerthe von Kettenbrachen" im57.Band desJournals fordiereine und angewandte Mathematik. . (Journal fardiereine und angewandte Mathematik, Bd.68,1861, 8.90-92) Herr Heine hatim§7dergenannten Abhandlung dieZabler und Nenner derNiherungswerthe desKettenbruchs fiir Flier typ)ie) Fedusaa k=coF(bhnB) gefunden, und zwar erfordert derdort cingeschlagone Wog diege- sonderte Bestimmung derbeiden aufeinander folgenden Zihler P,,, Pinys und derenteprechenden Nenner Qa; Qinyi- Esdlirfia von einigem Interesse sein, dap diese vier Functionen siimmilich ineiner einzigen Form enthalten sind. Bestimmt man nimlich zwei Reihen von Functionen Vund W durch dieGleichungen Konl, Narth Wat) tsWet) Vte%,(2) Vngs=(7++3)Vintat2¥mgaWorry Wimtl)Wote, Wi(9+2)Wi+2. Wasa (7+m+2)WagsttWay 80ist Vmt [°RoR e Wn=_ -1,7+2,J, ETE 2wrth y+ y+m. 7m rithinJderm+1*Niherungewerth desKettenbruchs fir*.Folg- lichkinnen yV,,undW,,vonP,undQ,nurdurch einundden- selben constanten Factor verschieden sein, IV.Usber Zihler und Nenner der Nuberangswerte von Kettenbriichen. 111 Vergleicht man in(2.) dietber einander stehenden Gleichungen, 80zeigt sich sofort, daB, wenn (3) Va 9(2,¥+1,m) gesetat wird, mugleich @) Wan9(z,%,m+1) sein muB; damit istdieoben aufgestellte Behauptung erwiesen. Es ergiebt sich rytm—9 (6)9(%Hm)=Z(m—9),Re wosdieWerthe0,1,2,...biszurgréfstenin$menthaltenen ganzen Zahl inclusive durchliuft, und statt desQuotienten der beiden I’die enteprechende Facultét zusetzen ist, Mittelst dieser Bezsichnung wird nun CFNG+)G+2M—-D Pq=9(G7+1,2m—1), 6) @HYNG+2)-G+2m) Pray=(G7+1,2m), “)e@tD@+2)G+2m—-1) Qe=9%7,2m), PEAY G+2)-G+2m) Ong=9%H%2m-+1). Der Werth von wlifat sich steta insusgefthrter Form angeben, 80oft7dieHalfte einer positiven und ungeraden Zahl ist, Fur y=} findet man denselben inderAbhandlung desHerm Heine; ist q@ y=42n+3), 0=0,1,2,..., so setze man (8) z=ty, und yee ayotte! @)Waser Bote oder inanderer Form ay, Gy ay? aeetait tree 410)Aaysee : 2y,@y)* ey"get tettreeaysoF dann wird a6 ke OOtedBaeelee und nach dem Friheren isthiervon derm+ 1*Naherungeworth 112. 1V, Usber Ztbler und Nenner der Ntherungewerte von Kettenbrchen. Ya_94Gn+8, m) az)Wa g@dQn43,m-+i)? welcher sich auch indiezu(11.) ganz ansloge Form Bngnt2Mart—UnsarsBast .BasnssUe—UnsngBy Dringen TaBt Die Functionen @scheinen oueiner gréfeeren Rolle bestimmt 2u sein, alssich ausihrer Bezicbung zurhypergeometrischen Reihe ver- muthen lafst, Siestehen niimlich mitdenIntegralen derRiccatischen Gleichung ineinem sogenauen Zusammenhange, daman fastinallen Untersuchungen aufsiegefthrt wird, welche einniheres Eingehen auf dioNatur dieser Intograle erfordern. Berlin, imMire 1860, Vv. Uber dieDispersion desLicht (Monataberichte der Kgl. preuss. Akademie der Wissenschaften zuBerlin 1861, 8,906-981 und 997999; wieder abgedruckt inAnnalen derPhysik und Chemie Ba.117, 1862, 8.9745) Seit denUntersuchungen Cauchy's tber dieDispersion desLichts hatman sich vielfach mitdiesem Problem beschiftigt, theils umnach- zuweisen, dafs dieResultate desMémoire surladispersion, inFolge der ihnen 2uGrunde gelegten Voraussetzungen von der Dispersion keine Rechenschaft. zugeben vermégen, theils umdieselben von andern Gesichtspunkten ausneuzubegriinden oder durch andere snersetzen. Der hauptsiichlichste Einwurf, den man gegen Cauchy’s Theorie er- heben kann, bezicht sich darauf, dale inderselben eine gentgende Er- Srterung desjenigen Punktes vermilat wird, ufden esvorallem an- kommt, nimlich der Frage, obdieConstanten, vermige deren die Wollenlinge inden Ausdruck fiirdieFortpflanzungegoschwindigkeit eingeht, auch solcher Werthe fihig sind, dafs dadurch eine wahrnehm- bare Abhiingigkeit zwischen jenen Gréfsen begrindet wird; derselbe trifft indiesem Sinne auch alle spiiter Uber diesen Gegenstand ver- ‘Sffentlichten Arbeiten. Diegenauere Untersuchung dieser Frage, welche sich inahnlicher Form auch beiandern Problemen derMolekulartheorie wiederholt, hat gezeigt, dafs dieVoraussetzungen der§§1.2.3.desMém. s.1.disp, aufgebithrende Grenzen eingeschrinkt, dieDispersion desLichtes in isotropen Mittoin, mitAusschlufs bestimmter Grenzfille, vollstindig er- Kliren, und zwar durch eine Formel, welche alle bisher aufgestellten ‘anEinfachheit wesentlich dbertrifft. Nennt man nimlich die Wellen- linge eines Strahls imdispersionsfreien Raume und seinen Brechungs- index fardenObergang ineinanderes isotropes Mittel dieElemente dieses Strabls, sobesteht dievon mir gefundene Dispersionsformel in einer Relation zwischen denElementen zweier Strahlen, von denen der eine willktilich, derandere phyeikalisch definirt undfurdieNatur der RMObristottel, GesammalisAMBandlengn. 1 8 14 V.Uber dieDispersion desLichta. brechenden Substanz charakteristisch ist;wihrend dieAnniherungs- formeln von Cauchy, Baden-Powell, Broch und Redtenbacber ihrer Natur nach alsRelationen zwischen den Elementen von drei, die letztere vonvier willktrlichen Strahlen sufgefafst werden missen, Dat Mémoire s.L.disp, anwolches hier angeknOpft wird, handelt von den kleinen Schwingungen, welche ein sich selbst Uberlassenes System materieller Punkte umeine stabile Gleichgewichtslage heram ausfuhrt, Inderletztern sind diePunkto retikular geordnet; ihre Ent- fornungen von einander halten sich sowohl vor, alswahrend der Be- ‘wegung ber einer endlichen, wenn auch sehr kleinen Grenze gyNennt man m,m’diealseinander gleich voransgesetzten Massen zweier Punkte, rrihre gegenseitige Entfernung, sowirkt 2wischen ihnen dieAnzichung mm'f(#), welche nebst ihrer ersten Derivirten mm'f“(r) dieEigenschaft hat, wahrend rvon ¢»bisaueinem ander endlichen, jedoch sehr Kleinen Werthe @wiichst, nieunendlich oder unstetig zuwerden, und firgréfsere Werthe vonrzuverechwinden. Diese Entfernung @wird derRadius derWirkungssphire genannt, Hierm wird diecinschrinkende Bedingung gefligt, dafs dievon verschiedenen lokalen Stérungen desGleichgewichts herrihrenden Er- schiltterungen sich iberall, wosieeinander begegnen, ohne merkbare gegenseitige Stérung superponiren. Reduzirt man dem entsprechend diebeschleunigenden Krifte aufihre linearen Theile, #0findet sich, date dies nur solange geschehen kann, alsdieurspriingliche gegenseitige Lage vonPunkten, diemitmefsbarer Stirke aufcinander wirken, nur sehrweniggeindertist.BeiWellenbewegungen lassensichzweiGrenz-fille nachweisen, indenen diese Bedingung nicht erfullt ist;man ge- Iangt zudenselben, beiconstanter Wellenlinge durch Vergrofserung derAmplitude, und beiconstanter Amplitude durch Verringerang der Wellenlinge. DieGesetze, nach denen dieBewegung indiesen Fallen vorlioft, kénnen sich demnach ausderUntersuchung dersuperponir- aren kleinen Schwingungen nicht ergeben, dasiebeidereelben von vornherein ausgeschlossen sind. Dies vorausgeschickt, findet Cauchy folgendes Resultat Istdas oben bezeichnete System isotrop, sobesteht zwischen derSchwingungs- dauert=2*ebenerWellon,indenendieSchwingungen transverval sind,undihrerWellenliingo 1=**eineRelation vonderForm: 1 stm al +al +iE+5 hiersinda,,,,a,,---constante Grdfsen, welchevonderEinwirkung '¥.Ober dieDispersion desLichts, 15 abbiingen, dieirgend cinPunkt OdesSystems wahrend desGleich- gewichts vonSeiten derObrigen, inseiner Wirkungesphire befindlichen Punkte erfihrt; istmeiner derletstern, und rseine Entfernung von 0, #0hatman (§9.) cy 1p2 OeaHAtapoB A=Limp), B=Lmef'nh)—fr). DioFortpfanzungsgeschwindigkeit dieserWellen ist1—+,folg- lich, 80lange nicht alleConstanten a,,a, ---verschwinden, furWellen von verschiedener Linge verschieden. Denkt man sich jetzt zwei isotrope Medien 4undm,welche sich lings einer Ebene Eberthren, und von denen daserstere anfeerdem dieHigenschaft hat, Wellen vonjeder Linge mit dernimlichen Go- schwindigkeit fortzupflanzen, #0besteht dieAufgabe derDispersions- theorie darin, denBrechungsindex nfOrdenUbergang eines Wellen- systems aus 4nach malsFunktion derjenigen Gréfsen darzustellen, durch welche dieBewegung dieser Wellen in»bestimmt wird. Bezeichnet man dieWerthe, welche dieoben eingefihrten Grofsen inwannehmen, durch dieentsprechenden griechischen Buchstabeu, 80 hatmano*—a,23,6—°",x—3%.DafernerdieaufdieEbeneE beziiglichen Bedingungen inlinearen Gleichungen zwischen einer end- lichen Anzahl von rechts und links dieser Ebene stattfindenden Ver- riickungen und Beschleunigungen bestehen, soerhilt man die be kannten Relationen 2=nl,r=, Hieraus ergiebt sich¢—s,k="=", xa, alsofindetzwischen nund2dieGleichung Ce statt, aus welcher nzubestimmen ist. ZademEndenimmtCauchyan,dafsdieQuotientenraFaywee sehr Kleine Grofsen vonderOrdnung ¢*sind, undkebrt nun dieReihe 1. um, woraus flr i?cin Ausdruck von der Form i= b,s*-+ dys! +bst+ ---folgt; dieselbe Operation, auf3.angewandt, giebt n*-— b,c, +Gales? 4Cathe? +5osfolgtausjenerVoraussetzung, dale auch indieser Reihe jeder Coéffizient sich imVergleich sum voran- gehenden wie cine Grifse von derOrdnung g*verhalten mals. Die numerische Verifikation zeigt, dafs diese Voraussetzung, welche schon imPrinzip den Zweek derUntersuchung inFrage stellt, keineswegs ” 116 V.Uber dieDispersion desLichta, mit derErfahrung dbereinstimmt, indem selbst insolchen Fallen, wo» sich nursehr langsam mit2iindert, dieangenommene rapide Abnahme derCoéffizienten nicht eintritt. Auch istdieselbe keine nothwendige Folge derfrithen Vorauasetsungen; vielmehr lifet sich leicht zeigen, dafs durch geeigneto Bestimmungen Ober dieFunktion f(r) den Con- stanten a,und a,jeder endliche Werth angewiesen werden kann, wahrend aledann beiden folgenden Coéffizienten jene Grifeenordnung allerdings stattfindet. SeipdieAnzshl der verschiedenen Werthe von r,denen im Innem dersuOgebérigen Wirkungeephire Punkte desSystems ent- sprechen, soistpeine endliche, durch den Werth von @villig be- stimmte Zahl. Jede der Summen A,enthilt dann die nimlichen pWerthe derFunktion f(r), ber welche man, mit Bericksichtigung der ber dieso Funktion bereits gotroffenen Bestimmungen, frei ver- filgen kann, Betrachtet man diese Werthe vonf(r) alsUnbekannte, sofragt essich, obman in2.dieWerthe 4,,4,,..4,_, alswill- kitrlich gegeben betrachten darf, oder obdiederFunktion /(r) auf- erlegten Bedingungen eine Beschrinkung inderAuswahl dieser Werthe nach sich zichen. Die Werthe vonf(r) missen 1)mit derStabilitit desSystems vereinbar sein, 2)denBedingungen derIsotropie gentigen, und 3)darf einer derselben unendlich grofs sein. Die erste Bedingung hat auf dieaugenblickliche Untersuchung keinen Einfluls, dasienurdasZeichen, nicht den absoluten Werth eines Ausdrucks bestimmt, welcher von den inFrage kommenden Werthen von/(r) und/“(r) abhingt; dieIso- tropiebedingungon bleiben vorliufig ganz beiScite, dasieerst durch diefolgenden Betrachtungen aufihren gebhrenden Umfang eingeschrinkt werden milssen. Bezeichnet man jetzt dieinA,einzusetzenden Werthe von rdurch rroder 6,jonachdem ihnen einpositiver oder negativer Werth vonf(r) entspricht, undsetat: SImf(r,)r,*!—= R,,—Limf(s,)s,'*#— R,s0ist A,alsSummeeinerendlichen AnzahlvonGliedern gleichRy—R'sferner lassen sich zwischen @,und @zwei Werthe r,,und 54,80aus- wihlen, dale 2,—rifRy,R=stiRy’wird;darausfolgt AgaByBeyAyrh,Ry8h,ReyA=ettRy—thRy Wenn nun f(r) bei der Summation sein Zeichen nicht wechselt, so istcine derGrofsen Ry,I%’gleich Null, also findet dann, wenigstens beidenConstanten ,,dievonCauchy angenommene Grdfsenordnung statt, Werden dagegen Zeichenwechsel augelassen, sostebt nichts im Wege, derFunktion f(r) einen solchen Verlauf zugeben, dale ri,von 'V.Uber dieDispersion desLichts. 7 sf,umingend eine endliche Gréfee von der Ordnung ¢*verschieden ist;dann erhiilt man: AyHite prAi—thido ee or aeae oA Aldatte Amaaa aAe Ertheilt man jetzt denGréfven 4,und A,endliche Werthe vonder- selben Ordnung, 80werden Ryund Ry’endlich undimVergleich mu ihnenvonderOrdnung rowasmitkeinerfrien Bestimmung im Widerspruche steht; dagegen wird dererste Theil von4,,wenn iS2 ist,von derOrdaung gp", derandere von derOrdnung @%,also tritt hier der oben erwihnte Umstand wirklich ein. Durch Hiufung derBedingungen, denen f(r) unterworfen ist,kann man bewirken, dafe r3,—st,wird.IchlassodiesenFallimFolgenden unberdcksichtigt, daesnicht derNatur derSache angemossen zuecin scheint, dieSchlafsresultate, aus denen, wie esbeiUntersuchungen dieser Artsteta derFall ist,jede Spur vom besondern Charakter der Funktion f(r) herausfallt, anspezielle Voraussetzungen ther denVer- Jauf derselben zubinden. Dadieselbe Betrachtung aufB,anwendbar ist, sofolgt, dafe in jeder derbeiden Reihen 4,,4,,A,....und By,B,,By,...dioawei ersten Glieder endlicher Werthe von derselben Ordnung fihig sind, dagegen dasdritte undjedes folgende Glied imVergleich zum voran- gehenden eine Gréfee von derOrdnung ¢?ist. Dasselbe gilt daher auch vonderReihe a,,a),a,... SolangenuninderGleichung (3.)+—1 soKleinist,dafsalle Glieder der rechten Seite einen merklichen Einflufé auf ihren Werth iufsern, findet offenbar kein einfacher Zusammenhang zwischen nundA, statt; ichbeschrinke daher dieUntersuchung aufdenFall, wotzum Radius derWirkungsephire ineinem solchen Verbiltnisse steht, dats dioGlieder, deren Coéffizienten von der Ordnung ¢,of,of, ...sind, keinen wesentlichen Beitrag zum vollen Werthe derrechten Seite mehr liefern. Esmufs dabei der Erfahrung tberlassen werden, zuent- scheiden, biszuwelchen Werthen von1alle nach dem zweiten folgen- den Glieder vernachliasigt werden ditrfen, wihrend esganz dahin ge- stellt bleibt, wiegrofe oder klein man sich denRadius derWirkungs- sphire zudenken hat, Abgeschen vonallen andern Bedingungen wird also die Formel . 4. 4,—an+2x) 118 V.Ober dieDispersion desLichts. flrhinlinglich grofse Werthe vonJdenVorsussetzungen derTheorie genau entsprechen, dagegen beiabnehmendem Jeinmal aufhéren, die Resultate derselben darzustellen. Dies festgestellt, denke man sich durch Oeine Gerade gvon be- lisbiger Richtung gezogen, und setze, unter (rg) denWinkel zwischen gund rverstanden, U,=Emf(r)r*+* cost+*(rg) B,=Lm(rf )—fr))r**** cos™+4(rg); dann bestehen nach Cauchy (man vergl. §3.43.—46. mit§9.10.—11.) dieBedingungen fardieIsotropie darin, dafs firi—0, 1,2,... bei jeder beliebigen Richtung vong 1 1 5.Wmspsde Bmae sein mals, Will man nun dieBedingung derIsotropie unbeschriinkt aufrecht erhalten, sohatman zuuntersuchen, obdieser unendlichen Zahl von Bedingungegleichungen bei einer endlichen Zahl von Werthen der Funktionen f(r) und r/‘(r) —f(#) durch eine passende Anordnung des Systems Genilge geschehen kine, d.h.obesmiglich ist,eine solche Einrichtung desretikularen Punktensystems anzugeben, dals diese Be- dingungsgleichungen sich von selbst aufeine endliche Zabl reduziren. Dieser Untersuchung kann man sich aber ganz dberbeben, wenn man dieBetrachtung soeinschrinkt, wieesvorhin geschehen ist.InderThat Jafstsichnachweisen, dafsbeidenvorausgesetzten Werthen von/die Gleichung 4.,oder was auf dasselbe hinauskommt, die Gleichung st=a,k?+a,k*stattfindet, sobaldnurdieGleichungen 5.flri=0 und i—1erfilitsind,wihrendesganzgleichgiltig ist,obdiesauch mit den folgenden derFall ist. . Die Gréfse s*istimAllgemeinen durch eine kubische Gleichung bestimmt, deren Coéffizienten von den beiden Funktionen 1 1 1 P=G5%oP—nwGE+ GSE 1 gut 1 FB 7B —THB" +|B abbiingen, undzwar istfirdenFall, dafsalleIsotropiebedingungenerfulltsind,s*=7+{).Da%,sichindieFormr¥{c0s™+9,Ry —sticos™+4y,R,’ bringen lifat, und ahnliches von 8,gilt, sosind &, und ,von derselben Ordnung, wie4,und B,, Reduzirt man daher vorstehende Reihen aufihre beiden ersten Glieder, sowird unter der Voraussetzung, dafs dieGleichungen 5.firi—0 undi—1 erfallt sind, 'Y.Uber dieDispersion desLichts. 119 1 1 1 1 PaatyAlnighP=BatpiyBl~ninBM darous ergibt sich firs*dienimliche kubische Gleichung, alsobin dem Falle derunbeschrinkten Isotropie dieAusdricke fir7’und V ebenfalls auf ihre ersten Glieder reduzirt worden waren; man erhiilt also,wievorhin, s*=a,k*+ak. DritcktmanindenGleichungen %,—+4,,%,—44,,By—+By, 8,—4B,, aufwelche sichinFolgederther1gemachten Voraus- setzung dieIsotropicbedingungen reduziron, cos(rg) durch dieCosinus derWinkel aus, welche rund gmitdrei rechtwinkligon Axen bilden, soliefern dieselben wegen derwillkirlichen Richtang vongbeziebungs- weise 6,15,15,28Relationen, von denen jedesmal eine ausdenObri- gen folgt; dieZabl dervon einander unabhingigen Bedingungen ist demnach 60. Nichts hindert, dieAnzahl pder verschiedenen Werthe von r80groB vorauszusetzen, dafe diese linesren Gleichungen neben den beiden, durch welche dieWerthe von f(r) und f(r) mit den Grofsen a,unda,verknipft sind, befriedigt werden kénnen. Diecinzige Beschrinkung, derman beiderAuswahl derWerthe vona,und a,unterworfen ist,rihrt von den Stabilititsbedingungen her, und besteht darin, dafs s*positiv und von Null verschieden sein mufs. Diese Bedingung istbeidergegenwirtigen Untersuchung er- fullt, dadieFortpflanzungegeschwindigkeit ebener Wellen inm,nim- lichVa,, und umsomehr s—o alssehr betrichtlich vorausgesetst wird, und dieGrofeen a,und a,demgemile bestimmt werden, ‘Wendet man dieGleichung 4.aufdioDispersion desLichtes an, 0kann man aufGrund derErfahrung, dafedenkleinern Wellenlingen diegrifsern Brechungsindices entsprechen, dasVorzeichen derCon- stanten 2und2bestimmen; inderThatfolgtsusdererstender Gleichungen BOETCPEBlades earsge, dafs*negativ, susderandern, dale2positiv seinmufs. Dieerstere zeigtaufserdem, dafsneben dermitwachsendem 4abnehmenden Wurzel noch eine zweite vorhanden ist, welche mit 4augleich und zwar 80 wiichst, dafs ihrVerhiiltnifs zu4sich einer von Null verschiedenen festen Grenze nihert. InFolge dieser Zeichenbestimmung kann man sweipositive GrBfeen n,undA,90wien, datsS!a»5,(2a)¥2—-4 wird; dadurch nimmt dieGleichung 4.folgende Form an: 120 YV.OberdieDispersion deeLichta. ® (3)-2(0)+(@)-0 Von den Wurzeln dieser Gleichung missen drei verworfen werden, nimlich 2wei wegen ihres Vorzeichens, diedritte ausdem doppelten Grunde, weil siegegen dieVoruussetzung mit4zugleich wiichst, und weil sieftirdengebrochenen Strabl eine sokleine Wellenlinge liefern wiirde, dafs diein3.vorgenommene Vernachlissigung mindestens nicht alszulissig nachgewiesen werden kann. Die einige Wurzel, welche allen Vornussetzungen nachweisbar geniigt, istdiefolgende: 1 n-—— 8 V(¥3)+V 0-9) woalleRadikalepositivzunehmensind;dieselbeistflr>zyreell,fir4<zy compler.*) ‘Aus dem Frahern folgt, datsdiese Formel ihreGultigkeit verliert, sobald 4unter eine, von derErfahrung festzustellende Grenzo sinkt. Last man diese Einschrinkang flreinen Augenblick unberiicksichtigt, sokann man sunichst dieGréfsen n,und 4)von ihrer bisherigen De- finition durch dieConstanten derMolekulartheorie unabhingig machen, und durch rein physikalische Bedingungen bestimmen. Danimlich, wie aus der Theorie der Lichtbrechung und Reflexion bekannt ist, Strahlen mit complexem Brechungsindex total reflektirt werden, so folgt, dafs von 4nach mnursolche Strablen dbergehen kénnen, deren Wellenliinge ther der, vonderNatur beider Medien abhingigen Grenze 4,liegt, wahrend lle Strahlen von kleinerer Wellenlinge beijedem Einfallswinkel total refiektirt werden. Essind daher m,und 4,die Elemente desiuBersten von 4nach mbrechbaren Strahls. DieWellenlinge dieses charakteristischen Strahls istimAllgemeinen sebr Klein imVergleich zur Wellenlinge der gewShnlich sichtbaren Strahlen; nurbeidervon Dale und Gladstone untersuchten Lésung von Phosphor inSchwefelkohlenstoff gehirt sieeinem derbisjetzt beobachteten Theile des Spektrums an, indem bei dieser Substanz4g=0,112ist,wihrend nachEsselbach dieWellenlinge vonRindem hier angewandten Mafse 0,114 ist. DaderNenner von msich um soweniger von 2untorscheidet, +)Setetman4,—1sing,O<p<%, vonimmtdieGleichung7.dieForm cos%=const.an,welchejedochfirdiemomeriacheRechoungwenigerge- eignet ist,alsdieobige. V.Uber dieDispersion desLichts. 121 jegréBer 2imVergleich 2a2,ist, 80milssen alle Strahlen, deren ‘Wellenliinge hinlinglich gréfser als4,ist,nahezu inderselben Rich- tung gebrochen werden. Das nach obiger Formel gebildete Spektrum istdaher vonzwei Richtungen begrenzt, diedenBrechungsindices n,und ‘Pyenteprechon; dieersterewirddurchdencharakteristschen Strahl gebildet, inderandern concentriren sich alleStrahlen von betricht- licher Wellenlinge. Die Constante n,bestimmt demgemifs beigegebenem Einfalls- winkel diebeiden Grenzrichtungen des Spektrums, wihrend 4,die Grenze derimSpektrum vorhandenen Strahlen angibt, und zugleich ihre Vertheilung indemselben bestimmt. Man mufa daher dieerstere alsdasMafa desBrechungsvermigens, dieandere alsdasMats des Dispersionsvermigens betrachten. ‘Um Mifeverstindnissen 2abegegnen, wiederhole ich, dafs diese Gesetze nur unter bestimmten Einschrinkungen gelten, indem siebei abnehmendem 2einmal aufser Kraft treten werden, und Gberdies der Fall nicht susgeschlosson ist,dafs sieinderWirklichkeit durch Er- scheinungen modifizirt werden, von denen diegegenwirtige Unter- suchung wegen derBedingung derSuperposition keine Rechenschaft migeben vermag. Dafs sich obige Formel wirklich aufdieBrechung derLichtwellen anwonden lafst, ergibt sich ausfolgender Tafel, inwelcher verschiedene Grade des Dispersionsvermdgens, biszum stirksten aufwarts, vertreten sind; Nistderbeobachtete, ndernach 7.berechnete Index; beiden Strahlen, deren Elemente zurBerechnung vonn,und2,benutzt worden sind, istmnicht angegeben. Fur dieWellenlingen der Strahlen B, ©,D,E,F,@undHwarden, inzatgqPar.Zollausgedriickt, dieZablen ‘02541 02424 02175 0.1944 0,1791 0,1586 01457 ‘angenommen; dieselben bilden dasarithmetische Mitel ausden beiden, nur wenig von einander abweichenden Angaben Fraunhofer’s, und milssen beiderUngewilsheit, welche von beiden diegenauere ist,ale die wahrecheinlichsten betrachtet werden. Da diese Zahlen nur bis aufvier Stellen bekannt, und inder letzten jedenfalls unsicher sind, #0mufaten auch alle Indices auf cine entsprechende Zahl von Stellen roduzirt werden. DieBeobachtungen von Baden-Powell und derHrn. Dale und Gladstone finden sich inden Proceed. oftheRoy. Soc. November- heft 1859; dietibrigen Angaben sind dem Handbuche vonBeer ent- nommen. 122 Y¥.OberdieDispersion desLichts, Ather (Dale undGladstone). “myiV2—18482nm,—1,9068 A,—0,04827. |» |e|»)])#)Fr)«¢j)|# NW|13645)1064!1,008|18690,1,8600|1,8046|1,968" 1366118668|18590,18610 13678Non| +3|- 2 ol" 4 It 6 Spikél (Baden-Powell). myiV2—= 14607my—206681,—0.06646, wy|aataeate)saves|a4sz9|14s08|14948|21,5000 ry 14745|14779|1,4825|1,4866 1,5018 Non +feoalealee -4 Gelbes Flintglas von Guinand (Dutirou). myiV2—=1,7489 ny—247381,—0,07673. “N |aeov) 478 40777|4,r802|17924|1,8062,1,8186 |[ourme nai)17068|13997 118186 yon| oj aj-" sla" +3i} i 1 1 Phenylhydrat (Dale und Gladstone). ny:V2—1,6220 my—=2,1525 1,=0,07966. “Tw|eae|eas|15488|15061|a.5609|18768|1,888 ”16438|15492|15508|18684 |seo Non asi al ale” 8 |406 Schwefelkohlenstoff (Dale und Gladstone). myV2—16804ny—224221—0.00897, N 10177|16209|1,6808|1,6434 —1,6654|ae799|1,7086” xeaiz|16807|1,6487|1,6589 1,1038, Non ar ra 3|- 3 +501 Lésung von Phosphor inSchwefelkohlenstoff (Dale und Gladstone). ea Teny26008 OS N|1934] +|19627|197441,9041|20361|9,746® xgsoo|yg688|1e7aT|904s| 2.0788 Nonleak tia "a *it nicht beobachtet, V.Uber dieDispersion desLichts 123 Um mit Sicherheit beurtheilen aukénnen, obdie Werthe der Differenzen N—n zum Schlusse aufcine Ungenauigkeit derFormel berechtigen, mufs man dieGrenzen bestimmen, innerhalb deren sich die Unterschiede zwischen den berechnoten und den wahren Indices halten miissen, wenn dieFormel alsabsolut genau vorausgesetzt wird, ‘und dieBeobachtungsfehler bestimmt angenommene Grenzen erreichen, aber nicht Uberschreiten kénnen; daraus ergeben sich unmittelbar die Grenzen der,mitderGUltigkeit derFormel vertriglichen Abweichungen der berechneten von den beobachteten Indices. Ich habe die etwas umstindliche Rechnung firSchwefelkoblenstoff ausgefilhrt, unter der Voraussetzung, dats dieFehler, mitdenen diebeobachteten Indices und Wellenlingen behaftet sind, hichstens eine, beziiglich zwei Ein- heiten derletzten Stelle betragen. Dieser Substanz wurde deshalb der Vorzug gegeben, weil siebeiihrer starken Dispersion und derVoll- stindigkeit derBeobachtungereihe sich zueinem wirklichen Prifungs- mittel der Dispersionsformel eignet, und aufserdem diebei ihr vor- Kommenden Differenzen N—n nicht unbetrichtlich sind. Es hat sich ergeben, dafs, wenn dieFormel volle Genauigkeit besitzt, dieUnter- : schiede zwischen denberechneten unddenwahren Indices inFolge der beidenBeobachtungen alsméglich vorausgesetzten Fehler, abgeschen yom Zeichen und inEinheiten derletzten Stelle, frdieStrablen C, D,E,F,HdieGrenzen 23459 erreichen kénnen; hitte man weitere Grenzen firdieBeobachtungsfehler angenommen, 60wiirden diese Zahlen grifser ausgefallen sein. Addirt ‘man hierzu dieméglichen Abweichungen der beobachteteu von den wahren Indices, soerhilt man firdiezulissigen Differensen nwischen den beobachteten und berechneten Indices die Grenzen 345610. Dieabsoluten Werte derwirklichen Differenzen sind derTafel zufolge gleich 34357, undwerden demnach vollstindig durch dieBeobachtungsfebler erklirt, selbst wenn man denBeobachtungen eineGensuigkeit zuschreibt, welche siezuverliissig nicht besitzen. Esachien Uberflissig, diese Untersuchung firdiedbrigen Sub- stanzen der Tafel zuwiederholen, dabei denselben die Differenzen durchwog kleiner, alebeim Schwefelkoblenstoff sind; diestarke Ab- weichung beim Index HderLésung vonPhosphor inSchwofelkohlen- stoff lifst sich vielleicht durch dieSchwierigkeit erkliiren, beiderdurch 124 Y.Ober dieDispersion desLichts, diestarke Dispersion verursachten ungemeinen Lichtachwiiche noch sichere Beobachtungen anzustellen. oer dieDispersionsverhilinisse nicht isotroper Medien istbis jetzt nichts gentigendes festgestelit; ealagjedoch nahe, durch nume- rische Rechnung zuuntersuchen, obinsolchen Fallen derLichtbrechung, wosich dieRichtung der Strahlen nach dem gewdhnlichen Gesetze findert, auch firdieDispersion dasgewdhnliche Gesetz gelte. Die folgende Tafel zeigt, dafs dies, soweit dieGenauigkeit derBeobach- tungon reicht, wirklich der Fall ist; aufserdem ergibt sich aus den schdnen Beobachtungen Esselbach’s (Poggendorff's Annslen 98.) das wichtige Resultat, dafs dieFormel 7,wenigstens beieiner Substanz, auf alle zwischen Bund dem Esselbach’schen Streifon Renthaltenen Wellenlingen anwendbar ist. Beidencircularpolarisirenden Substanzen zeigt sich eine Unregel- mifsigkeit, diesichallerdings auch beim Ather findet; dieselbe besteht indem éftern Zeichenwechsel der Differenzen N —n. Waren blofe die aurBerechnung vonn,und2,benutzten Beobachtungen ungenan, alle . iibrigen dagegen inUbereinstimmung mitdemdurch 7.ausgedrickten Gesetze, sowirde inderDifferenzenreihe héchstens cineinziger Zeichen- wechsel vorkommen kénnen, BeiLavendelél HistdieBoobachtung slsunsicher bezeichnet; die starke Abweichung beiDribrt, wie esscheint, davon her, dafs an Stelle von Dnoch einmal Cbeobachtet worden ist. Circularpolarisirende Mittel. Lavendelél (Baden-Powell). iV2—14525nj—20541A,—0.00896, N|tacet)14008|aae60|47a14700ae]148807 ”14663-14685 |1.47271,4766|14900, Z| Jaela el +80 Terpentindl (Fraunhofer). my:V2— 14599 m,— 2,047 1,—0.06086, ¥|=ivaitates|1aei7|=14089* aanie|nets|147s|1,418 14088Non sale ae aa +01 'V.Uber dieDispersion desLichts. 125 Hinaxige Krystalle. Ordentlicher StrahlimBergkrystall, elliptisch pol.(Esselbach).VaTiyEmTSSS my—27062,—004886—198,MiliotelMili 7 Bc|D|=|¥Fo|# a|ooze|60s|080.6|s20|seas|aze7|sonewy|nome]nore|oes|1eree|16000!1864618566 wm|uses|15490|16480| 18800|1654818588, L|M NoO P|@ R 2|stax|667|soe|seo|sino|anne|soo, N 1,5605|1,6621166681,86761,5690|1,8702|1,6787 m0 tiseis|13676|6890|16704|18740 Nonitt ja aals 2istinMilliontel-Millimetern angegeben. Hauptindices desDoppelspaths (Rudberg). rarer erent ee a “Nw|ae6s1!1,655ass|16080|1080|0702|1.5008 "|1sses|ayes65|6832|1.6077 a) von poole tt le | os TmiVPSHATAmm2,0088=004788 W|asso]14sis|sasce|24se7|4007|14u6|14878 n 14845 14863) 14886|14906 |14978 xen, Oe te ted |e Hauptindices zweiaxiger Krystalle (Rudberg). “Arragonit (aegatin. amivemneersnym2s0Te006, NW|1,60819820|e069|16908|1,095|1.70821,r101 »| tesxo|6867|1.6906|1,8960 1105, on| Ot Bb ate 4 PBmivyesiee2 n=aso1,ope W|novos|e778]10816|10868|1,690 0084|1.7001.” |arte|16814|1,860 43,6908| 1,7085 Nonfale et 8b? av 126 'V.OberdieDispersion desLichts. 7miV2— 15207nm,—216082,—0,04816, |woate! ape|ator|nanan|see)1a68|aut Non | ojt ile 4 "4 ‘Topas (positiv). 7 a.myi¥2—=1,6098 n=2.27682,—0,05058 NW|e1796188]0211|ona|10200|16012|1.6351 *neist|16209|16208,1,6264 reas N=n|jt tlt ale alt 4] - 3 Bmiveaie02e m=280024,—000000. “ON xg105) nous|16187) ener|oto|1ezat|1276 «||16118|1,6186|1,6168|1,6189|16278, N-n! i+t+2+4+2/ I-38 7MiVE—16004n=22088H—0,00080, a]e06618006[66[108|10170|146216|16264” noooa|sete|tetas|10168 11626 WonPosiesaaa) rae) \" Nachtrag. Aus meinen Untersuchungen iiber dieDispersion desLichtes, von denen einAuszig inderSitzung vom 14.d.M.vorgelegt worden ist, hatsich ergeben, dafedasSpektrum eines ausStrahlen vonallen Wellen- ingen gemischten Lichtes zwischen zwei Richtungen eingeschlossen ist, ‘ber welche hinaus keine Strahlen gebrochen werden; dieeine von diesen Begrenzungen rihrt davon her, dafs alleStrablen, deren Wellen- linge kleiner alseine bestimmte Strecke 4,ist,anderOberfliche der brechenden Substanz total reflektirt werden, und deshalb imSpektrum feblen miissen; inder andern Grenzrichtung concentriren sich alle Strahlen vonbetrichtlicher Wellenlinge. Diezudiesen Richtungen ge- hérigen Brechungsindices sind inmeiner Abhandlung durchn,undibe- zeichnet, und inden beigefiigten Tafeln firjede Substanz angegeben. Eswurden dabei absichtlich alleFolgerungen unterlassen, welche sich V.Ober dieDispersion deeLichts. 127 ausdenWerthen dieser Indices anfdieAusdehnung derdunklen Ge- diete des Spektrums tichen lassen, und zwar beiden brechbarsten Strablen ausdem wiederholt angegebenen Grunde, weil indiesen Theilen desSpektrums dievon mir gegebeno Dispersionsformel, unbeschadet derRichtigkeit derallgemeinen Theorie, ihre Galtigkeit verlieren kann, beiden Strahlen von dergeringsten Brechbarkeit dagegen, weil keine Beobachtungen vorhanden sind, dieeine Vergleichung mitderTheorie gestatten. Der einzige Versuch, denBrechungsindex derufsersten nachweis- baren dunkeln Wirmestrahlen zubestimmen, istmeines Wissens von Miller (Poggendorff's Annalen 105. p.352) gemacht worden, Miller life ein,durch einCrownglasprisma entworfenes Sonnenspektrum auf einen Schirm fallen, ineiner Entfernung, beiwelcher seine Breite 18™™ betrag. Indiesem Spektrum bedeckte jede Strablengattung eine, nach Eisenlohr’s Vermuthung (Pogg. Ann 109. pag. 240) 8™™, jedenfalls aber nicht weniger als2™" breite Fliche. Mittelst derThermosiule warde nachgewiesen, dafsdieweniger brechbaren dunkeln Wirmestrahlen sich jenseits Buber eine Fliche von ungefibr gleicher Breite, wiedas leuchtende Spektrum erstreckten. Ausdieser Beobachtung, welche zuerst vonFranz (Pogg. Ann. 101.) gemacht worden ist,schliefst Maller 1),dafs indiesem Spektrum der Streifen Binder Mitte zwischen Hund den aufsersten dunkeln Wirme- strablenWliege, und dafs ausdiesem Grunde 2)derIndex vonBdas arithmetische Mittel aus den Indices von Hund W sei. Da nach Fraunhofer firCrownglas n,— 1,526, ny—1,546 ist,sofindet Millerhierausn,—1,506, wihrenddieAnniherungsformel Cauchy'sy=1,5156 liefort. Aus dermeinigen ergibt sich n,,—15163. Hierbei istnun zubemerken, dafs dievon Maller angewandte Formel nurdann miteiniger Anniherung giltig seinwirde, wenn die Indices von H,Bund Wnur umzuvernachliissigende Grdfsen von cinander verschieden wiren; aufterdem hatderSchlufs, Bliege inder Mitte awischen Hund W,keinen rechten Sinn, indem von den Ent- fernungen derStrecken, ber welche diegenannten Strablengattungen sichimSpektrum verbreiten, doch nuraufGrund bestimmt anzugebender Conventionen gesprochen werden kann. Dem gegentiber sucht Eisenlohr amangefUhrten Orte zuzeigen, dafs die Versuche Milller’s mit Ricksicht auf die Divergenz der Sonnenstrahlen eine gentigende Erklirung finden, wenn man den klein- ston Brechungsindex flrCrownglas zu1,616 statt zu1,506 annimmt. Eine bessere Beetatigung meiner Formel wirde sich nicht denken lassen, wonn nicht Hr.Eisenlohr zurBegriindung seiner Schldsee gendthigt 128 Y.UberdieDispersion desLichta gewosen wire, beiderginzlichen Abwesenheit aller erforderlichen An- gaben Uber dieAnordnung derMaller’schen Versuche zuHypothesen ‘Aber dieselbe seine Zufucht 2u nehmen. Auf eine Vergleichung derDispersionstheorie mitexperimentellen Untersuchungen iiber diedunkeln Theile desSpektrams wird man wohl vorliufig verzichten miissen, daeine, auch nurangeniherte Bestimmung derElemente derjenigen Strahlen, welche indiese Gebiete hinein ge- brochen werden, mit zubedeutenden Schwierigkeiten verbunden 20 sein scheint, Anmerkung. DieChristofiel'sche Abhandlang ,lUber dieDispersion desLichta sowie der Nachtrag dazu warden von Weierstrafe derAkademie am14,und am81.Oo- tober 1861 mitgeteil F VI. Verallgemeinerung einiger Theoreme desHerm Weierstrass. lournal frdiereine und angewandte Mathematik, Bd.68,1864, 8.255—272) 1 Durch Untersuchungen Ober diekleinen Schwingungen eines u- erst von Cauchy behandelten Systems materieller Punkte bin ichzur Veraligomeinerung einiger wichtigen Theoreme desHermn Weierstrass gelangt, welche ichjenen Untersuchungen voranschicke, dasiesuch unabhingig von denselben vonalgebraischem Interesso zuecin scheint. Teh bezeichne durch P=Zlgh]u,r, w—ZGh)u,r, gh=0,1,...0 weibilineareFunetionen derVariabeln ses, unddarch© PO. und ¥dieWerthe, welche sieannchmen, wenn’ jedem Pasre von Variabeln conjugirte Werthe u,—2,+iy, %—2,—iy, ertheilt werden. ate % Sind alsdann folgende Voraussetzungen erfllt, 1)dase dieCoetficienten [gh] und [hg], sowie (gh) und (hg) fralle Werthe von gund hmeinander conjugirt sind, und 2)dass @nor dann verschwinden kann, wonn diereellen Variabeln xund ysich alle zugleich aufNull reduciren, s0finden folgende Lehraitze statt: L@istreell und von unveriinderlichem Zeichen. Il.DieDeterminante derbilinearen Function gistvon Null verschieden. IILDie Determinante 4(s) der bilinearen Function ¥—sp verschwindet nur flr reelle Werthe von s. EBObsiatottel, Goummals ADbanlonge. ° 180 VI.Voraligemeinerung einiger Theoreme desHerm Weierstrass. IV,Tet4,(f) ingend eine erste Unterdeterminante von4(t) 20istdieZerfillung von 440 40 inPartialbriche stets freiTvon allen Gliedern, deren Nenner in Bezug auf¢denersten Grad Ubersteigt. Diebeiden letzten Theoreme gehen indievonHerm Weierstrass (Monatsberichte derBerliner Akademie vom 4.Mirz 1858, pag.213u.f.) anfgestellten Uber, wenn man voraussetzt, dass indenCoefficienten [gh] und (gh) die imaginiren Theile feblen, ohne anden dbrigen Be- dingungen etwas zuinden, Sielassen sich umgekehrt ansdiesen hherleiten, indem man dieselben auf dieDeterminante E(s) der ho- mogenen Function zweiten Grades ¥—s@ anwendet, und dann die, vonjeder Voraussetzung Ober dieCoefficienten [gh] und (gh) unah- hingige Identitat E(s) =[2"+*4(s)}*benutzt-t) ImFolgenden isteinanderer Weg eingeschlagen worden. 2. Zuniichst bemerkt man, dass wegen 1) a©—Zigh\ 2,+iy,)(% in) Z[hg](«,—iy,)(a+iy)=O conjugirt, also reell ist. Daseelbe giltvon ¥. Nun wirde @alsstetige Function wegen derzweiten Bedingung sein Zeichen nur indem Augenblicke wechseln kénnen, woesselbst mit allen reellen Variablen zund yzugleich durch Null geht. Dass jedoch auch hierbei kein Zeichenwechsel von ®eintreten kann, erhellt sofort, wenn man alleVariablen, einmal zugleich, dann auch eine nach deranderen bisNull abuehmen, und von dort zubestimmten Werthen bergehen 1iBt. Inbeiden Fallen gelangt ©alseinwerthige Function zum niimlichen Endwerthe, wibrend imzweiten Falle derWerth ®=0, also auch jeder Zeichenwechsel von ®umgangen worden ist. 1)Fur den Fall, wop—wo-+ue,..gesctstwird,istdasTheoremIl. bereits von Herm Hermite aufgestellt werden (ComptesR.tom,41,p.181—1+3). Herr Hermite atitst seinen Beweis auf eine Transformation von'4(@) und das ‘von Herm Borchardt firden Fall reeller Elemente (ik) allgemein nachgewiesene ‘Theorem (dieses Journal Band 30und Liouville's Journal 12). Unter den nim- lichen Vornussetzungen istder Satz von Herm Clebsch (dieses Journal Band 87, pag. 827) bewiesen worden; ineiner spitern Abhandlung bat Herr Clebach den Satz firden allgemeineren Fall auagerprochen, wobeiden oben gesteliten Bo- dingungen dieCoeffcienten von @belicbige reelle Werthe haben (dieses Journal Band 62,pag. 236). Vi.Verallgomeinerung einiger Theoreme des Herm Weierstrass. 131 Dies festgestellt, bezeichnen wirdurch sundu,1,...u, Gréssen, welche denvon simmtlichen ¢freien Gleichungen a) 22%280,haOt... gentigen, Dann ist 1 (2)enid@-0 dienothwendige und ausreichende Bedingung daftr, daB man, beivon Null verschiedenem s,den Gleicbungen (1.)gentigen kann, ohne alle unbekannten GréBen u,,...1, gleich Null zusetzen. Seialso sirgend eine Grosse, welche derGleichung (2) gentigt, und von den Gréssen u,%,...1, mindestens eine von Null ver schieden. Zerlegt man alsdann jedes uinseinen reellen und imaginiren Bestandtheil, sodass u,—<x,+iy,wird,undbestimmthierausdio conjugirten Werthe z,— iy,—v,,90ergiebt sichaus(1.) deex=zn, ai. 1v=o. Daaber ¥und @beide reell sind, undletzteres, wasauch ¢sein mag, vonNull verschieden ist,90kann 1)snicht imagindr sein, db. alle Warzeln derGleichung 4(s)— 0sind reell, und 2)kann ¢nicht unendlich gross sein, d.h.dieDeterminante von gistvonNull ver- schieden. Zum Boweise «des vierten Satzes genlgt es,2uzeigen, daB jode m-fache Wurzel derGleichung 4s) =0zum Mindesten (m—1)-fache ‘Warzel simmilicher Gleichungen 4,(8)=0ist. Zudiesem Zwecke bemerke man zuniichst, daB diein1)und 2) gestellten Bedingungen nicht aufhéren erflllt zusein, wenn man in derFunction ydenCoefficienten (kk) umeine reelle Grésse e,oder diebeiden conjugirten Coefficienten (gh) und (hg) umdieconjugirten Grdscen ge*t und ge-* vermehrt. Bezeichnet man durch 4,,(¢) dieauseiner Aenderung desEle-mentes(gh)—{{gh] entspringende Unterdeterminante von4(f),60 erbalt man anStelle derGleichung 4(¢)=0imerstenFalle @) 4) +04y(t) =0, oa 182 VL.Voraligomeinerang einiger Tcoreme des Herm Weierstrass. imaweiten dagegen A) AO +eeAyal) +06+,0)+¢zenorngy Folglich sind alle Wurzeln dieser beiden Gleichungen reell. Wenn 8eine m-fache Wurzel derGleichung 4(t)=0ist,somuBdemnach jede derbeiden vorstehenden Gleichungen (3.)und (4.)mreelle Wur- zeln besitzen, diesimmtlich flrg@—0 insfibergehen. Wenn diese ‘mWurzeln nicht allefirjedes @gleich ssind, woraus offenbar der aubeweisende Satz schon folgen wilrde, somuss wenigstens eine von ibnen sich mit @andern. Seit ¢eine solche Wurvel. Unter derVoraussetzung, dass der absolute Werth von ¢hinlinglich klein ist, kann man ¢durch einen nach steigenden Potenzen von @geordneten Ausdruck darstellen, und erhalt, wenn man sich aufdiebeiden ersten Glieder dieser Entwicklung beschriinkt, t=s+ag"... Indieser Gleichung istareell und von @unabhiingig, uisteine von Null verschiedene positive ganse Zahl. Wire wnegativ oder Null, sowirde ¢beiabnehmendem ¢nicht gegen dieGrenze sconvergiren; wire jeine positive, aber keine ganze Zabl, sowiirde man fir¢eine Reihe imaginirer Werthe erhalten ‘kénnen, indem man, was aufden Werth von akeinen Einfluss hat, @negativ, und firg*einen dercomplexen Werthe wahlt, deren diese Potenz unter denangegebenen Voraussetzungen fahig ist. Um hieraus den Beweis desvierten Satzes abzuleiten, wiezujedem anderen Beweise des nimlichen Satzes, istesnothwendig, zubemerken, dass bei reellem ¢die Determinante (00) —¢[00] (10)—¢[10]...! A(t)=(01)—#(01] (11)—¢[11).. .| ebenfalls reell ist. Man erkennt dies sofort, wenn man das Zeichen derY—1 indert, wodurch jede m*Horizontalreihe indiem*Verti- calreihe verwandelt wird. Dadies gilt, solange dieinart. 1firdie Coefficienten der Functionen und @gestellten Bedingungen erfillt sind, soergiebt sich gleichzeitig dieRealitét desAusdrucks, umden A(t) inderGleichung (4.) vermehrt worden ist. Dividirt man den- eelben durch g,und liest hierauf @verschwinden, sofolgt, dass '4,,()+e"4,,(f)fdrjedesreelle@und¢reell,also4,,(f)20 4,,(€) conjugirt ist. . Vi.Verallgemeinerung einiger Theoreine desHerm Weierstrass, 183 Moltiplicirt man endlich dieGleichung (4.) mit4(f), sokann man sie mittelst der bekannten Identitit as 4Ggnyathay ~40849 —Ayu infolgende Form bringen (6)[4@+0c4,,1[4® +044,() =0°4,,( Sarl), wodiebeiden Factoren derlinken Seite zueinander conjugirt sind. Dies featgestellt, sei 206 firtas.(a) Dividirt man dieGleichung (3.)inderVorausseteung eines verachwin- 4 ant denden @durch a“(t—s)"=e(t—s) “,80folgt fr@—0 oder t=s : ca”+lim,“#20 “a Daca”wederNullnochunendlich grossist,somussm—-~cineganze Zshl, also wselbst alspositive gunze Zahl gleich 1sein, Daraus schliesst man, dass 4,,(t) mindestens (m— 1)-mal durch t—s theilbar ist. Dividirt man dieGleichung (6.) beiverschwindendem gzweimal durch(t—s)":ag"-*= e(¢—s)"-}, sofolgtfir9@—0odert—s i ageatS00 anggatS09 iy4009 Saal Jim[eaeteaie][eae+epeo Tim,tOos Dadierechte Seite nicht unendlich gross ist, eogilt dasselbe von den beiden conjugirten Factoren zurLinken. Beachtet man noch, dase w—1 nicht negativ sein kann, sofolgt, dass 4,,(¢) und4,,(¢) in jedem Falle durch (t—s)"~1 theilbar sind, w.2.b.w. Bezeichnet man daher dieWurzeln derGleichung 4(1)=0,#0 weit sievon einander verschieden sind, durch Si Spy 20folgt ausdem vierten Satze, dass man durch Zerfallung inPartial- britche erhilt ; 440yA 6) ly Aa (6)40=aoe wodieSummation sich ber dieverschiedenen Wurzeln s,erstreckt, und simmtliche Avon¢unabhingig sind. 184 VI.Verallgemeinerung einiger Theoreme desHerm Weierstsass. 3. Die inderGleichung (6.)eingefUhrten Gréssen Atreten beiver- schiedenen Untersuchungen auf, weshalb esgestattet sein mag, imFol- genden denUrsprung ihrer wesentlichsten Eigenschaften nachzuweisen. Man bemerkt zuniichst dieidentieche Gleichung (SIG) —#042)4,9) ”=Y=14) 4a) +@—2) 4)dale yo= , deren Richtigkeit ausdem Umstande folgt, dass ihre beiden Seiten in Bezug aufsvom ersten Grade sind, und iiberdies firzwei Werthe von z,nimlich ¢= und s=y dbereinstimmen. Dieselbe enthilt insymbolischer Vereinigung alle Relationen zwischen denCoefficienten derFunctionen gund ~und den Gréssen A,welche inBezug aufdieletztern vom zweiten Grade sind. Um diese Relationen zuerhalten, darf man dieGleichung (7.) nurdurch A(z) A(y) dividiren, und aufbeiden Seiten dieFormel (6.)anwenden. Zwischen den nimlichen Gréssen bestehen ferner zwei Systeme von Gleichungen, welche nach den Gréssen Alinear sind Diese Formelnsysteme sind inden folgenden Gleichungen enthalten, welche den Ausgangspunkt der Untersuchungen des Herm Weierstrass bilden. Aus derDefinition derDeterminanten (2) und 4,,(2) er- giebt sich 4ys(2) O(v—29)@) [er2aav 4y,(2) Oy—29).|u-Bayeteese. Wendet man hier dieFormel (6.)an,20folgt 1 2ao—29) 1 4ey—ze) ws eA aa?Beh a und zwar giltdies furjedes beliebige x.Lisst man daher xaber alle Grenzen wachsen, oder miteiner bestimmten Wurzel, etwa mits,zu- sammenfallen, soerhilt man ausderersten Gleichung |s-BRa GE, ®) pas ten VI.Verallgemeinerung einiger Theoreme des Herm Weierstrass. 135 und aus der anderen aZE4, (10)42% oyDai 28S45aDAs, Vergleicht man indiesen Formeln dieCoefficienten derwillktr- lichen Gréssen uund v,soerhiilt man dievorhin erwihnten linearen Formelnsysteme. Endlich kann man die bekannten Ausdriicke flr die aus den GroBen 4,,(z) gebildeten Determinanten zurDarstellung vonRelationen zwischen denGréssen Aallein benutzon, wasindessen derKtrze wegen bergangen werden kann, Dievorstehenden Resultate finden ihre Anwendung inderTheorie derbilinearen Functionen und beiderIntegration linearer Difforential- gleichungen. Icherlaube mir, indieser Bezichung einstweilen aufdie muEingange erwihnte Abhandiung desHerm Weierstrass sowie auf meine folgende Arbeit dber kleine Schwingungen zuverweisen. 4. Darch dasVorangehende isteine grosse Reihe von Fragen auf dieErmittlung der Bedingungen suriickgefihrt, welche erfillt sein milasen, damit eine bilineare Function = Zlgh]u,%, deren rusammengehdrige Coefficienton [gh], [Ag] conjugirt sind, und inwelcher jedes Paar u,,,vonVariabeln durch einPaar conjugirter Worthe ersetzt ist,nur dann verschwinden kénne, wenn diese Variabeln allezugleich verschwinden Setzt_man den Coefficienten [00] gleich Null voraus, sokann ‘man @filrjeden Werth vonuzum Verschwinden bringen, indem man alleGbrigen Varisbeln nebst ihren Conjugirten gleich Null setzt. Es istalso sicher, dass eine der gesuchten Bedingungen darin besteht, dass (00] vonNull verschieden sein muss. Ichflge hinzu, dass die ‘Ubrigen sich ausdieser durch Wiederholung ergeben. Setzt man aga [00]9—328=my, 80folgt32=0,9%=;alsoistg,cinebilineare Function der 136 ‘VI.Verallgemeinerung einiger Theoreme desHerrnWeierstrass. Variabeln ject), welchedasPasru,0nichtmehrenthilt.Setzt man ferner* =Z[okhu,,0folgt n ueLoh],—Ae, —[O01[94]—(04)[90}, an, Dhoh=gua,~(0019]—(0)[09]; folglich sind diezusammengehérigen Coefficienten dieser neuen Function wieder conjugirt Ds man endlich 1a9de 1 &=(00)Buze*(0oj7 hhat, soerkennt man leicht, dase dieConstante [11], von Null ver- schieden sein muss, Denn wire sicgleich Null, #0wirde man pfir jeden Werth von zum Verschwinden bringen kénnen, indem man 4)ty«=H,gleichNullsotzt,undwdurchdieGleichung 2°—0 bestimmt. Dies featgestellt, sei a ae Oo, .(]e—-3- Ge- Pauydey7lhl . ae, a a(Uk —BFE Gage, lbh (mma Tap Steeteet og,288 Eo, —282%. ierwaar DavondenFunctionen g,jede ausdervorangehenden aufdie- selbe Weise, wie9,aus @entapringt, sofolgt, daBg,inBezug auf ' | |dieVariabeln feet bilinear,undvondenVariabeln[Rotaunabhingig ist;alsoistg,,,—0. Ferner folgt,dassindiesenFanc- tionen diezusammengehérigen Cocfficienten conjugirt, und schliesalich, dass alle Constanten [gg], von Null verschieden sein missen. Folglich hatman diebereits von Jacobi (Bd. 58,p.269 dieses Journals) gegebene Transformation: 1aga 1anew. 1 2908%% Y=foojaude +(oojfii}, au,de,++[oojfia], [wnBumCry VLVeraligemeinarang ciniger Theorome des Herm Weierstrass, 187 Ersetzt man aber inden linearen Functionen HD, Fe—Show, diePaare 1,9, durch dieconjugirten Werthe z+ iy, 2,—iy,, 80 erlangen sieconjugirte Werthef,+if;,fy—ify,wofy)fylineare Funetionen von2»,¥)Zp41)+++Y_ mit reellen Coefficienten bedeuten. Mittelst derimart. 1eingefihrten Bezeichnung erhiilt man also aus dervorigen Gleichung 1 1 1 .OF P+)+paoAtAD+--+poatetomy,2+) Durch diese Zerfillung derFunction ®istbewiesen, dass die xweite Bedingung desart.1.auch durch diefolgende ersetzt werden kann, dass die Gréssen {00}, (11), «fmm, von Null verschieden und positiv sein milssen, mitAusnahme derersten, dieeinbeliebiges Zeichen haben kann. Esistzubemerken, da8 dieAnzahl dieser Bedingungen genau dieniimliche ist, wie indem einfacheren Falle, wodieFunction 9 weder inihren Coefficienten, noch indenconjugirten Variabeln imagi- niire Theile enthiilt. 5 Andievorangehenden Untersuchungen anknipfend, werde ich2u- niichst diedort gestellten Bedingungen von einer wesentlichen Ein- schrinkung befreien, welche ohne Nachtheil firdieEinfachheit der Beweise und diebequeme Einsicht insimmtliche Beweisgriinde nicht hitte unterdriickt werden kénnen. Dieerwihnten Bedingungen bestanden darin, 1)dass injeder der beiden bilinearen Functionen g,ydieCoefficienten von u,v, wiv, stets zueinander conjugirt sind, und 2)dass beiconjugirten Werthen derPaare tyv,nur mit diesen zugleich verschwinden kann. Daraus folgten, ausser zwei Sitzen, diehier nicht mehr inBetracht kommen, diebeiden anderen, dass dieWurzeln derGleichung 4(f)—0 reell sind, und dass die ersten Unterdeterminanten von 4(f) jeden Linear- factor dieser Function héchstens einmal weniger enthalten, alsdiese selbst ihn besitzt. Die zweite von diesen Bedingungen lisst sich, ohne dass eines dervorstehenden Theoreme seine Giltigkeit verliert, dahin abandern, dass beiconjugirten Werthen derPaare u,,0,unveriinderliches Zeichen besiteen muss. 138 VI.Verallgemeinerung einiger Thooreme des Herma Weierstrass, ‘Um dieRichtigkeit dieser Behauptung einzuschen, bedarf esnur desNachweises, dass beidiesen geinderten Bedingungen dieWurzeln derGleichung 4(¢) =0reell bleiben, indem hieraus derandere Satz folgt (pag. 127—129). Um diesen Nachweis zufthren, denke man sich ymittelat des zmEndo desvorigen art.angeflhrien Verfabrens ineine Summe von gleichbezeichneten Gliedern zerfallt. Wenn dann gder oben erwei- terten, aber nicht der urspriinglichen 2weiten Bedingung gendgt, so muss injener Zerfillung eine Anzahl von Gliedern, vom letzten an gerechnet, feblen. Dies festgestellt, kann man offenbar diebeiden urspriinglichen Bedingungen befriedigen, indem man firjedes in@ feblende Glied einanderes von derdurch dieZerfallung verlangten Form einsetzt, welches mit einem stetig abnehmenden Coefficienten verachen ist. Dann werden alleWurzeln derGleichung 4(f) =0reell, und dies bleibt biscurGrenze bestehen, wodieneu eingefihrten Glieder wieder verschwinden. Hieran schliessen sich nun einige weitere Untersuchungen, welche dieausserordentliche Tragweite dervorstehenden Bedingungen ineiner hdchst bemerkenswerthen Weise hervortreten lassen. Was diese Bedingungen firden gegenwartigen Zweck vorzugs- weise charakterisiert, besteht darin, dass durch siezwei Sétzo mitein- ander verknipft sind, von denen offenbar unter geinderten Bedingungen jeder ohne den andern bestehen kann. Am meisten Interesse bietet in dieser Bezichung derzweite von obigen Sitzen dar, indem derselbe durch einfache Modificationen inden bilinearen Functionen g,¥suf unziblig viele Fille susgedehnt werden kann, indenen vondenobigen Bedingungen keine mehr orfallt ist, 6. Ich bezeichne durch ¢— 2+ iycine complexe verinderliche Grésso und, indem zund yinderGblichen Weise alsrechtwinklige Coordinaten ineiner Ebene Edargestellt werden, jeden Punkt dieser Ebene durch denihm entsprechenden Werth von ¢. Indieser Ebene seieine Anzahl von Punkten Pgegeben, die keine Linie stetig erfllen, und eine Linie Lvon messbarer Lange, die einen dieser Punkte Penthilt. Inden bilinearen Functionen gund yersetze ich simmtliche Coefficienten durch complexe Functionen von s,die susserbalb der Pankto Pinderganzen Ebene Eeinwerthig, endlich undstetig sind, und anderganzen Linie Lentlang den folgenden Bedingungen ge- nllgen: _ ‘VLVerallgemeinerung einiger Theoreme desHerrn Weierstrass. 139 1)dass [gh] und[hg], sowie (gh) und(hg) anLentlang conju- girt sind; 2)dass g,wenn jedes Paar u,,v,durch einPaar von stets 2u einander conjugirten Variabeln ersetzt wird, anZentlang keines . Zeichenwechsele fahig ist; 3)dass man anZentlang aufkeinen Punkt trifft, indem awei, vorher von inander verschiedene Wurzeln der Gleichung A()=0 cinander gleich werden. Bezeichnet man nun durch Qdiejenigen Punkto derEbene E,in denen eine dieser Wurzeln unendlich gross oder einer sonst von ihr verschiedenen gleich wird, sofolgt ausdenvorstehenden Bedingungen derSatz, dass indorganzon Ebene EmitAusnahme derPunkio Qdie Unterdeterminanten 4,,(¢) jeden Linesrfactor von (¢) héch- stens einmal weniger enthalten, als diese Function selbst ihn besitzt. Beim Beweiso dieses Satzes habe ichdiogenauere Erérterung mebrerer Punkte nicht umgehen zuqirfen geglaubt. Zuniichst schicke ichfolgende Bemerkung ber dieVertheilung derPunkte Qinder Ebene Evoraus. Setzt_man 4(¢) seiner Zerfillung inLinearfuctoren gleich, und bezeichnet durch Kden Factor der hichsten Potenz von —¢ imAus- drucke von 4(f), 90folgt, dass einer dieser Linearfactoren, also eine Woarzel derGleichung 4(¢)=0, nur daon unendlich werden kann, wenn entweder 4(¢) flrjedes endliche ¢unendlich wird, oder, falls dies endlich bleibt, wenn Kverschwindet. Das erstere findet nur in Punkten Pstatt; diePankte P,indenen dieausserhalb derPunkte P einwerthige, endliche und stetige Function Kverschwindet, kénnen keine messbare Linie stetig erfillen, weil Knicht inder ganzen Ebene gleich Null ist. Dasselbe giltausgleichen Griinden vondenPunkten P",indenen awei, sonst voneinander verschiedene Wurzeln der@leichung 4(t) —0 cinander gleich werden. InderThat istdasaussimmtlichen Diffe- renzen dieser Warzeln gebildeto Produkt inBezug aufdieselben sym- metrisch, also cinwerthig, und daesnur mit einer dieser Wurzeln mugleich unendlich oder unstetig werden kann, ausserhalb derPunkto P,P’endlich und stetig. Daeswegen 3)anLentlang vonNull verschieden ist, sokénnen diePunkte P’, indenen esverschwindet, keine Linie von messbarer Linge stetig erfillen. Daraus folgt, dase diePunkte QinderEbene Esovertheilt sind, dass sicflrsich allein keinen Theil derselben véllig begrenzen. 140 VI. Verallgemeinerung einiger Theoreme des Herm Weierstrass Dies festgestellt, seiinirgend einem Punkte derLinie L 4) =K(0— 9 —0.6 undjede derGrésten s,s,,...8, vonjeder andern verschieden. Dann sindwegen 3)dieExponenten m,m,,...m, derverschiedenen Linear- factoren anLentlang unverinderlich, and dieGréssen ¢anfderselben Strecke reell. Ausserdem liefert das Weierstrasssche Theorem suf dieser Linie flr4,(f)einenAusdruck Aa)=(8=OP-*(5,— B15, 8a), wo8,(t) eine rationale ganze Function von¢ist Eshandelt sich nun darum, zubewsisen, dass beigehdrigen Be- stimmungen Uber dieden Gréssen sausserhalb Lbeizulegende Be- deutung diese beiden Zerfillongen susserhalb der Punkte Qinder ganzen Ebene Egiltig sind. DieGréssen 5,s,,...8, sind vorliufig nurdurch dieFactoren- zerfillung von4(f), also anLentlang definirt. Man kann sich die- selben aber auch noch aufeine zweite Art, nimlich dadurch entstanden denken, dass dervorher ausserhalb Lbefindliche Punkt #durch stetige Ortsinderung indiese Linie eintritt, wobei dann dieWurzeln der Gloichung (¢) =0stetig indieGréssen 5,s,,... s,Ubergehen. ‘Aus diesem Grunde kann man daher auch rickwarts die an L entlang durch die obige Factorenzerfillung definirten Functionen s mittelst derDifferentialgleichung g=SLV=1 vondieserLinieous zubenachbarten Flichentheilen stetig fortectzen. Figt man, umhier- beijede Unbestimmtheit suszuschliessen, dieBedingung hinzu, dass dieFortsctzung dieser Functionen von Zausnach gegebenen Theilen von Estets gleichzeitig andenselben Flichentheilen entlang erfolgen soll, s0fillt jede von ihnen anjeder Stelle miteiner dort vorhandeneo Wurzel derGleichung 4(f) =0zusammen, dadiese Fortsetzung nach einem bekannten Satze nuraufeine Weise méglich ist, also zuden- selben Functionen zuriickfthren muse, aus denen man sich, auf dem vorhin beschriebenen Wege nach Z,zurtickkehrend, diedort gegebenen Funetionen sentstanden denken kann. Beidieser stetigen Fortsetzung. der Fanctionen sistkein Theil der Ebene Eunerreichbar, dadie Punkto Q,welche allein bei derselben umgangen werden miissen, einen Theil dieser Ebene von denUbrigen trennen. Bei der gleichzeitigen Fortectzung aller sverwandeln sich die rechten Seiten obiger Gleichungen, dieich durch D(f), Da(t) be- zeichnen will, incomplexe Functionen von4,dieinjedem Augenblicke ausserhalb derPunkte Qeinwerthig, endlich und stetig sind. Dadio Differenzen 4()— D(6), 4y(f)—Dy(O anderLinie Lentlang ver- ‘Vi.Verallgemeinerung einiger Theoreme desHerr Weierstrass, 141 echwinden, sokinnen siedemnach ausserhalb der Punkte @auch in einem anderen Theile der Ebene von Null verschieden sein. Damit istderobige Satz. bewiesen. Wenn ineinem Punkte Qzwei vorher verschiedoue Warzeln s und s,einander gleich worden, sowird dort 4(f) den Factor s—t imAllgemeinen zweimal ofter enthalten als4,,(f), nimlich stete und auch nur dann, wenn dort 4,,(f) nicht ohne Rest durch s—¢ theil- bar wird. Derobige Satz beschrinkt sich offenbar nicht anfdenFall, wodie Functionen [gh], (gh) bloss von einer einzigen Variablen »abhingen. Esseien 2,£,,£)--- complexe Variable, undibnen entsprochend L,L,,L,,... ununterbrochen zusammenhingende Werthenreihen, von denen jede beidergeometrischen Darstellung derzugehérigen Variablen darch eine Linie von messbarer Linge reprisentirt wird. Sind alsdann alle[gh], (7h) einwerthige Functionen von#,6,4)-.-, welche denoben gestellten Bedingungen gentigen, solange jede Variable 4,dorenteprechenden Werthenreihe Z,angehrt, und deren Unstetig- Keitastellen Pdurch keine dieser Werthenreihen gehen und auch keinen ‘Theil desGrossengebietes vollstindig begrenzen, aus welchem die Varisblen +,4,4,-..ihre Werthe entnehmen; dann gilt derobige Satz imganzen Umfange dieses Gebietes, mit Ausnahme derjenigen Stellen Q,andenen entlang eine derFunctionen s,s,,...s, aufhort, endlich oder vonjeder anderen verschieden zusein. Der Beweis dieses Satzes, inwelchem dieEinwerthigkeit der Functionen [gh], (gh) auch durch Bedingungen erzwungen sein kann, ergiebt sich durch wiederholte Anwendung des vorigen; man liest niimlich inderVorauseetzung, dase jede Variable #,inderentsprechen- den Werthenreihe Z,enthalten ist,zunichst nur#ausZheraustreten; dann weist man sausserhalb Zeinen festen Werth an,und lisst nun auch ,ausJ,herausriicken, u.s.w. Dann hirt derSatz nach der oben angewandten Schluseweise inkeinem Augenblicke auf, gilltig zu sein, solange man inkeine derdurch Qbezeichneten Stellen eintritt. 1 Der hiermit begriindeto Satz lisst sich nun ohne Weiteres auf solche Fille suedehnen, wodieerste von den oben gestellten Be- dingungen ingogobener Weise verletzt ist. Wenn nimlich dieCoefficienten derbilinearen Functionen 9’,y’ dieser ersten Bedingung nirgendwo oder ankeiner nachweisbaren Strecke entlang Genge leisten, sofuhre man statt g',y’zwei neue bilineare Functionen @,yein, deren Coofficienten man alscinwerthigo 142 VI.Verallgemeinerung einiger Theoreme des Herrn Weierstrass. Functionen von£sowilt, dass siefr¢—0 mit denCoofficienten jener zusammenfallen, und aneiner Linie Lentlang dieverlangte Eigenscbaft annehmen. Wenn alsdann pund 4(f) aufeinem mess- baren Sticke dieser Linie auch den Obrigen Bedingungen geniigen, und im Punkte s—=0 keine susserhalb desselben von einander ver- schiedenen Wurzeln der Gleichung 4(f)—=0 susammenfallen, auch keine derselben dort unendlich wird, soistdieGUltigkeit desSatzes auch firdiesen Punkt, d.h.firdieDeterminante von y— tg’und ihre Unterdeterminanten bewiesen. Am Einfachsten erawingt man dieerste Bedingung durch Kin- fhrung linearer Functionen vons.Haben indenFunctionen P=Zgh}uyn, v=Z(ghyyrs die Coefficienten (gh, (9h)’ beliebige Werthe, und bezeichnet man durch [ghJ', (9A)" ihre Conjugirten, soertheile man inden statt jener mubetrachtenden Functionen g,yden Coefiicienten dieWerthe [ghATL", OKOAT4, (gh)=ontcoor"4oYson(—a); dann wird offenbar firs=0[gh] =[gh]; (gh) =(gh), dagegen ander ganzen Geraden x—1entlang [gh] zu[hg], (gh) 2(hg) conjugirt, Imgegenwirtigen Falle liegen diedurch Pbezeichneten Punkte imUnendlichen, diePunkte 2,indenen Kverschwindet, sowie die Punkte P", indenen sonst verschiedeno Wurzeln der Gleichung 4() =0 susammenfallen, sind nur inendlicher Zabl vorhanden, da Kund 4(t) inBesug auf¢algebraisch sind. Wenn daher diezweite Bedingung auf irgend einer messbaren Strecke der Geraden x—1 erfiillt ist, und der Werth ¢—0 keinen Pankt Poder P”bestimmt, somuss jeder Linearfactor der Deter- minante von y— tg’ inihren ersten Unterdeterminanten hichstens einmal weniger vorkommen, aleinihrselbst. 8. ImVorangehenden istgezeigt, wieman derersten vondenobigen Bedingungen geniigen kann, wenn sienicht bereits erfUllt ist. Die sich hieran scbliessende Untersuchung, obauch diezweite Bedingung erfillt ist,erledigt sich durch dasamSchlusse desersten Theiles dieser Arbeit angefthrte Verfahren. Esbleibt nurnoch ubrig, einbrauchbares Halfemittel anzugeben, welches unter Voraussetzung derbeiden ersten Bedingungen diejenigen Vi.Verallgemeinerung einiger Theoreme des Herm Weierstrass, 143, fiir dieExistenz und dieAnzahl vielfacher Wurzeln der Gleichung A() =0 liefert. Dasselbé istinderfolgenden Umkebrung deszwei- ten Weierstrassechen Theorems enthalten. Wenn unter Voraussetzung der beiden ersten Bedingungen s eine Wurzel derGleichung (¢) —0,und(¢—s)"~" diehichste Potenz von t—s ist,durch welche dieUnterdeterminanten Aeo(!)y AxO)y +++Saal) alletheilbar sind, s0ist4(¢) durch (¢— )",aber durch keine hdhere Potenz von ¢—s theilbar. IstpderExponent derhéchsten Potenz von ¢—s, durch welche A(® obne Rest theilbar ist, soistjede Unterdeterminante 4,,(t) (p—1)-mal durch t—z theilbar; also kann pnicht grisser alsm sein. Dass esauch nicht kleiner alsmsein kann, ergiebt sich durch folgende Betrachtung. Sind @undabeliebige reelle Zahlen, sohatjedeGleichung (pag. 128) ‘ aay Al)+eeAya(f)+0€-dio(®)+eC5pRyag~9 ‘preclle Wurzeln, diomitabnehmendem ¢stetig insUbergehen, wenn sienicht schon unabhingig von ¢gleich ssind. Imletzteren Falle wirde 4,,(t) durch (¢—s)° theilbar sein. Istdagegen eine jener pWurzln von oabhingig, und fir ein verechwindendes @bis auf Gréssen hdherer Ordnung gleich $-+.ag"++--—4, 90erhiilt man dieGleichung (pag. 129, womdurch pzuersetzen ist) Him[cogentetpadlenerenyas] on eo) ual)=Tim40, 40rr ataawo¢denWerthvonweyflrtsbedeutet, unddasZeichen lim. sich aufdieAbnahme von @oder ¢—s bericht. Nimmt man nun an, esseip—1<m—1, s0wird dierechto Seite, also such jeder der beiden conjugirten Factoren zur Linken gleich Null. Inderhicraus folgenden Gleichung ‘. 40 Jim.[eagt-1 +areaFol-0 istderersteSummand firjedenWerthvonaund¢reell,daucine ganzeZablist.Daferner(ssfir9—0oderfsvon@ganz unabhingig wird, sowirde man, wenn derGrenzworth Adieses Quo- 144 VI.Verallgemeinerung einiger Theoreme desHern Weierstrass. tionten von Null verschieden wire, den Winkel «sowihlen kénnen, dass dasProduct Ae‘ imaginér wird, wasmitdem Verschwinden der Summecag’-+Aeunvereinbar istDahiernachhsauch unter dergegenwirtigen Vornussetzung firt= verschwindet, 0ist 4,x(b, sobald p<m ist,inallen Fallen durch (¢—s) theilbar. Dann aber iatauch dioDerivirte von 4(é) durch (¢—s), also (4) selbst, weil esftir¢—s verschwindet, durch (f—s)*+* theilbar, gegen dio Voraussetzung. Folglich kann auch nicht p<m sein, w.x.b.W. Wenn 4(¢) durch diem, aber durch keine hdhere Potenz von t—s theilbar ist,soistumgokehrt (¢—s)"-1 diehéchste Potenz, durch welche simmtliche 4,,(¢) ohne Rest aufgehen. InderThat bildet dioAnnabme desGogentheils einen Widerspruch mit obigem Satze. Dahiernach dasBestehen desSatzos mit einer Verletzung der ihm zuGrunde gelegten Bedingungen unvertriglich ist, a0sind diese zuseiner Giltigkeit nicht bloss ausreichend, eondern auch nothwendig. Dagegen sind sienicht stets von einander unabhiingig. Istnimlich inobigem Satze m—1>1, soistdieBedingung, dass scine Wurzl der Gleichung 4(f)=0 sein soll, von selbst erfullt. Wenn die bilinearen Fanctionen g,yden beiden ersten Be- dingungen gentigen, soistdiesoffenbar such mitdenbilinearen Func- tionon g,¥,derFall, dieman ausjenen erhilt, indem man 4=0, 0,0 setzt, Daaber dieDeterminante von y—tp, nichts Anderes als4,,(0) ist,40gelten fiirdieBeziehungen zwischen dioser undihren eigenen Unterdeterminanten dieselben Sitze, wie fir dieBezichung zwischen 4(t) und 4,,(t) selbst. Ist4,,(0) firjedes gdurch (¢—s)"-* theilbar, 80muss hier- nachinderidentischen Gleichung ,AWAD =4440 =50)Zens dierechte Seite, und mitihrdasxweite Glied derlinken flrjedes ‘und Amindestens (m—2)-mal durch t—s theilbar sein. Daaber 4,(t) und 4,,(t) alsconjugirte Gréssen den reellen Factor ¢—s gleich oftbesitzen miissen, soenthiilt jede von ihnen diesen Factor mindestens [">1]-mal, wennmansodiegrisste in">"enthaltene ganze Zahl bezeichnet, Aus dem linearen Ausdrucke von4(¢) durch dieUnterdeterminanten einer beliebigen Reihe folgt also, dase auch A(f)selbstdenFactor¢—smindestens (257), alsoihnjeden- falls besitzt, sobald m—1> 1ist. VLVerailgemeinerong einiger Theoreme des Herm Weierstrass, 145 Durch diese Sitze istdieFrage, obund wieviel Linearfactoren von 4(f) einander gleich sind, aufdieErmittlung derjenigen gemein- samen Factoren derUnterdeterminanten y(t), 4yy(0),--- Saa(t) 20> riickgeftthrt, mitdenen 4(¢) 2ugleich verschwindet. Eslisst sich mittelst derselben such umgekehrt beurtheilen, wie man mudenBedingungen gelangen kann, welche erflllt sein mtssen, wenn dieAnzahl dervon einander verschiedenen Linearfactoren, und von jedem derselben derExponent gegeben ist. ‘Um zudiesen Bedingungen zugelangen, bedarf esnur einer Wiederholung derobigen Sitze. Damit 2B.4(¢) einen Linearfactor m-mal enthalte, muss jedes 4,q(¢) ibn(m—1)-mal besitzen; daaber derSatz auch fir4,,(¢) gilt,somussjedezweiteUnterdeterminante Patol ihn(m—2)-‘mal enthalten, u.8.w. Umgekehrt, wenn alle Unterdeterminanten rao 86,91)2G495) 29-1 9m) einen einzigen Linearfactor mit einander gemein haben, mit welchom augleich alle zuniichst vorangehenden Unterdeterminanten _ tay 2G:9:)---8Gm—Im—2) verschwinden, soist4(f) durch ihnm-mal und nicht éfter theilbar. Eswire dberfldssig, diehieraus flrallgemeinere Fille durch Zusammensetaung folgenden Regeln suszufhren; ebenso kénnen An- gnben ther gelogentliche Erleichterungen beiderwirklichen Aufatel- lung derbesprochenen Bedingungen bergangen werden, dasiedurch dasobige Theorem inVerbindung mitdemjenigen, dessen Umkehrung csist,offen dargelegt sind. Ztrich, 1864. 2KR.Obristotte, GoummsieAbbandiogee. I 10 VII. Ueber diekleinen Schwingungen eines periodisch eingerichteten Systems materieller Punkte. (Gournal furdioreine und angewandte Mathematik, Bd,63,1864, 8.278288, Die vorliegende Abhandiung enthélt dievollstindige Lésung dee bekannten Problems, dieunendlich kleinen Schwingungen eines Systems riumlich getrennter materieller Punkte 2ubestimmen, zwischen denen anzichende und abstossende Krifte wirken, und welche inperiodisch wiederkehrenden Gruppen imRaume vertheilt sind. Cauchy, welcher mitdiesem Problem deranalytischen Optik eine neue Grundlage zugeben gedachte, legte demselben eine grosse Be- deutung bei, wie ausden zablreichen Abhandlungen hervorgeht, in denen ersich mitdiesem Problem beschiftigt. Dieselben finden sich, soweit siemir bekannt geworden sind, inden Comptes rendus vom9biszunf30"Bandeundim22"BandederMemoiren derPariserAkademie; dieersteren sind zum Theil inden Exercices wiederholt. Der niichste Weg, welcher sich zurLéeung desvorliegenden Pro- blemes darbietet, besteht inderErmittlung der Gesetze, nach denen dieperiodischen Bewegungen desSystems inebenen Wellen erfolgen. Sind diese bekannt, soliefert derFouriersche Satz unmittelbar dieall- gemeinen Formeln firdieBewegung, welche aufeinen beliebigen An- fangezustand folgt. Aber diese Lésung kann nicht alsvollendet angeschen werden; imart.III.derfolgenden Abhandiung wird nachgewiesen, dass die vielfachen Integrale, aufwelche man durch denFourierschen Satz ge- fubrt wird, Elemento enthalten, welche derLésung vollkommen fremd sind, und welche daher durch eine Reduction jener Integrale aus- geschieden werden miseen. Durch eine gonauere Untersuchung deralgebraischen Functionen, welche indiese Integrale eingehen, istmnirdieverlangte Reduction ge- lungen, zunichst fiirdieeinfacheren Ausdricke, welche Cauchy am Schlusse des§.2.seiner Abhandlung dber dieFarbenzerstreaung giebt, dann auch flrdieLésung desallgemeinen Problems. Vil Ober dieKleinen Schwingungen eines Systems materieller Pankte. 147 Indervorliegenden Abhandlung istderumgekehrte Weg ein- geschlagen worden, Nachdem imart.III. nachgewiesen worden ist, welche Reductionen sich beiderAnwendung desFourierschen Satzes alsnothwendig herausstellen, wird dieAufgabe sogestellt und be- handelt, dass man vonAnfang andieGewissheit hat, dieLésung in einer Form zuerhalten, welche keiner weitern Reduction mehr be- durftig ist Eshatsich aufdiesem Wege dasmerkwirdige Resultat ergeben, dass dieBewegung deszuuntersuchenden Systems, auch unter den allgemeinsten Voraussetzungen, stets nur von einer einzigen Klasse analytischer Funetionen einer verinderlichen Grisse ¢abbiingt, deren reelle Werthe die seit deranfiinglichen Gleichgewichtsstorung ver- flossene Zeitbestimmen. Diese Functionen habe ichdurch T/),. be- zeichnet, und ihren Ausdruck durch eindreifaches Integral mitend- licher Begrenzung imart.1X.Formel 18angegeben. 1 Obgleich dasProblem, mitwelchem dievorliegende Abhandlung sich beschiftigt, allgemein bekannt ist, lisst sich doch eine ausfubr- liche Darlegung desselben nicht fuglich umgeben. IstITeinSystem materieller Punkte, 60wird dasselbe vollkommen homogen genannt, wenn esfolgenden Bedingungen geniigt: 1)Alle Punkte desSystems besitzen dieselbe Masse. 2)Sind a,b,¢irgend welche Punkte desSystems, und zieht man aus¢eine Gerade cdvongleicher Linge undRichtung wie ab, soistdebenfalls einPunkt desSystems. Fagt man zudiesen Bedingungen dasGrandprineip deratomistischen Theorie, 8)dass dieEntfernung zweier materieller Punkte, wieklein sie imUebrigen auch sein mag, doch niemals unter jeder Grenze liegt, soistdasSystem JTnothwendig einreticulares, d.b.diemateriellen Punkte dieses Systems befinden sich inden Durchschnittspankten dreier Schaaren von Ebenen, welche denRaum incongruente Parallel- epipeds zerlegen*); lisst man den besondern Fall, woeine oder zwei Kanten dieser Parallelepipede unondlich gross sind, unberiicksichtigt, sosind also dierechtwinkligen Coordinaten x,y,#derverschiedenen Punkte m,,,. desSystems JTdurch lineare Gleichungen 1)Manvergleiche Dirichlets Abbandlung tberdiepositiventernirenquail.Formen, dieses Journal Band 40. 10? 148 VIL Uber diekleinen Schwingungen eines Systems materieller Pankte. cmataltal tal’, mee YRBEOL EET +O, gmyteltel el" gegeben, indenen 1,1’,1”jedes ganzzahligen Werthes fihig, und die Ubrigen Gréssen rechter Seite unverinderlich sind. Diese Definition lisst sich, wieCauchy bemerkt*), aufhomogene Mittel, welche auschemisch differenten Atomen zusammengosetzt sind, nuranwenden, wenn man sich dieMassenpunkte m,,,. durch Atomen- gruppen ereetzt denkt, welche umjode Ecke dervorhin erwabnten Parallelepipedo ingleicher Weise angeordnet sind. Wir fiigen hiernach zum homogenen System JInoch Nandere, I,Th,...Ty, diesogeordnet sind, dass dieCoordinaten deszuI, gehdrigen Punktes m{,,, mitdenobigen durch dieGleichungen Mem y= Z—8,%—B—Y— ByH—m=E—T verbunden sind. Zujeder Werthengruppe (,U1”) gehdrt dann eine Gruppe materieller Punkte m,,, mi, ...m®,,, dieinihren physi- kalischen Eigenschaften Ubereinstimmen oder von einander verschieden sein kénnen. Diese Gruppen wiederholen sich periodisch aufdieselbe Weise, wie diePunkte desSystems JT;ihre Gesammtheit kann also ebenfalls alseinhomogenes System Pangesehen werden. Essind nun die superponirbaren kleinen Schwingungen eines solchen periodisch eingerichteten Systems P,mit denen diegegen- wirtige Arbeit sich beschiftigt. Und zwar flgen wirzudenobigen Vornussetzungen Uber dieEinrichtung dasSystems Pnoch diefolgen- den, welche dieinihm wirkenden Krifte betreffen. Wir setzen voraus, dase zwischen deneinzelnen materiellen Punkten von PAttractionen (Ansichungen und Abstossungen) wirken, durch welche sie,beideroben beschriebenen Einrichtung desSystems P,im stabilen relativen Gleichgewichte erhalten werden. Esseien ferner mi, undmi.4y4_r2WeibeliebigePunkte “von P,deren Massen und Coordinaien bezichungeweise m',2,Yi)# und m!,2,yj,#,sind. Dann wirkt anmin Folge dergegenseitigen Attraction beider Punkto inihrer Verbindungslinie eine Kraft, diebloss von ihrer Entfornung (ik) abbingt, und durch ait] ag) 1)Comptes rendus Tome 9,pag. 858 VIL. Uber dieKleinen Schwingungen eines Systems materieller Pankte. 149 bereichnet werden soll. Die Componenten dieser Kraft werden also ausgedriickt durch £7 Ox,’ Oy? Om Ueber dieMassen m,m',... m, 80wie Uber dieAttractions: gesetze, welchedurchdasZeichen ,./,,917)beiverschiedenen Werthen derIndices iund &dargestellt werden, lassen wir dieallgemeinsten Voraussetzungen bestehen; wir setzen also weder zwischen zwei von jenen N-+1 Massen, noch zwischen zwei von den imAllgemeinen denkbaren }(N+1)(N+2) Attractionsgesetzen dieGleichheit voraus.DadieDifferenzen 2,—2,y,—Y#,—fyvondenendieerste nach deroben eingefthrten Bezeichnung —a,—a,+an+a'n'+a"n” ist,nurnoch von denganzen Zablen n,n’, n”abhingen, welche fr denangezogenen Punkt m‘,,, dierelative Lage desanzichenden Punktes ms.4.renre¢qrbestimmen, soerhiiltmandieGleichgewichtsbedingungen firjeden’ Punkt m’,,, vonJZ,,wenn manindenGleichungen ater aie aie 0)OMBa BI MHBa dieerste Summation Uber alleganzzahligen Werthe vonn,n,n", die aweite Uber dieWerthe k=O, 1,... .Nerstreckt, mit Weglassung descintigen Gliedes (n= n'—=n"—0, k=i). Ertheilt man hierauf dem Index iderReihe nach dieWertho 0, 1,....N, #0ergeben sich dievollstindigen Bedingungen fir das Gleichgewicht desSystems P. IL Dadasrelative Gleichgewicht von PderVoraussetzung gemiss stabil ist,sokann man seinen Punkten 20Kleine relative Ortsinde- rungen und Geschwindigkeiten ertheilen, dass dieselben indernach- folgenden Bewegung unsufhdrlich innerhalb belicbig enge gewiblter Grenzen beharren. Man kann also bewirken, dase jede relative Ortsinderung fort- wihrend unendlich Klein bleibt. Dann lassen sich diebeschleunigenden Krifte injedem Augenblicke durch dieOrtsinderungen linear aus- dritcken. Folglich sind dieBewegungen inunendlich kleinen relativen Ortsinderungen superponirbar. Bezeichnet man zur Zeit ¢die zuden Axen parallelen Ver- schiebungen 150 VIL. Uber diekleinen Schwingungen eines Systems materieller Punkte. fe)[HePanklos me durch Eee=Boter=MiBe=fo [ae rake Mem eeniren durch Bytybs soerhilt man ausdenGleichungen (1.)dieamPunkte m},,. zur Zeit ¢wirkenden Componenten, wenn man aufderrechten Seite tiber- allundfrjeden2;—ay9—%ysmdurch#)—2,48)—byHt ty H+ EE, onelat, also ai,y,#,bentiglich um Bb th— no&—& wachson Tisst. Daraus ergeben sich dieGleichungen flrdiesuperponirbaren Be- wegungen desSystems Pinfolgender Gestalt: ier fCmoe ae Wt a+Let], Ottewe ii OER) OUR)pe 8)me arash WtTw a)+Fae 8], 2B ate HUEgry)4MHWOOt ELwn)+Fe) Dieselben miissen firalle ganzzabligen Werthe von1,U,I”und firi=0, 1,... Nbestehen, Die Bedingung, dass beiden Summa- tionen das Glied (n—n'=n"—=0, k=i)weggelassen werdensoll, braucht jetzt nicht mehr beriicksichtigt zuwerden, dabeidiesen ‘Werthen derSummationsindices dieFactoren §;—&,u.8.w.sich auf ‘Null reduciren. UL Seit den Untersuchungen Cauchys ber diereticularen Systeme pflegt man den Anfangszustand eines solchen Systems durch stetige Fanctionen derCoordinaten auszudriicken, welche nicht bloss den ma- teriellen Punkten des Systems, sondern auch den sieumgebenden massenfreien Punkten Anfangsverschiebungen und Geschwindigkeiten anweisen. Indem man hierauf dieDifferentialgleichungen derBewegung auf alle Punkte desRaumes ausdehnt, bestimmt man mittelst desFourier- schen Satzes eine Bewegung descontinuirlichen Raumes, anwelcher die inihneingetauchten materiellen Punkte ihrem Orte gemiiss theilnehmen. Beidiesem Verfahren wird dieBewegung desmateriellen Punkt- systems abhingig gemacht, nicht bloss von seinem eigenen Anfangs- zustande, was firjeden einzelnen Punkt desselben inirgend einem Um- fange derFall sein muss, sondern auch noch vom Anfangszustande des massenfreien Raumes, was inWirklichkeit nicht der Fall sein kann. VIL. Uber dieKleinen Schwingungen ines Systeme matereller Punkte. 151 Vondiesen, derLésung nothwendig fremden Elementen kanndieselbe nurdurch dieReduction dervielfachen Integrale befreit werden, welche durch den Fourierschen Satz eingefihrt worden sind. Um diesen Usbelstand zuvermeiden, geben wir den Anfangs- mustand des Systems Punmittelbar durch dieVerschiebungen und Geschwindigkeiten seiner eigenen Punkte. Sei a 36at 4 flrt=0, peb=Te, haat, “ ior8m_gts (4) terUAV Gere is2 3b_ gieeferhaPre Bmore Dann lisst sich daszuIdeende Problem wiefolgt aussprechen: Essollen, fir alle ganzzabligen Werthe von 1,,1"und flr i=0,1,0..¥ Bers Tees Ser alsFunctionen derZeit ¢und derAnfangswerthe VundGden Gleichungen (3:und(4.) gemiss bestimmt werden, Iv. Unsere nichsto Aufgabe besteht darin, zuermitteln, inwelcher Weise diegesuchten Functionen vondenAnfangswerthen abhingen. Zndiesem Zwecke Inssen wiranStelle desdurch dieGleichung (4) dargesteliten Anfangszustandes einen andern treten, inwelehem nur der Punkt Mayreriter inseinem Gleichgewichte gestért worden ist,und auch diesem Punkte nur unendlich Kleine Verschiebangen und Geschwindigkeiten <V,27’, @¥” und 2G, 2G’, 2G” ertheilt worden sind. Aus dieser Gleich- gowichtestérung entepringt eine Bewegung desSystems P,inwelchem wirdieVerschiebungen desPunktes Mee zurZeit ¢durch X,Y,Zbezeichnen wollen. Wir wollen zweitens voraussetzen, dass man zur Zeit t=0, ohne dasGleichgewicht dertbrigen Punkte desSystems zustéren, 152 VIL Usber dieKleinen Schwingungen eines Systems materieller Punkte. dieVerschiebungen @V, @V’, @V” und dieGeschwindigkeiten 2G, 2@', 2G" dem Punkto mre ertheilt habe. Bezeichnet man alsdann inderhieraus erfolgenden Be- wegung desSystems PdieVerschiebungen desPunktes Me zurZeit tdurch ¥,),8,80muss wogen derEinrichtung desSystems P X=%, Y-9, 27-8 sein. InderThat werden dieimzweiten Falle gemachten Voraus- setzungen mit den auf den ersten Fall bezglichen véllig identiseh, wenn man dasSystem Pohne Drehung solange verschiebt, bisder Punkt mi. nach mt, 14,247 Fckt, wobei dann jeder Punkt mi,,.. nach ms rsnareer undinsbesondere m{,, nach m‘,,. geschoben wird. Far dieGréssen X,%,Y,... lassen sich aber leicht bestimmte Ausdrlicke finden. Superponirt man nimlich jeden der beiden An- fangsmustinde, aus denen sieentspringen, mit dem durch dieGlei- chungen (4.)bestimmten, sowerden imersten Falle dieAnfangewerthe (P%, G4,V8, gnaeetma,2G,2V’,...,undinFolge dessen dieVerschiebungen (£,7,$f, umX,Y,Zvermebrt; im sweiten Falle, wodieAenderungen cV, 2G, ¢V', ...den Anfangs- werthen (V*, G%,V%+1,...),,.,. ertheilt werden, indern sich(&,%Dep umX,9,8. Drickt man demnach dieVerschiebungen X,%,¥,...durch die Differentiale derGréssen Ei, Eye, irs ---nach den geinderten Anfangswerthen aus, soergiebt sich ausibrer Gleichheit 2.B. Bie ; aber tire 7 Km t gag C+ ie “OV teOVE reraer Gi renee VR eeraee 2t00 B00 - my 3 -z- tho ay 2 “2G Seo BV penBar OFFate +ap + undallgemein, wenn man einen derBuchstaben £,9,§durch (&,1,6), und einen derBuchstaben V,Gdurch (V,@)bezeichnot 6) 2b Birr 2Goo,IM aenaree OMOar’ VIL Usber dieKleinen Schwingungen eines Systems materieller Pankte. 153 firi=0,1,....N,j—0, 1,...3N+2,undalleganzzahligen Werthe von a,2%,4",1,0,0". Wir setzen vonjetzt an Boo aes.Otiwo pasty Ao_paveswoWheMitteGyeRaeGyeBae ito gins Athen guerny ton guenns BGfyn SEY Zap, Ses Zqpee Ses und werden imfolgenden art.zeigen, wie sich dieBestimmung der Functionen £,7,{vollstindig aufdieErmittlung derFunctionen R und §zuriickfahren last. v. Zuniichst ergiebt sichausdenflr¢—0 stattfindenden Gleichungen Rao—Vth,i—C2,boVas"8.mitHolederGleichangen (6.), dase firt—0, miteinziger Ausnhme von mnReiundoe(j=0,1,...8N +42), welche gleich1werden, alleabrigen Functionen R,8,4%,SF verschwinden. Ferner erhilt man ausdenGleichungen (3.), indom man sienach einem Anfangewerthe differentiirt, mit Hilfe der Gleichungen (6.) Differentialgleichungen, denen dioFunctionen Rund$gendgon missen. Beachtet man, dass nach (5.)und (6.) aufGrund der inart.I eingefthrten Bezeichnung BGO; AmB mrewsranr OEmEWO ewrenvee COL rerWOnewirw (PM, PE, PED anaes AtmOspsy paernsparenTWHvareceee , deve ist,woPdurch Roder Szuereotzen ist,jenachdem man nach Voder Gdifferentiirt, 40erkenntmansofort,dassman,umdieGleichungen(3.) nach(V,Gy,4ra¢e 20differentiiren, nurnéthighat,dortdberall Baty &durch Pits PA Pie? 154 VIL. Usber dieKleinen Schwingungen eines Systems materiller Pankte . und die Differenzen Bb ttm &—& durch Pacer Pe BPI aege=PitBee, PEMaura Panty=penne? mi ersetzen. Bebilt man diese Bezeichnung zur Abkirzung bei, soergiebt sich also artis. BFE)ganasUHLpenssacsOUR)genes.scen][eRe CaesOFcarayBNgalasBEN Ore BEE]gpanseyOE)pareysigs 4OURparesis @ifaeDLLesaBetGyeBtnFaasBee, erie! BUH) gyanseg2H] gpanssscerySALgpsnes,sees mse LaatbagBEgag BUTilgeeed) Fagt man zudiesen Gleichungen dieBedingung, dass flr#—0undj-0,1,...3N+2 apg (8) Pah, aa8 werde,undalledbrigen Functionen Pund4?verschwinden, sowird offenbar LP—R, wennmanalle—1, alleB/—0setzt;ILP=S, wennmanalle&/—0, alleB/—1setzt, gleiche Indices beiP,Rund Svorausgesetat. Diese Bedingungen zeigen, was auch flrsich klar ist, dass die Functionen Rund Svon den Anfangswerthen Vund Gunabbingigsind;alsosind(5.)und(6.)dieVerschiebungen §,1und{lineareFane- tionen derselben. Dadiese Functionen verschwinden, wenn man alle Anfangswerthe aufNull reducirt, soerhiilt man ausden Gleichungen (6)und (6) (9)Yttreae Visursrarset Ste”Glywaeeagels AS tee= Visurenarget SiteGayrerareels $ ‘VIL. Uber dieKleinen Schwingungen eines Systems materieller Punkte. 155 wovon den beiden Summationen sich dieerste ther alle ganzzabligen Werthe von 2,2’,2",und dieaweite sich ther dieWerthe j=0, 1,2... 3N+2 erstreckt vi. Man kann eine Particularlésung derGleichungen (7.) finden, in- demmanjedeFunktion P,,,,urExponentialgréase ¢!¢*@+/0OV=1 proportional setzt, wobei u,1,u”Constanten bedeuten, welche will- Ktirlich bleiben. Durch Superposition solcher Particularléeungen muss ‘man hierauf den Anfangsbedingungen (8.)Genilge leisten. InFolge derbesondern Beschaffenbeit dieser Anfangsbedingungon istesleicht, imVoraus das Resultat dereben bezeichneten Super- position zuerkennen. Essei@cine Function derVariabeln ¢,«, w,w',welche ebenso wieihreersteDerivirte °°firt=0vonw,w, w”unabhingig wird. Entwickelt man diese beiden Functionen firalle zwischen —2%undxenthaltenon Werthevonu,w,w”nachEx- ponentialgréBen o@"*#**+2Y-1, goverschwinden flrt=0alleCoef- ficienten indiesen Entwicklungen bisaufdiejenigen, welche derVor- aussetzung 2—2/—2"—0 entsprechen, Dies istgenau dievon den Funetionen P,,,. verlangte Eigenschaft. Wir setzen demnach (40) Phehyfatvatertenyteutwant wojede Integration awischen denGrenzen —xundxsuszufthren ist. Dann verlangen die Anfangebedingungen (8.), dass man flr t=0 habe (a1) iat, 2g, atmo, Ao, wenn Avonjverschieden ist. Femer ergisbt sich aus(10.) 1gpsfautVAE, gleeVoyoulau Wir setzen diese Ausdriicke indieGleichungen (7.)ein, und bedienen unsfolgender abktrzender Bezeichnung: ene eeey at 156 Vil. Ueber dieKleinen Schwinguagen vines Systems materieller Ponkte. ferner inderersten Gleichung SSS an [is] [a :Pe 8 -0=(81,31), DB 08i,88), ai ania : ait . DD ie Fea,0i8i41), -De -o=(8i,3k+1), DDH -DHG0-4,3542), DDFay0Gik+2), inder sweiten i ao ; ekPa Pr-@=(8i+1,84), ~Dieee0Bit1,3%), (12)7 - tiHET 0Gist8i+0),—SM)0Gi+1,3k+1), a Dg 0-Bi41,314+2), —DF-o=(Bi+1,8k+2), yeOFe how % jund inder dritien (i (6 ; aneDLA -DHayo-Gi+2,34),-Die-@=(3i+2,3%), DDH DF), 0i+2,31+1), -Dae o=(8i+2,3k+1), DDB -DAG -0-i+2,31+2), —DBE o=(Bi+2,38+2), wodieGleichungen derzweiten Verticalreihe kund ialsvon einander verschieden voraussetzen, Unterscheidet man indenGleichungen (7.) diebeiden Fille, wok=ioderkvon4verschieden ist,soerkeontman,dasedieselbensichmitHolfe dervorstehenden Bezeichnungen indiefolgenden verwandeln, in denen ipTOON yeuau"=2Byee gesetzt ist: o-fiEye [monta(6482 4B5,3k+ A48i,8h+90) |, eastets 0fe,yyme +(Git,sh"46i+1,3k+1) 244Bix,BkrDAHN), 280489 0-feOFmeoe+2(Gi42,8248i42, 5NAMHAYB42,3AM) |, wokbeiderSummation dieWerthe 0,1, ...Ndurchléuft ‘VILUeber diekleinen Schwingungen eines Systems materieller Punkte. 157 Diese Gleichungen missen flralleganzzahligen Werthe von2,2, 2”bestehen. Daaber dieindeneckigen Klammern stehenden Func- tionen von2,2',2”unabbingig sind, soergiobt sichausderTheorie dertrigonometrischen Reihen, dass siegleich Null seinmitssen firalle zwischen —x und aliegenden Werthe von u,w,w",d.b.firalle Werthe, welche diese Variabeln wihrond derIntegration durchlaufen. Jede dervorstehenden Gleichungen liefert also cine Differential- gleichung zwischen deneinzelnen Functionen .Setzt manderSym- tmetrie wegen inderersten m‘= w,,,inderzweiten mé— uy,,,, inder drittenm=4y,,,0dassmanflri=0,1,...Nhat _8) HaeHace=aces= sotreten diese Gleichungen simmtlich indieniimliche Form; man er- halt far hj=0,1,...3N4+2 panOSA (14) wae + (hg)=0. Auf diese Weise istdasurspriinglicho Problem aufdieIntegration des vorstchenden Systems gewohnlicher Differentialgleichungen mit Riicksicht aufdiein(11.) gestellten Anfangsbedingungen zurlckgefuhrt, Zudieser Integration sind indessen einige Vorbereitungen erforderlich. VIL Vorallem istesnotwendig, gewisse Eigenschaften derCoefficienten (hg) festzustellen. Zuniichet ergiebt sich ausihrer Entstehung, dass sienicht blose von derZeit ¢unabhingig sind, sondern auch von derStelle, welche derPunkt mi,,, imSystem II,oder Peinnimmt. Eine zweite Eigenschaft ergiebt sich unmittelbar aus den Glei- chungen (12). SieistinderGleichung (Bi+1,3k+0)=(Bi+0,3k+2) enthalten, wenn gund znach Belieben ausden Zahlen 0,1,2aus- gewihlt werden. Die dritte Eigenschaft, deren Kenntnis nothwendig ist, besteht darin, dass diebeiden Gréssen (gh) und (hg), welche imAllgemeinen complexe Werthe haben, stets zueinander conjugirt sind. Zam Beweise dieser Behauptung werden wir inden Ausdrticken derverschiedenen Gréseen (gh)dieVorzeichen derIndices n,n’,n” indern, was auf den Werth dieser Ausdriicke offenbar keinen Einfluss hat. 158 VIL. Ueber diekleinen Schwingungen eines Systems matorieller Punkte. Dann erkennt man zunichst leicht, dass dieGrissen (31+, 3i+0) simmtlich reell sind. Daausserdem (3i+7,3i+)=(3i+@,3i+z) ist,sowird indiosem Falle derobigen Behauptung nicht widersprochen. Wir wollen nun unter der Voraussetzung, dass kvon iver- schieden ist,diebeiden Factoren untersuchen, welche imAusdrucke von(3i+ 7,3k+) unter dem Summenzeichen stehen. DamannachartLundIl. Hazy —atanda'n pa"n", 2—2a —atanto hat, und dhnliche Gleichungon frdieanderen Coordinatendifferenzen gelten, s0folgt, dass x,—z,, y,—yy,#,—#, durch Aenderung desVor- zeichens von n,',n"in—(2\—¥), —(yj—dh)» —(6,— 4)vOr- wandelt werden. Gleichzeitig gehen also dieAusdricke Hieraus folgt, dase inden Gleichungen (12:) derZeichenwechsel derIndices n,n’, n”nursurFolge hat, dass aufderlinken Seite 1)dieZablen iund&vertauscht werden, und2)inderExponential- grosse @=e-«+IV=1 dieY—1 dasentgegengesetzte Zeichen er- hilt. Dadurch wird aber dieGrosse (3i+z, 3k+0) ohne Aenderung ihres Werthes indieConjugirte von(3k +z,31+ 0)=(3k-+0, 3i+2) verwandelt, w.z.b.w. Man kaon endlich noch eine vierte Higenschaft dieser Grésson (gh) bemerken; dieselben sind nimlich inBezug aufjede derdrei Variabeln u,w,u”periodisch, mit der Periode 2x. Daraus zicht man leicht denSchluss, dass diedurch dieGleichungen (11.) und(14.) bestimmten Functionen 2die nimliche Periodicitit darbieten mUssen. Vu. Setzt man w=Sane, =Sea, D sokann man dieGleichungen (14.) infolgende Form bringen: @(ae),av (5) (8) +2%-0, h=0,1,...8N42 Dadiese Gleichungen linear, undihre Coefficienten constant sind, sobiingt ihreIntegration, wiebekannt, nurvonderUntersuchung der Determinante der bilinearen Function wv—29! und ihrer Unterdeterminanten ab. VII. Ueber diekleinen Schwingungen eines Systems materieller Punkte. 159 Vergleicht man aber dieAusdriicke derFunctionen yundg/mit denjenigen, welche inder Abhandlung tber dieVerallgemeinerang einiger Theoreme desHerm Weierstrass (p.126) durch yund pbe- zeichnet wurden, soerkennt man sofort, dass diedort gemachten ‘Voraussetzungen imgegenwartigen Falle erfUllt sind. Setzt man nimlich [hh] —, und, solange gvon hverschieden ist,[gh] =0, 80wird oD en, . und essind nun (gh) und (hg), sowie [gh] und [hg] 2ueinander con- jugirt, wiedortverlangt wurde. Setztmanferner 2*/—x,+iy,, Hh=x,—iy,, 00wird g—Sp,(2i+y}). Dieskann, dasiimmtliche @alsMassen materieller Punkte positiv sind, nur verschwinden, wenn allerellen Variabeln xund ysich zugleich aufNull reduciren. Bezeichnet man daher durch {0er (01)...4(e)=) (10) (1)—we.| dieDeterminante vony—zg’,unddurch4,,(z)dieauseinerAenderung desElementes (ik) entspringende Unterdeterminante von4(z), sofolgt 1,dass alle Wurzeln derGleichung 4(z) —0reell sind. Bezeichnet man die von einander verschiedenen Wurzeln dieser Gleichung 3+ 3°Grades durch 80folgt weiter, TLdass man durch Zerfillung inPartialbriiche 4a) _ Ab erhiilt, wodieFactoren Avonxunabhingig sind, unddieSummation sich ber dieverschiedenen Wurzeln derGleichung 4(z) =0erstreckt. Endlich zieht man ausden Gleichungen (9.)derangefihrten Ab- handlung firdenvorliegenden Fall diefolgenden: bm po ° a 2agBasin Agee welche beijeder Bedeutung derGrissen 2°/, Q'/, ...stattfinden. 160 VIL. Usber diekleinen Schwingungen eines Systeme materieller Punkte Setzt man also as) 4,28 =Do.di,a4 =2, 0folgt ausden Gleicbungen (IIL) wD, (17) °savDagan Diesfostgestellt, multipliciren wirdieGleichung (15.)mitA%,, und addiren hierauf dieausihrfr h—=0,1,... 3N+2 entspringen- den Gleichungen zueinander; dann folgt araens naa +je 0. Daman aus(16.) und (11) far¢=0 ’ ant ’ RehmwyAM Ge—wy erhilt, 80istalso frcinbelicbiges ¢ + Ty singyt4—4,8)[const 8], mithin, wegen derGleichung (17.) 7 ofa saut), =m)D4, [Wreoss,e+9/ 2] Ix, Aus dem eben gefundenen Ausdrucke derFunctionen 2ergiebt sich mit Rcksicht aufdieGleichung (10.), dass man, wenn sins aasresrey=as)eds Btfete ayaa=Ti acuWu<x gesetzt wird, atthe Phemo [WEE+OTs] erhilt, Daferner (art.V,I.undIL)Pgleich Roder Sist,jenachdem man firjedesj©=1,B=0oderW/—0,B—1setzt,sofolgt: ath,Bie type, StarwyTha Durch Einseteung dieser Ausdriicke erhilt man ausdenGleichungen (9.) ‘VIL. Ueber diekleinen Schwingungen eines Systems materieller Punkte. 161 dieLésung des vorgelegten Problems. Sei zur besseren Uebersicht fir g@—0, 1,2 ae) pan sofolgt: Bee=Gite+SEE AB, (20) ther—Glew+Bes OB. See=Gre+Gen DieEinfachheit dieser Formeln lisst nichts zuwiinschen brig. Esscheint indessen schwer zusein, aus ihnen unmittelbar cine Vor- stellung von derdurch siedargestellten Bewegung zugewinnen. Da- gegen bieten siefurangeniherte Bestimmungen eine véllig zuverlissige Grundlage dar, beiwelcher esnicht, wiebeiderdirecten Behandlung derurspringlichen Differentialgleichungen, zubefirchten ist,dass durch wiederholte Vernachlissigungen schliesslich alles verwischt wird, was den Charakter desurspriinglichen Problems ausmacht. VII. Ueber dieBestimmung der Gestalt einer krummen Oberflache durch lokale Messungen auf derselben. lournal far die reine und angewandte Mathematik, Bd. 64, 1865, S.198—209,) Die bisherigen Untersuchungen ber dieGestalt derErde gehen simmtlich vonderdurch hydrostatische Griinde nahegelegten Vorans- setaung us, dase dieselbe bisaufgeringe und nur zufillige Ab- weichungen einSphiroid ist,welches seine Drehungsaxe mitderErde gemein hat. Dieses Sphiroid, welches man zum Unterschiede vonder wirklichen diewahre Oberfliche derErde nennt, wird dadurch bestimmt, dass dieauf der ersten wirklich ausgefthrten Gradmessungen durch miglichst wenig botrichtliche Abinderungen derBeobachtungeresultate mit den auf der letztern ihnen entaprechenden ingenaue Ueberein- stimmung gebracht werden Das inRede stchende Problem lisst sich indessen auch noch von einem aweiten Gesichtspunkte ausbehandeln, welcher von jeder will- Kiirlichen, wenn auch noch soannehmbaren Voraussetzung aber die zuermittelnde Gestalt derErde unabhingig ist,und ausdiesem Grunde aur Entscheidung tber dieZulissigkeit einer solchen Voraussetzung fihren kénnte. Esversteht sich von selbst, dass auch beidieser Untersuchung dasStudium spezieller Terrains von derBestimmung derErdoberfiiche imAllgemeinen getrennt werden muss. Aus diesem Grande wird es keine willkirliche Voraussetzung insich echliessen, wenn man alsdie zubestimmende Gestalt derErde, mit Beriicksichtigung unserer vor- Vaafigen Kenntnis vonihrer allgemeinen Wélbung, diejenige allenthalben gewolbte und stetig gekriimmte Oberfliche Ebezeichnet, welche mit derwirklichen Erdoberfliche nach Beseitigung ihrer lokalen Hebungen undSenkungen vollstindig zusammenfillt. Esmuss hinzugefligt werden, . dase dieinderletzten Bedingung liegende Unbestimmtheit wegen der relativen Geringfgigkeit derzubeseitigenden Unebenheiten alsthat- siichlich garnicht vorhanden betrachtet werden kann. ‘VILL. Bestimmung einer Oberfiiche durch geodBtische Messungen. 163 Zur Orientierung ther dieLage eines Punktes maufderOber- fiche Esind dieandietigliche Bewogung der Himmelskugel ge- knipften sphirischen Coordinaten desselben imvorliegenden Falle nicht goeignet, weil sievon derBeschaffenheit derFliche Einder Nao desPanktes munabhingig sind, also auch flrsich alloin keinen Rickechluss auf dieselbe gestatten. Ich bediene mich aus diesem Grunde zurBestimmung derLage von maufEdersphirischen Co- ordinaten eines Punktes, den ichdas wahro Zenith derFliche Eim Pankte mnenne, und verstehe hierunter denjenigen Punkt mderun- endlich entfernten Himmelskugel, inwelchem diese von derinmauf derzuginglichen Seite von Eerrichteten Normale geschnitten wird. Dies festgestellt, erhiilt man aus den folgenden Untersuchungen frdenvorliegenden Fall denSatz: ‘Wenn die Oberfliche Eeines sich nicht ins Unendliche er- streckenden Kérpers allenthalben gewdlbt und stetig gebogen ist, ferner inkeinem Punkte derselben einHauptkriimmungshalbmessor unendlich gross oder unstetig ist,endlich flrjedes wahre Zenith, unabhiingig davon, welcher Punkt der Fliche ihm entsprechen mag, dieSumme derinletzterem stattfindenden Hauptkrimmungs- halbmesser gegeben ist,soistdieFliche selbst und ihre Lago in der Himmelskugel véllig bestimmt, bis auf einen belicbigen mit ihrverbundenen Punkt, dber dessen Ortimabsoluten Raume noch verfligt werden kann. InFolge dieses Satves kaun dieGestalt derFliche Emitjeder belicbigen Genauigkeit bestimmt werden, wenn man imStande ist,fur eine gentigende Anzahl vonPunkten derselben, aber deren gegenseitige Lage keine anderweitigen Angaben erforderlich sind, 1)diesphiri- schen Coordinaten ihres wahren Zeniths, und 2)dieSumme derin ihnen stattfindenden Heuptkrimmungshalbmesser zuermitteln. InderThat kann man unter dieser Voraussetzung dieSumme derbeiden Hauptkrimmungshalbmesser alsFunction derCoordinaten des wahren Zeniths darstellen, wobei man nur darauf Ritcksicht zu nehmen hat, dass derbeiderInterpolation zuGrunde gelegte Ausdruck inkeinem Zenith unendlich oder unstetig wird, und einer imart,VIL nither zubezeichnenden Bedingung gentigt. Durch den numerischen Verlauf dieser Function und diedbrigen Bedingungen desSatzes ist aber dieFliche Evollig bestimmt. Esmuss hier unerértert bleiben, inwieweit sich diese Resultate turwirklichen Ausfibrung eignen. Die Grundlage zudereelben istin dem Satze zusuchen, dass einstetig gekrimmtes, hinlinglich Kleines Sttck jeder beliebigen Oberfliche alseiner Fliche zweiten Grades an- nt 164 VII Bestimmung einer Oberiiche darch geodstische Mossungen. gehdrig betrachtet werden kann. Dieletztere muss flrjedes passend gewihlte Stick 7derzurUntersuchung vorgelegten Fliche durch =Messungen von derselben Art bestimmt werden, wie man siebisher zurBestimmung desganzen Erdsphiroids ausgefdhrt hat, und liefert dann flrdiePunkte des genauesten Anschlusses an7’das wabre Zenith und dieSumme derbeiden Hauptkrimmungshalbmesser, L Dem vorliegenden Zwecke gemiss beschrinken wir die nach- folgenden Untersuchungen aufden Fall, wodievorgelegte Fliche E sichweder insUnendliche erstreckt, noch aufihrer zuginglichen Seite inverschiedenen Punkten gleichgerichtete Normalen hat, noch inZu- sammenhang, Biegung oder Krimmung irgendwo eine Unstetigkeit dar- biotet. Zur Vereinfachung scbliessen wir Uberdies denFall aus, wo cinHauptkrimmungsbalbmeseer aufEunendlich gross wird; esmag indeasen beiliufig bemerkt werden, dass simmtliche Resultate giltig bleiben, wenn dieser Fall ineiner begrenzten Anzahl von Punkten ein- tritt, sobald nur nicht dasProduct auseinem Hauptkrimmungshalb- messer und jeder Potenz derEntfernung von einem dieser Punkte, deren Exponent kleiner als 1ist, indemselben unendlich wird (art. Vb. und VI). Die nichste Folgerung, welche wirsus diesen Einschrinkungen ichen, besteht darin, dase nicht bloes 2ujedem Punkte mderFliche E cineinziger Punkt malswabres Zenith, sondern auch umgekebré zu jedem wabren Zenith nureineinziger Punkt derFliche Egehirt. Dies festgestellt, seiCderNordpol derHimmelskugel, Ader Durchschnitt desersten Meridians mitdem durch Cbestimmten Aequator, Bder von Aaus auf letzterem um einen Quadranten dstlich entfernte Punkt, Indem hierdurch gegebenen Coordinatensystem soll dienach Osten wachsende Linge vonmdurch p,seine nach Norden wachsende Breite durch 4bezeichnet werden. Zor Bestimmung der Lage des entsprechenden Punktes mim Raume bediene ichmich rechtwinkliger Coordinaten z,y,2,welche inden durch die unendlich entfernten Punkte A,B,Cbestimmten Richtongen wachsen. Ueber ihren Anfangspunkt, der vorliufig nicht inBetracht kommt, kann erst spiter (art. VIII) verfigt werden. ‘Nach dem, was oben festgestellt wurde, sind dierechtwinkligen Coordinaten von mdurch dieLinge und Breite vonmvollstindig be- stimmt. Daausserdem wegen desununterbrochenen Zusammenbanges und derstetigen Biegung von Zbeide Punkte zugleich ihren Ortnach derStetigkeit indern, endlich nach derVoraussetzung kein Punktmim Vl, Bestimmung einer Oberfiche durch geodttische Mesmngen. 165 Unendlichen liegt, 0sind x,yund#einwerthige, endlicho undstetige Functionen derVariabeln @und g,und letztere von einander unab- hingig. Daaber gund @nicht bloss dieLago von m,sondern auch die Richtung derTangentialebene von Eindiesem Punkte bestimmen, #0 sind sierickwirts von den’ verschwindenden Aenderungen abbingig, welche z,yund #durch eine unendlich kleine Ortsinderung des Punktes maufEerleiden. Aus diesem Grunde erlangen x,yund 2, wenn siealsFunctionen von @und @dargestellt werden, bestimmte Eigenschaften, welche dieGrundlage unserer Untersuchung bilden. I Esseien az,dy,28dieZunahmen, welche dieCoordinaten vonm beim Uebergange zueinem aufEunendlich benachbarten Punkte m, erlangen. Projicirt man dasLinienclement mm, aufdieNormale mm, und bezeichnet dieWinkel zwischen dieser und den Richtungen der wachsenden Coordinaten durch (mA), (mB), (mC), 80folgt: xcos(mA)+aycos(mB) +7scos(mO) =0; hier ist, weil pund @dieLange und Breite von msind, cos(mA) =cospcos,cos(mB) —singcos0,cos(mC) —sin0. AnStelle von @fibre icheine neue veriinderliche Grésse @mittelst derGleichungen 5,1) cos8—2,sind— o% © cin, woCund$denhyperbolischen Cosinus und Sinus bedeuten, also epee at @) Q-ft, 3-255 ist. Damit also @seine Werthe von —}x bis+$ader Reihe nach erlange, muss @diereellen Werthe von —co bis+oodurchlaufen. Daraus folgt (3) con(mA)=22,cos(mB)—“"F, cos(me)=5, wenn zurAbkarzung CundSstatt C,undS,gosetzt wird, alsoweiter tam—82ce—BEay, endlich a4 22, ing 2 “) ene” ae 1 ar ng Fe—3(Como55+singF)- 166 Vill. Bestimmung einer Oberfidche durch yeodatische Messuogen Daaber dieVariabeln pund @von einander unabhingig sind, also jede Aenderung dereinen dieandere und ibrDifferential unge- ndert list, omuss man gleiche Resultate erhalten, wenn man von den vorstehenden Gloichungen dieerste nach g,diezweite nach @ differentiirt. Moltiplicirt man vorher mit S,und subtrabirt nach dem Differentiiren dieerste von derzweiten, sofolgt 5 ae 1 (ging 2 ay) ag~~0(awe—om54) Zadiesen Gleichungon kommen noch andere, welche sich ausder Untersuchung aber dieKrimmung von Eergeben. mL. Um beiderBestimmung derKrimmungshalbmesser von Ejede Unsicherheit inBezug aufdieBedeutung derZeichen austuschliessen, aihlen wiraufjeder Normale mm Abscissen R,welche imFusspankte mNull sind, und inderRichtung nach dem Zenith mhinabnehmen, also aufderunzuginglichen Seite vonEpositiy werden. Bezeichnet man nun durch w,o,wdierechtwinkligen Coordinaten eines deraufmm liegenden Krimmungsmittelpunkte von F,und durch Rseine aufdieser Normale geziblte Abscisse, also abgeschen vom Zeichen den ihm entsprechenden Krimmungshalbmesser, soistfar jedes Vorzeichen von R Fp—cos(mA), Y2°=cos(mB), 75,"—cos(mC). Ertheilt man aber den Gréssen @und ¢verschwindende Aenderungen agund Ze,welche sogewahlt sind, dass mandem zuRgehérigen Krimmungskreise entlang rickt, sobleiben u,v, undRungeindert, und esfolgt x= Récos(mA), cy—Recos(mB), és—Récos(mC). Von diesen drei Gleichungen, ebenso wievon denvorigen, folgt jedes- mal eine aus den beiden ander, Fuhrt man rechts diein(3)ge- gebenen Werthe ein,soergiebt sich sing,az Seong|a2 (BEG +ag)+(BPGr?+34)ee=o corp_dy Ssing,ay), —(8%? —38)cp+(REY+24)c0-0, aoy(2_B)o see?+(secre =0 ‘Von diesen Gleichungen dienon zwei zurBestimmung von Rund demzugehérigen Werthe von3.Eliminirt mandenletztern, auf ‘VL. Bestimmung einer Oberiche durch geodstitche Messungen. 167 dessen Bestimmung eshier nicht ankommt, soerhilt man ohne Muhe ausdenbeiden ersten Gleichungen mitRucksicht auf(4.)diefolgende ‘én4 éz ay’ Cazdydydz W—ROLF—o(vin95pe959)1+5Gan—apde)~ Bessichnet man daher die beiden Hauptkrimmungshalbmesser vonEimPunkte mdurch R,undR,,indem man diese Grossen noga- tivoder positiv nimmt, jenachdem derzugehdrige Krimmungsmittel- punkt auf derzuginglichen oder derentgegengesetsten Seite vonE liegt, 80folgt: Chazby_dya2" @ BRS(5556—S996) WV. Durch Aufldsung derGleichungen (4,), (6.)und (6.)erbilt man ©[-3Seong—22Csing, JE- HCring —ZSeosp—*F Fring, »GoFESeng+7Coorg,(9%) 4 seine +BFE——FiCoop—2Saing+™$™cong, ‘und wenn man dieso Werthe in(7.)einsetzt, oder aufanderem Wege,aea8),(on28)* (10)RR—(B+R)OrZ +(07$2)"(08$2)"0. Bezeichnet man durch 4dieY—1, undsetet zurAbktirzung ttiy=2, 0Inssen sich dieGleichungen (8) und (9) indiebeiden folgenden usammensichen: 28_oi(_g24502 Fe (8Hts)»28(i028 —g8)4arbth,Gena(-ick—958)+iBS DurchGleichsetzung derbeidenhieraus fir,7°9folgenden Ausdrdcke erhilt man, alsBedingung daflr, dass dieGleichungen (8.)und(9) dievollatindigen Differentiale von 2und yliefern, dieGleichung a Oe 18(+R © get37Oe) 168 VIL Bestimmung einer Oberfiche durch geoditische Meerungen Sodann erhilt man PO gg (BE,OF).58(gi4B Ger+Sgt SOS +Fyn)+iy(MG), oder wegen dervorigen Gleichung 8B(giBt)452(giBt Darch ‘Trennung desReellen vom Imaginiren ergiebt sich endlich ae, te 88 RR) 2(inBAR GU)FtBe—0ae(PME) —ap(ineME) ayy 82gghth, 2 RtRy GL)+Get oe(ineMG)+gy(rwG™)- v. Die imvorigen art. gefundenen Differentialgleichungen gewahren dasMittal aurLésung derEingange gestellten Anfgabe, dieFliche E mitRicksicht anfdiedbrigen von ihrverlangten Kigenschaften unter derVornussetzang zmbestimmen, dass anihrentlang farjode Rich- tang derNormale, unabhingig von derLage ihres Fusspunktes, dic Somme derbeiden Hauptkriimmangshalbmesser, d.h.letztere alsFunc- tion jener gegeben ist. Unsere nichste Aufgabe besteht nun darin, ansdenvonderFliche Everlangten Eigenschaften firdieFanctionen 2,yund #diejenigen Gronz- und Stetigkeitebedingungen abzuleiten, welche zuihrer villigen Bestimmung durch dieDifferentialgleichungen (1), (IL) und (IL) er- forderlich sind. ‘Zudiesem Zwecke betrachte ich eund @alsrechtwinklige Co- ordinaten ineiner Ebene, wobei dann zubeachten ist,dass, weil gdio detliche Lange deswabren Zeniths bedeutet, von dieser Ebene nur der durch dieUngleichheit 0< @<2z begrenste Streifen inBetracht kommt. a,Zuniichst istdieschon frther gemachte Bemerkung zuwieder- holen,dassinFolgejenerBedingungen x,yund#allenthalben ein- worthige, endliche und stetige Functionen von9uni gsind. b.Dafermer R,und R,derVoraussetzung gemiss nirgendwo un- endlich werden, s0folgt ausderoben gefandenen Gleichung (10.), 22!RAR), (py22\*_(R—R)*(ors ay (ag a) dussongundoxnirgendwo, auchflr@=+00nicht,tberalle Grenzenwachsen. InderThaterkenntmanleicht,dasso#numerisch . niegrésser alsdiehalbe Differenz derbeiden Hauptkriimmungshalb- Vill. Bestimmang siner Oberfitche durch geoditische Mearungen, 169 messerwird,undinFolgedessenC*2!stotszwischen denGrenzen R, und R,eingeschlossen bleibt. Mit Rocksicht auf dieGleichungen (8) und (9) folgt hieraus, dase dieersten Derivirten von z,yund #inkeinem Punkte unendlich werden, und wenn der numerische Werth von uber alle Grenzen wichst, sostark abnehmen, dass dieProducte ae a ae a2 ay oy(ser de) (Ger derGerZe) simtlich unterhalb endlicher Grenzen bebarren. ¢.Hieran achliesst sich der Satz, dass esinder Ebeno dere, keine Linie giebt, aufderen beiden Seiten eine derersten Derivirten von 2,y,#verschiedene Werthe hat. Zoniichst sind z,yund swegen ihrer Stotigkeit aufbeiden Seiten einer boliebigen Linie dienimlichen Funktionen ihres Bogens ¢,also suchihreDerivirten 22,2,2*aufbeidenSeitendieselben. Errichtet man ferner imAnfange desBogenclementes 26ther ihm dieNormale én0,dassénund‘@denselben Winkel wie0undc¢ einscbliessen, 0ist a1 i20, 9820 at_ dnde ds0@6~dede*tpde’Bn~Bydedede? welche Gleichungen auch frxundygelten. Folglich erhilt man aus donGleichungen desart.IV,indem man 2durch seinen Werth ersetzt:He+iv—oyi(_9284cedeRtB20),famer955+OR+AE) Diese Gleichung zeigt wegen dervorausgesetzten Stetigkeit vonR,+Ry, dassauch3beimDurchgange durch2gkeineUnstetigkeit erleidet. Dahiernach die ersten Derivirten von #sich beim Durchgange durch Zonach derStetigkeit aindern, sogiltdasselbe wegen (8.)und (@) auch von den ersten Derivirlen der beiden andern Coordinaten zand y. . 4.DadieLage desersten Meridians aufderHimmelekugel nach Belieben gewiblt werden kann, unddurch eineAenderung derselben g nur umeine constante Grésse, sein Differential gar nicht geindert wird, sofolgt ausdem Vorangebenden, dass z,yund rnebst ihren ersten Derivirten beim Durchgange durch denselben stetig bleiben. Daraus folgt firdieEbene e,g,dass jede dieser Functionen fir donselben Werth von¢aufbeiden Begrenzungslinien @=0,p—2 denselben Werth erlangt. eDen Polen derHimmelskugel enteprechen swei Punkte der 170 VILL. Bestimmung einer Oberfliche durch geodiitische Messungen, Fliche £,indenen dieLinge @jeden belicbigen Werth bat, ohne dass ihre rechtwinkligen Coordinaton unbestimmt werden. Folglich worden letztere von gunabhingig, wenn ¢unendlich grosse Werthe erlangt. Diese Satze enthalten frdiohier zulésende Aufgabe alles, was aurvélligen Bestimmung derFunctionen z,yund #ausser denDiffe- rentialgleichungen I,II.und Ill.anGrenz- undStetigksitsbedingungen erforderlich ist,soweit diese Functionen nicht von derbisjetzt ver- filgbar goblicbenen Lage desCoordinatenursprungs abbingen. VL ZurBestimmung derFunctionen 2,yundssuchen wirdieLisung dorfolgenden Aufgabe, auswelcher sich jeno durch Particularisirung exgicbt. Esseiucine Function vonrundf,welche fiirallereellen Worthe von rund von f=0bisf=2xdenfolgendenBedingungen gentigt. 1,mund seine erston Derivirton sind dherall einwerthig, endlich, understeres inkeinem Punkte, letztere ankeiner Linie entlang unstetig. 2,uwgentigt derDifferentialgleichung OtganFe. 3.Fardennimlichen Werthvonterhalten uund$%ander Grenze f=0dieselben Werthe, wieanderandern Grenze f=2x. 4.Purunendliche Wertho vontverschwindet x2,uselbstwird vonfunabhiingig. 5.Die Summe der beiden flr t=+00 und t= —ooeintreten- den Werthe von uistgegeben, Die auléeende Aufgabe besteht darin, 1)dieFunétion uzube- stimmen und 2)dieBeschrinkungen anzugeben, denen diegegebene Function F(r, f)vermige deruauferlegten Bedingungen unterworfen ist. Die erste Frage erledigt sich durch dieBestimmung desjenigen Werthes u,dendieFunction uineinem beliebig gewilten Punkte t=0, fg erlangt. Um denselben mufinden, multiplicire ichdie Gleichung (2.)mitdem Factor o=Llg(Cr—@) —cosf—9) und dem Elemente @taf einer umden Punkt 9, herumfihrenden Fliche 7,deren innerer Rand cin um diesen Punkt mit dem Halb- ‘messer ¢beschriebener Kreis Kist,und deren nachher zubestimmen- ‘VIII. Bestimmung einer Oberfiiche durch geodiitische Messungen. 171 der iusserer Rand Sheissen soll. Beide Rinder sollen sich innerhalb deshier allein zubetrachtenden Streifens 0<f-<2xhalten. Man erhiilt diesen Factor @,indem man mittelst des von Herrn Riemann (Inauguraldiss. 8.13—14)angegebenen Factors71g((t—)* +((—g)) muniichst dengesuchten Werth «durch Begrenzungswerthe yon uund seinen ersten Derivirten ausdrickt, und dann diese letzten nach dem von mir inmeiner Inauguraldiss. 8.38angewandten Ver- fabren mit Hilfe von Bedingungsgleichungen climinirt, welche sich mittelst desselben Factors ergeben, wenn man seinen Unstetigkeits- punkt @, aus dem Streifen 0<g<2zx hinaus verlegt, also pdurch einen ausserhalb dieser Grenzen liegenden Werth g,ersetzt. MitRck-sichtaufdieBedingung (3.)findetmanleicht,dassfir9,—9alle Vielfachen derganzen Breite jones Streifens genommen werden milssen, und gelangt nun durch Verbindung dieser Multiplicatoren 2adem nach fperiodischen Factor o. Durch Integration ther dieFliche 7’erhilt man SoG+i)cxar—[Fenoser. Daauf7aberall {F+$790 ist,oolisstsichdiolinkeSeitein die Form 2(92%428)42(g28_y2e\)a. SK(@H—38)+(054—0G)over bringen, und eshathiernach derFactor odieKigenschaft, dieInte- gration ohne vorliufige Kenntniss der Function uzuermbglichen, 4h. die Elimination aller zwischen den Rindern von 7’stattfindenden Werthe dieser Function zu bewirken. Dass dieser Factor ausserdem dieEigenschaft besitzt, beigehdriger Erweiterung derFliche 7’,auch alle Ubrigen unbekannten Werthe, bisaufden gesuchten Werth u,zu dliminiren, also diesen zubestimmen, wird sich ausdem Folgenden ergeben. Sind cdo und 2diestets positiven Bogenelemente vonKund$, und bedeutet 2ndas erste Element der uber 2Saus 7’hinaus errichte- tenNormale, soistnach einem bekannten Satze, sobald Pund Qzwei auf7dberall einwerthige und endliche Functionen sind, welche héch- stens ineinzelnen Ponkten, aber ankeiner Linie entlang, unstetig werden, Seer frees(ree, 20. .Serer fortes forers. 172 VII, Bestimmung einer Oberfitche durch geoditische Mossangen. Dielinke Seite obiger Gleichung geht hiernach Uber in Sled—u2e)es— f(0%t—022)coo. Der Werth des uber Kerstreckten Integrals ergiebt sich fOr ver- schwindende Werthe von ¢wiefolgt. Statt derimBogenelemente cio stattfindenden Coordinaten t,ffhre ich den Winkel omittelst der Gleichungen f—@~ccoso, re—csingein;dannwirddort tie (teto=Gla(pe—qccos2s...), 1os, ae_aSetente de"? ts ,otLeteonte... woraus flreinverschwindendes ¢limco—0,lime32 =folgt.Da gleichzeitig $%nichtunendlich grosswird,udagegen ohneUnstetig- eit indenfesten Werth ubergeht, sofolgt tim—f(03—138)cou. Inderhieraus folgenden Gleichung (a) wmfers—038)e+[Ponest intdaserste Integral zurRechten Ober denganzen Umfang derCurve S, dasandere ber dievon ibreingeschlossene Fliche zuerstrecken, und dieSumme beider vonderGestalt derCurve Sunabhingig, solange sieden Pankt ¢,@einschliesst. Dies festgestellt, ersetze ichSdurch eindenPunkt e,gein- schliessendes Rechteck mnop, dessen Seiten mn, no,op,pmderReihe nach durch dieGleichungen t=—g, f—2x, t=h, f=0 gegeben sind. Dann zerfillt dasGber Serstreckte Integral invier Theile, die ich(mn), (0), (po), (mp) nennen will. Eswird aber 4 a "go, aw “(82 2 a (mp)+(0)-Sc197+O87) 6+f(9 Fare2 also diese Summe gleich Null, weil dieentsprechenden Elemente beider Integrale sichwegenderauchdurch@undarerfillten Bedingung (3.) gegenseitig aufheben. Sodann erhiilt man ‘VU. Bortimmung einer Oberfidche durch geoditische Messungen. 173 a eo én) two)=f(_G8-088)_ 22h to (ond—fae09),.5th oder. Loo eT L) =f(tb=)same ~FTaeee x S@+e) ©an) (me)ofle09stye panesae Lisst man nun gund hGber alle Grenzen wachsen, soverschwindet imbeiden Integralen derSubtrahend wogen derBedingung (4.),da-~- fund%,wioleichtaasehenist,beidegogen dieGrenze ,'.convergiren. Ferner haben dieFactoren von,".dieKinheit zurGrenze, wihrend u inbeiden Fallen vonfunabhiingig wird. Istalsow’derflrr—+00,u,derfirr——ooeintretende feste Werth von u,sowird, wenn gundhdber alleGrenzen wachsen, Tim(po)+(mm)=“4. Durch dienimliche Erweiterung desRechtecks mnop geht also diefirwgefandene Gleichung indiefolgende aber . av) wntmSIF(t,Norte, welche den gesuchten Werth udurch bekannte Gréssen ausdrickt, also dieLésung derersten Aufgabe enthiilt. Dievorstehende Gleichung muss fir @—-+00, w=; flr @=— oo, =, also inbeiden Fillen w’—, durch einIntegral suagedrickt liefern, Zudem nimlichen Resultate gelangt man bequemer, und ohne derLésung derzweiten Aufgabe vorzugreifen, indem man die Gleichung (2)mit—,\.reecf maltiplicirt, unddannzwischen den- selben Grenzen, wie inIV.integrirt. Man findet sofort wW) “sue-ASfrenrerar. 174 VIM. Bestimmung einer Oberfitche dureh geoditische Meaeungen. Vu. Wir gehen jetzt curzweiten Frage ber, obdieFunction Fbis auf dieinIV.und V.hervortretenden Convergenzbedingungen voll- kommen willktrlich gegeben werden kano, oder obdiederFunction auferlegten Bedingungen noch weitere Beschrinkungen inderWabl von Fnach sich ziehen. Beschrinkungen dieser Art, falls sieUberhaupt existiren, mUssen inGleichungen bestehen, welche keinen Aufschluss Uber dieFunetion mebr enthalten, also ans(2.) durch Elimination simmtlicher Werthe von ugefunden werden. Umdiese Elimination 2ubewirken, multiplicie ichdieGleichung (2.) miteinem gecigneten Factor ©undmit7t2/, undintegrire dann ther alle Werthe von rund f.Damit hierdurch zuniichst alle innerhalb derBegrenzung stattfindenden Werthe vonueliminirt werden, muss nebst seinen ersten Derivirten zwischen denGronzen einworthig, end- lich und bisaufeinzelne Punkte auch stetig bleiben, und derDifle- rentialgleichang 24+29—0gontgen,weiljedemitdenbrigenBe- dingungen vertrigliche Verletzung einer derselben eine Theilung des Integrationsgebietes néthig macht, und eneiner Gleichung swischen denanderTheilungsstelle stattfindenden Werthen vonuflbrt. Damit ferner dieandenGrenzen 0,f—2xstattfindenden Werthe von sichwegheben, missen auch@und[%furdasniimliche tanbeiden Grenzen dieselben Werthe erlangen. Sind diese Bedingungen erfUllt, sowird 1 foreneer ={[28—w2I ca. Ausserdem ergiebt sich aber ausdenselben, etwa indem man dieGlei- chung (IV.) auf2anwendet, dass ,ausserhalb etwa vorhandener Un- stetigkeitepunkte, inseinem ganzen Verlaufe durch einen nach den Cosinus und Sinus derVielfachen vonffortachreitenden Ausdruck dar- geatellt werden kann, von dem esinjenen Punkten nur ummessbare Grésson abweicht, und man erbilt dann ausderDifferentialgleichang Qm A+ Ae cos(f—a,) +Aye cos(2/—a)... +Bye-*con(f—b,) +Bye-**cos(2f—by)-. Dieser Ausdruck zeigt sofort, dass dienoch riickstindige Elimi- nation der flr r=+00eintretenden Werthevon9undu,wennman ‘VIL. Bestimmung einer Uberfliche durch geodittische Messungen. 175, sich jeder neuen Bedingung aber diedort verschwindenden, von/ab- hingigen Theile von uenthilt, nardann gelingt, wenn derAusdruck for Qauf sein erstes Glied Areducirt wird. Far Q—1 fillt dierechte Seite véllig weg, und esergiebt sich alseinzige, derFunktion Jaufzuerlegende Bedingung dieGleichung (VL) JS[Re Neret=0. DadiesesResultat vonderGeschwindigkeit, mitwelcher34im Unendlichen verschwindet, unabhingig ist,0giltesauch firdiebei derBestimmung von x,y,#firF2uwihlenden Functionen. VIL. Seien jetat o’und o,diejenigen beiden Punkte derOberfliche E, deren wahre Zenithe der Nord- und Stdpol derHimmelskugel sind. Den bisher verfgbar geblicbenen Anfangspunkt derCoordinaten 2,y,£ verlegen wirindieMitte zwischen o'und o,,80dass, wenn dieCo- ordinaten dieser Punkte bezichungrweise 2’,y',s/und 2,y,,4,sind, r+a—0, ¥t+y—0, f+H=0 wird, Bezeichnet man daher dieWerthe, welche R,,R,Sund Cfir et, p—f annchmen, durch ®,, 8, Gund G,sofolgt aueIV. mitRucksicht aufdiedurch dieGleichungen (L),(IL), (IIL) jedesmal gegebene Bedeutung von #’,wenn wieoben o=21g(Cir—9)—cos(f—9)) gesetzt wird, S8(ogf®$B)—2(ginpBHM) 2aS[-FF (om)—J(sarE*)]oaeer,©2(ginRAM)48(ang(+B)Toce 9JRE(iar2%)+5(oofEDocrer, 18+R, feKOT) oorar, wo,wieauchindenfolgenden Formeln, nachtvon—cobisoo,nach fzwischen den Grenzen 0und 2xauintegriren ist. Ersotzt manhier@durch —;, soerhilt mannachV.,weil £54=2’int,dieCoordinaten desjenigon Punktes 0,derseinwabres Zenith imNordpol der Himmelskugel hat. Wegen der Stetigkeit 116 Vill, Bestimmong einer Oberfithe durch geoditische Messungen. von®,+8, fallen dieGlieder mitdennach fgenommenen Derivirten weg, und esfolgt: vif ea 7foalECE emrerer,podff©2AR) cinrors y-if Cae) Faint, at 18 +R). ’-if-eke eo)teres, Ersetzt man endlich @durch dieKinheit, soerhalt man mit Rack- sicht aufVI.diedenrechten Seiten vonI,I.undLl.aufsmerlegenden Bedingungen, welche sich sufdiefolgenden redaciren: SaséZA) cosserer 0, SSECE)sinrarer=o, 18 RAR) seSEzCE exer 0. DaR,+ R,alsFunction von @und @gegeben oder durch Interpola- tion dargestellt werden muss, soenthalten dievorstehenden Gleichungen cine beiderWahl dieser Function massgebende Bedingung, obne deren Beriicksichtigung diedbrigen Bedingungen desProblems untereinander inWiderspruch gebracht werden.Diesimmtlichen auf2,+R,bezUglichen Bedingungen lassensichshin zusammenfassen, dass diese Function nirgendwo unendlich oder unstetig werden darf, und dase inihrer Entwicklung nach Kugelfunc-tionendercos(mA),cos(mB),cos(mC)dasaweite,nachdiesenCo-sinus lineare und homogene Glied fehlen muss. InderTat fUhren dievorstehenden Gleichungen unmittelbar aufdiese letzte Bedingung, wennmandieDerivirto von"9% durchtheilweise Integration weg- schafft, und dann anStelle von tdasComplement derBreite 0einfubrt. IX. Far ein abgeplattetes Sphiiroid S,dessen Umdrebungsaxe zur s-Axe parallel ist,hat man a8 /_conot By+Ba—saoconda(S) wenn dieWarzel positiv genommen wird, und adenHalbmesser des Acquators, +dieExcentricitit derMeridianellipse bedeutet, also dieAb- plattung a=1—V1—2 ist. ‘VIII, Bestimmung einer Oberfldche durch geoditische Messungen. 177 ‘Umgekehrt kann nach den obigen Resultaten cine Fliche E, welche dervorstchenden Gleichung gemiss verliuft, nurdann vondem Sphiroid Sverechieden sein, wenn sieentweder aufihrer zuginglichen Seite inverschiedenen Punkten gleichgerichtete Normalen hat, oder sich insUnendliche erstreckt, oder Stetigkeitsunterbrechungen inZo- sammenhang, Biegung oder Kriimmung darbietet, wobei jedoch vonder Frage, obbeiobiger Gleichung auch jeder vondiesen Fallen méglich sei,Abstand genommen ist.Sind aber allediese Fille ausgeschlossen, 80fallt dieFliche Hentweder mit $zusammen, oder siekann mitS durch eine Verschiebung ohne Drehung zur villigen Deckung ge bracht werden. Wenn daher dieobige Gleichung beipassender Wahl vonaund« ineiner genligenden Zahl vonPunkten derErdoberfliche erfUllt wirde, ‘sowiire dies allein schon hinreichend, umdieIdentitiit derletztern mit dem Sphiiroid Ssicher 2ustellen Abgesehen von den Schwierigkeiten, welche diehier geforderte genaue Bestimmung deswahren Zeniths und derentsprechenden Haupt- krimmungshalbmesser darbietet, gewahren dieobigen Resultate den Vortheil, eine stufenweise undnurdurch dienotwendige Unvollkommen- heit derMessungen begrenzte Anniherung andieWirklichkeit zuge- statten, indem diegeschlossenen Ausdriicke flrdieCoordinaten x,y,# dieWerthe derFunction R,+R,nurlinear enthalten, also frjedes Glied, welches zurgenaueren und vollstindigeren Darstellung dieser Function inihren Ausdruck neuaufgenommen werden muss, cinvon denbereits vorhandenen Ausdricken flrdieCoordinaten unabhiingiges Correctionsglied 2udenselben liefern. Zarich, 10.December 1864. E.mobrietottel, Oommnetts Abbandonges. 2 IX. Ueber dieDispersion des Lichtes. (Annalen der Physik und Chemie, Bd. 124, 1865, 8.53—60.) Inden Comptes Rendus vom 13.Juni 1864 S.1111 hatHr. Mascart neue Bestimmungen Uber dieLinge derLichtwellen und die Brechungsindices derentaprechenden ordentlichen Strahlen imDoppel- spath veréffentlicht, welche sich inungefihhr gleicher Ausdehnung, wie dieBeobachtungen Esselbach’s (diese Ann. Bd.98,8.513) dber das gewohnlich sichtbare und dasultraviolette Spectrum verbreiten. Bei dergrofeen Genauigkeit dieser Angaben schien esmirwinschenswerth, dieselben mueiner nochmaligen Prifung derDispersionsformel 2ube- nutzen, welche ichausCauchy's Theorie abgeleitet habe (diese Ann. Bd.117, 8.278.0,8.113). Leider mufste such beidieser Gelegenbeit aufdieVortheile ver- ichtet werden, welche sich darbisten, wenn man dieRechnung direct ‘andievollstindigen Originalbeobachtungen anknOpfen kann. Denn wenn auch jedes Priifungsverfahren zueiner Bestitigung derzupri- fenden Formel fhren kann, sobald nurjede einzelne Abweichung von denBeobachtungen, welche esverlangt, klein genug ist,soistdoch nur dieAusgleichung der vollstindigen Originalbeobachtungen nach derMethode derkleinsten Quadrate imStande, dieEntacheidung Ober dieRichtigkeit derFormel zuliefern, ohne sievon jeder einzelnen Ab- weichung, also von derzufilligen Vertheilung derBeobachtungsfebler, abhiingig zumachen. Die Priifung durch dieOriginalbeobachtungen wiirde sich nach . folgenden Grundsiitzen zurichten haben. Daimvorliegenden Falle ‘simmtliche Beobachtungen inWinkelmessungen bestechen, also von gleicher Art sind, soberechne man aus ihnen nach den bekannten Regeln diePricision einer cinzigen Beobachtung vom Gewichte 1von awei verschiedenen Gesichtspunkten aus, zuerst, indem man die der unmittelbaren Messung unterworfenen Winkel alsvon einander unab- TX.Ueber dieDispersion desLichtes. 179 hhingig betrachtet, was sicbeiderBeobachtung auch wirklich sind, undzum zweiten Male, indem man sieindievonderDispersionsformel verlangto Abhingigkeit voneinander versetzt. Bezeichnet man alsdann diePricision imersten Falle durch A,imandern durch H,soliefert derQuotient 7dieverlangte Entscheidung infolgender Weise Nach dem Grandprincip derMethode derKleinsten Quadrate mute sorgfiltigen und vollstindigen Beobachtungen einméglichst grofses Zutrauen eingeriumt werden. Folglich verdient von beiden Ausglei- chungen diejenige denVorzug, welche denOriginalbeobachtungen die grofvere Pricision auschreibt. Wenndaher >1ist,soverdient die aweite Ausgleichung den Vormug vor der ersten, d.h.dieAnnahme, dafe die Formel véllig genau sey, istwahrecheinlicher als dieAn- nahme desGegentheils. Findet sich <1, 0istman um umge- Kehrten Schlusse gendthigt. Esversteht sich von selbst, wie dieseBetrachtung sichmodificirt, wennmanetattderGréfaenHundiihrewahrscheinlichen Grinzen einfhrt. Imgegenwirtigen Falle lagen nicht dieResultate derunmittel- baren Messungen selbst, sondern nurdieausihnen berechneten wabr- scheinlichsten Worthe der Indices und Wellenlingen vor; tber die wabrscheinlichen Fehler derletatern istnichts mitgetheilt. Esmulste hiernach von derMethode der Kleinsten Quadrate ginzlich Abstand genommen werden, daselbst indem Falle, woman dieIndices und Wellenlingen wie unmittelbar gemessene GréBen bebandeln wollte, schon ausGrinden derHomogenitit dieihnen beizulegenden Gewichte, oder dieauletztern umgekebrt proportionalen wahrecheinlichen Febler bekannt seyn mifaten Ich habe dsher ein anderes Ausgleichungeverfabren angewandt, welehes sich dorch dieBequemlichkeit der numerischen Rechnung empfiehlt, unddurch dieKleinheit dervonihmverlangten Abweichungen die Ueberzeugung gewihrt, dafs dieAnwendung derobigen Grund- sitze wegen der Gite derBeobachtungen und derGenauigkeit der Formel gerechtfertigt, und uberdiefs ohne beschwerliche Rechnungen Gurchzufithren seyn wirde. Dasselbe besteht infolgendem. Esseyen n,,443m)445... dieaus Beobachtungen bestimmten Werthe derElemente einer Reihe vonStrablen, wobei ndenBrechnngs- index, 4dieentsprechende Wellenlinge bedeutet. Znjedem dieser Elemente fge icheinenach folgenden Bedingungen gewilte Correction: aa 180 1KUeberdieDispersiondsLihte A. Diecorrigirten Elemente Nean+4n, 4—14 42 gentigen inaller Strenge derDispersionsformelMe9(Mt.(4\2(R)-2G+4-0. Q B. DieSumme derQuadrate aller logarithmischen Correctionen ant (ahv—((2)+ (@)] wird durch passende Wabl dermitRicksicht aufAnoch verfigbaren Correctionen und derConstanten Ny,4,zueinem Minimum. Tehsetze nun voraus, dafe man sich vorliufig angentherte Werthe ‘tytyYon Ng,4pverschafft habe, waserfahrungsgemifs durch directe Berechnung derselben ausdenElementen zweier Strahlen (s.u.Form. 9) erreicht wird, und setze . Meg BOMMy,fur60,1,,...5 ®) dann kann man mitBestimmtheit darauf zihlen, dafs alle gesuchten Correctionen sich auf héhere Decimalstellen werfen, mithin die Qua- drate und Producte aller zund ywegen ibrer Kleinheit sufser Betracht fallen. Schafft man nun aus (1)mittelst derGleichung (2)alle corri- girten Elemente weg, und setzt von hier ab Gy Gy, ©saa cpaSC)NIC) ie) IC) 80erhiilt man nach Beseitigung aller nicht linesren Theile diefiralle Strahlen giltige Gleichung Sttm—rtriw—9)=0, @ wihrend Vin Va[e+y) ‘ibergebt, wojedochdasGliedxf+yffeblt.Bezeichnet mandaherdurch4,#4,-..vorléufig unbestimmte Factoren, soerbilt man alsMinimumsbedingungen zuden Glei- ehungen (4)noch diefolgenden 2=p, y—ru forjeden Strobl, TK,Usber dioDispersion dee Lichton 181 forner [x]=9,[ru] =0, welche letzten sich auch indio Form [2]=0, J-90 6) ‘setzen lassen. ‘Aus den beiden ersten und aus (4)ergiebt sich enaD teth, ymre. (6) Setzt man daher 1 r rrfrral-4 Gee]-% [Fe]-¢ t rt ofael-@ [eFa]-r 0folgtaus(6)Amy+Byt+4(B—p)=0 Bayt Cy+4(C—7)=0, ‘also schliofaich BO-)—CB—H B@-p—A(o-»cnn?(se (7Cs ‘Aus (8)sieht man noch dieGleichung (my, (eesy)mt?1] welche 2ueiner flrdienumerische Rechnung wichtigen Folgerung fihrt. Danimlich alle Elementenpaare n,2derGleichung (1)an- nihernd gentigen, soisthier derZibler sebr klein, wibrend derNenner inden bisher beobachteten Theilen desSpectrums stots Uber 3bleibt. Folglich istr,von ¢,,also auch jedes Glied von Bund Cnur sehr ‘wenig vom enteprechenden Gliede von und 7verschieden, was beim Anfeehlagen derTafoln sobr zuStatten kommt. Sodann aber ergiebt sich hieraus, dafs indenZablern vonz,undy,ausdenMinuenden und Subtrahenden dieersten Ziffem sich grofsentheils wegheben, und aufser den durch dieUngensuigkeit derTafeln becintrichtigten End- ziffem nur wenige auverlissige Stellen brig bleiben. Diefa hatzur Folge, dafs man, obgleich alle xund yhdchatens aufawei Stellen genau zuberechnen sind, beiderBerechaung vonr,f,B,8, C,ysi¢ben- stellige Tafeln mitaller Sorgfalt anzuwenden hat Die Constanten m,4)werden amzweckmiligaten ausdenEle- menten 1m,2,5m,)2,tweier Strablen nach denFormeln 182 IX.Ueber dieDispersion desLichtes. Boy emot—m Creeeeaeaera ® yp ae berechnet, wobei jedoch diebeiden Strahlen nicht 2unahe bei ein- ander gewihlt werden dirfen. Vernachlissigt man diese Vorsichte- mafsregel, sobleiben, namentlich beischwach dispergirenden Sub- stanzen indendrei Differenzen, ausdenen niund 42sich zusammen- setzen, sowenig feblerfreie Decimalstellen iibrig, dafs besonders die Bestimmung 4%hichst unsicher wird. Ichwiirde dieses Umstandes nicht erwihnen, wenn ernicht bei dertiblichen Prifung dervonCauchy selbst gegebenen Formel durch diefortlaufende Proportion 1a momibobe... giinzlich Uberschen wirde, und gerade bei schwach dispergirenden Substanzen, aufwelche diese Formel sich anwenden liifst, ammeisten berticksichtigt werden mufs. Die folgende Tafel enthilt dieResultate meiner Rechnung. Zur Vergleichung habe ich noch die Indices nach Rudberg und die ‘Wellenlingen nach Esselbach hinzugefigt, bemerke aber inBetreff der letztern, dafs Hr. Mascart durch M,N,... bisSnicht dienim- lichen Streifen wie Esselbach bezeichnet zuhaben scheint. Zuden Streifon A,S,7hat Hr.Mascart nur dieIndices be- stimmt, Ich habe diezugehdrigen Wellenlingen, diesich unter 4 finden, nach meiner Formel berechnet. Die entsprechenden Werthe, welche man unter den Wellenlingen nach Esselbach findet, hat Hr.Helmholtz (Berl. Monatsber. 1855, S.760) angegeben. DieBe- rechnung vonWellenlingen ausden2ugehdrigen Indices istsehr mifs- lich, namentlich wenn jene sebr grofs sind, daindiesem Falle inder Wirklichkeit, also auch nach jeder derWirklichkeit sich anschliefsenden Formel unmerkbare Aenderungen der Indices schon betrichtliche Aenderungen der Wellenlingen nach sich ziehen. Nimmt man als Feblergriinze desIndex vonAnurflnf Kinheiten derletzten Stelle, sowird die Fehlergrinze der zugehdrigen Wellenlinge nach der Formel =0,0184. DieConstanten N,und 4,sind bisindieletzte Stelle genau, wovon ichmich durch eine 2weite Ausgleichung mitZugrandelegung derdurch dieerste corrigirten Constanten m,4,dberzeugt habe. Sie stimmen mit den Werthen nny—23185und2,=0,1748,4,,%" =0,065481,5Par.Zoll, IX.Ueber die Dispersion des Lichtes. 183 welche ichinmeiner ersten Arbeit sus den Rudberg’schen Indices B,Gabgeleitet habe, sehr nahe Aberein. Die Correctionen der Indices sind unbedeutend, imUltravioletten sogar auffallend gering, wihrend sieimgewohnlichen Spectrum die Abweichungen derRudberg’schen Indices von denen desHn. Mascart durchgingig dbersteigen. DieCorrectionen derWellenlingen sind simmtlich soklein, dafs dieausgeglichenen Wellenlingen mitden beobachteten vollig identisch werden, wenn man siesuf gleiche Stellenzahl reducirt. Diese Er- scheinung erklirt sichderHauptsache nach dadurch, dafs imwirklichen, wie indem nach derFormel (1)entworfenen Spectrum dieWellen- Vingen sich von einom Strahl aum andern weit stirker indern, alsdie Indices. Dahiernach kleine Aenderungen derWellenliingen aufdie Indices keinen merklichen Einflu® haben, sowirde man, umdieCor- rectionen der Indices auf Kosten derWellenlingen hinabzudriicken, letztere unverhiiltnifsmilsig grofen Aenderungen unterwerfen missen, wasdurch obige und ahnliche Minimumsbedingungen verhUtet wird. 184 IX,UeberdieDispersion desLichtes. 3 Se3S83955 P3229S9 | SP+tbbib Piieee g|a8828252 ssasere 42 ~/sSS25S2SE 2RFS8R223 fs Fed dtoda 28 ‘FPgsenezes seesecs g5 4] 33333333 3339333Be ES)F011 T1444 Seebater Saneeee 3 Beefs See5232 dis s3222 252552 22253glalg/24422 24222592283 |digeq |SS252 323 35225533[AEFBalascas Kes 5Rmnos |sagsses2 sosdsss RP tetradPileeee +. |dseaeced anesnae =g2|822339523 22232222 2 3253852 S2S2E25gE |SESSES55 SSS2555 +| I)saassss2 sasgces Ay S447 0717 T11s4h4 wit} _—_8) Palle mecevence eenscusce a3 |s83283252 cf328s222a2) 2+|§83123922 992222222a [area ante soae rae be ai Tlhewaes eae ar2 {] 3333 338 Ee) +t+++ +1 3B "| $888 S58 apa) TSERRSKORSRRowOR aN Google xX. Zur Theorie der einwerthigen Potentiale. lournsl fordiereine und angewandte Mathematik, Bd.64,1865, 8.821-368.) Die Eigenschaften der Potentiale von Massen, welche korperliche Riume oder Oberflichen stetig erflllen, sind seit denUntersuchungen von Gauss und Green und den Entdeckungen Dirichlets sovoll- stindig festgestellt, dass eineaufdiese speciellen Functionen beschrinkte Untersuchung fastausschliesslich aufdieReproduction bekannter Resal- tate angewiesen sein wirde. Die eben bezeichneten Potentiale sind aber weder dieeinzigen, welche inder Lehre von den nach dem Nowtonschen Gesetze wir- Kenden Anzichungskriften inBetracht zuzichen sind, noch vonaus- scbliesslicher Bedeutung firdieAnwendungen. Vielmehr missen 2u ihnen, wieausderTheorie desMognetismus und derlinearen elektri- schen Strime bekannt ist,noch andere gefligt werden, beidenen die Anzichung von einzelnen Punkten oder den Kleinsten Theilen einer Linie aus wirkt, und von denen namentlich die auf den letzten Fall beztiglichen, inhinlinglicher Allgemeinheit aufgefssst, jenen anWich- tigkeit kaum nachstehen ddrften. ‘Man erkennt indessen sehr leicht, wenn man nur den Unterschied awischen dem Potential eines schweren Massenpunktes und demjenigen eines magnetischen Elementes beachtet, dass die Eintheilung der Potentiale nach fingirten Massenvertheilungen keinen Ueberblick Ober den Umfang dieser Functionengattung gewahren kann, ganz abgesehen ‘von denSchwierigkeiten, welche sich darbieten, wenn man diecharak- teristischen Eigenschaften solcher Potentiale anihren, durch dievor- ausgesetzte Massenvertheilung bedingten Ausdriicken selbst aufeucht. Um dieso Fragen zuerledigen, binichdsher inderfolgenden Arbeit nicht von gegebenen Ausdrilcken dereinzelnen Potentiale aus- gegangen, sondern von einer Definition derselben, durch welche die allen einwerthigen Potentialen susserhalb ihrer Unstetigkeitastellen ge- meinsamen Eigenschaften (art. I)undihre ausnahmslose Darstellbarkeit 186 X,ZorTheoriedersinwerthigen Potentiale. durch convergente Rechnungsoperationen (art. VL) zuMerkmalen dor ganzen Gattung gemacht werden. Von diesem Standpunkte ausbesteht dasZiel derUntersuchung darin, dieganze Functionengattung nach Massgabe dermitdengenannten Bedingungen vertriglichen Unstetig- eiten inihre charakteristischen Unterabtheilungen uzerfillen, und dieanalytischen Formen zuentwickeln, durch welche dieFunctionen jeder Abtheilung dargestellt werden. Eskann alscinVortheil dieser Behandlungsweise bezeichnet worden, dass siebeijeder Gattung von Potentialen die wesontlichen Eigenschaften derselben ihrem vollen Umfange nach hervortreten life. Inder That findet sich unter den bekannten Sitzen ther die Potentiale von Kérpermassen und Flichenschichten (art. V.¢., IX.m., XIL q.), auf welche die folgende Untersuchung ihrer Natur nach ebenfalls fhren musste, keiner, dernicht von Beschrinkungen befreit worden ist, diesich zwar beim directen Nachweise dieser Sitze anden Aus- driicken jener Potentiale durch doppelte und dreifache Integrale nicht vermeiden lassen, aber nur aus den hierbei verfligbaren Hilfemitteln ontspringen. Die Gleichungen III. (0.) und IV.(3.) sind echon mehrfach auf- gestellt, aber noch nicht zuden Folgerungen benutzt worden, diehier aus ihnen gezogen werden, wozu allerdings inden schwierigern Fallen die Halfesitze d.und e.des art, VII. erforderlich sind. Mit Racksicht auf dieWichtigkeit dieser und ahnlicher Formeln durfte eine voll- stindige Begrindung der erstern nicht Ubergangen werden. Um in denart,VIL, XL,XIL den Gang derUntersuchung nicht unterbrechen zamilssen, habe ichden Beweis einiger dort benutzter Hilfesitze an denSchluss derAbhandlung inbesondere Noten verlegt. L Wir bezeichnen durch x,9,§dierechtwinkligen Coordinaten eines Panktes oimunbegrenzten Raume ®,und durch o°deninihm statt- findenden Werth einer gegebenen einwerthigen Function, welche, mit Ausnabme von isolirten Punkten, Linien und Flichen, nirgendwo un- bestimmt oder unstetig ist,und nurinisolirten Punkten qunendlich wird. Inder Nihe der letztern beschrinken wir das Anwachten von @'durch dieBedingung, dass dasProduct Fe, wenn tdieEntfernung von obisqbedeutet, beijeder Richtung von tmitrzugleich verachwindet, sobald furkeinpassender, von 1ver- schiedener positiver echter Bruch gesetzt wird. Endlich setzen wir, X.Zur Theorie dereinwerthigen Potentiale. 187 wenigatens vorliufig, fost, dase o’ausserhalb eines gegebenen Raumes W,,derkeine unendlich weit vom Coordinatenanfange entfernten Punkte enthilt, gleich Null sein soll. Unter diesen Voraussetzungen untersuchen wir diejenigen Func- tionen »von f,9,j,welche den folgenden Bedingungen geniigen: U.Imganzen Raume ®, mit Ausnshme gegebener Punkte p, Linien {und Flichen f,sind vund soine ersten Derivirten ein- werthig, endlich und stetig. . Ausserhalb der inQf.bezeichneten Stellen besteht zwischen don aweiten Derivirten von vdieGleichung at atv atv aSat Get gen fee: ©.Den Fall, woeine erste Derivirte von voder vselbst aneiner Flache entlang unendlich oder unbestimmt sind, schliessen wir aus. Nihere Bestimmungen ber dieZahl und Beschaffenheit derAus- nabmestellen p,{,funddasVerhaltenvon»andenselbenbleibender spiteren Untersuchung vorbehalten. UL. Durch conforme Umbildung desRaumes §istman zunichst im Stande, jede Function »sufeine andere Function »vonderselben Art zuriickzufihren, dieaneoenge gezogene Bedingungen gebunden ist, dass sieeiner weitern Behand- 4 lung auginglich wird. Neben dem unbegrenzten o Raume §denke man sich einen ° zweiten, ihmindenKleinsten 4Theilen ahnlichen Raum R,und . indemselben dreirechtwinklige ‘s Axen; dieCoordinaten eines R *! angehdrigen Panktes oinBezug . aufdiese Axen sollen z,y,2 ° heissen. Esseien ferner p’undp’ awei in®undRnach Belieben angenommene Punkte, deren Coordinaten, jedesmal mitBezug aufdiedem betreffenden Raume angehirigen Axen, 1,m,nund J,m,m sind. Bezeichnet man nundieEntfernungen op’und op’durch 8und s,sowird nach einem Satze desHerm Liouville') 1)Journ. deM.Liouville, XV. Wegen desUcberganges von »und¢zu und ¢und der sich hieran knipfenden Relationen vergl. diewichtige Abhand- lung des Herm Liouville imnlmlichen Journal XII. 286—288, 188 X.Zar Theorie der cinwerthigen Potentiale. dieverlangte Beziohung zwischen denentsprechenden Punkten ound0 beider Riume aufdieallgemeinste Weise durch dieGleichungen @)-1-(6)'@=0, y—m=(Su—m, 5-2(SJe—m oder dieausihnen folgenden at sat pom yom pon_amn a a dargestellt, vorausgosetzt, dass dieAchnlichkeit entaprechender Figuren bei belicbiger Grisso derselben und imaginire Bezichungen ausge- schlossen werden, Die letzten Gleichungen lassen diegeometrische Bezichung zwi- schen den entsprechenden Punkten beider Riume unmittelbar erkennen, wenn man einen dieser Riume solange verschiebt und dreht, bisdie Ponkto p’undp’und dieRichtangen derwachsenden Coordinaten u- sammenfallen, wobei derFall, dass dies letztere nicht angeht, susser ‘Acht gelassen werden kann. InderThat geht dann dieVerbindungs- linie zweier enteprechender Punkte 0,ostets durch denPunkt (p','), und ihre vondiesem Punkte ausgehenden Radienvectoren 8,swerden zueinander umgekehrt proportional. Nennt man p’undp’dieMittelpunkte derbeiden Riume %und R,sofolgt ausderGleichung 5—a', dass imMittelpunkte deseinen Raumes dieunendlich entfernten Theile deeandern abgebildet sind. Ausserhalb p'sind z,y,#einwerthige, endliche und stetige Functionen yon f,9,j,und umgekebrt letztere ausserhalb p’ingleicher Weise mit jenen’ verbunden, Folglich gehdrt ausserhalb der Mittelpunkto zu jedem Punkte deseinen Raumes eineinziger, ihnabbildender Punkt imandern Raume; wenn dieEntfernung eines Punktes vom zugehdrigen Mittelpunkte messbar, d.i,weder unendlich gross, noch unendlich Klein ist, sogilt dassolbe von seiner Abbildung imandern Raume; endlich worden zusammenhingende Ocrier inderAbbildung nicht ge- trennt, unterbrochene nicht ausammengefigt. Gleichzeitig mit dieser Umbildung von ®fuhre ichzwei aufR bezogene Funetionen und ¢ein(vergl dieoben erwahnte Abband- jung vonLiouville), welche dieconformen Umbildangen vonvundg” heissen mogen, und mitRicksicht auf diein(1.) festgestellte Be- ichung zwischen denVariabeln g,9,undzy,#durchdieGleichungen 2) v=4tv, e=(4)'e, oder diefolgenden « ayong en(Se bestimmt sind. X.Zar Theorie der cinwerthigen Poteatiale. 189 Dies festgestellt, gehon wirdaza ber, dioimvorigen art.firo” and »gestellten Bedingungen auf@und vauUbertragen, und wihlen 2adiesem Zwecke denMittelpunkt p’von8ausserhalb 9’undsimmt- licher Ausnahmestellen p,{,f. Dann kann dieAbbildung R’von&inwelcher alloin @vonNull verschieden ist, weder den Mittelpunkt p’von Renthalten, noch bis ins Unendliche reichen, ersteres, weil §'nicht bis ins Unendliche reicht, letzteres, weil p’nicht imInnern von ®'liegt. Dahiernach =(4)"e' imPunkte p’,ungeachtet desdortinsUnendliche wachsen- don Factors &*gleich Null bleibt, sokann esnurmit@°zugleich un- bestimmt, unstetig oder unendlich werden, ersteres also nur inisolirten Punkten, Linien und Flichen, lotzteres nur insolchen Punkten 4,welche den Pankten qvon %entsprechen. IstrdieEntfernung von qbis0,und bedouten 8,,s,dieAb- stinde derPankte q,qvon den zugehérigen Mittelpunkten, 0folgt ‘ausder, durch dieGleichungen (1.) und dieProportion 8:8,=8:8 leichtzubeweisenden Aehnlichkeit derDreiecke p’0q,p’go,ahalso santtom(5)(a):He: Lisst man 0mit q,alsauch omit qzusammenfallen, 80verschwindet auf der rechten Seite der Factor to’ nach art. L,der andere Factor wird—(%)°" alsonichtunendlich gross. Folglich verschwindet eunabhingig von derRichtung vonr,sobsld omitgzusammen- fillt. Diefiirgeintretenden Bedingungen sind also vonderselben Art, wie dieinart. I.fir9”gestellten. Anders verhilt essich mitv;dieber dieLage vonp’getroffene Bestimmung filhrt eine wesentliche Beschrinkung inderLage derAus- nahmestellen von vund eine Zerlegung von &.inzwei Bedingungou herbei, von denen dioeine sich aufdas Innere von R,dieandere sich auf die unendlich entfernten Theile dieses Raumes bezicht. DadieAusnahmestellen p,{,fvon»ausserhalb p'liegen, soliegen ihre Abbildungen p,1,fsimmtlich ineinem endlichen Bereiche vonp’, derart, dass man siemitp’ineine Fliche Seinschliessen kann, die keine unendlich weit von einander und von dem willkirlich zawih- lenden Coordinatenanfange entfernten Punkte enthilt. Inp,l,fver- lieren vund seine ersten Derivirten derDefinition gemiss dieKigen- schaft, zogleich einwerthig, endlich und stetig 20sein; dasselbe giltim Allgemeinen auch noch vom Punkte p’,aber von Keinem anderen Punkte des Raumes R. 190 X.ZurTheoriedereinworthigen Potentale. Inder‘That liefert jeder imUnendlichen liegende Punkt pdes Ranmee ®einen mit p’zusammenfallenden Punkt p;jeder Linie {und jeder Fliche f,diein bisinsUnendliche reich, entapricht eine Linie ¢ und eine Fliche f,diesich inp’schliesst. Enthalt §keine Ausnahme- stelle von imUnendlichen, sowird p’gleichwobl eine Aumahmestelle von werden, sobald 8mit&zugleich Uber alle Grenzen wiichst, Bezeichnet man durch «,f,7dieCosinus derWinkel, welche die Richtang vonp’nach omitdenAxen derx,y,2bildet, sowird 2.B. =*7!,undmanerhiltaus(1.)und(22) ose av tran ap av av)GE0227 Bae2a(e oe+OatH): ‘NenntmandaherdiefestenWerthe, welcheae,age,aeinpt erlangen, P,QundR,und lisst nunoinderdurch «,8,ybestimmten Richtung insUnendliche ricken, wobei dann schlieBlich 0mitp’zu- sommentillt, sofolgtderSatz,dasss*°°gegendiefestoGrenze P—2a(eP +BQ+/R)convergirt. Achuliches giltvons*=und oe. Daaberhiernach s*°°beiunbegrenzter Zunahme vonsnicht AberalleGrenzen wichst, 00muses“*°=5?224sveanderGronze verschwinden. Bezeichnet man daher durch Mfdenfesten Werth, den av—soinp’ erlangt, sofolgt unter derselben Voraussetzung, wievor- hin,limso—2,lim#22—— Ma;undmansichtleicht, dassman hier sdurch dieEntfernung rzwischen ound einem beliebigen, in endlicher Entfernung von p’liegenden Punkte Oersetzen kann, weil derQuotient +imUnondlichen =1wird. Folglich haben wirdenSatz: Sind «,B,7dieCosinus derWinkel, welche dieRichtung von einem feston Punkte Onach omitdenAxen bildet, und istrdie Entfernung beider Punkte, sogelten firdievon Ouncudlich weit entfernten Punkte odesRaumes dieasymptotischen Ausdriicke: vaM Oo_MaaeMBovMy a nsihe Wir siehen endlich aus dem Vorstehenden noch die fir unsere ; aeae 20 spiternZwecke ausreichende Folgerung, dassv,2°,752und+2° imUnendlichen verschwinden, ohne vorher ihre Stetigkeit 2uunter- brechen. X.Zor Theorie der einwerthigen Potentale. 191 Schliesslich wird (vergl dieAbhandlung von Liouville) a, tyaD s\'pete |Beateae+ytap~(a)[ast oy+Ges) also, wenn man den rechts inKlammer stehenden Ausdruck wie Ub- lichdurch4ebereichnet, 40——42(4)'e' =—40 DieFunctionen vgenigen daher denfolgenden Bedingungen: A.ovund seine ersten Derivirten sind, mitAusnahme gewisser Stellen, imganzen Raume Reinwerthig, endlich undstetig. B. Ausserhalb derselben Stellen besteht zwischen den zweiten Derivirten von odieGleichung Av=—4x0. C.Hine Ausnahme von diesen Bedingungen wird nur inbe- stimmten Punkten p,Linien 1und Flichen fgestattet. Diese Ausnahmestellen sind soimRaume vertheilt, dass man siein eine Fliche $einschliessen kann, welche keine unendlich weit ‘yom Coordinatenanfange entfernten Punkte enthilt. Den Fall, wovoder eine erste Derivirte von vaneiner Fliche entlang unendlich oder unbestimmt wird, schliessen wir aus. D.Istr dieEntfernung vonobisruirgend einem festen Punkte 0, 0convergiren ao ao ae *Faz Tay? "Ge ohne Stetigkeitsunterbrechung gegen Null, wenn o,ohne $zu Aiberschreiten, inbeliebiger Richtung insUnendliche rickt. E,Diefixgglltigen Bedingungen sind dienimlichen, wie die inart.Iflr@'gesteliten. Folglich istvcine Function derselben Art, wiev,jedoch vonspe- ciellom Charakter, daalleAumahmestellen insEndliche gertckt sind, und flir die unendlich entforten Theile des Raumes die Dirichlet- sche Bedingung D.cingetreten ist. Wir haben daber den Satz, dass jede Function »sich auseiner solchen speciellen Function odurchconformeUmbildung desRaumesRundderFunctionen vund¢ergiebt.DieFunctionen »unterscheiden sich von cinander 1)durch die Zabl und Beschaffenheit ihrer Ausnahmestellen und 2)durch dieGe- seize, nach denen sieund ihre ersten Derivirten dort anwachsen oder unstatig werden. Was den ersten Punkt betrfft, sowerden wir im Folgenden stots die Grenzfille ausschliessen, wo die Anzahl der Punkte p,dieLange einer Linie 1oder derInhalt einer Fliche fun- 192 X.Zur Theorie der einwerthigen Poteatiale, endlich gross ist. Diese Beschrinkung derAufgabe istkeine wesent- liche, und hatnurdenZweck, von derUntersuchung derHauptfalle Convergenzfragen fern 2uhalten, welche bloss aufdenUebergang zu denGrenzfillen Bezug haben, und injedem einzelnen Falle besonders auerledigen sind (art. XIIL). mL. Wir denken uns einen zusammenhingenden Theil Vdes unbe- grenzten Raumes, indesson Innerem sich Hohlungen befinden, welche simmtliche Ausnahmestellen von venthalten, und nennen Sdie Ge- sammtoberfliche dieser Hohlungen, S,dieiussere Oberfliche von V, sodass dievollstindige Begrenzung dieses Raumes durch dieFlichen Sund S,gebildet wird. DieElemente derdrei Gebiete V,S,undS werden wirdurch @V,7S, und2S,ihre Coordinaten ohne Unterschied durch z,y,2,dagegen dieCoordinaten eines inVfestgewilten Punktes Odurch X,¥,Zbezeichnen. Um diesen Punkt OalsCentrum legen wireine Kugel K,deren Halbmesser cwir soKlein wihlen, dass alle Punkte von KinsInnere von Vfallen, und eine aweite Kugel K,, deren Halbmesser dioLingen- einheit ist. Istalsdann ZoeinOberflichenelement von K,, und sind &,1,$seine Coordinaten inBezug aufdrei durch Oingleicher Rich- tung mitden urspringlichen gelegte Axen, sosind inBezug aufdie- aelben Axen ct,cm,cfdieCoordinaten seiner Centralprojection aufK, und ihr Inhalt co ist das Oberfiichenelement der letztern. Wir errichten endlich ther @Sund 2S, Normalen, dieerstere nach Vhinein, dieandere aus diesem Raume hinaus, und nennen die erstenElemente dieserNormalen épundp,,sodassz.B.=den Werth bedeutet, welchen die Derivirte von @nach der aber 2Ser- richteten Normale inihrem Anfongspunkte auf2Shat. 1.Multiplicirt mandieGleichung 4o——4x0 mit—2",wor dieEntfernung von Obiszum Elemente 2Vist, und integrirt Uber alleElemente von VmitAusschluss derinKenthaltenen, soergiebt 1atsichmitHulfederGleichung*ay=2(2Hot)o>undmit 1 at Ricksicht darauf, dassderAusdruck +avy unddiebeidenabn- lich gebildeten withrend derIntegration einwerthig, endlich und stetig bleiben nach dem Greenschen Saize X.Zor Theorie dereinwerthigon Potentale 193 1 17 ae awr1(100*)of(22*) J?f(s apap, Setae)\eip—?ap)8 1@ ol(iow. womurLinken derAccent amIntegralzeichen bedeutet, dass dasVo- Jumen derKugel Kvom Integrationsraume ausgeschlossen ist. Setzt man zurAbktrzung 1 1a= resrao ran BS88-0, eS(eights 10folgt hierans: ayv LSCes+)e0- SX+9). Indieser Gleichung lassen wir ¢verschwinden, und werden be- vweisen, dass unter diesen Umstinden beide Seiten gegen feste Grenzen convergiren, undauch beim Ubergange zurGrenze c= nicht auf- héren, einander gleich zusein. DasIntegral1;Je229 istnumerisch Kleiner alsdasProduct ous* at‘cd6—c unddemgréssten numerischen Werthe, den ae ae ae ao meng tee aufKerlangt. Daaber {+1!+{?denunverinderlichen Werth1 hat, sokann dieses Product wegen A.durch Verkleinerung von¢unter jedeGrenzegebracht werden,folglichconvergirt 7.S536mitab- nebmendem cobne Stetigkeitsunterbrechung gegen Null. Nennt man ferner 1,denWerth; dendieeinwerthige Function o inOerlangt,undersetztdasIntegral7.[ovedurchv9+Afo-aee, s0convergirt derzweite Summand wegen derStetigkeit vonvmitab- nehmendem ¢stetig gegen Null. Folglich convergirt beiunbegrenzter Abnahme von cdielinke Seite obiger Gleichung ohne Stetigkeitsunterbrechung gegen diefesto Grenze 5. ‘Auf der rechten Seite indert sich wihrend dessen nur das erste Glied, und zwar istder Zuwachs, den sieerlangt, wenn cinden RB. Obrlatottel, Gesamte ADhandingen. 18 194 X.ZurTheorie dereinwerthigen Potentale, Mleineron Werth babergeht, gleich[rerf9eo. Solange Oinmess- barer Entfernung von allen Punkten gliegt, indenen ¢unendlich wird, verschwindet dieses Integral offenbar mitczugleich; istdagegen selbst einer dieser Punkte, sosetze man dasselbe, beipassender Wahl desvon1verschiedenen positiven echtenBruches kgleich f'r'-*anfr4ea0. Dannkannman¢20kleinwiblen, dassrpwibrend derIntegration numerisch kleiner alseine beliebig gegebene Zahl Ableibt, also das Integral, abgesehen vom Zeichen, Kleiner als ferrerf acenae OR wird. Folglich convergirt dieses Integral auch imgegenwirtigen Falle mit¢und dem kleineren }zugleich stetig gegen Null. Man kann daher ¢soklein wahlen, dass jeder Zuwachs, den die rechte Seite obiger @leichung durch fernere Verkleinerung von¢noch erhalten kann, unter eine beliebige Grenze godrickt wird. Daaber die _rechte Seite, solange ¢von Null verschieden ist, einen vallig be- stimmten, endlichen Werth hat, sofolgt hieraus zuniichst, dass siebei unbegrenzter Abnahme voncohne Stetigkeiteunterbrechung gegen eine feste Grenze convergirt, welche dadurch erhalten wird, dase man in ihrem ersten Gliede dieIntegration Uber dasganze Volumen Vausdehnt. Daendlich dieobige Gleichung fureinbeliebig Kleines cbesteht, solange nur¢von Null verschieden ist, und dioletzten Aenderungen,welcheihrebeidenSeitenerleiden,wennman¢vollendsverschwindenlisst, selbst verschwindend Klein, also nicht ummessbare Gréssen von einander verschieden sind, sokann die Gleichheit auch durch den Usbergang zurGrenze c=0nicht aufgehoben werden, und esergiebt sichnunfolgende, beijederLagevonOimInnernvonVgiltige Gleichung: av (0, nnf 4-6). 1 i rx ior 2,Hitte mandieGleichung 4o——4x0 mit“TXeV—fgg multiplicirt, und dieIntegration imfrttheren Umfange ausgefthrt, 20 wirde sich ae ESE EB ere~Seager+WY8.y X.Zar Theorie der einwerthigen Potentiale, 195 ergeben haben, wo(S)' und (S_)' dieIntegrale bedeuten, welche man usdenvorhin durch($)und($,)bezeichneten erhilt, wennman+ 1 at durch 5ersetzt, d.h.unter demIntegralzeichen nachXdifferentiirt. ImElemente c2o wird nach deroben eingefihrten Bezeichnung 2—Xact, 7%—4,alsoistdielinkeSeitegleich 1 ae are " "a(ote’)BLE 98(eee =[Ake 20. Bezeichnet man sber durch ¢KdasVolumenelement von K,soist wegenderStetigkeit von0ScK=ffv&cteo. Lisst man hier cum éewachsen, undhebt indenAnderungen beider Seiten mit4xctac ‘weg, 80folgt 1(005,_afoteras _(a(ote)5sadd2°9~“Gaetde~Janctae°* aaCEwabrend derIntegration wederunendlich nochunbestimmt wird. Also haben wir 1 1co ey s a aLSteaSogiev +-(8. DielinkeSeiteisteinMittelausdenWerthen, welche 2°aufKer- langt,undgehtdahorwegenderStetigkeit von22mitabnelimendem ¢ stetigindenfestenWerth 2uber,welchen dieseDerivirte inOhat. Kénnen wir daher beweisen, dass auch dierechte Seite mit ab- nehmendem ¢ohne Stetigkeitsunterbrechung gegen eine feste Grenze convergirt, sofolgt, dass dieGleichung such noch anderGrenze ¢=0 besteht. Liisst man cinden kleineren Werth btbergehen, soerhilt die rechte Seite den Zuwachs ‘. (ar 1fotae— [Xfrotes. SolangeOinmessbarer Entfernung vonjedemPunkteqliegt,ver-echwindet dies mit¢zugleich; fallt.O miteinem Punkte ¢zusammen, s0wirdfireinhinlinglich Kleines ¢wihrend derIntegration /r+tae numerisch kleiner alsf'A2o—4xA, weil§xwischen—1und1liegts 1 196 X.ZarTheoriedereinwerthigen Potentiale. ‘chwied . fae ecto folglich wirdjenor Zuwachs Kleiner als4x4 ff=424° =", und verschwindet daher auch jetzt noch, wenn ¢und das Kleinere } imNull dbergehen. Daraus folgt: 1 an a .. (o) eefosteV+(S— (Sy. Zugleich istderNachweis geliefert, dass daserste Glied zurRechten einen vollig bestimmten, endlichen Werth hat, was von den beiden andern Gliedern ohne Weiteres einleuchtet. Iv. Lisst man dieFliche S,sich immer mehr erweitern, sodass sie fortwihrend neue Teile desiusseren Raumes inihrInneres aufnimmt, ohne bereits dberschrittene Theile auszuscheiden, sokann sich aufder rechten Seite derGleichung v (0) wnf+ o-6) das erste Glied nur solange indern, alsesausserhalb S,noch Stellen giebt, indenen gvonNull verschiedene Werthe hat. Von dem Augen- blicke an,woS,diese Stellen simmtlich aberschritten hat, wird das IntegralJ227vonderferneren Umgestaltung derFliche S,anab- Dasselbe tritt cinmal ein, wenn @xwar imganzen Raume Werthe haat, jedoch soverliuft, dass das uber den ganzen Rauin erstreckte Integralf22YvonderAnordnung derIntegration unabhiingig con- vergirt, ‘InderThat kann man unter dieser Voraussetzung dem Inte- grationsraume, ohne dabei Begrenzungstheile ineUnendliche zuverlegen, einen solchen Umfang ertheilen, dass Keine ferere Erweiterung dee selben den Worth des Integrals um eine beliebig kleine, gegebene Grosse zuindern mehr im Stande ist. Fur denFall, dass gnicht bloss ineinem begrenzten Raume vonNull verschiedene Werthe hat, setzen wir diese Bedingung ale erflllt voraus. Liisst man daher allePunkte derFliche S_insUnendliche riicken, wobei nach den einmal gestellten Bedingungen inVkeine Ausnahme- stelle von»aufgenommen werden kann, sowird vorstehende Gleichung eine, firalle ausserhalb $liegenden Punkte Ogilltige, convergente +X. Zar Theorie der cinwerthigen Potentale. 197 Darstellung von %stete und auch nur dann liefern, wenn (S,) obne Stetigkeitsunterbrechung gegen eine feste Grenze convergirt, dievon dem Gesetze, nach welchem dieUmgestaltung von S,erfolgt, unab- hingig ist. DieFliche S.schliessen wir ineine Fliche Sein, deren Ele- ment wir8S! nennen; daserste Element derGber 25%, ausdem von beiden Flachen begrenzten Raume hinsus errichtaten Normale soll durch 2p’, bezeichnet werden. Seiwocine zweite, nebst ihren ersten Derivirten indiesem Raume einwerthige, endliche undstetige Function,welchederGleichung Jw—0geniigt.Integrirt mannundieGlei- chung04t0— wom J.(38—w22)+...4zew Uberdenzwischen S,undS;liegenden Raum W,sofolgt, wenn mit4xweggehoben wird 1 aw av ood ow ao 0)Efe) a8.~bfOe—wae)5.4fowow. Sotatmanhiert+, undlisstnundieFlichen S,undS; unabbiingig voncinander insUnendliche ricken, soconvergirt der obengestellten Bedingung zufolge {wW stetig gegen Null. Wenn daher gleichzeitig dielinke Seite gegen cine feste Grenze convergirt, 0intdies auch dieGrenze des ersten Gliedes zur Rechten, nimlich von (S,). Nimmt man aber firSeine umOalsCentrum mitdem Radius rbeschriebene Kugel, sowird dielinke Seite 1 oF 1a. . ovweit) neondifettriteteeeis Dieselbe istalso numerisch Kleiner alsdieSomme ausdengréssten numerischen Werthen, welchev,r22,z,2%auf8.annchmen. Dajeder von diesen vier Summanden wegen D.durch Vergrésserang von runter jede Grenze gebracht werden kann, soconvergirt mit wachsendem rdielinke Seite obiger Gleichung stetig gegen Null; dies istalso auch, nach dem vorhin Bemerkten, derWerth, inwelchen (S,) stotig thergeht, wenn alle Punkte derFliche S,insUnendliche ricken. Wir haben demnach den Satz: a,Sobald oimganzen, dieFliche $umgebenden Roume den Bedingungen 4.,B.,D.gentigt, unddasIntegralJ22an abhingig von derAnordnung derIntegration convergirt, ist injedem Punkte Ovon V. 4) aafe+9 198 X.ZurTheoriedercinwerthigen Potentiale. Vv. DieUntersuchung derGleichung 1 at ar, . . (o) ay-fers (8. 1 at erledigt sichaufdemsolben Wege. Setztmanin(3.)w—55und nimmt firS,wieder eine Kugel vom Radius rund dem Centrum 0, 1 ah sowirdaufihr57=4,alsofolgtous(3.) ata a ie r. at 1 freee ae, av, dey, 7--ift:tyetnteasityeceJantew. Aufderrechten Seite convergirt daserste Glied wegen D.mitwachsen- dom rnotwendig gegen Null; wenn daher auch daszweite Glied bei unsuegesetzter Erweiterung derFlichen S,und S:verschwindet, so giltdasselbe von(S,). Daraus folgt derSatz: b.Sobald »imRaume Vsusserhalb SdenBedingungen A,B, 1atD.genigt,unddasIntegralSezer unabhiingig vonder Anordnung derIntegration convergirt, istinjedem Punkte O von V an_te Sa—J esxe +) Durch Verbindung dieses Satzes mit dem vorigen folgt weiter: ¢Wenn »imRaume ausserhalb SdenBedingungen .,B.,D. 1 atgendgt,unddiebeidenIntegralefx,Seaycan hiingig vonderAnordnung derIntegration convergiren, erhiilt man3%ausdemAusdrucke vonv,durchDifferentiiren unter dem Integralzeichen. Durch diese Sitze istdieFrage nach den ersten Derivirten von vollstindig aufdieErmittelung derAusdritcke zurickgefthrt, durch welche vselbst dargestellt wird, wesbalb wiruns imFolgenden nur noch mitdenletzteren zubeschiiftigen haben. X.Zur Theorie der einwerthigen Potentiale. 199 VL Durch dieGleichung (4.) wird jede den Bedingungen 4.,B.,D. genigende Function »imganzen, ausserhalb Sliegenden Raume V durch convergente Rechnungsoperationen dargestellt. Daaber SausdenOberflichen S,,S,ete.dereinzelnen Héhlungen rusammengesetzt ist,indenen dieAuenahmestellen p,1,ete.von»ein- geschlosson sind, #0istindieser Gleichung unter at ) 1 r1@o), =Seop7op)Ss eine Summe vonIntegralen (S,), (S,)ete.derselben Form zuverstehen, vondenen jedes sich Uber einederOberflichen §,,S,ete.erstreckt. ‘Lasst mannundieOberfliche einer dieser Héhlungen, etwa 8,sich immer mehr umdieentsprechende Ausnahmestelle pzusammenzichen, #0kann dies in(4.)denWerth derrechten Seite nicht indern, solange vdenBedingungen des art.II.geniigt Daaber gleichzeitig wegen derflr@gestellten Bedingungon f22‘beidieserErweiterung seinos Integrationsraumes gegen eine feste Grenze convergirt, und ausser diesem und(S,) alleUbrigen Glieder derrechten Seite von(4.)un- geindert bleiben, 80convergirt auch (S,)gegen eine feste Gronze. Folglich milssen umgekehrt dieanden Ausnahmestellen von 9 eintretenden Bedingungen fround[°sogewihlt werden, dassbei fortgesetzter Verengerung derIntegrationsfizchen S,,S,ete.jedes der Integrale (S,), (S)), ete.firsich gegen cine feste Grenze convergirt. Istdies erreicht, 20wird vydurch dieGleichung (4.) anderGrenze imganzen Raume ausserhalb seiner Ausnahmestellen dargestellt. Damit istjedoch derFall nicht ausgeschlossen, dass derhiermit, gewonnone Ausdruck der Function vineiner Ausnahmestelle Werthe angiebt, welche vondem derFunction andieser Stelle vorgeschriebenen ‘Verlanfe unabhiingig sind. Man weiss, dase solche lokale Abweichungen einer Function von einem sie sonst darstellenden Ausdrucke inmanchen Fallen nur von derForm desletatern abhingen und durch eine Aenderung derselben gehoben werden kénnen. Wir echliessen nun alleVerstésse gegen dieBedingungen 4.und B.aus, deren aieFunctionen »wegen ©.fahig sind, ohne dass die oben gefundenen, imganzen abrigen Raume giltigen Ausdriicke dieser Functionen anihnen Theil nehmen kénnen. DieFunctionen, welche nun noch brig bleiben, unddieausihnen 200 X.ZorTheoriedereinwerthigen Potentiale. durch conforme Umbildung folgenden Functionen (art, II.)begreifen wir unter dem Namen dereinwerthigen Potentiale. Diefolgenden Sitze bezichen sich ausechliesslich aufdiedenBe- dingungen C.undD.genigenden Potentisle, welche wirzurUnter- echeidung von den dbrigen wiebisher durch »bezeichnen. vu. Hilfssatz. SeiReinepositive Variable und/(R)eineFunction von R,dienebst ihrer ersten Derivirten /“(R) oberhalb R= 0biszu einem gegebenen Werthe R—a hin weder unbestimmt, noch unend- lich, noch unstetig wird, wihrend ihrVerbalten imPunkle R= Oselbst noch dahin gestelit bleiben mag. Dann besteht swischen dem Verlaufe derbeiden Functionen /(R) und /'(R) inunendlicher Néhe von R= 0einZusammenhang, inBe- treff dessen wirfolgende Sitze hervorheben. 4,Wenn firein positives &und jede unbegrenzte Abnahme vonRR'+1/"(R) ohne Unstetigkeit gegen eine feste Grenze A convergirt, soconvergirt Rt/(I) stotiggegendieGrenze —4; wichst unter derselben Voraussetzung Rt+1/'(R) Ober alle Grenzen, soistdasselbe mitR‘(R) derFall. ¢Wenn beijeder unbegrenzten Abnahme von RRf‘(R) ohne Unstetigkeit gegen eine fest Grenze Aconvergirt, tobatsuch gsdenWerthAzurGrenze; wiiehstunterderselben Vor- sussetzung R/(R) ber alle Grenzen, sofindet dasselbe mit 1)logRstatt. Beweis. Ist0<Ry<R,<a, sofolgt 4 3 eR 1(Ry)=(Ry)=JR(BR)gp% af(R) awischen R,undR,weder unbestimmt, noch unendlich, noch ‘unstetig ist. Daferner zwischen denselben Grenzen R'+1/‘(R) stetig undzavonZeichenwechseln freiist,sokannman,wiekleinauch Fysoin mag, sum Mindesten aufeine Art R,zwischen Ryund R,20 wiiblen, dass dierechte Seite & ranfe wird.* X.ZarTheorie dereinwerthigen Potentiale. 201 (@) Solange nun k>0ist,folgt hieraus ERY(R) —ERR) —REFBDL—(Fe)']- Indiesor Gleichung lassen wirRyund R,abnehmen, jedoch 0,dass wenn aundbzwei ohne Ende abnehmende Zablen bedeuten, Rifort- wihrend unterhalb der kleinsten von den ebenfalls abnehmenden Zahlen Fae%04OREbleibt. Dannwerden Ri/(R) und(eyBruehtheile vonaund 6,ersteres etwa —a,letzteres —0,0, und R,instetiger oder sprungweiser Abnahme derNull immer niher gebracht. Esfolgt kOa—KR(Ry)—Ri**f'(R,)U —6,0), woman sich dieGréssen a,b,Ry,RyundR,inderangegebenen Ab- pahme zudenken hat. Wenn daher —kR&/(R,) beiabnehmendem Rytber alleGrenzen wichst, oder gegen eine feste Grenze convergirt, sokann man dieAb- nahme von R,nach einem solchen Gesetze erfolgen lassen, dass RY+/(R,) ingleicher Weise verliuft. Wenn aber umgekehrt Ri+*/((R,) unter allen Umstinden zuletzt unendlich gross wird, undnicht etwa bloss dann, wenn 2,lings einer besonders ausgewahlten Werthenreihe abnimmt,somussauch—kR&/(R,) beiverschwindendem Ryunendlich gross werden; convergirt Ri+#/"(R,) beijeder unbegrenzten Abnabme von F,gegen eine feste Grenze A, sohatauch —kRf(R,) diesen Werth AzurGrenze, w.z.b.w. (@)Fur k=0 folgt ebenso 1B) By) _lg7,fog8,~fog~F(R)[1—eee] Lisst man auch hier R,und2,verschwinden, jedoch so,dass logR numerisch oberhalb dergrossten vondenwachsenden Zahlen 128%, 1)bleibt,20bedarfeszumBeweise von¢,nureinerWiederholung dereben angewandten Schlisse. Diese beiden Sitze lassen sich verallgemeinern, jedoch ohne Hin- rufligung neuer Bedingungen, durch welche ihre Brauchbarkeit beein- triichtigt wird, nicht umkebren. f.Lehrsats, Eineinworthiges Potential »und seine ersten Deri- virten kénnen ineinem von jeder andern Ausnahmestelle ge- trennten Punkte mweder unendlich, noch unbestimmt, noch anstetig sein, sobald dieProducte de de de me, we, we 202 X.ZarThosedersinwethigen Potential beijeder unbegrenzten Abnahme der Entfernung RvomPunkte2,y,#biszumfestenPunktemstetiggegenNull convergiren. Beweis. Fande das Gegentheil statt, sowiirde mzuden Aus- nahmestellen von gehdren. Wir scheiden demnach ausdem Raume Veinenabnehmenden RaumV,,aus,welcher menthilt, undnennen S,dieumdietibrigen Ausnahmestellen von vgelegte Fliche. Nun seiweinzweites einwerthiges Potential, welches sich von v nurdadurch unterscheidet, dass esimInnern von V,,denBedingungen ‘A.und B.geniigt, wihrend esausserhalb V,,genau denselben Be- dingungen wie»unterworfen ist,derart dass, wenn auch noch inV,, den Bedingungen A.und B.geniigte, inVdberall »—wwire. Dann reicht eszum Beweise desSatzes hin, zuzeigen, dass der Unterschied derbeiden Ausdriicke, durch welche »und wimRaume Vdargestellt werden, ausserhalb V,,tberall —0ist,unddass dies gilt, wie klein auch V,,sein mag. Istdies niimlich bewiesen, sofihrt dieAnnahme, esseiimab- nehmenden Raume V,selbst vvonwverschieden, zurFolgerung, dass dieFonction »imPunkte meinen Verstoss gegen dieBedingungenA,undB.begeht,dessenihr,flrdenganzentbrigenRaumVgiltiger Ausdruck wunfihig ist. Eswitrde also »keine derDefinition des einwerthigen Potentials genigende Function sein, und nurdadurch in eine solche verwandelt werden kénnen, dass man inV,,ihren Verlauf den Bedingungen A.und B.gemiiss abiinderte. ‘Aus (4) ergiebt sich auniichst unter derVoraussetzung, dass O ausserhalb S,liegt, w=fee*+(8), wo(S,) dasfrilher durch (S)bezeichnete Integral, ausgedehnt tber die Fliche S,,bedeutet. Der Ausdruck firvpergiebt sich flrden Fall, dass Oausserhalb S,und V,,liegt, durch folgende Betrachtung. Man lege ummale Centrum eine Kugel Kvom Radius R,welche den abnehmenden Raum V,,Vollig einschliesst, und wihle Rsoklein, dass Ound S,ausser- halb desVolumens Vxdieser Kugel liegen. Dann kann man firdie Function »dieFliche $zusammensetzen ausS,undderKugelfiicheK. Diesfestgestellt, istdervon S,herrihrende Theil derVoraussetzung gemiss indenAusdriicken firvyund w,dernimliche. Dasselbe gilt von dem tber Vnach Ausschluss von Vxerstreckten Integrale von X.Zur Theorie der einwerthigen Potentale 203 e2Y Scheidet mandaheraurBildung vonv,ausVdasVolumen Vr aus, und figt zuS,dieOberfliiche dieses Volumens, sowird aa Ve ay 5 DaderVoraussetzung gemiss1°25—6.782%+9Re+eRe, also nach d.auch Rvund Ko mit Raugleich verschwindet, und r wihrend derIntegration von Null verschioden bleibt, soconvergirt das ther dieOberfiiche von Vxerstreckte Integral mitRaugleich stotig gegenNull;dasselbebeweistmanvondemIntegrale Svetaufdem inart,IILeingeschlagenen Wege. Solange also dieEntfernung von Obismvon Null verschieden ist,wieKlein dieselbe Gbrigens auch sein mag, istvy—1g,w.2.b.w. Dieser Beweis kommt darauf hinaus, zuzeigen, dass dieBedingung, voder seine ersten Derivirten sollen inmunendlich, unstetig oder unbestimmt werden, jedoch so,dassR*5,ReundRS?mitR zugleich stetig verschwinden, sufdenselben Ausdruck frvfUbrt, wie dieBedingang, dass A.und B.inmgar nicht verletzt werden. So- lange also cininmstattfindender Verstose gegen diese Bedingungen sich innerhalb der imLehrsatze verlangten Grenzen hilt, isterein soleber, dessen jeder in(4.) enthaltener Ausdruck unfihig ist, und den wir dsher beider Definition des einwerthigen Potentials aus- schliessen. g.Lehrsatz. Bin einwerthiges Potential vund seine ersten Deri- virlen kénnen anfeiner Linie von endlicher Linge, dievon jeder anderen Ausnahmestelle getrennt ist, weder unendlich, noch unbestimmt, noch unstetig sein, sobald dieProducte ae pie poe ne, Ri, Ree beijeder unbegrenzten Abnahme derkirzesten Entfernung R vom Punkte x,y, biszur festen Linie stetig gegen Null convergiren. Beweis.WassuchandieserLinie1stattfindenmag,#0erhilt man doch stets einen Ausdruck firdieWerthe, welche vausserhalb 1undSerlangt,wennman1mittelsteinerFlicheS,ausV'ausschliesstund wie eine Ausnahmestelle behandelt, Nennt man dasvon S,ein- geschlossene Volumen V,,sowird durch den Ausschluss von V,die 204 X.ZorTheoriedereinwerthigen Potentale. Gleichung (4.)nureoweit geindert, dass aufihrer rechten Seite noch der Ausdrack 1 ah 1 r_ 100), LA hinzutritt; derselbe ist,wieaus(3.) leicht folgt, von derGestalt der Fliche S,unabbingig. Bei anbegrenzter Verengerung von §,convergiren beide Theile dieses Ausdruckes stetig gegen Nall. Far den sweiten Theil ergicbt sich dies unmittelbar aus den tber @und dieLinge von 1gemachten Voraussetzungen. Um dasNimliche firden ersten Theil zubeweisen, nennen wir Rdiektrzeste Ent- fernung von 2S,bisaurLinie 1,(rp) den Winkel zwischen rund ap, woraus%=—cos(rp) folgt,undsetzen atR(,2r_ 1a0)_ 1p, coir) 1 pea(i- a RG)-& wodurch derselbe dioFormfoo%' amnimmt. Istdaherunterden absoluten Werthen, welche @withrend derIntegration erlangt, 2der as,grisste,soistdieserTheilnumerisch kleinerals@fca Liiest man aber alleElemente 26,immer niher anJheranricken, sven R2®, Ret. poe ae 2° set toconvergiren RG", REE, RSE, alsoauchRGE undR2E stotig gegen Null. Dies istnach ¢,nicht anders méglich, alsdass zugleich logkUdumsomehr Ro—RlogR-7-2pverschwindet. Solangealso ©nicht unendlich nahe aneinem Punkte von Jliegt, convergiren mitRzugleich alle Werthe von @,also auch @stetig gegen Null. Ertheilt man derFliche S,dieGestalt einer Rohre), deren zu1 sonkrechter Querschnitt einKreis vom constanten Radius Rist,wih- rend sein Centrum sufJliegt, und scbliesst dieRobre durch zweiHialbkugeln, derenMittelpunkte denAnfangunddasEndevonJbilden,s0wird[052014 422,wenn1dieLingederLinie1be- deutet; also wird beiverschwindenden Werthen von Rander Grenze ‘a8,Spi 2a 1)Note 2 X.Zar Theorie der einwerthigen Potentiale 203 Folglich wirdS‘oA!numerisch KleineralsdasProduct xweier Grossen Qund 2x/, von denen dieerstere verschwindet, wihrend die andere nicht Uber alleGrenzen wachst, woraus dasBehauptete folgt. Unter den Voraussetzungen des Lehrsatzes wird also vinjeder messbaren Entfernung von !durch denselben Ausdruck dargestellt, den man erhilt, wenn »such anIentlang den Bedingungen A.und B. geniigt Folglich istdieser Ausdrack, und mit ihmoalseinwerthiges Potential anIentlang jeder mit den dbrigen Voraussetzungen des Lebrsatzes vereinbaren Verletzung vonA.und B.unfihig. A,InartIL.C.istderFall ausgeschlossen worden, wovoder ‘eine seiner ersten Derivirten inallen Punkten einer Fliche unendlich ‘oder unbestimmt wird. . Der Grand hiervon istfolgender. Legt man umdieFliche feine vonS$abgeliste Fliche S,,sowirde man unter derVoraussetzung, anfentlang werde eine erste Derivirte von voder vselbst unendlich oder unbestimmt, imAusdrucke vonveinGlied (S,) erhalten, in welchem dieunter dem Intogralzeichen stehende Function beifort- gesetzter Verengerung vonS,schliesslich aufhirt, dieIntegration zu gestatten. Daraus darf man indessen nicht schliesson, dass eskeine Aus- driicke gebe, welche susserhalb derFliche feineinwerthiges Potential darstellen, aber anihrentlang unondlich oder unbestimmt werden. Indenbisjetzt untersuchten Fallen muss diese Erscheinung jedoch als eine wirkliche Divergent des Ausdrucks von obezeichnet werden, da siebloss anderForm desAusdruckes haftet, und durch Aenderung dieser Form beseitigt werden kann. Beispiele dieser Arterhiilt man, wenn man denausart.V.}.folgenden Ausdriicken firdieDerivirten der inart. XIL r.bezeichneten Potentiale auch noch anden Ausnshme- stellen eine Bedeutung einriumt. ‘Aus den vorstehenden Lehrsitzen ergeben sich alsCorollare die folgenden, indenen diejedesmalige Bedeutung von Rausdem Vor- hergehenden erhellt. i,Ineinem Punkte oder einer Linie von endlicher Linge, die einer anderen Ausnahmestelle sngohdren, kann cin cinwerthiges Potential oder eine seiner ersten Derivirten niemals unstetig oder un- bestimmt werden, ohne dass eine derletzteren unendlich wird. k.Wird daseinwerthige Potential »oder eine seiner ersten Deri- virten indem, vonjeder anderen Ausnahmestelle getrennten Punkte m tunendlich, sokannmindestens einederGréssen 222,we,wee nicht beijeder Richtung vonRmitRaugleich verachwinden. 206 X.ZurTheoriedereinwerthigen Potentale. 1.Wird daseinwerthige Potential voder eine seiner ersten Deri- virten injedem Punkte einer Linie unendlich, dieweder von unend- licher Lange ist,noch einer anderen Ausuahmestelle angehért, 00kann mindestens einederGréssen Ra,RoyRZnichtbeijederunbe- grenzten Abnahme von Rgegen Null convergiren. VUL. Wenn wir daher dieeinwerthigen Potentiale »nach ihren Ver- stéssen gegen dieBedingungen A.und B.ordnen, sobleiben folgende Fille brig: 1.Diese Bedingungen werden imganzen Raume erfallt (art. IX.). 2Ausmahmepunkte. Das Product aus einer derersten Derivirten ‘yon »und dem Quadrate derEntfernung Kvoneinem festen Punkte p convergirt nicht beijeder unbegrenzten Abnahme von Rgegen Nall (art. X.). 3,Ausnahmelinien. Das Product aus einer der ersten Derivirten von »und dem kirzesten Abstande Rvon einer Linie1convergirt nicht beijeder unbegrenzten Abnahme vonRgegen Null (art. XL). 4.Ausnahmeflichen. Beim Durchgange durch eine Fliche von endlicher Ausdehnung erleiden voder seine ersten Derivirten plotaliche Aenderungen (art. XIL). Wenn die Fliche Ssich mit Ausscheidung aller Theile deo Raumes, indenen dieBedingungen A.undB.erfdllt sind, immer enger andio Ausahmestellen anschliosst, sozerfallt siezuletzt insoviele von einander getrennte Theile, alsAusnahmestellen vorhanden sind. Jedem dieser Theile entspricht imAusdrucke von oeinGlied, welches einer derdrei zuletzt genannten Gattungen von Potentialen angehdrt. Folglich kann jedes Potential »durch eine Summe vonPotentialen der vorbin bezeichneten vier Gattungen dargestellt werden. IX. Erster Fall. m.Wenn den Bedingungen A.und B.imgavzen Raume, ohne Ausnahme irgend einer Stelle, Gentige geschieht, soistin jedem Punkte Odes Raumes sobald dasIntegral zurRechten unabhiingig von derAnord- nung derIntegration convergirt. InderThat fillt jetzt ausderGleichung (4.)dasIntegral (S)weg, da X.Zar Theorie der einwerthigen Potentiale. 207 esnicht mehr nétig ist,aus Veinzelne Theile wogen einer dort statt- findenden Verletzung vonA.oder B.auszuscheiden. Esfolgt hieraus, dass man jedes einwerthige Potential vdurch Subtraction einesIntegralsS2ineinanderes,1,verwandeln kann, welches ausserhalb derAusnahmestellen derBedingung 4w—0 ge- niigt, wihrend dieandiesen Stellen selbst stattfindenden Verstésse gegen A.und B.ganz ungeindert bleiben. X. Zweiter Fall. Aumahmepunkte, Findet einVerstoss gegen die Bedingungen A.und B.nur in einem einzigen Punkte pstatt, und ist@dberall —0,sowird ausser- halb der den Punkt peinschliossenden Fliche S %=(S), unddieser Ausdruck ist,wiemanaus(3)flr@—0undw—+ schliesst, von derGestalt derFliche Sunabhiingig, solange siepein-, Osusschliesst. Nimmt man daher filr$eine Kugel vom Halbmesser Rund dem Centrum p,sowird 1 at 1+_190)my wad(ee-135)mie, solange Rkleiner alsdieStrecke Opist,und dierechte Seite von R unabhingig. Soll inptberhaupt eine Verletzung von A.und B.méglich sein, 0darf sich dieselbe nicht innerhalb derinf.angegebenen Grenzen halten. Stellt man also dieBedingung, dass 0 pie pede Re Bay Ra beiabnehmendem Rnicht aber alle Grenzen wachsen, dass dies aberbeijederVerkleinerung von»eintritt,sodarfvjedenfalls nichtkleinerals2sein. Nennt man diezunichst ber »liegende ganze Zabl n+3, sokann »nur eine derZablen 0,1,2... bedeuten, und es verschwinden es2e, Reed, ess22, andwegend.auchR40 mit Rzugleich, wihrend +108 +108 1OPRS, RS, Rese 208 X.ZurTheoriedereinwerthigen Potentiale, ‘ber alle Gronzen wachsen. Esfindet sich imFolgenden, dase y=n+2 sein muss, 1.Nimmt man zunichst firnseinen Kleinsten Werth Null, und lisst Rabnehmen, soreducirt sichdierechte Seite derausderobigen folgenden @leichung 1 a 1205544 F,—mR ae), 4aadfidgetbf(weiss+coat) eg inwelcher r,dieEntfernung von Obispbedeutet, anderGrenze aufihrerstesGlied,daR*£%derVoraussotzung gomiss, alsonachd. auch Rty und, weil dieDifforenz derDreiecksseiten r,r,kleiner alsdiedritteSeiteRist,(r—r,)R°2% verschwindet, DerFactor [iqree=[308mussnachdemObigeneinenvonRoderder Gestalt vonSunabbingigen Werth —4aMhaben. x.Sobsld imganzen Raume @=O ist, und aussorhalb des Punktes pnirgendwo einVerstoss gegen dieBedingungen A. und B.statifindet, ferner beiunbegrenzter Anniherung anp 320 av avRegt, west, eee verschwinden, und ‘ae.sot,folge Sies-- setint,folg u ue BeiderAnwendung dieses Satzes aufdieUmformung von+kann man ausser den Bedingungen desSatzes noch beliebige andere Eigen- echaften dieser Function benutzen, dadiese mitjenen nicht imWider- sprache stehen, sondern aus ihnen folgen. 2.Fur denallgemeinen Fall, woneine belicbige positive ganze ‘Zshl ist,mag Folgendes gentigen. Entwickelt man+mittelst desbinomischen Satzesoderaufandere Weise nach steigenden Potenzen derUnterschiede z—1, y—m, s—n zwischen den Coordinaten z,y,2desFlichenclementa R*26 und den Coordinaten Z,m,nvonp,aoerhiltmaneineReihe aby ER, X,Zar Theorie der oinwerthigon Potentiale, 209 inwelcher 7,einhomogenes Polynom yw"Grades jener Coordinaten- differenzen ist. DadieNenner von z,y,#unabhingig sind, soistfar jedes u4T,—O0, folglich, wieaus(3)flr9=Oundw= Z,folgt, dasIntegral1[7,2%_p2), un/0THs von der Gestalt derFliche $unabhingig, solange sicden Punkt p cinschlissst. Sein Werth bleibt also ungoindert, wenn man flrSdio imvorigen Falle construirte Kugel nimmt, und Rnach Belicben ab- nehmen lisst, at Vereinigt mannunindenReihen fur+und5%alleGlieder, welcheimNennereinehéherePotenzvonr,enthalten, alsdie(n+1)", ineinen Rest, #0fallon beifortgesetzter Verkleinerung von R‘aus dem Ausdracke flrvy,unter denobigen Vorsussetzungen dievon den Resten beider Reihen herrithrendon Glieder weg, und esergiebt sich wnetht Die Factoren M,,sind belicbige Kugelfunctionen ptOrdnung der Winkel, welche dioRichtung pO bestimmen. Die inihnen verfllg- aren Constanten bestimmen sich beidenAnwendungen meistentheils usdeninderRegelbekannten Zeichenwechseln von2%undseinem Verhalten beiwachsenden undabnchmenden Werthen von¢,,wobei nach dem Obigen cine ungefihre Schitzung des Werthes von » hinreicht. 8,Auch indem Falle, wodieersten Derivirten von vbeiunbe- grenzter Anniherung anprascher anwachsen, alsjede Potenz der reciproken Entfernung von diesem Punkte, stellt dasIntegra 1 a= 1F190) ms, inn(os=)mee noch immer »imganzen Raume ausserhalb derumpgelegten Kugel dar, und zwar istsein Werth vom Halbmesser Rdieser Kugel véllig unabhiingig. Wenn tberhaupt einIntegral dervorstehenden Form [p]mitab- nehmendem Rgegen eine von Null verschiedene feste Grenze conver- girt, 90geht osdort alseinwerthiges Potential ineinsolches aber, welches inp,aber nicht ausserhalb dieses Punktes cine Aumahmestelle E-B.obristottel, Onmammulie AMbandienges. Z 1“ 210 X.ZarTheorie dereinwerthigen Potentiale. besitzt. Liegt ineinem solchen Felle paufciner Ausnahmelinie oder Fliche von»,s0sagen wir, osfinde inpeinVerstoss gogen dieBe- dingungen A.und B.statt, welcher such ineinem isolirten Ausnahme- punkte méglich ist Jodes cinwerthige Potential ©lisst sich daher durch Subtraction von Integralen derobigen Art ineinanderes, 1,verwandeln, welches yon allen inisolirten Ausahmepunkten méglichen Verstéssen gegen A.und B.bofreit ist. Dann muss das, mittelst dieses Potentials w gobildete Integral [p], woimmer derPunkt pgewablt worden mag, beiunbegrenzter Abnahine von Rentweder vonRabhingig bleiben, oder wenn eseine fest Grenzo hat, mit Rqugleich verschwinden. Denn wenn [p]beisbuchmendem Rzwar von Runabhingig wirde, aber nicht gegen Null convergirte, sowire peinem isolirten Aus- nahmepunkte gleich zuachten. XI. Dritter Fall. Ausnshmelinien. Findet einVerstoss gegen dioBedingungen A.und B.nur auf einer Linie 1von endlicher Linge statt, und ist@dberall —0, soist ausserhalb der Jeinschlicssenden Fliche S %=(5), und dieses Integral istvon derGestalt derFliche §unabhingig, so- lange sie1ein-, und Osusschliesst Der Einfachheit wegen setzen wirvoraus, dass dioLinie 2nicht ausgetrennten Stiicken besteht, und dberall stetig gebogen ist. Diese ‘Voraussetzung bildet keine wesentliche Einschrinkung derUntersuchung. Besteht nimlich 7ausmebreren voneinander getrennten, aber stetig gebogenen Theilen, sosetzt sich (S)ausebensoviel Integralen vonder Artzusammen, aufwelche wirunshier beschrinken; hingt !zusammen, jedoch so,dass stetig gebogene Theile beiihrem Zusammentreffen Ecken bilden, sokann man dies soanschen, alsobzwei stetig gebogene Linien einen Endpunkt miteinander gemein haben. Stellt man nun dieBedingung, dass dieGréssen 0 pede pee Re, RE, Re beiunbegrenzter Abnshme derkiirzesten Entfernung Rvom Punkte z,y,#biszorLinieJniemalsberalleGrenzenwachsen,dassaber jede Verkleinerang von vdies zurFolge habe, 20darf vnicht <1 sein, weil sonst nach art,VII.g.anJentlang jeder Verstoss gegen A.und B.unméglich sein wirde, Istm+2 diezunichst Uber v X.ZarTheorie dereinwerthigen Potentials, a1 iegende ganze Zahl, also mcine derZahlen 0,1, 2,..., sover- schwinden hiernach die Grdssen weends, eeedt, RAZe,undwegendReto . mitRugleich anJentlang, wihrend von den Gréssen ae mde made mit, mit, mit mindestens cine Ober alle Grenzen wichet. Wirschlieasen denFallsus,woineinzelnen Punktenvon1solehe Verstésse gogen A.und B.stattfinden, wiesionach dem vorigen art, such inisolirten Punkten méglich sind. Dann ist»bisaufcine begrenzto Anzahl vonGréssen bestimmt, Aber diozuseiner vollstindigen Definition noch injedem einzelnen Elemente von1verfiigt werden muss, (Vergl. unten ()). Far diefolgende Untersuchung isteszweckmissig, derFliche S diefolgende Form iugeben. Wir bezeichnen dieEndpunkte von1 durch aund ¢,zwei benachbarte Pankte von Idurch a,und ¢,und setzen non $zusammen auseiner uma,¢, alsAxe gelegten Rébren- fiche 5) vom Halbmesser R,undzwei ther aund¢hinausreichenden Verschlusestiicken S,,8,von denen jodes sich mittelst eines der Normalebene von Jangehérigen Streifens anS,senkrecht ansetzt. Die spiter rabenutzende Folge dieser inrichtung besteht darin, dass ver- schwindende Aenderungen von RdieEndpunkte derAxe ,¢, von 5, ungeindert lassen. Bezeichnet man dieTheile von (S), welche von derIntegration fiber dieSticke S,,$,,8,von Sherrtthren, durch (@),(0)und (¢), so!wird m= @)+O+. Wir beginnen nunmitderUntersuchung desIntegrals (J)firein ohne Ende sbnehmendes R. Istqcinzwischen @und ¢liegender Punkt vonJ,sdieLingedesBogensaq,sodass¢zu-oderabnimmt, jenachdem qan7entlangnach¢oderarickt,undistésdasvonqansgehende Bogenelement von 1,PderKrimmungsradius inq,6’derWinkel zwischen Pund einem vonqausgehenden Halbmesser derRébrenfliche 5,sowird das Element25,derletzteren—R(1—23")go’as,unddaRmaihm senkrecht steht, 1)Note 2. ue 212 ‘X.Zar Theorie der einwerthigen Potentiale. woderAccent omIntegralzeichen bedeutet, dass dieIntegration nach sich von a,bis¢,erstreckt. Scien 2,y,#dieCoordinsten vong,diewiralsFunctionen vons betrachton, und 2’,y/,«’ihre ersten, x”,y’,2”ihre zweiten Derivirten nach s.Durch glegen wirdrei rechtwinklige Axen qT;qP,¢N, vou denen dieerste indieVerlingerung von @sfillt, diezweite nach dem Kriimmungseentrum und diedritte sogerichtet ist,dass siezusammen durch blosse Drehung beziehungsweise indieRichtung derwachsenden 2,y,6gebracht werden kénnen. Setzt man nun Yeaty'-A, Fa'-eP-B, ey'—y2-C, sowerden dieCosinus zwischen diesen und den positiven Axen der 2,y,#folgende: Richtongscosinus vong7': 2) fs’ Richtungscosinus von gP: Pz” Py” Ps” Richtungscosinus von gN: PA PB PC. Bezeichnet man ferner durch r,dieEntfernung vonqbisQ,unddurch @,b,cihre Richtungswinkel, sowird cosa—=sy,COSb—=ay,coscmaz, wennX,Y,Zwiefriher dieCoordinaten vonOsind. Dies vorausgeschickt, lisst sich dieEntfernung rvon 0biszum Elemento 7S, ineine flrden gegenwirtigen Zweck passende Form bringen. Bezeichnet man nimlich durch odenEndpunkt von rsuf 28, #0sind r,Rundr,dieSeiten desDreiecks ¢Oo, also wenn @ denrgogentberliegenden Winkel 090bedeutet, r=r3—2r,Roos+R. Zur Bestimmung von @seien ferner 4und i’dieNeigungswinkel von ,undR.gegen q7,6undnach dem bereits oben Festgesteliten 6°die Neigungswinkel derdurch 7°unddieGeraden r,,Rgelegten Ebenen gegen dieKriimmungsebene 7qP; dann wird 08@—0084cos4’+sinAsin2’cos(—6), oder cos@=sin4cos(#—6),daRzuqTsenkrechtsteht,also 2'= 90 ist. Daraus folgt =r} —27,Rsindcos(0'—0)+FY, wihrend 4und @durch dieGleichungen ‘X.Zur Theorie dereinwerthigen Potentiale. 218 cost—2’cosa +yfcosb+4"cose, sin1cos=Pz"cona+Py”cosb+Ps’cone, sinsind—PAcova+PBcob+PCcose bestimmt sind. Indiesem Ausdrucke vonrhingen r,,4und@nurvonderLage derPunkte qund Oab,aber nicht vom Halbmesser Rund auch nicht von6.Dar,>R ist,60folgt 1 FOZ priPe wounterP,,dieKugelfunction P,(sin1cos('—6)2uverstehen ist.Fabrt man dies inden Ausdrack von (J)ein, und setzt zurbessoren Uebersicht 1fae an8e 17 28082feryBmoy,BoreBt=ty, 1[a0 083800 14 cos6800 BSFPeSS le&SokeSH=Pow 80wird . O=-SmRU,, —SFU, ¢ + —SmkV +SRV, Dainden Ausdrticken Uund VdieIntegration zwischen endlichen Grenzen stattfindet, die nach dem Obigen bei vorschwindenden Knderungon vonRungeindert bleiben, undrwischen denselben 25 nicht unendlich oder unbestimmt wird, s0ist 2Uma 2%aley a ae Solange aber derEndpunkt Ovonr,susserhalb derum1mitdem Halbmesser Kbeschriebenen Robrenfizche liegt, werden U,,, undseine Derivirte U,,oberhalb R=0wederunbestimmt,nochunendlich,noch ‘unstetig; dasselbe giltvonV,,, und V,. Folglich kann man aufdiese Funetionen vonRdenLehrestz d.desart,VII. anwenden, und erhilt, wenn derFall, woRe+1U,, oder R=+*V, beiverschwindendem Run- bestimmt, unendlich oder unstetig wird, ausgeschlossen wird, fllrm>0 limmE*U,, ——limR*'U,, JimmRY=—SolimBH7 214 X.Zar Theorie der sinwerthigen Potential. Dafernorwegenderfir2%geatellton Bedingungen indererstenvon denvorstehenden Gleichungen beide Seiten fOrm>, inderzweiten firm-+1>n verschwinden, 80folgt at . Vim()=tim[S282 Bes7,—RU,—2SRu,], o°™ + oder geordnet . («)lim()=1im[-BY+2S(24S*BHT,—meg.) Dies vornuageschickt, unterwerfen wirvan1entlang der Bo- dingung, dase beiunbegrenster Abnahme von Rinjedem Punkte ¢,firjedenWerthvonpundfirm—0,1,...% (B)YimRe+8[25conm6"—8)26’——4x(Ayconf+B,sin)sei,woA,undB,vonfunabbingige Functionen desBogensssind, welche dieIntegration anJentlang indem zurBildung von lim(0) erforderlichen Umfange gestatten. ‘Aus dem bekannten Ausdrucke firdieKugelfunctionen P,,(cos4cos4’+sin4sin2’cos(6’— ®) erhilt man filr 2'— 90° P,(sin4c08(0—6)=1, P,(sinA008(0'—6))=sincos(6'—0) und allgemein P,(sin4c08(0'—0)=4,008m(7—6)-+.4,,, 008(m—2)(0'—8) ++, wo 2OM!veinam n=2Ggweypisind ist. Diedbrigen Factoren 4sind ebenfalls von 6’und 0unabhingig, kommen aber beiderfolgenden Untersuchung nicht inBetracht. Wendet man nimlich denvorstehenden Ausdruck vonP,,sufdie Bestimmung desliRettSf;Co imBO22Peo n,indem man von m=0anaufwirtsachlieast,sozeigtsichsofort, dass P,,durch sein erstes Glied ersetzt werden kann, undesergiebt sich im2[2pag firm=0lim225 R20—4, flrm=1,2,...0 limFM[2p——A,(AqcosmO+B,sinm6). X.ZurTheorie dercinwerthigen Potentiale. 216 Ebenso findet sich firm—1,2,...0 Rett eo yo, atimf2p,-cosl2'=—$4,,(A,,c08(m—1) 0+B,,sin(m—1)6). Daraus ergeben sich diefolgenden Ausdricke, ousdenen in(«)der Grenzwerth von (0)zusammengesetzt ist: lim—RU, Sf im—Rett,ag(2m!['sind™(Aqcormd+ Basins)(Hm NT?ah a ad tgRTgoAMD,[satin 1+Bain) Fm Tae) Pr % dieAccente andenIntegralzeichen bedeuten, dass dieIntegration anJ entlang vona,bis¢,zuerstreckenist. . Liisst mandaherdieFlichen S,und8,sichbiszudenPunkten 4,und¢,erstrecken, und ersetzt sienun derEinfachheit wegen durch Kageln mitdenHalbmessern aa,—¢,, e¢,—¢, und denMittelpunkten @und¢,0gehen imAusdrucke vonvy(a)und(¢)inIntegrale [a] und [¢](voriger art.) tber, undesfolgt v9=[a]+lim@)+[e). Dieses Resultat umfasst verschiedene Fille. 1.Wenn diedurch A,undB,,bezeichneten Functionen vons80 beschaffen sind, dase vondonIntegralen (), ausdenon lim()besteht, einzelne divergent werden, wenn man siebiszuden Endpunkten a‘und¢vonJerstreokt, sobildendieIntegrale [a]und[c]wesentliche Bestandtheile desAusdruckes von v,indem siezurAusgleichung der, bei abnehmenden Werthen der Halbmesser c,und ¢,eintretenden Divergenz von lim({) dienen. 2.Wenn dagegen dieFunctionen Aund BdioIntegration such bisandieEnden von Jhinan gestatten, sokann man c,und ¢,ver- schwinden lassen, undverlangen, dass such [a]und[e]verschwinden. Denn daindiesem Falle jedes derIntegrale [a]und(¢]flrsichgegen ‘eine feste Grenze convergirt, 80wiirden sie, falls diese Grenzen von Nall verschiedon wren, indenAusdruck von vzwei Glieder liefera, welche man nach dem Schlusse desvorigen art.auch dadurch ein- fihren kann, dass man einen isolirten Ausnahmepunkt nach aund einennach¢riicken lisst,undwelche ebenso durchBeseitigung dieser Ausnahmepunkte ohne eine Abinderung inden dbrigen Bedingungen ‘entfornt werden Kénnen, wie esoben alsgeschehen vorausgesetzt worden ist. Daraus folgt derSate: a> 216 X.War Theorie der einwerthigen Potentale, 0.Exseiocineinwerthiges Potential, welches nursufeiner un- unterbrochen zusammenhingenden und stetig gebogenen Linie von dermessbaren Linge 1gegen dieBedingungen A.undB. verstisst, und auch suf dieser von allen inisolirten Aus- nahmepunkten méglichen Verletzungen dieser Bedingungen befreit ist. Wenn slsdann imganzen Raume e—0 ist,und anIentlang beiunbegrenzter Abnahme von R i ae i ze impre8® 1)limm+s$2—0, limR4520,limw+*s20, 2)firm=0,1,...0 limRe![20smio——4A, 8)firm=1,2,...0 limBos[25sinmg'00——4B, ist,soistfirjeden Pankt Osusserhalb 1=lim(1)oder y=ffAyae2,(am) sin2"(4,,conmd+Bysinm6) +3a 2 a __sin271(4,,con(m —1)6-+Butin(mw—1)6)Pr es, vorausgesetzt, dase dieFunctionen A,,undB,dieIntegration fiber dieganze Linie 1hinweg gestation. Mittelst der hier anwendbaren Sitze d.und ¢.des art. VIL. or- geben sich aus den Bedingungen 2)und 3)folgende Kigenschaften dee vorstehenden Potentials: limainfor --424, TimmF*fvcosmo‘eo—4x4,firm=1,2,-0.0.Jimmefosinm0oof—4nB, Dieselben kénnen ebenfalls dazu dienen, umzueinem gegebenen Aus-drackevonvdieGréssenAundBzubestimmen. Einfache Beispiele zubeiden Fallen erhilt man durch conforme Umbildang einwerthiger Functionen von ¢+i9,welche murineiner end- lichen Anzahl von Punkten der z,9Ebeneunendlichwerden,oder ihrer reellen Bestandtheile. Betrachtet man nimlich eine solche als Function von %,9,j,80verhilt siesich wiecine denBedingungen dee X.ZurTheorie dercinwerthigen Potentiale. 217 ‘art.Ifrg’gleich Null gentgende Function v,dienobst ihren ersten Derivirten $?,32anfgeraden Linien,diemurj-Axeparallel sind,un- endlich wird, und susserhalb derselben endlich undstetig bleibt. Diese Linien worden durch die conforme Umbildung inKreisbégen ver- wandelt, deren Enden imMittalpunkte desRaumes z,y,7zusammen- stossen. Dierationalen Functionen liefern Beispicle zum zweiten Falle, logYETfannzurErliuterung desandemdi og YE rar Erliuterang desandern dienen. 3,WenndieerstenDerivirtenvon»anJentlangunendlichgross von unendlich hoher Ordnung werden, sostellt der Ausdruck (S)=@©+(@+(© noch immer vsusserhalb derFliche Sdar, und sein Werth istauch jetzt noch vom Halbmesser Rund derForm von 8,und S,unabhingig. Allgemein geht jeder Ausdruck dieser Form, dervon derUmgestaltung derFliche Sunabhingig wird, wenn sie sich immer enger um1zusammenzicht, anderGrenze alscinwerthiges Potential ineinsolches Uber, welches susser derLinie 7keine andere Aumahmestelle besitzt. Man kann daher durch Subtraction von Potentinlen dieser Gattung jedes cinwerthige Potential vineinanderes, 1,verwandeln, welches sobeschaffen ist,dass dermittelst derWerthe ‘von 1gebildete Ausdruck (S) fiirjode belicbige Linie 7beifort- gesetzter Verengerung derFliche Sentweder von der Gestalt dieser Fliche abbingig bleibt, oder falls ercine feste Grenzo hat, ander- selben verechwindet, XIL Vierter Fall. Ausnshmefiichen, Die Bedingungen A.und B.werden nur aneiner zusammen- hingenden Fliche fentlang verletst, von welcher wirvoraussetzen, 1)dass siekeine unendlich weit von einander entfernten Punkte enthilt, und dase dieLinge ihres Randes, wenn einsolcher vorhanden ist,nicht unendlich gross ist; 2)dassdieAnzahlihrerEckenundKanten, sowiedieZablihrer Durchschnittspunkte mit Geraden von verschwindender Linge und mitCurven, die2uihrem Rande oder 2ueiner be- stimmten, aufihrverzeichneten Linie 1(vergl unten 3))in unendlicher Nahe parallel sind, nicht unendlich gross ist. Wir setzon ferner voraus, dass ¢imganzen Raume ausserhalb f gleich Null ist. Indiesem, wieinden froheren Fallen darf ausdem Umstando, dass 40 auffselbst nicht gleich Null gosetzt worden kann, nicht goschlossen werden, @habe dort von Null verschiedene 218 X.Zar Theorie dereinwerthigen Potentiale. Werthe, weil auffselbst von derBildung desAusdruckes 4»dber- haupt keine Rede sein kann. Den Fall, wo»oder eine seiner ersten Derivirten inallen Punkten eines Flichensticks von endlicher Ausdehnung unendlich oder un- bestimmt wird, haben wirbereits ausgeschloseon. Wir fgen hierm noch weitere Beschrinkungen inden anfentlang vorauszusetzenden Vorstéssen gegen A.undB.Diese Verstisse bestehen nach art.VIII. inblossen Unstetigkeiten, welch voder seine ersten Derivirten beim Durchgange durch ferleiden, und welche, abgeschen von einzelnen auf fliegenden Punkten und Linien, mit keinem Unendlichwerden dieser Funetionen verbunden sind. DieBeschrinkungen, denen wirdieso Un- stetigkeiten unterwerfen, betreffon 1)dieGeschwindigkeit, mitwelcher »oder seine ersten Derivirten anwachsen dirfen, wenn man solchan Punkten und Linien von Ausen her, und 2)dievon jener wohl zu unterscheidende Geschwindigkeit, mit welcher ihre Springe wachsen trfen, wenn man diesen Stellen anderFliche fentlang immer niher rickt, ‘Wenn dieUnstetigkeiten von»oder seinen ersten Derivirten sich biaanden Rand 4derFliche ferhalten, eowerden diese Functionen aufdem Rando selbst unbestimmt, indem siebeim Umbiegen umden- selben allebeim Durchgange durch fdbersprangenen Werthe instetiger Reihenfolge durchlaufen. Folglich gehort derRand 4imAllgemeinen ebenfalls zuden, auffnochbesonderszuunterscheidenden Ausnahme- stellen, von denen erbloss durch seine Lage auffunterschieden ist. Wenn suffinirgendeinemPunkteoderaneinerLinioentlang eine, auch inisoliorten Punkten oder Linien mdgliche Verleteung von A.stattfindst, sokann man dieselbe ohne eine Aenderung inden ‘tbrigen Bedingungen dadurch vollstindig beseitigen, dass man ausdem Ausdrucke fiir veine von den imzweiten und dritten Falle auftreten- den Formen ausscheidet. Wir setzen dies alsgeschehen voraus, und beschriinken dem entaprechend dasUnendlichwerden von vund seinen ersten Derivirten durch dieunten folgende vierte Bedingung. Dies festgestellt, betrachten wirfalseinen Spalt imReume, und bezeichnen einen Punkt ovonf,jenachdem eralsaufdereinen oder dorandern Seite desSpaltes liegend betrachtet wird, durch o,oder 04, dieWerthe von »indiesen Punkten durch v,,%und unter derVor- aussetzung, dass man beim Differentiiren von o,und o,ausaufden, ‘ber beiden Seiten des Spaltes von ihm abwirts errichteton Normalen fortschreitet, seineDerivirten durchBSundaDannstellensichdie anfentlang 20erfilllenden Bedingungen wiefolgt: X.Zur Theorie der einwerthigen Potentiale 219 8)MitAusnahme von isolirten Punkten m,einer Linie 1(vergl. oben 2)und deeRandes 4sind »undseine ersten Derivirten aufbeiden Seiten vonfnirgendwo unendlich oder unbestimmt. DiePunkte msind nurinbegrenster Zahl vorhanden, unddieAnzahlderEckenvonIund2,sowiedioLingevonJist obenfalls nicht unendlich gross. 4)Legt man umjeden Pankt malsCentrum eine Kugelfiiche S,, und umdioLinien 2und 4alsAxen Rohronflichen S,undS,, simmtlich vom Halbmesser c,sosoll zugleich mit¢jedes der ® 1 at 1r_1ae wmeef(optgos - . 25, (|~axJ \ap—+e/*|as, vorschwinden. 5)Beim Durchgange durch fsind vund seine ersten Derivirten unstetig, und zwar istimPunkte 0 20,1Omfetipo 4aE, yy 42, 6)IstRdiegeradlinige Entfernung vonobiszueinem Punkte ‘m,und nihert sich o,ohne fzuverlassen, diesem Punkte aufeiner beliebigen Bahn, soverschwinden RHE, RHQ, mitRzugleich, sobald fr&cine passonde, unter 1liegende positive Zahl gesetet wird. 7)Nahert sich dagegen o,ohne fm verlassen, einem derLinie oder 4angehdrigen Punkte so,dass seine Bahn zuletzt indio Normalebene dieser Linie fallt, soverschwinden zugleich mit dergeradlinigen Entfernung Rbeider Punkte dieGréssen RE, RQ, wenn kwieder einen von 1verschiedenon positiven echten Bruch bedeutet. Indonverschiedenen Fallen, welche sich hier darbieten, kann &ver- schiedene Werthe haben, welche jedoch simmtlich kleiner als1sein milssen, For unsern Zweck reicht eshin, unter &den gréssten von allen diesen Werthen 2verstehen. 220 X,ZarTheoriedereinwerthigen Potentiale. Setzt man nun dieum alle Aumshmestellen von »2legende Fliche Smusammen aus den Flichen S,,5,,5,(siche oben 4))und denausserhalb derselben liegenden Theilen der Spaltfigchen, und be- aeichnet man durch 2,und@f,diemitdem Elemente afvonf20- sammenfallenden Elemente derletztern, sogeht diefirjeden susser- halb §liegenden Punkt Ogiltige Gleichung v,—(S) mit Rocksicht aufdiein4)eingefthrten Zeichen Ober in / 1/ 1 a>ae 1F_12%1F_10% wok)(itindine J(atetit)an+O4+@+ Dim), wenn die Summation im letzten Gliede aur Rechten sich ber allo Punkte merstreckt, und indenersten Glider derAccent andeutet, dase dieinnerhalb derKugeln und Rohren liegenden Elemente afvon derIntegration ausgeschlossen sind. Indenbeiden ersten Gliedern lassen sich zunichst dioenteprechen- 1 1 at a, denElemente vereinigen. Berlicksichtigt man,dassinoi--i ist,80ergiebt sich wegen 5) p im 9a EarFora @ nfB+JastortO+@+ zim. Nennt man ferner @f,, af;,af,dieElemente derinsInnere von S,, §,5,fallenden Theile von f,und setzt Ssay Bah Eafe + fi Jfienn, Jortinnoy Jas, vam sokann man endlich schreiben a Bat7 waft Soaaiers%, wenn T=O+@-E—E,—0,—0,+D(lm)— E,—On) gesetut wird, unddasWeglassen derAccente bedeutet, dase dieInte- gration inden ersten Gliedern ber alle Elemente vonfohne Aus- nahme zu erstrecken ist, Dabei istjedoch vorausgesetzt, dass diese Glieder durch dieEr- woiterung ihres Integrationsgebietes weder unendlich, noch unbestimmt X.ZurTheorie dereinwerthigen Potentiale. 221 worden. Dies ist,wieimFolgenden gezeigt wird, wirklich derFall,solangediefrEund2,gestellten Bedingungen 6)und7)erfilltsind. ‘Worden dagegen diese Bedingungen #0abgeiindert, dassdioInte- Bar 2ordiner .. graloJ=PundJf2,5,"ofdivergiren,wennmandioIntegration bisanJ,4,mhinan erstreckt, somuss derurspriingliche Ausdrack («)beibehalten werden, indem nun dieGlieder (0),(2), [m] murAus- gleichang derbeiabnehmendem ¢eintretenden Divergenz derersten Glieder dienen. Wir werden beweisen, dass beidenobigen Bedingungen jedes ein- zelne Glied von 7mitdem Halbmesser ¢rugleich verachwindet. Da dieAnzahl dieser Glieder wegen 3)keine unbegrenste ist, soistdas- selbe dann such von ihrer Summe 7’nachgewiesen. Nennt man Rdiegeradlinige Entfernung von@f,,bism,und be- zeichnet durch den in6)erwihnten positiven echten Bruch, soist 1 RYE af,” nastyoF.Ohm 2f88.ty,ounfmstBos 1 , RYE cad ersetztmanaberdieFactoren 7%undR'%9,% durch passende Mittelwerthe MfundN,undsot[25—0,sowirdE,—Mo, 0,— No. Dawegen 6)dergrisste Werth von MundN,und nach Note 1.auch @mitczugleich unter jede Grenze sinkt, sogilt das- selbe von E,,und 0,. Beseichnet man femer durch Rdio auf cinem Halbmesser der Rehrenfliche 5,geziblte Entfernung von @f,biszurAxe 1,durch k donin7)erwibnten positiven echten Bruch, unddurch I’,NV’passende 1atMittelausdenWerthen, welcheBEundRQ5inE,und0, wihrend derIntegration durchlaufen, undsetztmanJSfon,90wird E,— Mn, 0,—N'n; und dewegen 7)dergrosste Werth von Mt’ und N’, und nach Note 3.auch 7mit¢zugleich unter jede Grenze sinkt, s0giltdasselbe vonE,und 0,,und ausdemselben Grande von E,und 0,. Man kann dsher dieHalbmesser derFlichen $,,S,,S,,s0klein wihlen, dass diodurch ihrvélliges Verschwinden bewirkten Aendo- angen E,+E,+ DEq0,+0;+50q derIntegrate[E20una 222 X.Zur Theorie der einwerthigen Potentiale. im 8Jo252ofWeiner alsallesBelisbige werden; folglich convergieren ‘diese Integrale ohne Unstetigkeit gegen feste Grenzon, wenn man siebisanJ,4,mhinanorstreckt. Dasugleich mit¢wegen 4)auch jedes derIntegrale (1),(2),[m) vorschwindet, sofolgt ferner, dass derUnterechied 7’zwischen v,und ’ masderSummederbeidenIntegraleSmundSiM58ofunterjede Grenze gedriickt wird, wenn man dieHalbmesser derFlichen 5,S,, S,,ohne Ende abnehmen lisst. Daraus folgt: p.Die Function oistdurch dieBedingungen 4.,B,D.des art,IIund 8)bis7)véllig bestimmt, solange dieFliche f den Bedingungen 1)und 2)entapricht, und ggleich Null ist, und rwar istflirjoden ausserhalb fliegenden Punkt O: Lat z + ‘Aendert man insbesondere dieBedingung 5)dahin ab,dase ont- weder 2,oder Egleich Null ist,soergisbt sich: 4g.Istunter Voraussetzung sller dbrigen Bedingungen oselbst beim Durchgange durch dieFliche fstatig, dagegen ao,|dmon42m aad, wihrend Edenin6)und 7)gesteliten Bedingungen gentgt, 80 ist BiwnfBH. 1.IstdieDerivirte von »nach derNormale derFliche fbeim Durchgange durch dieselbe nicht unstetig, jedoch 0-0, =42Q, wihrend 2,diein6)und 7)gestellten Bedingungen erftllt, so ist Sasswm) ao. . Diese Siitze gelten selbst dann noch, wenn imersten Fallv,und ty,imzweitenaundSinunendlicher Nahevon2,4,meinender X.ZarTheorie dereinwerthigén Potentiale. 228, artigon Verlauf annehmen, dass esnicht mehr gestattet ist,2,resp. Eandiesen Stellen noch gleich Null musetzen, wofern nur dort den Bedingungen 6)und 7)Genige geschieht. IndorTat kommen hier- dureh zuvpnurIntegrale 0,,0,,0,resp. Ey,E,,Eq, welche simmt- lich Kleiner alsjede angebbare oder mit anzugebenden Werthen ver- gleichbare Zabl sind. Man kann endlich, ohne dass dievorstehenden Sitze ihreGoltigkeit, verlieren, dieBedingungen 6)und 7)durch dieallgemeinere ersetzen, dassdioUbereinenbelicbigen TheilFvonferstrockten Integrale Sat 1 at undSQaofbeistetiger Erweiterung vonFnieunbestimmt, un- endlich oder unstetig werden, weil diese Bedingung dasVerechwinden von Eq; OmEyOyE,und 0;nach sich sieht. ‘xu. Zuden imVorangehenden untersuchten Gattungen einwerthiger Potentisle missen nun noch alsbesondere Fille diejenigen gefflgt werden, beidenen dieAnzahl derAumahmepunkte, dieLinge einer Ausnahmelinie oder derInhalt einer Ausnahmefigche unendlich gross ist, sowie diejenigen, welche Ausnahmestellen imUnendlichen be- sitzen, Wir bemerken indieser Bezichung sunichst denfolgenden Grund- satz, dermitdenndthigen Modificationen injedem dereben genannten vier Félle Anwendung findet. ‘Wenn derAusdruck oeines einwerthigon Potentials beiun- begrenzter Erweiterung einer Ausnahmestelle &zuletzt in cinen, vom Gesetzo dieser Erweiterung unabhingigen Aus- druck uGbergeht, 90stellt udasjenige einwerthige Potential dar, welches derinsUnbegrenste erweiterten Auahmestelle entspricht. Bezeichnet man diese Letztere durch 1B,soreicht eszum BeweisedesSatzeshin,2azeigen,1)dasswcineinwerthiges Potential ist,2)dass esausserhalb Bnirgendwo gegen dieBedingung A.verstéest, und 8)dass u,soweit Bmit©cusammenfillt, stets dieselben Unstetig- keiten wie wbesitzt. Das Letztere folgt aus der Form des Aus- druckes v,welche zurFolge hat, dass ausderDifferent u— alleauf ©beztiglichen Theile wegfallen; daauseerdem derUnterschied zwischen + %und »nach den Bedingungen des Satzes durch hinlingliche Er- weiterung von%imganzen Raume ausserhalb 8unter eine beliebige 224 X,ZurTheoriedereinwerthigen Potential Grenzo hinabgedriickt werden kann, und »dort diebeiden merst ge- nannten Eigenschaften besitzt, sokénnen dieselben auch dem Ausdrucke %nicht abgehen. xIV. Nach diesem Satze bleiben nur noch diejenigen einwerthigen Po- tentiale zuuntersuchen brig, welche Ausnshmestellen imUnendlickien besitzen, ohne dass ihre Ausdriicke sich ausdenoben gefundenen durch unbegrenzte Erweiterung einer solchen Stelle ergeben. Dieselben milssen nach art. II. und VL aus den bisher betrachteten siimmtlich durch conforme Umbildung erhalten werden. Zurleichteren Ubersicht gehen wiraufdieinart.I.definirte Function »zuriick, indem wir 9’—0 setzen, und ausserdem dieBe- dingung stellen, dass »vonsolchen Ausnahmestellen, diekeinen Punkt imUnendlichen besitzen, befreit ist. Dehiernach dieAusnahmestellen von ventweder vollstindig im Unendlichen liegen, oder ohne Unterbrechung susdenunendlich ent- fornten Theilen desRaumes bisinsEndliche reichen, sokann man den Raum f,9,§mittelst einer nieingetrennte Sticke zerfallenden Fliche inzwei Theile zerlegen, von denen dereine alle unendlich entfernten ‘Theile desRaumes und simmtliche Ausnahmestellen enthilt, wihrend derandere, den wir8nennen, von ihnen véllig freiist. Dann lisst sich derWerth vp,den»ineinem beliebigen Punkte 0desReumes ®hat, nach artIII.durch einther dieOberfliche vonBerstrecktes Integral darstellen, dessen Werth infolge der fur »gestellten Be- dingungen vonderGestalt dieser Fliche unabhiingig ist,solange inB keine Ausnahmestellen aufgenommen werden. Dies festgestellt, legen wir umden Mittelpunkt p’desRaumes 2,9, (art. IL) eine Kugelfliche @,umjede Ausnabmelinie yon v eine Réhrenfliche, und unterscheiden beijeder Ausnahmefidche ihre beiden Seiten, indem wirsiealseinen Spalt imRaume ansehen. Dann kinnen wir dieOberfliche von @zusammensetzen 1)aus demjenigen Theile S,derKugelfliche &,derausserhalb simmtlicher Robren- und Spaltflichen liegt, und 2)ausderjenigen Fliche S,die durch simmtliche insInnere von$¢fallenden Theile derletzteren ge- bildet wird. Dehnt man nun dieBezeichnungen desart.III.1.aufden vor- liegenden Fall aus, sofolgt ausderGleichung (0.) desselben art. . %=(8)-G.)- Laisst man jetzt &oder ©,insUnendliche riicken, und ©sich dem- X.Zur Theorie der einwerthigen Potentiale. 225 gemiss erweitern, sosind zwei Falle méglich; entweder convergirt das Integral (6), also wogen derfurvgestellten Bedingungen auch (6) gegen eine feste Grenzo, oder esistdies nicht derFall.1.ImerstenFallegeht(6)ineinesvondenimvorigenart.be-handelten Potentialen tber, und eswird demnach (©,) anderGrenze ebenfalls cineinwerthiges Potential. Wir verwandeln dasselbe durch eonforme Umbildung, zuderen Mittelpunkt wirdasCentrum p’von GKnohmen, inein aufden Raum 2,y,#beaigliches v.Dann ent-sprichtderKugelfliche &inletsterem eineneueKugelfliche K,undden unendlich entfernten Theilen desRaumes x,9,3das Centrum p’ von K.Man erhilt aufdiese Weise (art. IL)eineinwerthiges Potential o-4G.), wolches ausserhalb p’allenthalben den Bedingungen A.,B,,D.dos art,ILflr@—0 gentigt, also zudenimart,X.behandelten gehdrt, Folglich wird umgekehrt derGronzwerth von(Sq) imvorliogenden Falle durch conforme Umbildung derinart.X.bebandelten Gattung von Potentialen erhalten, was indem Falle, wo>imUnendlichen nicht vonunendlich hoher Ordnung unendlich wird, aufrationale ganze Functionen von £,9,§flbrt. 2.Wenn dagegen beifortgesetzter Erweiterung von &zwar die Differenz von(S) und(G,) beieinem festen Werthe beharrt, aber keines von beiden Integralen flrsich gegen eine feste Grenze conver- girt, soverwandelt sich »durch dienimlicho conforme Umbildung in eineinwerthiges Potential v,welches eine nicht bisinsUnendliche reichende Ausnahmestelle besitzt, diesich imPunkte p'achliesst. Der Kugel &und dem zur Ausschliessung der Ausnahmestellen von » dienenden System §vonRéhren- undSpaltfigchen’ entepricht imRaume z,y, #dioKugel Kmit dem Centrum p’und einSystem Fvon Flichen, welche dieAumshmestellen von»cinschliessen. Beseitigt man von beiden Flichen XundFdiejenigen Theile, welche insInnere derander fallen, und nennt dieabrig bleibenden Theile S,undS, sowird »nach art.IV.durch dieGleichung %= (9)+(5) dargestellt, undesistnunnach art,II. ©-4FO, -G)-FG.)- Daraus folgt, dass beifortgesetzter Verengerung vonKoder S,swar dieSumme derIntegrale (S)und (S,) ungeindert bleibt, aber keines von beiden firsich gegen eine feste Grenze convergirt EB onsistottel, Oemmmeli ADbandtengen. T 6 226 X.ZurTheorie dereinwerthigen Potentiale. Folglich wird man imgegenwirtigen Falle aufdieinart.XLund XIL erwihnten Fille surickgefthrt, wozurVermeidung divergenter Ausdrficke flr0aus einer Linie 7oder einer Fliche fabnehmendo Stiicke derselben ausgeschieden, und durch eingeschaltete Kugelfléchen ersetzt_ wurden. Die einwerthigen Potentiale zerfallen hiernach inzwei getrennte Gattungen, von denen dieeine durch die, indenart.IX—XIL ge- gebenen, geschlossenen Ausdricke dargestellt wird, wihrend dieandere dieDarstellung durch Formen, deren Elemente von der reciproken Entfernung sbhingen, nur unter derBedingung gestattet, dass die durch dioWahl dieser bestimmten Formen herbeigefthrte Divergens durch Ausscheidang von Restglieden gehoben wird. Functionen dieser Art sind bisjetzt wenig untersucht worden, dasicnach dem eben Geaagten mitderLehre von den Kriften, dienach dem umgekshrten Quadrate derEntfernung wirken, inkeiner Beziehung stehen. Note 1. Um donPunkt mderFliche SalsCentrum legen wireine Kugel vom Radius c,und nennen S’dasinihrInneres fallende Stick vonS. Eswird vorausgesetzt, dass S’durch Gerade, diezueiner Coordinaten- ‘axeparallel sind, hchstens nmal, d.h.nicht unendlich oftgeschnitten wird, Istjetzt 28’einElement von S’,Rseine Entfernung von m, keine unter 1liegende positive Zahl, soconvergirt dasIntegral 3 o-Sfay mitabnehmendem ¢gegen Null. Zum Beweise verlegen wir denCoordinatenanfang nach m,und bezeichnen diepositiven Flicheninhalte derProjectionen von 25’auf dieCoordinatenebenen durch @8,,, 68,,, 08,, woraus osSgtSptSah folgt, weil 28’alsSumme derpositiven Projectionen von28,, 25, 88;aufdieEbene von25’kleiner alsdieSumme dieser Grésson selbst ist, Legt man jetzt aber dieys-Ebene um malsCentrum zwei Kreise, deren Redion Rund R+ 2MKleiner alscsind, soistdie Summe aller suf den von ibnen begrenzten Kreisring fallenden Pro- jectionen 2S,’ kleiner alsn-2xR@M, also dervondiesen Projectionen herrihrende TheilvonS.caKleineralsm-22@®R dividirtdurch denKleinsten Werth, welcher R'+* indiesen Projectionen beizulegen ist, X.ZurTheorie dercinwerthigen Potentale 221 AlsojedenfalsKleinerals22228.thiniafeicomfB —287.1. Dadassolbe frdiebeiden anderen Integrale gilt,sofolgt o<S"%c-4 Solangealso1—% einenvonNullverschiedenen positiven Werth hat, und mnicht aber joder angebbaren Zahl liegt, kann man diepositive Grésse @durch Verkleinerung von¢unter jede Grenze bringen, w.x.b.W. Note 2. DieOberfliche eines Raumes, den eine beliebig fortbewegte Kugel vom constanten Halbmesser Rdurchdringt, nenne icheine Réhren-fiche,RihrenHalbmessor unddieBahn1desKugelcontrums ihreAxe.Die Curve, inwelcher dieKugel Kdurch eine ihrer fritheren Lagen geschnitten wird, istcinKreis, dessen Ebene zurVerbindungs- linie derKugelmittelpunkte inder Mitto senkrecht steht, und den niimlichen Punkt zum Centrum hat. Liisst man beide Kugeln zu- sammenfallen, 60geht ihrDurchechnitt indieCurve Uber, anderent- lang Kvon derRébrenfiiche $berihrt wird. Dieselbe isthiernach einHauptkreis von K, dessn Ebene imCentrum von Kzur Axe t senkrecht steht. Daraus ergeben sich diefolgenden bekannten Sitze, welche hierderUbersicht wegen zusammengestellt werdch mussten. 1.Die Rhrenfliche Swird von jeder Normalebene ihrer Axe1 ineinem Kreise vom Halbmesser Rgeschnitten, denwirden Quer- schnitt nennen. 2,Alle Halbmesser eines Querschnitts sind Normalen von S;jeder Quorschnitt intalso cine Krimmungslinio von $und ihrKrimmungs- radius constant —R. Durch dioEndpunkte q,q'eines Bogenelementes atderAxe lege ich dieNormalebenen von 1,und nenne diehierdurch auf Sbe- stimmten Querschnitte N,N’. Istnun @l,einElement vonN,0sein Anfangspunkt, und él,das von Nund N’begrenzte Element der zweiten durch ogehenden Krimmungslinie von S,sosind @l,undél, zaeinander, undweil sieinderTangentialebene vonSliegen, auch beide murNormale ogsenkrecht. Folglich istausser elauch noch @h,nurEbene desQuerschnittes Nsenkrecht. : 8,Jedes Element cl,einer Krimmungslinie derzweiten Schaar istmudem, von den nimlichen Normalebenen derAxe begrenzten Elemente 21dieser letzten parallel. DieLange von él,berechnen wir mittelst seiner Projection aly aufdiezualgehdrige Krimmungsebene derAxe. Dadl,20dl,also 18 228 X.Zur Theorie dereinwerthigen Potentiale. auch zudieser Krimmungsebene parallel ist,soistseine Lange gleich derLange 2l;seiner Projection. Letstere istzualparallel, und mit diesem durch dieselben Normalebenen derAxe, also auch durch die- selben Hauptnormalen von 1begrenzt. Folglich liegen alund 2h’auf zwei concentrischen Kreisen dem nimlichen Centriwinkel gegentber. Nennt man Pden Kriimmungshalbmesser von 1,P’den Halbmesser deaanderen Kreiser, sofolgt93=2,alsoat,—al,=al. Bezeichnet man aber durch 6’denWinkel zwischen derRichtungvonqnachoundvonganPentiangnachdemKrimmungs-centrum hin, codass 6,wenn oanNentlang sich fortbewegt, von 0bis2awachsen kann, soergiebt sich P’=P—Reosd, also ah=(125°")at. Lisst man forner 6”um26’wachsen, sobeschreibt odasBogen- clement a1,also ist2,=R20’. Das Element derOberfliche Sist25—@l,2h, mithin as—(1-29) raw. Intdaher 1dieLange derAxe 1,soistdioGesammtoberfliche vonS zwischen dem ersten und letzten Querschnitte gleich Safe—29°)Roo~2eRl. Note 3. ‘Auf derFliche Sseicine Linie 1verzeichnet, deren Linge und Eckenzahl nicht unendlich gross sind. Umdiceo Linie alsAxe logen wir eine Schaar von Réhrenflichen, und nennen Rden Halbmesser einer belicbigen Rahre 2,cdenHalbmesser derweitesten Rahre 2. Diese letztere schneidet ans $einStick S’heraus, von dem wir vor- ussotzen, dass esvonjeder goraden Linie undjeder Krimmungslinie iner dergenannten Réhrenflichen héchstens inmgetrennten Punkten, 4h. nicht unendlich oftgoschnitten wird. Istjetat 28’ein, awischen dioRobren von den Halbmessern R und R+aRfallondes Element vonS',keine unter 1liegende positive Zabl, 80convergirt das Uber dieganze Fliche S’erstreckto Integral es"SF mitabnchmendem ¢gegen Null X.ZurTheorie dereinwerthigen Potentiale. 229 Zum Beweise dieses Satzes isteine Zerlegung von 7erforderlich. Die Rahrenfliche 2%,setzt sich aus Kugelattcken und Rohrenfiachon imengern Sinne zusammen. Dieletzteren kénnen durch einen Quer- achnitt Qerzeugt werden, dersich anden stetig gebogenen Theilen von 1entlang fortbewogt. Zuden ersteren gehdren diehalbkugel- formigen Verechlussetticke ther denEnden von{und, wieausderEr- seugung derFliche durch Fortbewegung einer Kugel hervorgeht, in jeder Ecke mvon 1zwei Kugelsectoren, welche dieangrenzenden Rahrenstiicke inVerbindung setzen, und von denen dercine innerhalb, derandere ausserhalb beider Sticke liegt. Dehnt man nun in7ueret dieIntegration Uber alle Elemente @S’aus, welche von QUberstrichen werden, a0werden injeder Ecko 1mdieindeneinen Kugelsector fallenden Elemento zweimal aufgenommen, dagegen dieimanderen und indenVerschlussatilcken liegenden weg gelassen. Ist1’dasResultat dieser Integration, somuss man also, um1.maerhalten,zu1'flrjedeEckeundjedesEndevon1einIntegralSaeaddiren,undfirjedeEckeeinsolchesIntegralsubtrahiren; indiesen Integralen istRdieEntfernung von 2S”biszum fraglichen Punkte von1,wihrend 2S” dasElement desinsjedesmalige Kugelatick fallenden Theils vonS’ist. Jedes dieser Integrale istalso kleiner als of‘247tndumsomehrKleineralsdasselbe Integral, wennesuber alle indievolle Kugel fallenden Elemente 25”erstreckt wird. Dafir dasletztere dieinderersten Note gestellten Bedingungen erfullt sind, 0verschwindet esselbst, und umsomehr jedes mu1hinzuzufigende Integral mit¢zugleich. Dasselbe giltvonderSumme dieser Integrale, daihre Anzahl nicht unendlich gross ist. Folglich verschwindet auch 1-71 rogleich mitc. DieUntersuchung kann hiernach aufdenFall beschrinkt werden,wo1stetiggebogen, undS’durchdieRohrenfliche 2vomHalb-messer ¢und ihre Querschnitte inden Enden von1begrenstist.Wir setzen demnach vornus, dass der Krimmungshalbmosser Pvon 1 nirgendwo Kleiner alscinegegebene Strecke 7wird, undwihlen ¢<7; dannwirdflrjedenWinkel @1° positiv undKleiner als2, wovon spiter Gebrauch gemacht wird. Dies festgestellt, betrachten wirderleichteren Darstellung wegen dieHalbmesser R,dieza!parallelen Krimmungslinien J,derRébren- flichen und ihre, indieQuerschnitte fallenden Krimmungelinien J,als drei Schsaren von Lichtstrahlen. Dann wirft 28’injeder dieser drei Beleuchtungen einen Schatten, inderersten aufdieRéhrenfliche 2 230 X.ZurTheoriedereinworthigen Potentiale, vom Halbmesser R,inderzweiten aufden Querschnitt Qund inder dritton aufdenjenigen Theil EderKrimmungsebene von 1,welcher dierickwérta gohende Verlingerang von Penthilt, Nennt man die Flicheninhalte dieser Schatten, wie sieanfgezihlt warden, 22, 2Q, aE, soist 2S’<2Z4+0Q+6E, dadiodrei Schatten von 5’ wie zucinander senkrechte Projectionen von28’oder wieVergréwerungen solcher angeschen werden kénnen. Bedeutet 22, den Flicheninhalt des Schattens, den 22 sufdio ussersto Rahrenwand 2,wirft, und hdas Vergrsserungsverhiltnis, sowird22=22+;eswirddemnach such "25 0%, (20, (2BSESBSS SE wenn rechts derjedesmalige Werth vonRdurch dieLage desschatten- werfenden Elementes @5’ bestimmt wird, und dieIntogrationen sich ther alle beschattoten Theile von 2, Qund Eerstrecken, und zwar liber jedes Element sooft,alsosElemente 25’giebt, deren Schatten essufoimmt. Nennt man 7l,, 24dieElemente derbeiden Krimmungslinien 1,h,diovom Pankte pderFliche Zsusgehen, und @denWinkel zwischen dem nach pfihrenden Halbmesser Rund dem Kriimmungs- halbmessor Pim Fusspunkte von Rauf 1,soistcl,—R20, at,=(1—75")ct,wennclund@tvondenselben Querschnitten be- grenzt werden. DieElemente von2,QundEwerden hiernach folgende: aE—ach=R(1—25")at20, 2Q—cyeR— ReReO, 2B=eRchfrO=x,aleo=(1+F)aeR Folglich ist235pin(y29)crcg c2et~ eR (1 $2)cco<20-Ha100, 22_R29 R20,# é.'y @E RydeR_2010R(a) a Bildet man jetzt flrjedes Element 25’dieverstirkte Ungleichheit 88'Sogt-teie94RI 2910RSE<2d-Hel00 +R-*0R00+2210R, X.Zur Theorie der cinwerthigen Potential. 231 undbeachtet beiderAddition, dass sufjedos beschattete Element 22, 2Q, @Enicht mehr alsnSchatten fallen kOnnen, sowird umsomebr #8 afoa- 4 212),Si<n[ee farcefrarea+2f2i} wodieIntegrationen ther jedes beschattote Element 225, 2Q,2Enur ‘einmal zuerstrecken sind. Diese Ungleichheit wird mindestens nicht geschwicht, wenn statt dossen dioIntegrationen ther alleElemente ausgedehnt werden, also ist a<nfdal- ot+ety 21e-4]. Solange daher+,+unddiepositive Zahl1—ivonNullverschieden sind, kann man diepositive Grésse 7durch Verkleinerang von¢unter Jede Grenze hinabdrticken, w.2.b.w. Zarich, 15.Juni 1865. XI. Ueber den Einfluss vonRealitats- und Stetigkeits-Bedingungen aufdieLosung gewohnlicher Differentialgleichungen. Gournal fardiereine und angewandte Mathematik, Bd.66,1866, 8.114) DieAufgaben, deren Lésung von derIntegration gewdhnlicher Differentialgleichungen abbingt, flhren inderRegel Nebenbedingungen mitsich, welche ausdermitdemProblem gegebenen realen Bedeutung dercinzelnen Variabeln entspringen, und demgemiss etets ineiner Be- schrinkung derVerinderlichkeit dieser Gréssen bestchen. Man hatdiosom Umstande bisher keine besondere Beachtung ge- schenkt, indem beidenmirbekannt gewordenen Untersuchungen tber Probleme dieser Art die Schllase sich ausschliesslich auf die den all- gemeinen Lésungen gewdbnlicher Differentialgleichungen cigenthim- lichen Formverlfilinisse stitzen, ohne. dass dieFrage erwihnt wird, obdiese Formen auch diohier unorlissliche Eigenschaft besitzen, jene nur ufGrossenverhiltnisse gerichteton Nebenbedingungen ununter- brochen zmbefriedigen. Dies istnun keineswegs unter allen Umstinden derFall; vielmehr Kann esvorkommen, dase diese Nebenbedingungen zuwesentlichen Abweichungen von den Gesetzen 2wingen, nach denen dieinderall- gemeinen Lisung dargestellten Functionen durch die Differential- gleichungen vonbekannten zuunbekannten Werthen fortgesetzt werden, und dann treten Erecheinungen ein, die bisher unbemerkt bleiben mussten, weil siedurch eine von diesen Gesetzen nirgendwo ab- weichende Rechnung nicht aufgedeckt werden kénnen. 1 Wir beschrinken unsderDeutlichkeit wegen aufdenFall, wodie Anuflésung gewdhnlicher Differentialgleichungen dazu dienen soll, um dieBewegungen materieller Punkte zubestimmen. Diese Aufgabe achliesst ihrer Natur nach drei Bedingungen ein, dase nimlich 1)bei allen jene Bewegung unmittelbar bestimmenden Gréssen imaginire ‘XL.ZurTheorie dergewOhnlichen Differentialgleichungen. 233 Aenderangen, 2)beiderZeit und den Coordinaten unstetige Aende- angen, und 3)beiderZeit alleBeschrinkungen inderZa-oder Ab- rnahme suageschlossen bleiben. Dies Bedingungen wirden nicht besonders zuerwihnen sein, wenn siemit den Differentialgleichangen derBewegung niemals in Widersprach kommen kénnten, InWirklichkeit sind aber diese lotz- teren nichte anderes, alsGleichungen zwischen unbekannten Gréssen, yon denen einzelne die Derivirten anderer sind. Sic enthalten also thatsichlich zwei von einander zuunterscheidende Bedingungen, von denen dieeine darin besteht, dase dieWerthe jener Grissen durch die Werthe derthrigen gegeben sind, dioandere darin, dase sietberdies die Derivirten anderer seinsollen. Soeathilt z.B. dieDifferentialgleichung AGFsine+2cosa)'+35($2cosa—asing)'—1 leichzeitig alle Bedingungen, welche durch diebeiden Gleichungen Asina+2cosa)'+55(ycona—asing)tm1, y=$= susgodrickt sind. Dahiemnach zwei von cinander durchaus unabhingige Bestim- mungen vorliegen, von denen jode dasZeichen vonyandieZu-oder Abnahme von xbindet, nimlich cinerseita dieurspringliche Gleichung zwischen denGrossen zundyselbst nebst denStotigkeits-Bedingungen, andererseits dicGleichung y—47nebetdenRealitits- undStetigkeits- Bedingungen, soistunmittelbar Klar, dass Widerspriche xwischen simmtlichen Bedingungen nicht immer unméglich sind, undunter wel- chen Voraussetzungen sieeintreten milssen. Ein Widerspruch swischen diesen stimmilichen Bedingungen tritt sits und auch mur dann ein, sconn eine Difforentaigleichung oder ein System solcher inirgend einem Augenblicke anfingt, das Zeichen der Derivirten einer Function inciner den Realitits. wind Stetigkets-Be- dingungen widerspreckenden Weise mu beslimmen. Von demaclben Augenblicke anisteine reelle und zugleich stetige Fortsetzung dieser Function nur méglich, wenn entweder eine zweite, sich dort stetig an- schliessende, imAllgemeinen singulire Lésung existit, oder dieDif- ferentialgleichungen ineiner enteprechenden Weise abgeindert werden. Es sind hier zwei Fille 2aunterscheiden: I.Wenn eine Function 2und dieunabhingige Variable ¢inFolge derStetigkeitabedingungen ihre Aenderuagen imfriheren Sinne fort setzenmilssen, aberzugleich $7—2’durchdieDifferentialgleichungen zaeinem Zeichenwechsel geawungen wird. 234 XL. Zar Thoorio dergowshalichen Diferentialgleichangen, II,Wenn 2’ohne Unstetigkeit sein Zeichen nicht wechseln kann, aber. beistetigem 2’durch dioReslititsbedingungen verhindert ist, seine Aenderungen imfritheren Sinne fortzusetzen. Dieser xweite Fall tritt 2.B.ein,wenn dioDifferentialgleichungen farz,alsFunction von 2’betrachtet, cinMaximum beipositivem, oder einMinimum beinegativem 2’lieforn, ohne dass denBedingungen derAufgabe durch eine besondere Lésung gentigt werden kann, welche eine dem Zeichen von 2’entaprechende Fortsetzung von xgestattet, 2.B,inderDifforentislgleichung (2'—a)*+ 2*— a?fir2'=a, 2—a. Hat zvonNull ausgehend diesen Werth erreicht, sokann eswogen desZeichens von2’nicht zufriheren Werthen zurlckkehren, wegen des Werthes von 2’nicht beidem Werthe abeharren, und wegen der Differentialgleichung und der Realititsbedingungen denselben nicht Uberschreiten. BedeutetbeieinemmechanischenProblem,welchesdiesenFallsu- lasst,xérgendeineCoordinate,tdieZeit,also$7dieGeschuindigheit, mitwelcherxwiichst,soreichtdieAngabederbeschleunigenden Kréfte nebst den Anfangs-, Realitits- und Sletigkeits-Bedingungen sur villigen Bestimmung derBewegung nicht fiiralle Folgesciten hin, sondern nur bissudem Augentlicke, wojener Fall sum ersten Male cintritt. Von diesem Augenblicke anistdiestetige undsugleich reelleFortsetsung von beistetigem4unmiglich, also,dadieersterewegendesunbeschriinkten Wachsens vontnothwendig ist,wird$=sueinerUnstetigheit geswungen, diejedoch vollkommen willkirlich ist,weil diebis2ujenem Augenblicke twirkenden Bedingungen keineAngabeiiberdieGriissederselbenenthalten. Auch dererste Fall istunter zwei verschiedenen Vornussetzungen méglich. Sind niimlich zp,f,dieWerthe von zund ¢,firwelche derselbe eintritt, sogentigt man entweder von daabdenBedingungen derAufgabe durch eine, von derbisdahin giltigen verschiedone, aber beiz=2,t=, sich stetig anschliossende Lésung, oder eshort, falls eine solche Lésung nicht existirt, wenigstens eine derGréssen 2,¢auf, reell zusein. InderThat kann unter dieser Voraussetzung 2,wenn tden Werth ftberschreitet, weder —z,bleiben, weil dies eine von derfrttheren, einverinderliches 2vornussetzenden, verschiedene Lésung wire, noch kann es,ohne imaginir 2uwerden, ztiberschreiten, weil hierbei z’sein Zeichen indern wiirde, wihrend derdritte Fall, dass es aufritheren Werthen aurlickkehre, durch dieVoraussetzungen desvor- liegenden Falles ausgeschlossen ist. XI, Zur Theorie dergewSbolichen Difterentiaigleichangen, 285 EinBeispiel diosorArtistdieGleichung 2*(32)\—1— 2%Setat man$7—y,undbetrechtet 2undy als rechtwinklige Coordinaten eines Punktes, soentapricht dieser Gleichung eineCarvevondernebenverzeichneten “]|\%Gestalt, welche diey-Axe zweimal zur Asymptote hat. 4 «Lasst man nun xzwischen den * Grenzen —1und1oscilliren, undver~ x langt, dase hierbei alle einzelnen Theile imAusdrucke flr ysich mit 2nach derStotigkeit ander, wieesspiter za “ % beweisenden Sitzen zufolge beiderun-bestimmten Integration vorstehender a\|[>Differentialgleichung wirklich geschieht, #0wird diese Curve durch den Punkt 2,y von a,aus inder Richtung GyM4,Oy,4,%,My,4,Oy,&,,-.. durchlaufen, indem y,#0oft2durchNollgeht,voneinemderWerthagebiete +oound—ooinsandere springt, umsich vondaabeine Zeit lang nach derStetigkeit zuindern. Dies widerepricht jedoch aufderSeite dernegativen xderBe- dingung, dassbeireellen Werthen allerVarisbeln stetsy—$7sei,in- domaufdemZweige o,,a,beiabnehmendom z,$7positiv, aufdem Zweige a,ay,beiwachsendem 2,3nogativ seinwOrde. Wennmen daher ausobiger Differentialgleichung 2durch unbestimmte Integration ermittelt, und diewillktrliche Constante derBedingung gemiss wihlt, dase der Punkt 2,ymurZeitf=0vona,ausgehe,00kanndioso LésungreelleWerthefllrbeireellem¢nurbiszudemAugenblicke liefern,woxsumerstenMale=0wird. 2 Dievorangehenden Gréssenbestimmungen stiltzen sich ausdrilcklich aufdieBedingung reeller Werthe aller Variabeln, und kénnen ohne dieselben nicht bestehen; siebegriinden daher keine Schitisse aufent- aprechende Higenschaften der durch dieDifferentislgleichungen be- dingten analytischen Formen. Um auch firdieletzteren dieFolge- angen festzastellon, welche sich andieobigen Ausnahmefille kntipfen, most dieUntersuchung beiunbeschrinkten Variabeln durchgefihrt za 236 «XL,ZurTheorie dergowbbnlichen Ditfarentialgleichungen. werden. Der hierbei einzuschlagende Weg bestimmt sich durch den nachher zubeweisenden Satz, dass der Uebergang von einem System alsdurchunbestimmte Integration vollstindiger Differentiale bewirktan-gesehen werden kann. Wihrend dieser unbestimmten Integrationen, welche man sich in der bekannten Weise alssuccessive, diepartiellen Differentiale der Reihe nach beriicksichtigende zudenken hat, durchlaufen nun dieun- abhingigen Varisbeln und diederIntegration unterworfenen Functionen Werthenreihen, welche zwar unbestimmt gelassen sind, aber nichts desto weniger einer wesentlichen Einschrinkung unterliegen. InderThat istjedes Resultat derunbestimmten Integration, so- weit dieser Begriff aberhaupt reicht, einAusdruck «,deralssolcher eifester, tbrigens willkirlicher unterer Begrenzung stetige Aenderungen nur mit deroberen Begrenzung zugleich erleidet, und denAusdruck unter dem Integralzeichen zum Differential hat. Wenn daher derAus- druck uGberhaupt vom Integrationswege, nicht bloss von seiner Be- grenzung abhingt, somuss diese Abbingigkeit eine solcho sein, dass eine stetige Aenderung desIntegrationsweges beifester Begrenmung entweder eine sprangweise Aenderung von uzurFolge hat, oder, wo %nichtunstetigist,esganzundgarungedndert lisst.InFolge dessen istdurch dieunbestimmte Integration jeder Inte- grationsweg ausgeschlossen, andem entlang dieWerthe derunter dem Integralzeichen stehenden Ansdrlcke nicht allenthalben inderspeciellen ‘Weise aufeinander folgen, wie siesich beiderstetigen Fortecteung derentaprechenden Functionen Ober complexe Werthsgebiete anein- ander flgen. Denn wenn derselbe eine angebbare Stelle onthielte, an welcher derdurch diestetige Fortsotzung bestimmte anslytische Ver- auf einer von diesen Functionen unterbrochen ist,sowiirde man durch stetige Ortsinderung dieser Stelle dem Resultate derIntegration stetige und von Null verschiedene Aenderungen ertheilen kénnen. Wenn daher inFolge anderweitiger Bedingungen indem Augen- blicke, woderIntegrationsweg eine bestimmte Stelle Uberschreitet, bei einer vondenderIntegration unterworfenen Functionen deranalytische Verlauf unterbrochen werden muss, somuss von diesem Augenblicke andasResultat dieser Integration vondem derunbestimmten abweichen, da beide sich inverschiedener Weise inden. Wenn einSystem Avon »gowdhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen eben soviel gesuchten Functionen dieEigen- schaft hat, dass sich aus ihm nicht simmtliche Derivirten eliminiren Inseon, 60besteht seine allgemeine Lésung ausnGleichungen Bzwischen XI, Zar Theorie der gewShalichen Differentialgleichangen, 237 den gesuchten Functionen und »willktrlichen Constanten, welche be- kanntlich inBezug aufdieFunctionen von einander unabhiingig sind, ‘und Uberdies, was fiirunseren Zweck ebenso wesontlich ist, dieselbe Higenschaft inBezug aufdiewillkirlichen Constanten besitzen, Denn liessen sich diese aus Bcliminiren, sowire das Eliminationsresultat entweder identisch, und dann bestinde dasSystem Bousweniger alsnGleichungen, oderdasselbestelltesichdaralseinevondenGlei-chungen Agoforderte Relation, inderweder willktrliche Constanten noch Derivirten vorkommen kénnen, und dann liesson sich ausAalle Derivirten climiniren, was derVoraussetzung zuwider ist. Folglich istdurch dieGleichungen Bjede vondennwillkitrlichen Constanten invillig bestimmter Weise abhingig gemacht von derun- abhingigen Verinderlichen unddenurspritnglich geeuchten Functionen. Esgiebt daher auch wvoneinander unabhingige vollstindige Differen- tiale, welche inFolge derGleichungen Agleich Null sein mOssen, und von denen sus man durch unbestimmte Integration zueinem mitB gleichbedeutenden System vonGleichungen gelangt. Folglich muss die allgemeine Lésung von Awenigstens mittelbar alsdasResultat un- bestimmter Integrationen angosehen werden. Dasselbe gilt von der allgemeinen Lisung jedes beliebigen Systems gewShnlicher Differential- gleichungen, dadasselbe, aufseine wirklich Ordnung reducirt (vergl. dieAbbandlung von Jacobi im64,Bande dieses Journals, Seite 297), alseinSystem Adargestellt werden kann. Hieraus zichen wir nun den Schluss, dass dieallgemeine Lisung gewihnlicher Differentialgleichungen beimechanischen Problemen, weil sie dem Resultate unbestimmter Integrationen entspricht, nach Beriicksichtigung derAnfangsbedingungen nurbissudemAugenblicke giltigist,wosum ersten Male einer Derivirten durch dieDifferentialgleichungen einden Realitits- und Stetigheits-Bedingungen widersprechendes Vorscichen an- ‘Umgekebrt kann von denobigen Ausnshmofillen weder dereine, noch derandere eintreten, 60lange dieallgemeine Lésung beireellen und stetigen Aenderungen derVariabeln jeder Function reelle, und wo das gefordert ist, augleich stetige Aenderngen anweist, weil unter dieser Voraussetzung einWiderspruch zwischen derZu-oder Abnahme einer Function und dem Zeichen ihrer Derivirten wnméglich ist. 3. Zam Schlusse will ichaneinigen einfachen Beispiclen nachweisen, wie inden obigen Ausnahmefallen dieRealitits- und Stetigkeits-Be- dingungen zurBestimmung derferneren Bewegung verhelfen, und zu 238 XL.ZurTheorie dergew8hnlichen Differentialgleichungen. diesem Zwecke einyon mirvorlingerer Zeit gefundenes Verfahren benutzen, welches, wenn auch aufeine specielle Gattung vonDifferen- tialgleichungen beschrinkt, doch vorzugewoise goeignet ist,umdiehier erérterten Verhiltnisse zurAnschauung mbringen. Dasselbe gewahrt ‘uberdies beieiner grossen Zabl von Aufgaben derMechanik ohne dio geringste Muhe eine sovollstindige Einsicht inden Verlauf derzu ‘untersuchenden Erscheinung, wie siedurch dieRechnung nur eelton, und stete nur aufUmwegen erreicht werden kann. Daseelbe beateht inFolgendem. Isteine Differentialgleichung erster Ordnung ) t(«G7)-0 zmuntersuchen, inwelcher dieunabhiingige Variable ¢nicht vorkommt, sobetrachte man ineinem System rechtwinkliger Coordinsten zals dieAbscisse zweier Punkte mund mzurZeit f,von denen dererstere aufderAbscissenaxe beharrt, wihrend dieOrdinate ydesandern —$7 ist. Wahrend alsdann msich derGleichung (1.) gemiss ander Abscissenaxe entlang fortbewogt, beschreibt dermitmsteta aufder- selben Ordinate befindliche Htlfspunkt 4eine Curve, deren Gleichung (2) f@) =O ist,und welche dieGeschwindigkeitscurve heissen soll. Diosfestgestallt, iat$7—y,4¥—4%.y;folglich wirddioGe- schwindigkeitscomponente von parallel zurz-Axe durch dieOrdinate, parallel zury-Axe durch dieSubnormale der Geschwindigkeitscurvedargestellt. Dietangentiale Geschwindigkeit vonyisthiernachgleichdem von ubissur2-Axe reichenden Stiicke NderNormale. Legt man dieRichtangen derwachsenden zund ywie tblich nach rechts tndoben,sobowegt sichwwegenderGleichung 37—ynachrechte oder links, jenachdem essich Gber oder unter mbefindet. Ist¢derKrimmungshalbmesser derGeschwindigkeitscurve, deder Winkel, umdenersich wihrend derZeit dtdreht, dsdasdvgegen- Aberliegende Bogenclement, soistede —ds. Bezeichnet man daher dieWinkelgeschwindigkeit, mitwelcher dioNormale sichdrebt, durch @,80folgtpo—44,also x o-%. Betrachtet man malscine Masseneinheit, sowird dieanmwir- ondebeschlounigende Kraft47—$¥ durch dievonmselber aus- ‘XI. Zur Theorie dergewdhnlichen Differentialgleichungen. 239 gehende Subnormale dargestellt, undzwar, wieman sichleicht Uberzeugt, stets aufderjenigen Seite vonm,nach welcher siediesen Punkt xieht. Auf diese Weise istdie2untersuchende Bewegung vonmauf dieBewegung des Holfspunktes 4suriickgefilhrt, und dieletstere augenfillig, solange usich aussorhalb der2-Axe befindet, weil indiesem Falle dieGeschwindigkeit von4und ihre Richtung sich ausderGe- stalt derGeschwindigkeitecurve und derLage von wunmittelbar zu erkennen geben. Wenndagegen indie2-Axoeinrtckt, alsoy=$7—0wird,#0 kommt m,welches jetzt mit »zusammenfallt, dort filreinen Augen- Dlick zurRuhe, Obesinderselben verharren, oder seine Bewegung weiter fortsetzen muss,hingtdavonab,obmit$7auchdieandere Geachwindigkeitscomponente $¥=y$¥ vonwerlischt. Istdiosder Fall, ist2.B.derWinkel, unter welchem »die2-Axe trifft, kein rechter, sogeht 4und mitihm mindenRuhezustand aber. Damit dioBewegung von»nach seinem Kintritte indie2-Axe nicht erldsche, isterforderlich, wenn such nicht inallen Fallen hinreichend, dase dort y§%vonNullverechieden bleibt. WasunterdieserVoraussetzung stattfindet, hiingt hauptsichlich davon ab,obderPunkt, dendieGe- echwindigkeitscurve mitderz-Axe gemein hat, einRickkebrpunkt, ein Wendepunkt oder einPunkt gewohnlicher Biegung ist. Dieverschie- denen hier méglichen Falle lassen sich indessen stats soleicht erledigon, dass eine allgemeine Erérterang Uber dieselben Uberfitasig ist. LSeidieBowegung vonmbestimmt durchdieGleichung 4-5——2, mitdorBedingung, dass firt=1,z—1und$7—0sei,nebstallen ausdem Begriff derBewegung folgenden Realitite- und Stetigkeite- Bedingungen. Wir fgen noch hinzu, dass dieGeschwindigkeit vonm, ohne durch Null zugehen, ihre Richtung nicht umkehren soll, was dieStotigkeitsbedingung flrunendliche Wertho von7vertritt. Durch einmalige Integration findet sich dieoben alsBeispiel be- nutzteGleichung 2*(j2)'—=1—2%; alsoistdieGleichung derGe- schwindigkeitscurve z4y! =1—23Dieselbe giebt flry—0, z= +1, yQ¥=1.Wonn daherderPunktudiez-Axe trifft,sogehter durch dieselbe hindurch mitderGeschwindigkeit 1.Daferner sich unter derz-Axe nach links, ber derselben nach rechts bewegt, #0ge- langt er,aufwelchem Zweig ersich such befinden mag, mitwach- 240 XI. Zur Theorie dergowahnlichen Differentialgleichungen sender Geschwindigkeit undwachsender Ordinate aufdieunendlich ent- fernten Theile dieses Zweiges. Indemselben Augenblicke geht dermit ufortwihrend aufderselben Ordinate befindliche Punkt mmitunend- lich grosser Geschwindigkeit durch denAnfangepunkt, wodurch wsuf diebonachbarten Theile desanderen Zwoiges Ubergefuhrt wird. Da hiernach 4dieGeschwindigkeitacurve unsufhdrlich inderselben Rich- tung, unddieselbe Stelle jedesmal mitderselben Goschwindigkeit durch- linft, 0istseine Bewegung eine rein periodische. Folglich fuhrt. m periodische Oscillationen zwischen den Abscissen z= 1und z——1 aus. +Dadberdies dieGeschwindigkeitscurve inBerug aufdieCoordi- natenaxen symmetrisch ist,sosind auch dieViertelsschwingungen von msymmetrich. Die Dauer einer ganzen Schwingung istdemnach viermal s0gross, wiedieZeit, deren »bedarf, umeinen Quadranten amdurchleufen. Wegen dt=*istdieletatere—f2deipositivem y,also —1. DieDauer einer vollstindigen Schwingung betrigt also 4Zeiteinheiten. Durch Integration findet man mit Ricksicht auf dieAnfange- bedingungen 2—=V#2—F, was nurvont=0 bist—2 reall ist. ‘Anden Grenzon dieses Zeitraums wird 2—0, und hier tritt derFall ein, dass, wenn 2seine reellen Aenderungen durch Null hindurch fort- sotzt,derAusdruck 2/1—2*fur$7beistetigerAenderang seiner inzelnen Theile das Zeichen wechselt, was dioreelle und zugleich statige Fortsetmang von2und ¢durch dieDifferentialgleichung selbst unméglich macht. ILSei«einereelle Zahlzwischen 0und,unddieBewegung yonmbestimmt durchdieDifferentislgleichung 4+S" +2=0; diettbrigen Bedingungen sollen dieselben sein, wieimvorigen Beispiele. Durch einmalige Integration erhaltmana*($2)—(1 —2')(cotga*+2%). Daraus ergisbt sich weiter durch unbestimmte Integration fer t=const.—arctgVgape und hiersus durch passende Bestimmung derConstanten nach einer Kleinen Reduction 2*—cos*(1—f)—cotga? sin*(1—). Folglich hat2diePeriode2x.Daindessen,wiemansofortsicht,2ausvorstehonderGleichang zuAnfange nurwihrond desZeitraums 1—@<t<1+« reelle Werthe erlangt, solassen sich ausderPeriodicitit desAus- XLZarTheorie dergowBholichen Diffrentnigleichongen, 241 druckes fiir zkeine weiteren Schltisse zichon. An den Grenzen dieses Zeitraumes tritt derselboe Ausnahmefall wieimvorigen Beispiclo ein. DioGeschwindigkeitscurve,derenGleichung.2*y*— (1—z")(cotga*+2") int,hateine hnliche Gestalt, wieimvorigen Falle; wosiedie2-Axe schneidet, wird dieGeschwindigkeit von u,abgesehen vom Zeichen, =gijar altovonNullverschieden. Folglich finden inBezug aufdie Bewogung von #und mauch diovorigen Schltsse statt. Die Zeit, deren ywbodarf, umeinen Quadranten mudurcblaufen, ergiebt sich ausdemobigenAusdracke firfgleicharctg(tga)—«,da«zwischen 0 und%liegt. Folglich fahrtmperiodische Oscillstionen zwischen den Abscissenz=1undz——1aus,aberdioDauereinerganzenSchwin- gung istnicht —2x, wiedieallgemeine Lisung andeutet, sondern 4a. IIL. Sei dieBewegung des Punktes mdurch dieDifferential-gleichang ;ira dzwe und diohinzugehdrigen Bedingungen bestimmt. DiosoGleichung hatdiesingulire Ldsung $7—1; durchIntegration findetmandagegen 3(292+ 3)(1—$%)#— 14—52%, boipassonder ‘Wahl derIntegrationsconstanten. Dieletstere hatzurFolge, dass die Goschwindigkeitscarve, deren Gleichung 3(2y +3)(1—y)#— 14—52" ist, nothwendig durch dieAnfangslage von wgeht, d.h.wseine Be- wegung aufderGeschwindigksitecurve beginnt. Eawird sich zeigen, dass nicht unter allen Umstinden auf ihr verbleibt. Was nun dieGestalt dieser Curve betrifft, soistdieselbe runichst aymmetrisch inBezug auf diey-Axe. Auf derSeite der positiven 2gehdren i zujedem zzwischen 1und fA . Viddreireelle y,von“~~ ad denen eines negativ ist, Mf sonst nur ein einziges. Dayj¥—2Vi-y fr z=1, y=0 nicht vor- schwindet, sofindet dort ein senkrechter Durch- schnitt mit der z-Axe statt, welcher dioFortbewogung von nicht hinder Fury—1, 2B Christoffel, Gmnele Athandizge. I 16 242 ‘XL. Zar Thootie dergewdhalichen Diferentialglichungen. 2—V% wird4%—0, alsohatdieCurvedorteineSpitze¢,inwel- cher ihre beiden dort von links her zusammentreffenden Zweige von derinderFigur punktirten Geraden y—1, welche der singuliren Lisang entepricht, berihrt werden. Endlich erlangt yfrz— 0ein Maximum. Essind hiernach inBetreff der anfinglichen Lage von udrei Vornussetzungen méglich.)BefandysichzaAnfangoin«aufdemZweigea,20bewogtsich sunichat nach rechts, gebt dann durch dio2-Axe, und setst ‘yon dort ausseine Bewegung Uber 6hinweg ohne Ende fort. b)Befand psich muAnfange aufdem Zweige abc, sobewogt essich nach rechts bis¢Von dort kann es,weil dieOrdinate in ihrZeichen nicht wechselt, nicht nach links zurtickkebren, wibrend dieGeschwindigkeitscurve sich von¢ausauch nicht weiter nach recht fortaetzt. Folglich wirde dicstetige Fortbewegung von mUber die Abscisse 2=V3von¢hinausohneeineUnstetigkeit von$7—y nicht méglich sein, wenn nicht dieincberdhrende Gerade cseinen den urspriinglichen Bedingungen ebenfalls genligenden Ortflrwbil- dete. Inc angelangt, geht daher waufcsUber, und bebilt von da abdieGeschwindigkeit 1. : @)Befand endlich sich zuAnfange ina’,s0durchliuft esden Bogen «’’c undgeht dann aufcstber. Der Gang von m,oder derVorlauf von 2alsFunction von t, lisat sich hiernach leicht beurtheilen. IV. Sei eine positive Constante, und dieBewegung von mbe- stimmt durchdieDifferentialgleichung ($7—2)$7+292=0,die Anfanfangsbedingung, dassflr¢—0,2—2,$7—ywerde,unddie hierzn gehdrigen Realitite- und Stetigkeits-Bedingungen. . 4 ae a‘ fii a i XLZur Theorie der gewthnlichen Diferentalgleichungen. 248, Setzt man (y,—AP+2c,sofolgt($7—2)'+2%=e,und firdieGleichung derGeschwindigkeitscurve (y—h)'+2¢=o.Die- selbe istalso einKreis «pyc’f'y’ vom Halbmesser c,dessen Mittel- punkt inder Hohe hther dem Coordinstenursprunge liegt. Wir wollen nun annehmen, yund 2%seien'so gewihlt, dass c>h wird, dieDurchschnittspunkte mitder2-Axe scien «’und 7’,unddiebeiden Punkte, indenen derKreis vonseinen Ordinaten berthrt wird, «undy. Dann sind inBezug auf dieanfingliche Lage von pvier Voraus- setzungen mdglich. )Befand ywsich anfange zwischen ¢und y’,00bewegt essich mitabnehmender Geschwindigkeit nach dem Durchschnitte 7’mitder z-Axe, woeszur Ruhe kommt. 1)Befand ysich anAnfange aufdem Bogen «’’y', s0bewegt essich nach links, und kommt wieder iny'zurRube. )BofandwsichzaAnfangeaufeinemderBogenapyoderay, sobewegtessichinbeidenFillennachrechta,bisesdenPunkt7 erreicht, wobei mdieGeschwindigkeit herlang. Von dort kann nichtnachlinkszurtckkebren, weildieOrdinate y=$*ihrZeichen nicht wechselt, und nicht weiter nach rechts gehen, dadie Ge- schwindigkeitscurve sich indieser Richtung nicht fortsetzt, undausser derGleichung desobigen Kreises keine andere Lisung existirt, welche denvorliegenden Bedingungen Gentige leistet. Folglich istzurstetigen ond zugleich reollen Fortsetzung von= und¢indemAugenblicke, wouinyanlangt,eineplatzliche, dbrigens . willktrliche Aenderung von$7—yerforderlich. Seialsoy,derWerth, aufden3vonhausindemAugen- Dlicke springt, wox—c wird; dann folgt ausderurspringlichen Dif- forentialgleichung, wenn (y,—h)'+=cfgosetztwird,(y—h)'+2—ct; also wird der neue Zweig der Geschwindigkeitscurve einmit dem vorigen concentrischer Kreis, dessen Halbmesser ¢,>cist. Jenach dem Werthe von y,springt nun der, ankeine stetige Ortsinderung gebundene Htlfepunkt #,nachdem erin7angelangt ist, nach f,oder 8. Liogt ausser A,auch noch f;ber derz-Axe (Figur links), sowiederholt sich dervorige Fall, indem nunusowohl vonA, wievonf;ausnach dem ingleicher Hohe mityliegenden Punkte 7, rilckt,alsocineneueUnstetigkeit von4%erforderlich wird,diezu einem neuen Kreise mitvergréssertem Halbmeseer fuhrt. Liegt 8;unter 16° 244 XL. Zur Theorie dergow0bolichen Differentialglechungen. derz-Axe, und springt #von ynach £;,sorilckt esvondort nach ¥%{Cigur rechts), wooszurRube kommt.DieBewegung vonmoderderVerlaufvonzalsFunction von¢bedarf hiernach keiner weiteren Erérterung. Weitere gooignete Beispiele zorAnwondung desvorliegenden Ver- fahrons, welche allerdings nicht aufdiehier behandelten Ausnahme- fille fahren, liefert dieLehre vom konischen Pendel, vonderDrehung eines Kérpers umseinen Schwerpunkt und von derBewegung eines schweren Punktes auf einer belicbig gogebenen Curve. Alle dicse Anwendungen sind jedoch soeinfach, dass esnicht néthig ist,hier darauf niher cinzugehen. Zarich, 5.Januar 1866. XID Sul problema delle temperature stazionarie elarappresentazione diuna data superficie.*) (AnnalidiMatematica paraedapplicata, SerieIl,Bd.1,1868,8,69—108,) Ilpresente lavoro sioccupa delproblema delle temperature sta- ionarie sopra superficie piane, col'ntento diesporre ipunti divista generali chedevono mettersi afondamento nella trattazione diquesta quistione. Hogiudieato conveniente diritenere perlapresente ricerea le condizioni essenziali delproblema nella stesea semplicita che&propria della quistione fisiea. Sesipone ilproblema nella sua forma pit generale, allora ilsuo interease invade unnuovo campo, onde perquestocaso2giustificata unaspecialericercacheriservoadun'altracccasione, L’unico cangiamento chemisono permesso perquesta volta, con- cere Tequazione differenziale del problema, che hocompletata col mezzodiuntermineindipendente, inguisacheVespressione 4+oe non vien posta eguale zero, maadunafunzione arbitraria @di2,y. Fatta astrazione daragioni pidriposte, questa aggiunta hal’evidente vantaggio chevengono dora inavanti esclusi diversi eussidi nonadatti fricerche generali, peres.trasformazioni esoluzioni particolari. Iprincipale interesse chesiannoda aquesto problema, dipende dalla suaconosciuta relazione colle proprieta generali diuna funzione 4iuna variabile complessa 2+iy. Lericerche fatte finora, perquanto qui potranno occorrere, non iirano perd tanto adapprofondire espie- gare completamente questo legame, quanto piuttorto arendere utile questo legame pergliscopi dell’integrazione. Seajintroducono nelfequasione +2"—0,inIuogodelle *)Tradusione del Dott. Carlo Formenti, inPavia 246 XIL Salproblema delle temperature stazionarie larappresentazione etc. coordinate ortogonali x,y,leparti reali 8,@diuna funzione diz+iy come varisbili indipendenti, invirtd diquella relazione non vien can- gista laforma dell’equazione differenziale. Dacidsihasubito il principio adoperato dalsig.Lamé nelle suepregevoli Logons surles coordonnées curvilignes, cheInsoluzione delproblema perIasuperficie circolare 2*+y*<c! basta perderivarne, sotto certe supposizioni fatte intorno allafunsione @+iaedalla grandezza dic, Insoluzione perla superficie +at<e, La stessa trasformazione serve anche difondamento alla bella me- moria delsig.Neumann (Giornale diBorchardt, ¢.59,pag. 348). Laquale, oltre aduna diligente ricerca sulle curve (dapprima trattatedaCauchy) 640%=<,cheilsignorNeumann chiamalinceiTivello, .prosenta eziandio wun importante progresso nella tratte- zione dell’attuale problema, facendo dipendere, permezzo diconsi- derazioni che sono analoghe alla teoria diGreen sulpotanziale, la determinazione della funzione primitivamente cercata daun’altra [nf'do,inquantoalvalore—fasart.1.]che8indipendente dai valori arbitrari diquella nelcontorno, esoltanto dipende dalla forma delcontorno edalla posizione diunpunto arbitrario p.Lespressione 4iquesta funzione in9edo2data apag. 354, ©ladeterminazione di8ed@permezzo di edyvien ridotta adunproblema (pag. 355) ilquale, ameno diuna condizione didiscontinuité non messa inevi- denza, matuttavia facile acompletarsi, costituisce uncaso particolare della quistione primitiva. Non visidanno perd applicazioni diquesta interessante riduzione acasi determinati. Quanto siaanche @meriuscito ditrovare muovi punti divista cdutili sussidi per lapresente questione, lomostreranno lericerche che seguono. L Sia distesa sulpiano zyuna superficie Fadunsolo strato © semplicemente connessa (eine einblittrige undeinfach susammenhangende Flaiche), ilexicontormo siaformato dauna data curva K. Cidsup- posto, sicerca una funzione Udiz,y,che unitamente alle sue deri- vate prime siaadunvalore (cinwerthig) econtinua inF,¢che sodisfaccia all’equazione: Be+TF=(2,9), mentre lungo ilcontorno Ksia: U=v(2,y)- “XIL Salproblema delle temperatare stazionarie elarappresentazione eto. 2247 Per determinare Uinpunto odiF,sepsriamo daFuncerchio iraggio @,ilcuicentro sia0,eformiamo, mediante una funzione§ che colle sue prime derivate sianella restante superficie J”adun ‘valore ©continus, Yequazione: au, au " *Selo +32]arforar. Sesiindica condsunelemento arbitrario della linea K,condp ildifferenciale della normale adsdiretta verso V'esterno, @finalmente ‘con @Tangolo cheilraggio ¢uscente daofacolla direzione delle z cerescenti; ilprimo membro dell'ultima equazione diventeri: au a au ae Oe, OE "~fee- ot)as—f(esevet)aofu[sh+Hier. Cidposto,assoggettiamo £alleseguenticondizioni: A.Lango Iacurva Ksiadappertutto §0. B.Per@tendenteazerodiventioft=-1cdiosa |84SE O.InF,fuoridio,sin H+FEO. DaB.pelteoremaVILe.dellamiateoricadeipotensialiadun valore(GiornalediBorchardt,t.64,pag.337%)discondecheanche ideconverge verso illimite 1,quando 9tende azero. Per conse- guenza,insiemecongsiannullaeteloge-i,eTultimaes-prossione annullandosi g,sitrasforma in: a-fejhde+220). Noi otteniamo adanque: wmalfortacs forar, ‘quindi ladeterminazione diJ®ridotta aquella di§. si Lrequazione C.8lacondizione affinch® jiay—jeae siaildiffe- rensiale totale diuna fanzione diz,y.Indicando questa funzione con 7,siottiene aban _aban _ Bem2y?~ay752? *)Dieser Band 8.200. 248 XIL Salproblema delle temperature stazionarie ¢larappresentasione ete. quindi onmt+in ®unafanzionedis—2-+iy,¢&ne&Inpartereale.Questafun- rione, per leA.eB. eperlegidposto condizioni, heleseguenti proprieté: 1.LungoIscurvaK,lafantione@®imaginariasenzapartereale, mod, e*=1. 2,Fuoridio,$°epperdanchea,&1sonomonodrome (eindndrig) econtinue. 8,Sesiconsiderano §ed come funsioni delle coordinate polari @,8,aventi origine in0,quando @cresce peruna rotazione del'asse delle xverso Vasse delle y,2: aia a aeeect ila a Dacidseguesubitoper@—0,$=1.Sequindiilpunto(z,y) gira nella direzione positiva intorno alpunto 0,per ciascun giro 7 cresce di2x, ed@di2xi, perchd §@adunvalore. Perlostesso motivo nelpiano(¢,6),lungolalinea@—0, 2$£—0%); quindi per@—0siha032=0,Tag—0.Nerisnltachenelpuntoola fanzione ©—log(s—,) ®monodroma, edinsieme anche continua, perchd ilquoziente em loge—s) iToge—n)~loge$00—1+Stagetio? siannulla cong,cidchesarebbe impossibile seIafunzione ©—log (¢—#), monodroma in0,ivifosse discontinua. Quindi &2dappertutto inFadunvalore econtinua, ©fuori io,dove diventa infinitamente piccola delprimo ordine, ®inoltre diversa dazero. Sesiindica conwquesta funzione, sihailseguente risultato: / Sia wuna fanzione di#adunvalore ©continua inF, tale che ilsuo modulo nel contorno Kdiquesta superficie *Perprovarequestaproposizione, bastamostrarechelafunsioneU'=t—loge, che8adunvalore inF,&inoanche continus, poich® allorn essa sara costanteTangolasummensionata lines¢—0(easedelle6),Sonell'art,IsiassumeU" inInogo diU,vari g—0 allinfuori dio, Inoltre, per Inrepproeeatazione diU” inumpunto qualsivoglin mdiverso dao, nonoecorre cheilpunto osineacluso auF,pidporqrv0Fla9So, go. Conmgunenart O°8rappreeentata daunintegrale extesoseltanto longoXK,epperd ®unefunsione = tunvalore econtinua inogni punto diF,edinparticolare nelpunto o. ‘XIL Sulproblema delle temperature stazionarie ¢Israppresentazione etc. 249 abbia ilvalore 1;nel punto oessa divenga infinitamente piccola del primo ordine edintutti gli altri punti delle eu- perficie Frimanga invece diversa dazero. Allora Isparte reale dilogwsodisfa atutte lecondizioni poste per §,@si pud porre: §=logmod w. Se w’ 8una seconds funzione di#che sodisfuccia »tutte lecon- dizioni poste perw,=sariinFadunvalore, nénullanéinfinite; edilsuomodalosariinKegualesd1.Quindiogniramodellafun- zionelog=@inFmonodromo econtinuo, edinKpuramente ima- ginario. Lasuaparte reale &percid nelcontorno diFeguale azero, nell'interno népolidroma (mekrdndrig) nediscontinus, equindi dap- pertutto inFeguale zero,Perconseguenza log @costante @pu- ramente imaginario, =yi. Dacidsiricava w'= ew, cio wperle antecedenti condizioni &determinate fino ad un fattore co- stante dimodulo 1,equindi §@determinate completamente. mL Seora siscompone Iafunzione 1nelle sueparti reali: wmutiv, siccomeIungoK®modw—1enelpuntoodiFsihaw—0,cosineemerge cheipianidellasedellawsidevonocorrispondere in modo, che alla data area Fesistente nel primo piano corrispondanel’altropianoilcorchiou*-+o?<1,alpuntooilcentrodiquest’altimo,ed alcontorno KdiFilcontorno del cerchio. La determinazione di wcoincide quindi colla soluzione della questione: rappresentare Yarea data Fsulpiano della w,trasformandola inuncerchio diraggio 1,inmodo che nel centro diquest'ultimo riesca rappresentato unpuntoosceltoadarbitrio inF. Dalla conclusione delprecedente articolo risulta chequesto pro- blema&pienamente determinato, inquanto cheduerappresentazioni cireolari diF,Yuna delle quali siottiene dall'altra facendola rotare di tunangolo 7,non possono essere considerate come essenzialmente diverse, Questo risultato edinpari tempi ildimostrare cheilpresente Problems ammette una soluzione percisscana forma diF,sono com- ae 250 XIL Salproblema delle temperature stasionarie «Israppresentarions ete. presi come caso particolare nella proposizione generale sopra lesuper- ficie semplicemente connesse, cheRiemann hasviluppata nella sua dissertazione inaugurale, p.30.*) Iv. Per lericerche ulteriori, conviene sostituire alproblema dell’arti- colo antecedente unaltro che dipenda dacondizioni pid facili ad essere sodisfatte. Poich®mod(¢—s)non2altrocheladistanzarettilineadeidue punti #©%,cosi ilIuogo ditutti ipunti 2,iquali sodisfanno alla condizione mod (s—s,)=mod(¢—s,),&Inrettaperpendicolare nel punto dimezzo aquella checongiunge ipunti 4,©#. Quindi sesi ‘assume per4,Lespressione s5’— — iyconiugata dis—+iy,ne segue perypositivo chelafanzione: nella meta y>0 delpiano, diventa infinitamente piccola nelsolo punto oepropriamente delprimo ordine; nelresto rimane continua © nolcontorno diquesta superficie raggiunge ilmodulo 1.Per questa superficie ®quindi conosciuta anche §. Soorasi®ingrado dirappresentare ilpiano della Z—X+é¥ sulpiano della s,inmodo chealmezzo piano Y>0, cheinseguito siindicherd conE,edalsuo contorno (chiuso all'infinito) ¥—+0 corrisponda nelpiano della ¢un’area Fcolproprio contorno dato X, edaciasoun punto dell'una superficie corrisponda unpunto unico dolaltra; eseinquesta supposizione Z,2ilvalore diZnelpunto 0 diF,eZ,ilsuoconiugato, allora ciascun punto delpiano #cor- rispondente aZ,'giace fuori diF,perchd Z;'® situato fuori diE.InoltreZ®soltantonelpuntoodiFogualeaZ,perchdaciascunpunto Z,diEcorrisponde unpunto unico odiF.Assumendo quindi: @ Crean twdiventera nelpunto odiFinfinitamente piccola delprimo ordine @nolresto diFsiconserveri adunvalore, continua ediversa da zero, edacquisterd nelcontorno KdiF,ilquale corrisponde alcon- torno diE,ilmodulo 1.Quindi perlasuperficie F&: z- OO) §=logmod=n *)Annali diMatematica, t.2(I,serie) ‘XILSalproblema delle temperature stazionarie ¢Israppresentazione etc. 251 Essendo ds,2Xgliclementi corrispondenti deicontorni diFed E,cosi puro dp,4¥ icorrispondenti elementi delle loro normali, siavr: a__aay tp~~BYbp porch acagione della somiglianza delle parti infinitamente picoole, alla direzione didpcorrisponde Iadirezione delle Ydecrescenti, Qui SX,comme rapporto diclementi lincaricorrispondenti, degualea az_ax ay a 7" mod$F=F,dunqueS¥ds—aX.AloraJf2Inparterealedi 206per¥=0. Quindi perVelemento dsdiKcorrispondente al aX, aiottione: ae a¥,dX ©halls asOsa ede000 allora stabilite tutte leospressioni richiesto nell’art. 1,tosto che Iasuperficie Esiarapprosentata semplicemente sopra F. v. Poligoni odun solo strato. SiaFunpoligono adunsolo strato, composto diunsolpezzo cogli mvertici 4,%,-..%,chesisuccedono inungiro positivo in- tomo adFnell’ordine deiloro indici. L'angolo interno nelvertice #, siaindicato con %,,inmodo chesari: a) ZDe—4) =22. Noi ciproponiamo Iaquestione dirappresentare semplicemente Ia superficie Esuquesto poligono. Siano a,,a,...a,ipuntidell'assedelleXcorrispondenti ai vertici #4,%)--.4,delpoligono. Questi punti siseguiranno Yun Valtro nella direzione delle Xerescenti, nello stesso ordine deiloro indici, ©quindi fradue diessiilpassaggio sidovra fare pelpunto infinitamente Iontano dell'asse. Noi supporremo che questi sieno i punti a,,4,,onde fralequantita reali aavr Iuogo Issuocessione: a,<a<ase<a,. : 1punto giacente sulcontorno delpoligono fraz,¢£,,checorrisponde alpunto infinitamente lontano dell’asse delle X,verra indicato con #’. Cidposto, sitratta distabilire unatale dipendenza fralequan- tita ©Zche: 1)adungiro positivo intorno all’una delle duesuper- ficie F,Ecorrisponda ungiro positive intorno all'altra; 2)che i 252 XII. Sulproblems delle temperature stazionarie ©larappresentazione etc. punti s,Zdurante ilgiro passino contemporaneamente peripunti s,, 4a,;3)che#percorra unalinea retta ogni qual volta Zdescrive uno deisogmenti a,,0,; finalmente 4)che nella rapprosentazione diE suF,nellinterno delle duesuperficie esista perfetta eguaglisnza di angoli, cio’ nesiaeaclusa qualanque diramazione (Verneigung). ‘Mentre #©Zpercorrono icorrispondenti segmenti rettline’ 4,_,#,, 4a,_,4, indirezione positiva, rimane inalterata laparte imaginaria di log2%dipendente soltanto daquestodirezioni, Nellostessomomento perd incui#piega intorno alvertice s,,©quindi Znelsuogiro positivo intorno adEoltrepassa ilpunto a,,deruota dell'angolo x—A, indiresione positiva, mentre 4Zconserva Iagua direzione. Quindi in uunmezzogironegativo intorno ada,,log2%creacedi(x—4,)i, ciodinuninterogiropositivo crescedi <4 HE*.Qui;epperd(Z—a)*2dina,monodroma, ndnulland infinite, Diquisegue cheilprodotto sah sh wnoynay F(Z) (Za) fame Tango Vasse delle Xnon hapunti didiramazione (Versweigungspuncte), nadivalor zero, nédidiscontinuita, perch® altrimenti Kavrebbe od altrivertici overtici d'altra natura, Indltre 2%,(©quindi perIn relazione (1)anche z)dev'essere intutta Insuperficie Zmonodroma, continua ¢diversa dazero; perch? altrimenti lasuarappresentasione odavrebbe diramazioni ©quindi nonsarebbe adunsolo strato, oppure ‘siestenderebbe all'infinito. Lafunzione zadunque non ®mai inEpolidroma odiscontinue, ¢deve inoltre essere talecheinciascun eogmento a,_,<, dell’asse delle Xilrepportomansiacostante, perchdquestisegmenti devono essere rappresentati linearmente. Siccome perY—0 8dZ—dX, per Iarealta delle quantita a,ilprecedente prodotto stainrapporto co- stante eolsuomodulo; percid 1 rd deve essere costante inciascun segmento a,_,a,, quindi per Iasua continuita avri Iostesso valore costante intutto Lasse delle X. In- dicando questo valore con c,sihaper Y= 0: logz=logmodz+loge; IL Sulproblema delle tomperatare atasiousrie @larappresentaziono ote. 258 adungue nell’asse delle Xlaparte imaginaria dilogz&costante;od essendoyinEFmonodroms, continuaedivereadazero,cidnon2al- _ trimenti possibile senon quando logz,¢quindi anche z,hadapper- tutto lostesso valor costante, Designando conAquesto valore, aiha: hay day joy (1) ds AG—a,)" a)" ---(Z—a)" a2, dove orailrapporto della costante Aalsuomodulo deve essere scelto inmodo,che44 ottenga nelpuntos’ilvalore checorrisponde allsdatadirezioneda2,04,. So@8Yangolo diquesta direzione con quella delle zcrescenti ec uns costante positive, siotterr’: 4g om es Qdence —Z)"(4-2) *-(,-2)" 42, supposto cheInvariabile venga limitata alla superficie E,©ciascun fattore 1 @-25 venga definito colla condizione dirimanere positivo nell’ssse delle X finch? siaX<a, Ponendo conquesto limitazioni: day oan fey @)ce—Z)"-(q—Z)" ++-(a,—Z)" =a, siottiene mediante Vequazione: z @ s—=fzaz, Inrichiosta reppresentazione diEsopra F. Indicando illatodelpoligono fraivertici z,,4,,,conZ;**, siha (©)=fmodsdX, Ly=fmodedX,..., Iny—finodeaxEs s ons : * T=fmod2dX+fmodedX,2 “2 20doppertutto inmod2vienposto¥—0. Siccome #inEnon presenta nddiramazioni nddiscontinuita, 254 XIL Solproblema delle temperature sasionsre ¢Iarappresentasione ete. costf'2dZ presoInngoVintero contorno diE8nullo,ciodavutori- guardo alla (1): Jeax=0, ovesiintegri lungo lalines Y=+0. Diqui sihanno due equa- tioni frailatiL©gliangoli 4,chenon sono altro chelecondizioni conosciute perch® ilpoligono Ksiachiuso. VL Pergliantecedenti risultati @risoluto ilproblema dell'art. IVper ciascun poligono F,dirappresentare ciod semplicemente EsuFin modo che cisscun punto del'una superficie corrisponda unpunto unico delValtra Siccome perogni posizione delpunto ZinE2dato ilcorrispon- dente punto #diF,cosi aipud inparticolare perVespressione: z-28, delart. IV,sempre assegnare illpunto 4,diFeorrispondente aZy, perilquale Pultima formula delart.IoffrailvalorecereatodiU.In questo senso adunque (eIapid parte delle soluzioni ditali questioni non vanno pidoltre) Iaquestione dideterminare Usipudconsiderare come risoluta pertutti ipoligoni F. Affatto diversamente sipresenta Iaquestione quando non sivoglia, contentarsi dicid, ma invece sidomandi che Inquantita Z, che occorre perlaformazione di1,venga determinata perciascuna qualsi- voglia posizione delpunto odiF. Infatti questa domanda nonaltro significa senonche,mediante la inversione dell'equazione (4),Zsiapresentata come fansione di#. Unesame pitdiligente mostra chesono solamente quattro ipo- ligoni Fperiquali questa quistione pud essere posta senza ulteriori modificazioni, vale adire ilrettangolo, iltriangolo equilatero, edue triangoli rettangoli, Visoscele cio? equello icuiangoli alfipotenuse sono di30° ©60°. Intutti glialtri casi odove essere limitata 1avariabilita di seZ nelle superficie Fed E,onde non siottiene alcuna semplificazione, mentre vaperduta l'importanza analitica delproblema; oppure, ove si richieda Iainversione convariabili illimitate, ilproblema della rappre- sentazione deviessere posto altrimenti. Edinvero, seinFi rapporti angolari sono tutti razionali, XML Salproblems dele temperature atasionasiee larappresentazions ole. 255, quindi #@una funzione algebrica diZ,sipud facilmente perquesta funzione determinare lasuperficie 7’rappresentante ilsuo modo di diramazione (Versweigungsart), ¢Yordine 2p+1della suaconnessione (Zusammenhang), edallora per conseguire V'inversione dell’equazione ds—2dZ, devonsi aggiungere aquesta, come @noto, ancora p—1 altre equazioni dz,—2,dZ,, dove tutte lex,sono funzioni algebriche diramate come 7,etutte les,sono integrali diprima specie non aventi traloro relazioni lineari, alla quale ultima condizione invirtt dell’equazione (1)dell’art. precedente sodisfa anche s. Intermini pidsemplici, cidsignifica doversi inquesto caso rap- presentare simultaneamente Eeupsuperficie, una delle quali 2la stessaF,elealtredipendono daF.Ilcasodip—1mostragiache daquesto punto divista ilproblema primitivo sidecompone ininfiniti gruppi dicasi particolari. Delresto, daqueste considerazioni risulta cheirisultati dell’arti- colo precedente insegnano inciascun caso #conoscere Iaclasse di fanzioni alla quale appartengono we£,anche quando l'espressione diUsiastata trovata per altra via, vu. Ormai non rimane chearender possibile, collo svolgimento diun esempio trattato anche conaltri metodi, ilconfronto fraquesti edil proceso qui esposto. Noi scegliamo perbrevita ilpitsemplice di tatti, cio’ ilcaso che lasuperficie Fsiaunrettangolo. Assumendo nell’art. I,lafunzione arbitraria p=0,sipudassaifacilmente deter- minare per questa superficie laUcol metodo dato daFourier (cfr. Lamé Legons surlesfonctions inverses destranscendantes, XIV), mailprincipale risultato della ricerca, ciod ladeterminazione della specie difanzioni dalla quale dipende lasoluzione, non sipotrebbe riconoscere per questa viache astento, sebbene laposteriore verifi- cazione del medesimo non offra alcuna difficolta. Siano aebilatidelrettangolo F,posti rispettivamente sugli assi delle x,ypositive. Noi possiamo allora porre: 4-4, 4—a+bi, 4—bi, 2-0, ed otteniamo: Ake h--Z, «0, quindi: #=0:V@—Zq—Z)(—Z)(%—Z), dove laradice @definita come dianzi. 4 256 XIL. Salproblema delle temperature staziooarie ¢Israppresentazione etc. Lasuperficie 7&aduestrati (eeilatirig), coipunti didirama- zione 4,<a, <a, <<a, situati sull'sase delle X. Assumendo, cidche 2lecito, peilimiti siquali siestendono idue strati di7’gliorli delle rette congiungenti o,cona,eda,cona,,fraquesti limiti gli strati saranno connessi, edEsari lameta positiva (corrispondente ad ¥>0) delprimo strato. Per questa connessione di7’eperlecondizioni imposte allespres-sione2,questaottione1)valoricontrariinduepuntidi7’situatiYan sopra Valtro, edinrece 2)valori coniugati indue punti coniugati dello stesso strato. Facendo inoltre nella solita maniera, spartire daunpunto inE, untaglio trasversale (Querschnitf) intorno ad0,4, eV'altro intorno adya,,nevienecheZperYequazione de—2dZ®determinate comeunafanzione dis adunsolo valore, avente idueperiodi 2a,2bi, icuivalori emergono anche dacidchesegue. Trasportando ina,ilpunto d’incontro deiduetagli trasversali, © ridueendo quest'ultimi alinee rette, laconnessione delprimo strato col secondo traa,¢a,edinciascuno strato laconnessione della meti potitiva colla met negativa fraaoda,sari tolta. Larappresen- tazione della superficie 7”cosi modificata, sulpiano #,diviene unrettangolo IT,icuilati2a,2bsonoparalelliagliassidelle2,y,ele cuidiagonali s'incontrano nellorigine 2,—0, ¢delquale adunque F @quella quarta parte checade nelquadrante positivo. Perdimostrarlo, sitirianzitutto incisscuno strato daa,alcor- rispondente punto Zuna lines, inmodo cheleduelinee coriottenute z sicoprano; alloraIasomma degliintegrali f"zdZ, presilungoqueste due linee, sari ntlla, quindi aduepunti di7”giscenti Puno sull'altro corrisponderanno due valori contrari dis,cio’ due punti delpiano # Incui congiungente passa per Vorigine ¢,—0 ed@ivi divisa per meta Tirando ‘inoltre daa,sullo stesso strato di7”due linee simme- triche rispetto all'asse delle X, ciod congiungenti soltanto punti coniugati eterminate insiffatti punti, siotterranno mediante l'inte- grazione valori coniugati disanche neipunti estremi. Due punti coniugati dello stesso strato di7”vengono dunque rappresentati nel piano #induepunti coniugati, cio’ situati simmetricamente rispetto alfasse delle 2. Dacidrisulta subito cheIT®Iarappresentazione di7’. Sei rettangoli neiquali vien diviso ITdagli assi coordinati nell’ordine con XI. Sulproblema delle temperature stazionarie ¢1arappresentazione ete, 257 ‘euisisuccedono inungiro positivo intorno all’origine, sidenotano con F,F,,Fy, Fy, possiamo concladere, siccome per lecondizioni del problema E2digidrappresentato suF,che Iaparte positiva del secondo strato coperta daEsari rappresentata suF,, lameta noga- tiva delprimo strato saFy,©quella delsecondo suF,. Contempo- raneamente &dimostrato che2a,2bisono imoduli diperiodicita di2. Questi risultati sono sufficienti peresprimere lafonzione: z-%OTe mediante #.Infatti se4,®quel punto diF’che corrisponde al punto Z,diE,allora Z—Z diventa inIneidue punti #,,— infinitamente piccola del primo ordine, mafuori diquesti diversa da zero. Sem &coniugatoa4,Z—Z,'non>maiinITegualeazero, foorch? neipunti s,', —4’,neiquali @infinitamente piccola delprimo ordine. Quindi w@una funzione diz adunvalore, coiperiodi 2a, 2bi, laquale nelrettangolo ITdeiperiodi ?infnitamente piccola sola-menteper#—(¢,,—%);infinitamente grandesolamente per#—(4,—%’),fesempredelprimoordine;©perZ—cosiriducoaeM!Diqui segue chemediante Isfunzione diJacobi: : 0,(2)=2gcone—2gsen32+2q*eenbz... Jawsipud esprimere nella forma: mien)9g(mle+ wotSn)ES") ene eG(7 tay? 2-6 >CSP) 6C) dove C®una costante. Se2’@ilpunto fra£,©4,,checorrisponde alpunto diEinf- nitamente lontano, siha: (<6)9(x10+40) ma—FymeER)" i )0(“SE) Sicoome#@reale,nelfattorediCildenominatore ®coniugato alnumeratore, onde ilmodulo diquesto fattore sari ~1.Quindi, se Iaquantita o,soggetta soltanto aquestlultima condizione, siassume eguale alfattore diC,riescira C=1,epperd:B.D.Christottel, OmammaieAShandnngee X ra 258 XII. Sulproblema delle temperature stazionarie ¢lsrappresentazione etc. nle—4)) 9(ney«Lal3b(Ee) ane™,me—")) 9(704%)? .9.550") abe) Moltiplicando questespressione diwo,collespressione chenerisulta perilvalore coniugato w,siotterra ilquadrato delmod 1,©quind? perladeterminazione diUnelpunto 1,diF: aww, §=plogww'. Decomponendo 1inu+ivsirisolve-inoltre ilproblema dirap- presentare ilrettangolo F'sulcorchio u*+ "<1, inmodo che il centro delcorchio corrisponda alpunto 4,diF,daacogliersi arbitra- riamente. Itrealtri problemi accennati nell'art. VI, periquali soltanto & ancora possibile larappresentazione diwopermezzo di2,sipossono delpari risolvere facilmente coimezzi quisdoperati. Zurigo, 25marzo 1867. Xm. Ueber einige allgemeine Eigenschaften derMinimumsfidchen. (Journal firdiereine und angewandte Mathematik, Bd.67,1867, 8,218228) Die sogenannten Minimumsflichen besitzen cine merkwirdige Eigenschaft, welche ichbeiGelegenheit meiner Abhandlung tber die Bestimmung krummer Oberfléchen durch locale Messungen auf den- selben (dieses Journal Band 64%) Herm Weierstrass mitgetheilt habe. Dieselbe besteht inFolgendem. 1.Scien Sund Szwei Minimumsfiéchen, d.b.solehe, flrwelche die Summe der beiden Hauptkrimmungen injedem Punkte =O ist. Nachdem jede von diesen Flichen ineine beliebige Lage gebracht worden ist, wible man aufihnen Flichenstiicke 7,7”soaus, dass 1)sufkeinem von beiden dieselbe Normalenrichtung zweimal, dagegen 2)jede aufdem einen stattfindende Normalenrichtung auch aufdem andern vorkommt. Betrachtet man unter diesen Voraussetzungen einen Punkt m’von T”alsBild desjenigen Punktes mvon7,flrwelchen diegleiche Nor- malenrichtung stattfindet, 60wird 7”einindenkleinsten Theilen ihn- liches Bild von 7. Beidiesem Satze istderFall nicht ausgeschlossen, dass dieFlichen ,S’sich nurdurch ihre Lage imRaume von einander unterscheiden. Durch blosse Drehung einer Minimumsfliche kann man also beliebig viele Abbildungen derselben aufsich selbst erhalten. 2.Der obige Satz bleibt bestchen, wenn eine derFlichen S,S durch eine Kugel ersetat wird. ‘Aus diesem xweiten Satze folgt der erste durch Wiederholung. Daansserdem alleAbbildungen einer Kugelfliche sufeiner Ebene be- Kannt sind, #0sind es‘auch alleAbbildungen ciner Minimumsflache, wiemuerst von Herm Weingarten gefunden worden ist.) 1)Vorgl. die reichhaltige Abbandlung: Usber dieOberfitchen, frwelche ciner derbeiden Hauptkritmmungebalbmesser eine Function desandern ist. Diesen Journal Band 62,p.164, 166. *)Imvorliogenden Band 8.162, a 260 XII. Ueber einige allgemsine Eigenschaften der Minimumefitchen. chhabe mich veranlasst gesehen, diesen Gegenstand weiter zu verfolgen, und namentlich 2uuntersuchen, welche Flichen 7’dberhaupt dieEigenschaft haben, dass sich ihnen cine zweite 7”zuordnen liast, welche, ohne zu7homothetisch musein, einindenkleinsten Theilen athnliches Bild von 7liefert, wenn sienach obigem Princip auf7’be- zogen wird. Von dieser Untersuchung sind selbstverstindlich alle die- jenigen Flichen 7suageschlossen, aufdenen jede Uberhaupt vorhandene Normalenrichtung eine Linie bestimmt, also dieaufeine Ebene ab- wickelbaren Flichen. Eshat sich herausgestelit, dase dieverlangte Eigenschaft eine Flichenfamilie begriindet, welche sich auch alsdasSystem derjenigen Flichen definiren lisst, dieeinebenes Bild gestatten, inwelchem ihre Kriimmungslinien durch zwei Schaaren zueinander senkrechter Geraden dargestellt werden. Esbesitzt hiernach jede Fliche, anwelcher die auerst erwihnte Eigenschaft nachgewiesen ist, auch diezweite, und umgekehrt. Diese Flichenfamilie istechr umfassend; mittelet derFormel B. des art.V.,welche dasKriterium derselben enthilt, findet man leicht, dass miihrnicht bloss dieMinimumsflichen imgewdhnlichen Sinne, sondern allgemein diejenigen gehdren, deren mittlere Kriimmung con- stant ist,also dieMinimumsflichen Uber gegebenem Volumen; ausserdem gehdren hierhin alleFlichen zweiten Grades, alleRotationsflichen, u..w. Indieser Familie entepricht jeder Fliche 7cine andere 7°,und imAllgemeinen such nur eine nebst ihren homothetischen, welche durch 7ihrer Gestalt und Lage nach bestimmt ist,wenn von Trans lationen ohne Drehungen abgesehen wird, dieanderAbbildung nichts Andern. Die einige Ausnahme hiervon bildet dieKugel, frwelche dieAufgabe, T’mfinden, unbestimmt ist, weil sieselbst jeder be- liebigen Minimumefiiche entspricht. Dadieeinfachen Halfemittel, welche ichbeidieser Untersuchung benutzt habe, sich auch bei anderen Gelegenheiten alsbrauchbar er- weisen, 80erlaube ichmir, imFolgenden zuzeigen, wiesich imAn- schlusse aneinen directen Beweis derobigen Sitze tber Minimums- flichen dieGbrigen Resultate ergeben haben. Jene Sitze selbst habe ichurepriinglich ausdem art.IV.meiner oben erwihnten Arbeit er- halten. I Wir beginnen unsere Untersuchung mitderAufstellung dergeu- metrischen Bedingungen, welche erforderlich sind, damit zwei Flichen 7,7"einander ahnlich werden, wenn jedem Punkte mvon Tsein Bild XIML Ueber einige allgemeine Eigenschaften der Minimumsfitchen. 261 mm’auf7”durch dieBedingung gleicher Normalenrichtung zugeordnet wird, inwelchem Falle mund m’entsprechende Punkte heissen sollen. Zudem Zwecke bestimme man nach Gauss (Disqu. gen. circa superf. ¢.L)eine Richtung imRaume mitHtlfe einer Kugel Kvom Halbmesser 1durch denPunkt, inwelchem eingleichgerichteter Halb- messer anfderKugelflache endigt. Sind also N,N’ dieNormalen der Flichen 7,7’indenPunkten m,m’,cowerden dieso Punkte einander enteprechen, sobald beide Normalen dem nimlichen Pankte Xvon K enteprechen. Damit ferner zwei von entsprechenden Punkten m,m’ ausgehende Linienclemente 2s,2s’derFlichen 7,7”inentsprechenden Punkten endigen, mfseen auch inihren Endpunkten dieNormalen dem nimlichen Punkte von Kentaprechen. Der unendlich Kleine sphi- rische Bogen QB=4giebtdanndenWinkelan,umdensichdie Normale Ndreht, wenn ihrFusepunkt von maus 2sbeschreibt. ‘Wir haben nun zuuntersuchen, welche Bedingungen erforderlich sind, damit dasVerhiltnis derentsprechenden Linienelemente 2s,25° von der Lage des ihre Endponkte bestimmenden Panktes ‘Bunab- hingig wird. Seien aN, 2N, inmbeginnende Bogenclemente derbeiden Kriim- mungelinien von Z,@,,0dieihnen entsprechenden Krimmungshalb- meeser derFliche. Ferner sei4,derWinkel, umden sich g,dreht, wenn sein Fusspunkt 2, durchliuft, ebenso 8,derWinkel, umden sich @drebt, wenn sein Fusspunkt @N, durchliuft, also abgesehen vom Zeichen 2, —@8, 2N,—0,9, und cs"=gf0t-+ 0361. Haben Ci»Ci»8,6,dieselbe Bedeutung frdieFliche 7”imPunkte m’,20 wird s'?= 0\2,?+ 0;0,? und mithin das2untersuchende Verhiltniss &y-eatOLat,ae)~Fhend,” Daraus ergeben sich dieSitze Uber dieMinimumsfizchen sofort. Nimmt man nimlich ¢/"— 9,3,of=of,dh. flr7und 7’Minimume- oder Kugelfigchen, 20heben dieDrehungswinkel sich weg, indem aus derBetrachtung derKugelK4"=}+6}=6,"+4,'folgt.Istnun, um zorallgemeinen Untersuchung dberzugehen, 0das Centrum derKugel Kund sind R,,Ny,Nj,N;diejenigen Punkto des durch %alsPol bestimmten Aequators, welche den Richtungen &M,, @Ny, CN, @N, derKrimmungelinien von 7und7”entaprechen, 0folgt, weil derPunkt 8von Ksowohl dem Endpunkte von 2s, alsauch dem von2s’entepricht, dass derUcbergang von®nach B auffolgende awei Arten bewirkt werden kann: +262 XUIL. Usher einige allgemeine Eigenschaften derMinimumsfiichen. 1.indem man zwei unendlich Kleine Drehungen umdieAxen of, o%, zusammensetzt, von denen dieerste den Winkel 8,,dieandere den Winkel 8,betrigt; 2.indem man zwei dieWinkel 4,3,betragende Drehungen um dioAxen of,, 09, zusammensetzt. Dies festgestellt, ziblen wiraufdem Aequator von®,ausLingen, dienach ,hinwachsen, und setzen fest, was offenbar gestattot int, dass von denPunkten ,,%;derzweite diegréssere Linge hat. Ist alsdann «dioLinge von,,4dieLinge deeMeridians NW, sowird,weilalleBogen unendlich Kleinsind,8,—4sind,8,—2cos2,8,=4sin(d— a),8=4cos(d —a),mithin (#)-2?contd—a)+of?sin?~@) oe 20002+eyFaind® sobald és,25’inentsprechenden Punkten anfangen und endigen. Dieser Ausdruck sollnun von derLage desPunktes ‘B,d.h.von Aunabhingig sein, Man erkeunt ohne Mthe, dass diese Bedingung frjeden beliebigen Werth von «,d.h.unabhingig von den Rich- tungen, indenen dieKrimmungslinien derFlichen 7,7”von m,m’uagehen, nurdannerfUlltwird,wennzugleich¢j*—0;',of=o}ist,was den bereits oben erledigten Fall liefert. Istdiese Bedingung nicht erfillt, sokann dasVerbiltniss der beiden Linienelemente nurnoch indem Falle von 2unabhingig sein, wenn «—0 oder ein Vielfaches von 90° ist. In allen diesen Fillen wird jedem derbeiden von mausgehenden Krimmungslinienelemente eines der beiden von m’ausgehenden parallel; wir schliessen daher keinen Fall aus, wenn wir «=0 setzen, d.h.fordern, dass 2, mit2N,, @N, mit 2M, gleiche Rich- tung habe. Dann wird (ae2cosd?+ef?sindt ar)~oyteoni*+ sind unddieswird nurdann von2unabbingig, wenn ¢,°:of=¢;':@}, a.b. entwoder %=$,oderSi=—%wird.a Diezweite vondiesen beiden Lésungen liefert denallgemeinen Satz: WennsweiFliichenTundT’inderBesiehung sueinanderstehen, dassinjesweidurchgleicheNormalenrichtung einander entsprechenden Punkten m,m’derselben 1)auch dieHauptschnitte beider Fliichen ein- ander parallel werden, und 2)swischen den Verhiltnissen derKriim- mungen paralleler Hauplschnitle dieRelation ‘XIIL Ueber einige allgemeine Kigenschaften derMinimumsflichen. 263 i4ata? ‘slattfindet, sowirdT’einindenHeinstenTheilendnlichesBildvon ,wennjederPunitm!alsdasBilddesentsprechenden Punktesman-geschen wird. Indiesem Satze sind dieauf dieMinimumsfiichen bezilglichen ‘ebenfalls enthalten. Nimmt man nimlich flr7”eine Minimumsfiiche, #0folgt aus der xweiten Bedingung, dass 7cine Kugelfliche soin ‘muss, und diese geniigt offenbar auch derersten Bedingung. Dieerste Lésung fubrt aufganz elementaro Resultate, diehaupt- sichlich alsVervollstindigang desvorigen Satzes anfuufassen sind. In derThat fordert dieselbe, wieleicht zusehen ist,und auch ausden folgenden Untersuchungen hervorgeht, nichts anderes, alsdass 7’und7” homothetisch sind, woraus dann freilich, dadieAehnlichkeit fr be- liebig grosse perspectivisch liegende Theile vorhanden ist, auch die Achnlichkeit derkleinsten Theile folgt. Esergiebt sich aber hieraus, dass ausser dendurch denersten Sats estimmten Fliichenpaaren und ihren homothetischen keine andern ezi- stiren, welche dievon uns geforderten Eigenschaften besiteen. 0. Eswirft sich jetzt dieFrage auf, wie und unter welchen Vor- sussetzungen dieBedingungen deeobigen Satzes befriedigt werden Gnnen. Zudem Zwecke bemerken wir zuniichst, was aus derzweiten Be- dingung folgt, dass inenteprechenden Punkten nothwendig diecine Fliche gewalbt, dieandere sattelfErmig gebogen sein muse. Um Ober bestimmte Vorstellungen 2uverfligen, wollen wirdaher, was aufden echliesslichen Verlauf derUntersuchung keinen Einfluss mehr haben wird, festeetzen, esseien @,,Q,0;Positiv, e,dagegen seinegativ. ‘Wir bezeichnen nun dierechtwinkligen Coordinaten vonmdurch 2,%4durch 2’,y',#diejenigen von m’,susserdem dieRichtungs- eosinus derNormale, derersten und zweiten Kriimmungslinie inm, also wogen des geforderten Parallelismus such inm’durch a,b,c; 45by,6}yyby»GyWobei dieVorzeichen der Groseen a,b,¢80ge- wahlt sein sollen, dase diedurch siebestimmte Richtang derNormale derjenigen entgegengesetzt wird, inwelcher von derOberfliche ausdie positiven Kriimmungshalbmesser anfgetragen werden. InFolge des Parallelismas derKriimmungslinien werden auch dieDrehungswinkel umdie2uihren Tangenten porallelen Axen far beide Flichen gleich, also d,—0,, 8;=,. 264 IIL Usber einige allgemeine Eigenschaften der Minimumsfitchen, Wir bestimmen nun munichst dieGréssen, umwelche dieCoordi- naten vonmundm’unddieRichtungscosinus derNormale inFolge dieser Drehungen zunehmen. Dreht man dieNormale umeine zurTangente derzweiten Krim- mungslinie parallele und durch das Krimmungscentrum des ersten Hauptachnitts gehende Axe heram, bisderDrehungswinkel 2,geworden ist, sodurcbliuft ihrFusepunkt auf beiden Flichen dieerste Krim- mungslinie, undweil g,,¢,positiv sind, beide inderselben Richtung. Die zurickgelegten Wego sind 2N,— 04, 2N;=0,4,mithindie Zunabmen von 2und 2’: BemaQdy, 2'—040,04, vorausgesetzt, dass man den Drehungswinkel 8,positiy oder negativ nimmt, jenachdem msich inderRichtung a,b,¢, oder ihrentgegen bewegt. Nach derLehre von derKriimmung derFlichen istaber auch a2=4,€2—@20,wornusinbidenFillen ‘ 2a=0,8, folgt.1 Dreht man dieNormale umeine zurAnfangsrichtung derersten Krommungslinie parallele und durch das Krimmungscentrum des aweiten Hauptachnittes gehende Axe heram, bisderDrehungswinkel 4,geworden ist,eodurchliuft ihrFusepunkt aufbeiden Flichen die aweite Kriimmungelinie, aber inentgegengeretzton Richtungen. Sind My, ‘Ny diewirklich aurdckgelegten Wege, sonimmt zuma2N, au,2’uma,/N, ab. Nun ist/N,=0,0, @N;—— 0,4,, alsowachsen und 2’um BE=409, 2'—=040481, wieder vorausgesotzt, dass 4,positiv oder negativ genommen wird, je- nachdem msich inderRichtang a,b,c, oder ihrentgegen bewogt. Daaussordem G2—ia22'—@,0aitt,20folgt a=048,. Daraus ergeben sichflrdievollstindigen Differentiale diefolgenden wichtigen Formeln: Ba=0,018+40191, CY—=DOdy+brOrdyy CH=GQds +OrBiytamad, +4,8,, ?b— bd, +b, fo—Gd +46, balm 010,94 +40,8, Cy’ 00,85 +4040, C4— 40,8,+G04, von denen dieaufdieFliche 7’allein besiglichen flrjede beliebige ‘XIIL Ueber einige allgemeine Eigenschaften derMinimumsfidchen. 265 Fliche gelten. Aus den beiihrer Herleitung unterschiedenen Fallen ergiebt sich brigens, dass diese Formeln von den zuEingange Ober dieVorzeichen derKrimmungshalbmesser gemachten Voraussetzungen unabhiingig, also aufbeide Fille desvorigon art.anwendbar sind. m1. Setzt man nun, umdieerste Lésung dosart.Izubefriedigen,C=KerC=key,80wirdc2'=ken,ry'—koy, c2’—kee.Damitdiese Gleichungen cine Fliche 7”bestimmen kénnen, milssen ihre rechten Seiten vollstindige Differentiale sein. Betrachtet man sals Function von 2,y,sofolgt aus dor ersten Gleichung, dass &von y, ausderzweiten, dass esvon xunabhingig, also constant sein muss. Diese Lésung liefert also, wie schon frther angewandt worden ist,2u jeder belicbigen Fliche ihre simmtlichen homothetischen. Iv. ZurBefriedigung derxweiten Lisung é.4ate? sotzenwir@,—Hes,0,——Hey- Dannwirdda'——Hea,da'=Hoe, aBW * so Nennt man nun diejenige Seite einer Fliche, von welcher ihre Normalen ausgehen, ihre Vorderseite, 90ergiebt sich ausdiesen For- meln zunichst, dass imvorliegenden Falle dieVorderseite von 7auf derRuckseite von 7”abgebildet wird, und umgekehrt, vorausgesetzt, dass mam unter einer Abbildung eine imgewohnlichen Sinne, also nicht verkehrt ihnliche versteht. Sodann ergeben sich frdievollstindigon Differentisle dieGlei- chungen éx'—HG2— 02),tyHeyzy), ef=H(es—22), von denen zuniichst gezeigt werden soll, dass sieausdenBedingungen unserer Untersuchung nicht blose folgen, sondern dieselben auch um- gekehrt nach sich zichen. Sind nimlich a,4,¢dieRichtungscosinus derNormale vonTZ,so sind sie66such fr7’,weil ausdenvorstehenden Gleichungen folgt aca'+bey+ccs’=0 Daferner dieKrimmungslinienclemente @N,, 2N, auf einander sonkrecht stehen, 20folgt ds’=H*(0N?+2N})—H's",alsoist7” ein inden Kleinsten Theilen ahnliches Bild von T. 266 XIII. Usber einige allgemeine Figenachaflen derMinimumafitchen. Anf Grund dieser beiden Folgerungen ergicbt sich endlich nach art.IauchderParallelismus derKrimmungslinien beiderFlichen.Folglich enthalten dievorstehenden Differentialgleichungen alle fr diegegenwartige Aufgabe nothwendigon und ausreichenden Be- dingungen. ‘SetztmanasH—&,s0lassendieobigenGleichungen sich indieForm * 18 ex—Q[20a—(E +2)r2], 9 tit (&) y-appo-(E+2)y], 141), ig-a[2ce -&+ade] bringen. Dieselbe zeigt sofort, dase unsere urspringliche Aufgabe, die Bedingungen 2ermitteln, damit aueiner gegebenen Fliche J’cine sie inderverlangten Weise abbildende existire, aufdieHerstellung und Deutung derIntegrabilititebedingungen zurlickgefthrt ist,welche er- forderlich sind und hinreichen, damit diedrei vorstehenden Ausdriicke zugleich vollstindige Differentiale werden. Esistindesson zweckmiissig, flrdiese Untersuchung dieDifferen- tialgleichungen soviel wieméglich inderurspriinglichen cinfachsten Form beizubehalten. v. Wir sotzen voraus, dase 2,yundsalsFunctionen zweier vonein- anderunabhiingiger Variabeln 1,tinderWeisedargestellt, sind,dasederGleichung éu,—0 diejenige Schaar Krimmungelinion von 7’ent- spricht, welcher dievorhin alserste bezeichnete angehért, derGlei-chung4,—0dieandereSchaar. Bezeichnet mandaherdieDeri-virten von 2,¥,#nach th,%durch 2,2%,2) U.8.W.,80wird (em mly, Ce mem, Ws.w. i : Femer folgt ausdenGleichungen ¢x=9,24, (2=0/4, wenn Pe ey 1 1 ten, ton ssetztwird, . * & éa éa i te mithin durch Elimination von a a(ar, an ay near eer EO XIN, Ueber einige allgemeine Eigenschaflen der Minimumatitchen, 267 wor noch swei ahnliche Gleichungen flryund ¢kommen. Ausser- dem ist (2) B+ +1 =0. Dies vorausgeschickt, nehmen dieDifferentialgleichungen desvorigen art. diefolgende Form an: Gat!—H(att,—20%), (A) ey’=H(yye%—%2m), oa=H(e214—4,34). Far logH=ZliefertdieerstealsIntegrabilititsbedingung fatjla+2m-0, ‘oder wegen (1.) [z-2i]+(22+2.28]5 -o. ay—nom] tow,+RHam OO Mit Rocksicht auf(2.) folgt aus dieser und den beiden hierzu- gehérigen Gleichungen, daBnothwendig aZ_ 2a 8% 8ayoy hom? 8m Oy sein muss, und umgekehrt sind mitdiesen beiden zugleich alleIntegra- bilitétsbedingungen erfullt. Damit aber diese beiden Gleichangen miteinander bestehen kénnen, isterforderlich und hinreichend, dass 2@(4_any, 2(1any @) deGabe) +mGage) ~? sei, Istdieso Bedingung erfullt, 0liefern also diovorstehenden Aus- driicke flr2Zeinvollstindiges Differential, und diesobestimmte Fanetion z Hew macht such dieAusdriicke filr22’,Zy’,de’muvollstindigen Differen- *tialen. Zugleich istersichtlich, dass derletztern Forderung aufkeine andere Weise gentgt werden kann. Esbedarf nurnoch dergeometrischen Interpretation von(B). Sei atta, gtat+aae, sofolgt aus (1.) und (2.) (3) _1_@m _@log =_1_an_Blogty: nonumy? Rom, ou? wodurch (B) in 268 KILL Ueber einige allgemeine Figenschaften derMinimumsfiichen. ogaeeyGu,Ou Aihergeht.DieseGleichung fordertalso,dasslog{sichalsDiferenz einer bloss von w,und einer bloss von #,abhiingigen Function dar- stellenlnsse,dassalso bo) bv) dem Quotienten auszwei solchen Functionen gleich sei. Fohrt man nun, was anden frihern Voroussetmngen nichts Andert, mittelst derGleichungen 9(u,)étq—2u,,¥(Uy)éth—2m,2woi neue Variabeln u,,u,ein,sofolgt,dassdieAllgemeinheit unseres Resultates nicht geiindert wird, wenn wir (w,) und (1) constant und einander gleich setzen. Dann wird dieLésung von (B.) @) bob. Damit also dieGleichungen (4.) durch passende Wahl vonHintegrabel gemacht werden Kénnen, isterforderlich und hinreichend, dase dasQuadratdesLinienelementes von7’sichindieFormast—§3(0ut+2ut) bringen Insee, wihrend 2u,— 0,2%— 0dieDifferentialgleichungen der deiden Schaaren Krimmungslinien von 7sind. Wir haben hiernach den Satz: . Damit einerFliche Teinesweite T’inderobenverlangten Weisesugeordnet werdenKinne,isterforderlich undhinreichend, dassTcinindenKleinsten Theilendhnliches cbenesBildgestatte, inwelchemseineKriimmungslinien durch swei Schaaren sueinander senkrechler Geraden dargestellt werden. UndumgekehrtkinnenalleFlichenT,sudenendieGleichungen (RL) oder (A.) eine sugeordnete T°liefern, indieser Weise aufeiner Ebene abgehildet werden. Bezeichnet man beiderAbbildung von 7aufderEbene der14,ti dasVergrisserungsverhiltniss durch2,sowird ast—m*(eut+eu), und esergeben sich firdieFamilie derFlichen 7aus(4), (2), (1.) und (3,dieDifferentialgleichungen: Rtwtdam, aytuntag0, Btyt amm, ayy=FEay+OE, sa=ay5My, ‘XIU, Usber einige allgemeine Eigenschaften derMinimomsfiichen. 269 Ist7diesen Gleichungen gemiiss bestimmt, sowird alogm alogm 8m— ay—2OEOy, ‘also Z—const.—2logm,H-4, sodass man zurBestimmung von7”dieintegrabeln Gleichungen aaZi(a2m,— mem), ay4.2m —m2m), ad—A(0m,—442m) . erhilt. Esisthier nicht derOrt, diesen Gegenstand durch Ausfthrung von Beispielen weiter zuverfolgen. Zarich, 2.April 1867. XIV. Beweis des Fundamentalsatzes der Invariantentheorie. (Glournal fardiereine und angewandte Mathematik, Bd,68,1868, 8.246—252.) Inderfundamentalen Begriindung derInvariantentheorie, durch welche Herr Aronhold dieses ganze Gebiet aufeineinziges, vonjeder Willkirlichkeit befreites und dergréssten Ausdehnung fahiges Princip aurlckgefilhrt hat, wirft sich dasHauptgewicht auf dieFrage, wiegrossfiireinegegebenehomogene FunctionineinemSystemvonGrund-formen dieAnsahl derselben vorausgesetst werden darf, wenn dasselbe nur coneinander unabhdngige enthallen soll, weil nur beigesicherter Kenntnis dieser Fundamentalzablen beartheilt werden kann, obgegebeno Fanctionen ¥und F’ durch lineare Substitutionen ineinander trans- formirt werden kénnen, und durch wieviel Substitutionon dies erreicht werden kann. Die Anzahl der voneinander unabhingigen Invarianten einer homogenen Function, mitwelcher alleGbrigen Fundamentalzahlen ge- geben sind, istbisjetzt auf zwei verschiedenen Wegen bestimmt worden, zuerst durch Abzihlang derTransformationsbedingungen und der zueliminirenden Substitutionscoefficienten, dann mittelst derpar- ticllen Differentialgleichuogen derInvariantentheorie. Bemerkenswerthe unddenallgemeinen Fall bildende Abwoichungen vonden beidiesen Beweisen vorausgesetzten Verhiltnissen, welche sich mir beiandern Untersuchungen darboten, haben mirgezeigt, dass beide Beweise un- aureichend sind und tbereinstimmend das voraussetzen, was sich bei genauerer Betrachtung alsdieHauptfrage flrden2uleistenden Beweis herausstellt. Bezeichnet (n,p)dieAnzahl derCoefficienten einer homogenen Function Fvom p** Grade und mVariabeln, soist(n,p)auch die Anzahl derBedingungen flrdieTransformation dieser Function in eine andere mittele einer gegebenen linearen Substitution. Durch Eli- mination dern-n Substitutionscoefficienten ergeben sich dieTransfor- anationsrelationen, also dieabsoluten Invarianten von F. XIV. Beweis des Fundamentalsatees derInvariantentheorie. 21 Nimmt man nun an,unter den urspriinglichen ‘Transformations- bedingungen Insse sich eine Gruppe vonm+n Gleichungen euswahlen, welche inBesug auf dieSubstitutionstionscoeffcienten voneinander un- abhdngig sind, s0wird dieAnzahl derTransformationsrelationen, also der absoluten Invarianten o=(np)—m. Wenn aber eine solche Gruppe von»-m Gleichungen nicht existiren sollte, sowirde mitRiicksicht aufdenUmstand, dase dieurspring- lichen Transformationsbedingungen beidervonihnen geforderten Wahl vonF”nieaufeinen Widerspruch fhren kénnen, folgen, dass beider ‘Transformation von Fineine mitméglichst viel willktrlichen Coeff cienton verschene Funetion F” 1)nicht alle Substitutionscoefficienten bestimmte Werthe er- langen, sondern eine Anzahl 4derselben willktrlich bleibt, und in Folge dessen 2)die Anzahl der Transformationsrelationen um 4Kinheiten grisser istalsdiedurch Abzihlen gefandene normalmissige Anzahl ©=(#,p) —n* derselben. Eswarden demnach auch diemerkwardigen Folgerangen weg- fallen, oder einer durchgreifenden Modification bediirfen, welche sich inderLehre von den zugehdrigen Formen und denCovarianten an dioVoraussetzung kniipfen, dase durch dasResultat derTransformation dieanzuwendende Substitution véllig bestimmt sei. Im65" Bande dieses Journals pag. 267 istdieFrage nach der Anzahl voneinander unabhingiger Invarianten von derUntersuchung desSystems partieller Differentialgleichungen Dylt=0 abbiingig gemacht worden, denen alle absoluten Invarianten und nur solche geniigen, und gezeigt worden, dass jede Gleichung, welche sich ausdiesen n-n Gleichungen durch Differentiiren und Elimination der hihern Derivirten ergiebt, aus Gleichungen desSystems auch linear rusammengesetzt werden kann. Dieser Nachweis reicht jedoch zuder daraus gezogenen Folgerung nicht aus, indem dieUbrigen Sitze, auf welche diese sich stiizt, eine Bedingung enthalten, welche injedem besonderen Falle alserflllt nachgewiesen werden muss, Wenn ein System linearer und inden Derivirten homogener Differentialgleichungen erster Ordnung, wie das obige, durch Diffe-rentiiren undElimination derhihernDerivirten nuraufCombinationen derurspriinglichen Gleichungen fbrt, sonenne ichdasselbe einvoll- ‘standiges, und achlicsse dabei absichtlich den Fall nicht aus, woindem 272 —_—_XIV, Boweis des Fundamentalsstzes der Invariantentheorie, System selbst auch noch Gleichungen enthalten sind, welche ausandern linear folgen; solche Gleichungen nenne ichiiberziihlige. Befreit man einvollstindiges System von seinen iibersdligen Glei- chungen, 50Wirt esnicht auf, einvollstindiges ausein. Ein von allen tberzibligen Gleichungen befreites vollstindiges System hatstets soviel, und niemals mehr voneinander unabhingige Lésungen, alsdieAnzabl derVarisbeln, vermindert umdieAnzahl derGleichungen betrigt Istdaherineinemvollstindigen System:NdieAnsahtderVariabeln, MdieAnzahlderGleichungen iiberhaupt unddieAnsahlderitber-ssihligen, 80istdieAnsahl seiner voncinander unabhingigen Lisungen -N-M+p Wenn daher inobigem System von Differentialgleichungen die Anzabl derUberzibligen ist,#0folgt: 1)Die Anzahl der voneinander unabbingigen absolaten In- varianten vou F,d.idie Anzahl der ‘Transformationsrelationen ist (n,p)—12+4—o+4, also um gwEinheiten grisser alsdiedurch Abzihlen gefundene normalmissige;2)beiderTransformation vonFinF’kénnendabernt—pwCoefficienten vonF”willktrlich angenommen werden, und dann schon sind diebrigen bestimmt; 8)beidieser ‘Transformation bleiben »Substitutionscoefiicienten willkirlich. ‘Aus diesen Erérterungen inVerbindung mit den vorangehenden ‘ergiebt sich zurGentige nicht blos dieNothwendigkeit einer genauen Bestimmung derZahl »,sondern auch, dass hier derSchwerpunkt aller Zahlenbestimmungen der Invariantentheorie liegt Auf der andern Seite isteoklar, dass cine besondere Untersuchung Uber dieZabl w nur indem Falle dberfidssig sein wOrde, wodieGrundformen ent- weder unmittelbar ausdenurspriinglichen ‘Transformationsbedingungen, oder dureb directe Integration der partiellen Differentialgleichungen abgeleitet werden, weil nurineinem dieser Faille diegenaue Anzahl derTransformationsrelationen sich von selbst ergiebt. DieZabl 4kann durch dieLésung derAufgabe gefunden werden, n-nCoefficienten 40zubestimmen, dase fUrjede beliebige Function 12 EaDall Nullwird,indemgdieAnzahlderjenigen 4ist,welchehierbeiwill-kirlich bleiben. Vermége derWillkiirlichkeit von Iergeben sich hieraus (n,p)Gleichungen, welche man erhiilt, indem man nachein- ander 11durch die verschiedenen Coefficienten von Fersetzt. XUV. Bewois denFandamentalsstzes der Invariantentheorie. 273 Ware man imStande, unter diesen (n,p)Gleichungen irgend oine Gruppe von m-m Gleichungen zuermitteln, von denen sich beweisen lisst, dase ihre Detorminante vonNull verschieden ist,80wilrde jodes4=0folgen,alsoaufdemdirectesten Wegebewiesen sein,dass=Oist. Beieiner allgemeinen Begrindung derInvariantentheorie hindert aber nichts, dieanfvorstehende Artdefinirte Zabl yvorlinfig inder Theorie mitzufthren, bissich bequeme Hulfsmittel zuihrer allgemeinen Bestimmung darbieten, und diese finden sich, wiediefolgenden Be- trachtungen zeigen, firdiehomogenen Funetionen inder Lehre von den zugehdrigen Formen, welche den Beweis desSatzes, dass fiirp>2 sets w=0ist,ohne Schwierigkeit gostattet. . 1. ‘Wir setzen also voraus, dass dioBestimmung derCoefficienten 2 ‘sufwvoneinander unabhiingige Lisungen fubrt, ausdenen sich jede andere nach derFormel dam Dod ausammensetzt. Diese besonderen Lésungen 2{,unterwerfen wirmit Ricksicht aufunsere spitern Untersuchungen deroffenbar zulissigen Bedingung, dass sieausser Coefficienten von Fkein anderes willktr- \Tiches Element enthalten sollen. Bei dieser Voraussetzung echliesst man aus der oben nach- gewiorenen Anzahl absoluter Invarianten inbekannter Weise, dass die Anzahl voneinander unabhingiger Invarianten Uberhaupt a=—(yp)—m tet . ist, Dieser Schluss erleidet nur dann eine Ausnahme, wenn gar keine absolute Invariante existirt, also firp> 2nur, wenn n= 2,p= 3ist. Far diesen Fall hatHerr Aronhold durch Integration derDifferential- gleichungon gezeigt, dass eine einzige Invariante, also keine absolute existirt, weshalb indiesem Falle u=0ist. 2. Sei, mit den zugehdrigen Polynomialecefficienten (a,«,...) ge- schrieben, Fm8(e404...) gg...4%. - Umzugebirige Formen mitden Variabeln ,4,...zufinden, erhebt man dielineare Function U=12, +wz, -+-++ indiep*Potenz, und sucht Invarianten derhomogenen Function F+¢U?, wo¢einen con-HB.Ohsistottel, GasammeleADbandlangen. I 18 274 XIV, Bewois dea Fundamentalantzos der Invariantentheorie. stanten Parameter bedeutet. Istalso I7(ds,.,...) eine Invariante von F,und von den«unabhiingig, sowird bekanntermassen T=Ti(Gaye,...+tugsuge. .-) imweitern Sinne eine zugeh6rige Form, vornusgesetzt, dass 11’nicht von den Variabeln u,oder beiwillktlichen unicht vom Parameter ¢ unabhingig ist. Nun erkennt man durch Differentiiren sofort, dass, welche Function derCoofficienten von Fallein 17immer bedeuten mag, dieaus ihr abgeleitete 17’nur dann bei belicbigen Werthen deruvon ¢unab- hangig sein kann, wenn JIselbst von allen aunabbingig ist.‘Alsoliefertjedewirkliche Invariante IIvonFaucheineswirklichesugehirige Form I. Die Anzahl derinBezug aufdie»Variabeln uvoneinander un- abbingigen zugehGrigen Formen kann niemals gréseer als sein. Um dieFrage muentecheiden, wann diese Zahl erreicht wird, betrachten wirvorliufig den Fall, woFmindestens »vou einander unabhingige Invarianten 17,(ds,.,..) hat, ¢=1,2,..., Dann sind dieFunctionen T= T1,(dae,...+ tupsuge...) nach dem Vorangehenden wirkliche mu- gebdrige Formen. Wiren diese inBezug aufdieVarisbeln unicht unabhiingig voneinander, 90kénnte man eine Function fsowihlen, dass f(ITj, Ty,...1’) von denwunabhingig, also f(IT,, Ty,.--IZ.) wide. Dann aber ware dieser letztore Ausdruck nach dem Frihern vonallen Coefficienten derFunction Funabhingig, und II,,Il,...1, wiren keine voneinander unabhingige Invarianten.Ausnvoneinander unabhiingigen Invarianten erhdiltmanalsoauch‘neugehirige Formen,welcheinBesugaufdieVariabeln uvoneinander unabhiingig sind. Dies festgestellt, lisst sich leicht zeigen, dass furp>2,selbst unter derVoraussetzung, 4seinicht Null, diezugehdrigen Formen in dernormalmissigen Anzabl nvorhanden sein wirden, 4.h.dase unter denangegebenen Bedingungen dieAnzahl derInvarianten 9Sn ist. Wenn niimlich »vonNull verachieden ist,sotritt derungiinstigete Fall furdieErfullung der Ungleichheit @p)—w tet Sn cinflrp=1,was(mp)5(m—1)(m+2) giebt. Daferner dielinke Seite, sobald n> 1ist,wegen derGlei- chung(n,p+1)=(n,p)[i+=]mitpaugleich wichst,sotritt unter der Voraussetzung, dass p>2 sei, der ungtinstigste Fall ein XIV. Beweis des Fundamentalsatzes der Invariantentheorie. 275 firp=3,wasMOEROTDS 1042) giebt. Durch Beseitigung positiver Factoren kann man dieser Be- dingungdieForm (»—2)(n—3)50 geben, und dies istflrjedes ganzzahlige nderFall. 3. Durch Division mit einer Invariante kann man stets bewirken dass eine zugehdrige Form beim Usbergange muden transformirten Coofficienten undVarisbeln ganz ungeindert bleibt. Solche zugehdrige Formen sind durch dasGleichungssystem Da¥+zu—0 bestimmt.‘ ‘Man therzeugt sich leicht, dass auch diese Gleichungen einvoll- stindiges System bilden. Istdaher p,dieAnzahl der tberzibligen Gleichungen dieses Systems, soistdieAnzahl seiner voneinander un- abbingigen Lésungen: n+ (mp)—mtHy. Verwendet man aber zueinem vollstindigen System voneinander unabbingiger Lésungen dervorstehenden Gleichungen méglichst viel, also(n,p)—n'+ quabsolute Invarianten, sobilden diezurVervoll- stindigung desSystems erforderlichen Losungen einSystem von zu- gehdrigen Formen, welche inBezug aufdieVariabeln «voneinander unabbingig sind, undausdenen sich mitHinzuziehung vonInvarianten jede andere zugehdrige Form zusammensetzen lisst. DieAnzahl derinBezug aufdieVariabeln «voneinander unab- hngigen zugehdrigen Formen istdemnsch: nt h—e. Ware nun, immer unter derVoraussetzung p>2,derFall mog- lich, dass» von Null verschieden ist,sowiirde ausdem Schlusse des vorigen art. ane folgen. Lasst sich beweisen, dass hierin einWiderspruch enthalten ist,soistbewiesen, dass »nicht von Null verschieden sein kann. DerVoraussetzung gemiss ist4,dieAnzahl derjenigen 4,welche willktirlich bleiben, wenn man ausdem Ausdrucke ay BuDa? +Shae - 276 ‘XIV. Beweis des Fundamentalaatees der Invariantentheorie. allo Derivirten von ¥eliminirt. Da das erste Glied nur Derivirten nach Coefficienten von Fenthilt, somuss esfir sich verschwinden, also 4,,dieinart.1angogebene Form da Seely ac haben, wodieGréssen 4f,vonallen willktrlichen Elementen, nament- lich den uvillig freisind. DieuCoefficienten ¢milsson jetzt #0ge- wiblt werden, dass auch daszweite Glied identisch verschwindet. Man ethilt also diemBedingungegleichangen De Du-0 G=12...0) oF zwischen den4Grossen ¢,und eswird jetet dioAnzahl derjenigen «¢,welche hierbei willktzlich bleiben. Nimmt man aber an, seivon Null verschieden, somuss j= jt sein, also jedes cwillktrlich bleiben. Dies istnicht anders méglich, alswonn firjedes iund ¢ SH, -0 ist,und awar fralleWerthe derunabhiingigen Varisbeln 1,ty,..ty. Daaber dieCoefficienten 2°,vondenuvéllig unabbingig sind, 0miissen sieallo Null sein, was mit der Annahme, uscivon Null vorachieden, imWidersprache steht. Folglich ist,frp> 2,diese An- nahme selbst unzulissig. : Wenn aber p=0ist,soistumsomehr4,—0,dam+m,—p nicht grésser alsm,also, nicht grésser als sein kann. Da dics offenbar auch fardieDifferentialgleichungen derCovarianten gilt, haben wir also den zubewoisenden Satz: Die Ansahl dervoneinander unabhiingigen Incarianten sowie allerAibrigenGrundformen istfiirjedehomogene Function, derenGradgrésserals2ist,dienormalmissige. Zarich, 19.December 1867. Anmerkang. TnRandbemerkangenssines mehrfach erwihnten Handeremplars weist Christoffel selbst auf die Schwiichen des vorstehenden Beweisversuches hin. Xv. Theorie der bilinearen Functionen. (Goumal fardiereine und angewandte Mathematik, Bd.68,1868, 8,263—272.) Die inmeiner vorangehenden Arbeit firdiohomogenen Functi- onen bewiesenen Lehrsiitze lassen sich mit Leichtigkeit aufdenFall ‘susdehnen, wodiezutransformirende Function FinBezug aufpSy- steme von je»Variabeln linear und homogen ist,und Oberdies auf jedes Varinbelnsystem dieselbe lineare Substitution angewandt wird. Setzt man niimlich in#allediejenigen Variabeln einander gleich, firwelche dieselbe Substitution gilt, sogeht Fineine homogene Fune- tion @von derp**Ordnung und »Dimonsionen aber, welche, sobald p>2 ist,dienormalmissige Anzahl »voneinander unabhingiger zu- gehériger Formen besitzt. Diesezugehérigen Formen von®sindaber auch zugebdrige Formen von Fund nurinsoweit specialisirt, alssie dieCoefficionten vonFnurindenjenigen Verbindungen enthalten, zu denen diese sichbeim Ubergange vonderp-fach linearen Function F’ zurhomogenen Function ®vereinigt haben. Dahiernach Febenfalls dienormalmissige Anzahl nvoneinander unabhingiger zugehdriger Formen besitzt, soistbeiderTransformation von Fdurch das Resultat derselben die anzuwendende Substitution in- sofern vollig bestimmt, alssiekeine willktrlichen Constanten enthalten kann, Folglich sind such diedbrigen Grundformen indernormal- missigen Anzahl vorhanden, und die Anzahl der voneinander unab- hingigen Invarianton ist2.B.=n?—n?+1.Far denFall p=2verlieren diese Sitzo ebenso, wiebeidenho- mogenen Funetionen ihreGdltigkeit, nurdass dieErscheinungen, welche diese Ausnahmefille darbieten, und welche Uber die bier erwihnten ‘Transformationsprobleme hinaus zurallgemeinen Regel werden, bei denbilinearen Functionen vollstiindiger hervortreten, alsbeidenhomo- genen Functionen zweiter Ordnung. Die Frage nach den Grundformen einer bilinearen Function F=S(9h)z,u5 (Qh 1,2,..-0) 278 XV. Theorie der bilinearen Functionen. erledigt sich ameinfachsten durch diewirkliche Darstellung derselben. Wirwerden inart.1firdieFunction ¥imGanzen [‘*]absolute In- varianten'), Ee)zugebérige Formenundebensoviel Covarianten dar- stellen. Aus ihrer Bezichung zum Transformationsprobleme wird dann zuniichst derNachweis gofthrt, dass diese Formensysteme vollstindig sind. Dass sieauch von tbersibligen Formen freisind, also nurvon- einander unabhiingige enthalten, ergiebt sichdann durch folgende Ober- legung. Die wirkliche Anzahl Idervoneinander unabbingigen absoluten Invarianten istunter allen Umstinden gleich der normalmissigen, vermehrt umdieAnzahl wvon Substitutionscosfiicienten, welche bei iner culissigen Transformation von Fwillkrlich bleiben; flrdiebi- linearen Functionen istalso I=. Diestets zulissige Transformation vonFinsichselbst(art.IL)zeigtaber,dassallgemein o-(F], also gleich istderinart.I.gefundenen Anzahl von absolaten Invarianten. Folglich istdieses Formensystem nicht nur vollstindig, sondern such frei von Uberzibligen Formen. Daraus ergiebt sich dann nach dem inmeiner vorigen Arbeit benutzten Prinzip, dass diesusdiesem Invariantensysteme hervorgegangenen zugehdrigen Formen und Co- varianten, soweit sich solche wirklich ergeben konnten, ebenfalls von- einander unabhingig sein missen. Dies festgestellt, ergiebt sich mittelst desvon Hern Aronhold gelehrten Verfahrens firdieabsoluten Invarianten ITvonFsehr leicht dasSystem vonnnDifforentialgleichungen (4) Dall =0, wo om om Dy=ZheFh)+505OF] ist,und welchem alle absoluten Invarianten und nursolche gentigen. Dieses System istein vollstindiges. Bezeichnet man nimlich, wasbeiallen Untersuchungen dieser Artgrosse Vortheile gowahrt und imFolgenden beibebalton wird, durch dasZeichen dieNull oder Eins, jenachdem &voniverschieden oder ihm gleich 1)Uatar[2]wirdimFolgvodon stediegrtteineothaltone guase ‘Zabl verstanden. XV. Theorie der bilinearen Functionen. 279 it,sofindet frjede Fonction derCoefficienten vonFdieidentische Gleichang (B) Dj,Dall—DaDysT= ({)Dy(3)Dyal statt, wolche Herr Clebsch bereits im65% Bande dieses Journals pag. 268 fiirdiehomogenen Functionen, wenn auch inverschiedene Fille zerlegt, anfgestellt hat; dieselbe hatganz allgemeine Guiltigkeit. Siezeigt, dase jede Gleichung, welche aus dem System (4.) durch Differentiiren und Elimination derhaheren Derivirten hervorgeht, auch ‘ausGleichungen desSystems linear zusammengesetzt werden kann. . Daaber imSystem (4.) dieAnsabl derVariabeln mitderAnzahl derGleichungen Gbereinstimmt, soistdieAnzahl »dertbersihligen Gleichungen dieses Systems gleich derAnzahl seiner Lésungen, also «-[F) wihrendesflrp>2stetaNullist.Fardieaugekirigen Formen¥unddieCovarianten ®exgebensich, wenn jede durch einegecignete Invariante dividirt wird, dieGleichungs-systome °© Da¥+Fam=0,Dad252—0,- deren Vollstindigkeit man leicht boweist. Disselben sind ausserdem yon Aberaibligen Gleichungen frei. InderThat istdieAnzahl der Lésungen desersten Systems, nimlich dersbsoluten Invarianten und mugebdrigen Formen zussmmengenommen, —(]+["t*]—n, also dienormalmissige; dasselbe gilt vom andern System. Far dieZwischenformen @erhilt man, wenn jede durch eine ge- cignete Invariante dividirt wird, dasGleichungssystem Dy@+ ou—2380. Daseelbe isteinvollstindiges, und wieausdem flrdieSysteme (0) geflhrten Beweise hervorgebt, von dbersibligen Gleichungen frei; die Anzahl seiner voneinander unabhiingigen Lésungen istdaher 2n. ‘Verwendet man aber zueiner vollstindigen Lisung dieses Systems miglichst vielabsolute Invarianten, zugehérige Formen undCovarianten, s0bleiben 2n—[2]—2-["F*]=[2] cigentliche Zwischenformen ‘brig, welche 1)mitden zugehdrigen Formen einSystem vonninBerug auf dieVarisbeln w, 2)mitden Covarianten einSystem von ninBezug sufdioVa- riabeln z, 280 XV.Theorie derbilinearen Functionen. 8)mit beiden und den abscluten Invarianten einSystem von 2n inBezug aufdieCoofficienten vonFvoneinander unabhingigen Funetionen bilden. Diese[*]Zwischenformen bilden alsocineselbstindige Gattung von Ausdriicken, indem siesich aus den fibrigen Grundformen nicht zasammensetzen lassen, und begriinden insofern einen derwesentlich- sten Unterschiede zwischen den bilinearen und den Functionen von hohern Ordnungen. InderThat besteht auch flrjede dieser letatorn einSystem von 2nZwischenformen, welche inBezug sufdieVaria- beln 2und wvoneinander unabhingig sind. Verwendet man aber zu einem solchen System vollstindige Systeme von zugehdrigen Formen und Covarianten, sobleibt keine Zwischenform mebr dbrig, woraus hervorgeht, dass indiesem Falle jede Zwischenform auszugehdrigen Formen und Covarianten zusammengesetzt werden kann, vorausgesetzt, dass diese simmtlichen Formen durch Division mit einer Invariante in dermebrfach erwahnten Weisemodificirt wordensind,worumanstetsmit,inund derselben, nicht absoluten Invariante undihren Potenzen ausreicht. Der Grund von dieser und jeder andern Abwoichung derbilinearen Fanetionen vom Verhalten der Functionen héberer Ordnungen liegt darin, dass fr dieletztern dieoben durch ubereichnete Zahl stets Null ist, und osgeht hieraus hervor, dass neben derHerstellung der Grandformen sich beiden bilinearen Funetionen noch folgende beiden, bei der hier vorauegesotzten Gattung von Transformationsproblemen frsieallein existirenden Aufgaben darbieten: 1)Die Transformation einer bilinearen Function insich selbst und der Nachweis der willkirlichen Elemente in der hieraus ent- springenden Substitution; 2)derdirecte Nachweis derjenigen [4]Gleichungen, welche im System (A.) Ubersihlig sind. Wegen derHalfsmittel, welche heiderHerstellung derGrund- formen benutzt werden, und derAnwendung derzugebdrigen Formen zurBestimmung derSubstitution verweise ichaufdiefundamentale Abbandlung desHerm Aronhold im62" Bande dieses Journals. LDie Grandformen der bilinearen Function F. Man verificirt leicht, dass die Determinante P=E+(11)(22)...(nn) demGleichungesystom ; DyP=2 ()? XV. Theorie der bilinearen Functionen. 281 Gentige leistet;alsoistPInvariante vonF,undwenn¢diestetsvon Null verschiedene Substitutionsdeterminante bedeutet, dieTransformirte von P PimrP. Dies festgestellt, sei§dieausFdurch Vertauschung derVariabeln- aysteme hervorgehende bilineare Function, F=SGh)y,2 =S(hg)z,y- Dabeibeiden Variabelusystemen dieselbe Substitution vorausgesotat wird, sohat§dieselben Invarianten wieF,und alle simultanen In- varianten von F’und sind zugleich Invarianten von F.Dasselbe giltdemnach auch von den Invarianten derFunction 1F' +, #0- lange 4,4constante Werthe haben. Setzt man daher denCoefficienten von2,y, indieser Function, nimlich Ah) +w(hg) =[9h], sofolgt, dass auch E+[11][22]...[on]=1,w) eine Invariante von Fist, und zwar flr alle constanton Werthe von 2 und y. Far dieAnwendungen dercugehirigen Formen istesndthig, die einfachen Voraussetzungen derEinleitung 2uverlassen, und statt der Variabeln uallein zwei Varisbelnsysteme einzufthren. Wir suchen demnach simultane Invarianten von 1F+i mitdem Producte zweier Jinearen Funetionen U—u,z,, U’— Eujy,, also der bilinearen Function U,=Su,u,z¥y ‘Aus dem Vorangehenden ergiebt sich dieInvariante [UI]+amu,[12]+amu,| |iem(22)bans,...} welche fra=0in11(2, u)Ubergeht. Dieselbe istinBezug auf« linear und bleibt ungeindert, wenn man 2mit »und augleich das System derVariabeln umit dem derw’vertanscht. Setzt man sie =IIA,4)+aP(A,u;uw’),sobutauch¥diezuletzterwibnteKigen- schaft, und eswird, wenn durch 1,(2,#) dieauseiner Aenderung desElementes [gh] entepringende Unterdeter- minante von I1(2,4)bezeichnet wird,diegesuchte zugehdrige Form(a,wsHW)=ST1,(2,HH, 282 ‘XV.Theorie derbilinearen Functionen. alsoeinebilineare Function derVariabelnsysteme u,’.InDeterminanten- form wird |Ow mo. | _.—u, (11) [12]... [In] CA,wy,#)—|—uy (21)[22]... [2n]}- 4[m1][»2]...[nn] Um bilineare Covarianten zuerhalten, setzen wir oF oF fenXeEk und suchen simultane Invarianten von AF+«§mitdemProducteder linearen Functionen 2X,y,, 2¥,z,, indem wirdieCoefficienten X,¥ wieConstanten behandeln. Das Vorangehende zeigt, dass diehieraus fliessenden Covarianten erhalten werden, wenn man inWjedes u,u’ durch dasentsprechende Y,Xersetzt; also ergiebt sich dieCovariante (2,u;9)=P(A,w;¥,X). Was dieBezichung zwischen diesen und ihren Transformirten be- trifft, sofolgt ausderGrandeigenschaft von P,auswelchem dieVor- stehenden alsEntwicklungscoefficienten entspringen, T=, =P, W=ro. Wir werden nun zuniichst zeigen, dass diese Gleichungen firdie ‘Méglichkeit derTransformation vonFinF”und dieBestimmung der dies leistenden Substitutionen nicht bloss erforderlich sind, sondern auch hinreichen, sobald siefiralle Werthe von 4und merfullt sind, d.bh.dass dievermige derWillkirlichkeit von 4und mausII,¥,® hervorgehenden Formen hinreichen, umausihnen jede andere Form derselben Art zusammenzusetzen. InderThat wird fitr141, «0 identisch ®—I7(1,0)F, also ©=11'(1,0)F" und 11'(1,0)F’=r11(1,0)F,endlich,weil17’(1,0) =r'II(1, 0)ist,F’=F,w.2.b.w. Dass inderGleichung PJ]=PJ’allefirdieMéglichkeit der ‘Transformation vonF'inF”erforderlichen Bedingungen enthglten sind, hatzuerst Herr Kronecker inseiner Abhandlung tber diebilinearen Funetionen von gerader Dimension n')durch directe Transformation derselben ineine Normalform bewiesen. 1)Monateberichte der Berliner Akademie, Sitzung v.15. October 1866, pag. 601 XY. Theorie der bilinearen Functionen. 283 Um dieAnzahl derFormen zuObereehon, welche inobigen Aus-ArickenwegenderWillktrlichkeit von4unduenthalten sind,sotzenwir H+ (creco)ay OE =bay woraus allgemein Gm eutea Suma On= 8a folgt. Wird alsdann noch . Atuems, t-p=t, also [6k]=86,+ty ‘ gesetzt, 20wird .ow «, see wa|—% 0 86,+18... ty86418, 80 a( woraus JTdurch Woglassung desausden uund u’gebildeten Randes erhalten wird. Vertauscht man nun 4mit#,und jedes umitdem entsprechen- den uw’,80wechselt¢seinZeichen,s,IZund¥bleibenungedndert. Danun JTvon den Variabeln u,w’unabhingig ist,cohat seine Ent- wioklung dieForm T=I+*8TL, +8-H, +, wihrend, wenn entwickelt te et eee A ist,dioEntwicklungscoefficionten ¥,bilineare Functionen derVariabeln 1,w’sind, welche beiderVertauschung derbeiden Variabelnaystome entweder ungelindert bleiben, oder nur ihre Zeichen wechseln, ersteros beiungeradem, letzteres beigeradem 0. Setzt man daher, umden inderEinleitung vorausgesetzten Fallzuerhalten, jedesw’dementaprechenden ugleich,sofallenalle¥, mitgeradem Indexweg,undosergeben sichnun["+]Invarianten, [£7] mgehorige Formen miteinemeinsigen Variabelnsystem, also ebensoviel Covarisnten derselben Art, aus denen alleFormen gleicher Gattung zusammengesetzt werden kénnen, Dass sieauch voneinander unabhingig sind, liset sich ausderEinrichtung derElémente von erkennen, wird sich aber auch imfolgenden art.ergeben. ‘Von denbesonderen Fillen, welche sich hier darbieten, und welche allosufbekannte Determinantensitze hinauskommen, heben wireinen 284 XY. Theorie der bilinearen Functionen. desFolgenden wegen hervor. Fur einungerades »wird nimlich ¥,, wie man aus dem Ausdrucke flr ¥erkennt, wenn man ¢—0, t—1 setzt, dasProduct auseiner linearen Funktion der uund dernimlichen Funktion mitdenVariabeln w’.Folglich kann diebilineare zugehdrige Form ¥,durch eine inden lineare ersetzt werden, welche wirdurch (uw)bezeichnen werden, sodassB,—y(u)y(u’) wird. IL Transformation der bilinearen Function Finsich selbst. Sei aSb WZ dieSubstitution, durch welche Fin F=S(ghyny ‘ubergefthrt wird, und 4Dah dieindenzugehdrigen Formen auszufdhrende transponirte Substitution, welche fiirbeide Variabelnsysteme deruund w’gilt. Soll nun allgemein (ghy=@h) sein, also durch dievorausgesetzte Substitution Finsich selbst mit andern Variabeln transformirt werden, sofolgt aus der Gleichung T'= IT, dass fel sein muss. Der bessern Uebersicht wegen setzen wirvon hier an At+p=s—1, l—-pt, wodurch dieGrundformen J1(4,u), W(A,u; u,v), O(a, a; 2,9)in Funetionen von¢tibergehen, welchewirdurchI7(t),¥(t;u,u’),(¢;2,9)bezeichnen, undvondenendieersteeinegeradeFunction von¢ist.Beim obigen Werthe von +?ergiebt sich flr diezugehdrigen Formen dieGleichung () Bt; 0,0) —P(t; ww) oder ZAM ~ZNO, welche firjedes ¢erfullt sein muss, Wir beweisen zuniichst, dass ausdieser Gleichung stets r*—1folgt. Vergleicht man niimlich beiderseits dieCoefficienten vonuu,, 80folgt ST,Oe =Tas SMOeyeald XV. Theorie der bilinearen Functionen, 285 und wenn man mittelst dieses Ausdrucks die von Null verschiedene Determinante E+I,;My...II,,bildet,*—1,wieerforderlich ist. Dies festgestelit, istesnothwendig, diebeiden Fille zaunter- scheiden, womgerade oder ungerade ist. TmerstenFalle, n=2m,istderGradvon¥inBezugauf¢um eine Einheit Kleiner, alsderGrad vonJT.Schliesst man nun denFall aus, wonicht alle Coefficienten von Fwillkirliche und voneinander unabhingige Werthe haben, sohatdieGleichung I(f) =0mLésun- gen #=o!,f= o},... =o}, dieallevoneinander verschieden sind. Dividirt man jetzt dieGleichung (1.)durch I(t), 80ergeben sich susihrdurch Zerlegung inPartialbriiche zwei Systeme vonjemGlei- changen, welchedenWurzelfactoren t—,, ¢+©,entsprechen, und dieGleichung (1.)véllig ersetzen. Der erste Wurzelfactor liefert die G@leichung ZMs(0) 4H,—FM) beachtet man, dass 17,,(—«,) =—II,,(o,) ist,soergiebt sichausdem andern Wurvelfactor dieGleichung 21,,(0,)0,%, =51,(0,)4,%- ‘Multiplicirt man mit 17,,(@,), wokeinen beliebigen Index bedeutet, 80zerfallen die vorstehenden Ausdriicke inLinearfactoren 2) SMO), FMI SMO), SMa), 8)3M,(0%,SM(o)%,— FM,(0),SMalo. ‘Dajedesv,lineare Function derwallein,undjedesvdieselbe Func-tion derw’allein ist,80folgt aus(2.) 2Mo)0,=4,21(0,)H) SMe), =EBM), woalleawillkiirliche Constanten undoffenbar vonkunsbhingig sind. Vertauscht man hier dieVariabeln «und w’,sovertauschen sich ‘auch die und o',und esfolgt, dass dieGleichungen (3.)von selbst befriedigt sind. Also haben wir zur Bestimmung dergesuchten Substitutionen, durch welche beigeradem m—2m die Function Finsich selbst ‘transformirt wird, die2mGleichungen 286 XY. Theorie derbilinoaren Functionen. ZArlo)(o,— 4.4)=0, 2M,(o)u,—42,)=0, indenen derIndex &gleichgtltig ist,und durch jeden andern ersetzt werden kann. Zor Bestimmung der inversen Substitution erbilt man ihnliche Gleichangen. DadieDeterminanto dioser Gleichungen, wieman durch Bildung derselben leicht findet, von Null verschieden ist,sosind die Unbekannten ©alslineare Functionen derwmitdenm—[7] will- Kiirlichen Constanten abestimmt Foreinungerades »—2m+41sind¥undITvomnimlichenGrade in¢.Folglich liefert diePartialbruchzerfillung indiesem alle 1)einSystem von 2mGleichungen dernimlichen Form wie dasvorstehende, und 2)nach derBezeichnung amSchlusse desvorigen art,noch dieBedingung ¥,(0, 0’) —¥,(u, 1’),welche durch dieein- fachere y(v)—r-y(u) ersetzt werden kann, unddsher keine willktr- liche Constante indiegesuchte Substitution einfuhrt. Folglich ist indieserdieAnzahl derwillktirlichen Elemente wieder m—[]- Die Anzahl der willktrlichen Substitutionselemente stimmt daher inallen Fallen mit derAnzahl von absoluten Invarianten dberein, die sich imvorigen art.ergeben haben, und esisthiernach dieses In- variantensystem nicht blose vollstindig, sondern such frei von dber- ahligen Formen. Dasselbe gilt daher auch, wie schon bemerkt wurde, von den Obrigen Formensystemen. IIL Transformation von Finspesielle Formen. Fur dioTransformation von Finirgend eine gegebene Form F” haben wirdemnach dienothwendigen und ausreichenden Bedingungen TQ, w)=PG, w), (A,nj0,})BA, ww,w), HG,nBn) 08,u29), von denen dieerste diesimmtlichen Bedingungen flrdieMoglichkeit der Transformation enthilt, die xweite die directe und die dritte die inverse Substitution liefert, Wir stellen unsnun dieAufgabe, dieSubstitution so2ubestimmen, dase F’ incine Summe von mbilinearen Functionen XY. Theorie der bilinearen Functionen. 287 Ai SHY Em, (9h=1,2,...m) fi=SGhY EM, (Gh—=my+1,9,+2...) f= SGhY Ey Gp—thy +1,yg +2,«2) zerfillt, welche sogewiblt sind, dass einVariabelnpaar ,,7,,welches ineine von diesen speciellen Functionen eingeht, inkeiner von den tbrigen mehr vorkommt _ ‘Aufdieselbe Weise, wieinart.I.17(2, 4)ausF,(i,q, uw) und (i,u,z,y)ausIT(,q) abgeleitet wurde, leitemanausjederder vorstehenden, einer geringern Anzahl vonVariabelnpaaren entsprechen- denFunctionen eine Invariante, rugehrige Form und Covariante ab, welche fardieFunction 7durch ,(1, 1),¥4(2,a©,0°),a(t,my&,0) dezeichnet werden sollen. Dann wird offenbar flr die Function dieInvariante Aithiteothe A(A,B)=(4, #)(2, #)---em(A, Ht), wibrend, dieHerleitung von ¥und @ausITsofort erkennen lésst, dass Fdwie,2) pans®8) ci ae #00 ED) elms Be) Se ee eC it. Setzt man diese Ausdriicke den derurspriinglichen Function F entsprechenden gleich, und zerfallt beiderseits inPartialbriche, sozer- fallen diehier auftrotenden besondern Werthe derFunctionen ¥,,,) ¥,®nach dem vorigen art.inLinearfactoren, und esmuss nunjeder solche Linearfactor dereinen Seite einem durch dieBedingung eines gleichen Nenners und entsprechender Varinbeln vollig bestimmten Linearfactor auf derandern Seite proportional gesetzt werden. Wir verfolgen dies nicht weiter, und ziehen aus dem Voran- gehenden nur noch diefolgende Bestimmung aber diezulissigen Di- mensionen dereinzelnen Functionen 7. Setzt man wieder i+p—s—1, 1—p=t, 0werden beide Seiten derflrdieMéglichkeit derTransformation nothwendigen und ausreichenden Bedingungsgleichung ATCA,B)—H(A,)ta(A)«+HayB) ganze Functionen von ,und dielinke Seite sowie dieaufeinander- 288 XY. Theorie der bilinearen Functionen. folgenden Factoren derrechten inBezug auffvomGrade(F),(i) (ho) [e2)- Damit dieseGleichung beiwillkitrlichem ¢ durch geignete Wahl derFunctionen f,’befriedigt werden kine, ist esalso erforderlich, dass beide Seiten inBezug auf#vom nimlichen Grade sind, also m= My =m-1]T+Pat)+-+P)-(9] ist, Bezeichnet aber «dieAnzahl derjenigen Functionen /;,welche von ungerader Dimension sind, soistdielinke Seite offenbar an unddarausfolgt,dassunterdenFunctionenf,’,fy,...[4sichfiirein geradesnkeine,fiireinungeradesnnureineeinzigevonungeraderDi- mension befinden darf. Istdiese Bedingung erfullt, soistdieverlangte Transformation von Fstets méglich. Nimmt man daher, umdiegrisste Vereinfachung zuerhalten, die Dimensionen simmtlicher Functionen fsoklein wiemoglich, sozer- fillt1”foreingerades nincineSumme von[}]biniren Functionen, wozu flreinungerades mnoch eineingliedriger Ausdruck kommt. Der erste von diesen Fallen liefert die von Herm Kronecker inder oben erwihnten Abhandlung zuerst eingefuhrte Normalform. IV. Die Zwischenformen und die tibersihligen Differential- gleichungen der absoluten Invarianten. Um eine gréssere Anzahl von Zwischenformen ruerhalten, aus denen sich dann dievorgugsweise charakteristischen zusammensetzen lassen, suchen wir mit Ausscheidung von friher bestimmten Formen simultane Invarianten von AF+w= S[oh]2,y, mit den linearen Functionen U=Zu,z, V=EX,y, W= Ey, indem wir schliesslich - oF aX=oyBay, sotzen, wodurch Vund WinFund §tbergehen. Vermehrt man also inI(2,z)jedesElement [gh]um = au,X,+Bu,E,+rd,+0m,X,, XY. Theorie der bilinearen Functionen. 289 entwickelt dann nach Potenzen von «,B,y,,soergiebt sich TQ,#)+28,+96,+78,+80,4-, wo die Entwicklungscoefficienten der linearen Glieder, welche wir allein berticksichtigen, dieAusdriicke 6,=SI, 4,Xy 8,=STy- 4B, 6,—SI1,,-4,E,, O.= ST, 4X, haben und eigentliche Zwischenformen sind. Zwischen diesen vier Formen bestehen einfache Beziehungen. ‘Zonichstbemerktmanleicht,dassdurchVertauschung von4mit» ©,mit @,,©,mit6,vertauscht wird. Sodann ergiebt sich 26, +40,—1-U, 16,4 20,— 1-0. Setzt man daher 40,4 20,— 10+ 6, so wird 20,+20,—1U—8, und @eine neue Zwischenform, welche aufdoppelte Weise dargestellt werden kann © 1(6,— 6)=#(@—6), ‘also durch 2utheilbar ist, und dberdies durch Vertauschung von 4 mitwnicht gelindert wird. Hieran knfpfen sich nun merkwirdige Resultate. Ersetet man allgemein z,u, durch DyF =2,2F4,27Fm 255 +My, (vergl. dieEinleitung), undbezeichnet das,washierdurch aus@,wird, darch @,(F), 80folgt, weil Uin2Fthergeht, 10,(F) +4O(F) -21F+6(F), 40,(F) +46,(F) =2UF—@(F). Nun istin26,+4,derFactorvonJI,,gleich au,X,+wa,X,—Sainz, +wlig)ems derselbe geht durch dieangegebene Substitution ber in SUD, F+wi)Da. Indiesem Ausdrucke findet sich derFactor von2,y,ohne Schwierig- R.Monriatettet, QuamncleAShandiengen. ra 290 XY.Theorie derbilinearen Funetionen. keit—(ih)[9k]+(ig)[KA];alsoistin26,(F) +¢@,(F) derFactor von2,%, gleich $11,,(M [9k]+Gig{kh}—2IT- (), mithin 26,(F)+4O(F)=2IF, @(F)=0, 26,(F) +#6,(F) =211F. Die zweite von diesen Gleichungen liefert den Satz: Istdieobige Zwischenform: O=Shut, $0ist identisch ZADaF=0, alsoauchfiirjedebeliebige Function PderCoefficienten vonF Zh DaP =0. Diese Gleichung enthilt dievollstindige Losung derAufgabe, dietiber- zabligen Differentialgleichungen derabsoluten Invarianten zubestimmen. ‘Da nimlich 6,—Oy=SMX, —ME), und ©=1(6,—@,)ist,80folgt 4a=LZ(MM, —HT,)- Einen andern Ausdrack erhilt man aus derGleichung ©=4(@,—®,), nimlich y=weS(M,— G)T,)- Diehalbe Summe beider ergiebt endlich diesymmetrische Darstellung 1 Sgq) 2 an Aa5(Osan) —9sa) Setzt man nun T=Tigi+Tat Mighty +o+Tye, sofallen aus 4,,diemit 4*und u*multiplicirten Glieder fort, wie man leicht verificirt, und auch aus dem Umstande schliesst, dass ©, mithin auch 4,durch Aptheilbar ist,sodass inderEntwicklung von 4,nur (n—1) Glieder dbrig bleiben. Da aber allgemein 1,_,~ I,ist,soerhalt mannur"+ verschiodene Glieder, wenn (n—1) gerade, undnur*Glieder, wenn(n—1) ungerade ist,slsoall- XV. Theorie der bilinearen Functionen. 291 gemein ealverschiedene Lésungen derAufgabe, dien-nCoefficienten 2,, 0mubestimmen, dass ZADuP firjede beliebige Function Pverschwindet. Dadurch sind ebensoviel Gleichungen desSystems DyP=0 alslineare Folge der tbrigen nachgewiesen, was direct bestatigt werden sollte. V.Bigenschaften der2,,. Durch das Schlussresultat des vorigen art. erlangen dieCoeffi- sienten derspeciellen Zwischenform @einselbstindiges Interesse, wos- halb wirzum Nachweise ihrer Eigenschaften Ubergehen. Da6(Z,«)Entwicklungeglied einer Zwischenform IIist,welche derGleichung 11’=r'ITgentigt,soistunterVoraussetzung derin art,ILangegebenen Substitution 65,0) —FO@,u), ‘und esgentigt hiernach dem System partieller Differentialgleichungen 20 26_ot Dy@+Fu,=%gu,72(4)8 daseelbe gilt von jeder der vier Zwischenformen, pus denen @2u- sammengesetzt wurde. Seinun 2/,das, was aus2,,wird, wenn jeder Coefficient von F durch den entaprechenden Coefficienten dertransformirten F”ersetzt wird, alto @(z,u)—5%,21,; dann folgt ausderersten Gleichung DHE PTAaTMa: ‘Nimmt man beiderseits dieDerivirte nach&,und»,,#0folgt,weilFenty amy_Dl0Brist 47Gay aingeBen? Denpenbe SetztmansodanndenAusdruck von6indieDifferentialgleichungen ein, 80folgt Dadyr=2(i)bya(i)duct(8)de Istdaher Pirgend eineFunction der2,alsoauchderCoefficienten aw 292 XV.Theorie derbilinearen Functionen. von F,s0folgt 4) ap ap apDuP=2(i) SanctatDi(GayaAats,): Wenn daher Phomogen istund dem Gleichungesystem aP aPBare Med)? gontigt, s0istescine Invariante vonF.DieBedeutung dieses Resul- tates wird sich ausdem Folgenden ergeben. VI.Ueber die den Zwischenformen cigentiimliche Substitution. Nach dem Vorangehenden ist@(z,%) eine bilineare Function, deren Transformation sich von der frither betrachteton dadurch unter~ scheidet, dass dieaufdiebeiden Variabelnsystome anzuwendenden Sub- stitutionen nicht Gbereinstimmen, sondern zueinander transponirt sein sollen. Seiallgemein G=S1,,2,% eine solche Function, welche durch diebeiden Substitutionen 2Dib So in =81,,8,0, ‘bergeftbrtwird. Vermége der @leichung G’=GfolgtausderLehrevonden Zwischenformen, weil * ae ae_aeDini a. Dies festgestellt, seiITeine Function derCoefficienten vonG;dann ist am ar paw or ae ae80, [hoe—eda am ypam 2Gitahes) XV, Theorie der bilinearen Functionen. 293 Wenn dsher diorechte Seite dieser Gleichung flrjedes iundkver~ schwindet, soistITabsolute Invariante von G,und umgokebrt. Dieabsoluten Invarianten von G,unter Voraussetzung obiger ‘Transformation, sind also durch dasGleichungesystem an an 4) bull=SO(FibabeGh)7° definirt, und esliest sich nunzunichst leicht zeigen, dass Gbeiobiger ‘Transformation auch nur absolute Invarianten besitzt. Um dios sabeweisen, setzo man dierationale Funetion 11gleich dem Quotienten aus zwei von gemeinsamen verinderlichen Factoren bofreiten ganzen Funetionen. Dann erhilt man nach bekannten Schldssen fardiese einSystem von Differentialgleichungen bP =enP, wo’dieFactoren ¢simmtlich constant sind, Wir werden nun zeigen, dass diesolben alle Null sein mtssen, woraus dann der vorstehende Sate folgt Aus derDefinitionsgleichang 2G 26 8G=155—5u,Me sicht man leicht diefolgende @) 8nbaG~648.6=(Ou=(2)8.8, welche nun auch firjode belisbige Function Pgilt. Aus denobigen Differentialgleichungen folgtjetzt0—({)eu?—(en? also,wenn nicht P—0ist,waswirausschlicssen, ({)¢,4—() ey»woraus all- gemein e,—(;)@, mithin 3,P—(})P folgtDaaberidentisch 54,,P =0ist,sofolgtendlich 9=0,w.2b.w. Vergleicht man diese Resultate mit dem Schlusso desvorigen art., 0folgt, dass jede Invariante ciner bilinearen Zwischenform von F, mit Racksicht auf die den Zwischenformen eigenthimliche Trans- formation gebildet, auch Invariante vonF’selbst ist. Esistsehr leicht, Invarianten von @zuerhalten. Sei H=SG,,z,%, eine derselben Transformation wie Gunterworfene Function oder —@ selbst. Dann istnach art. V. 294 XV.Theorie derbilinearen Functionen. atogr a atogrGaStee? ‘mithin io «a,Steer, 2)Dia $(Bou) 4Fer __Wenn daher eine bloss ausCoefficienten von Ggebildete Function (i) dieHigenschaft hat, dase AG) =f) ist,soistauch t(24.6.,) =(31.6): Nunfindet manleicht, dassS%,—5%,, ist;nimmt man daher das erstemal HG, und dann neue, sich von selbst ergebende Formen firH,soerhilt man folgende Reihe von Invarianten von G,die nach dem Obigen simmtlich absolute sind: Shy Diba (D)it ” THe DDalasha U8 Wwos Ein zweites Verfahren ergiebt sich ausdenDifferentialgleichungen (4). Danimlich ausdiesen 28,00 am ‘aam b)OT“the~2a(ai,)+(eat(i)at folgt,soist identisch aaqn anDie ba Bin) ‘Wenn daher Ieine Lisung desSystems (A.) ist,soistauch enme eine solche, und hieraus kénnen durch Wiederholung noch weitere Lésungen 0017=6°11,6°11u.8.w.folgen. Nunbestiitigt manohneWeiteres, dass4—5+Ii---lyq don XV. Theorie der bilinearen Functionen. 295 Gleichungen (4.) gondgt. Folglich worden dieselben frjeden con- stanten Werth von «auch befriedigt durch tyehyveh| . byathe |ee, : | Waydaaeelaw | worin moffenbar voneinander unabhingige Lésungen enthalten sind. DieWarzeln derGleichung 4(a)—0 sind ebenfalls Invarianten ‘on G,wieman mittelst derDifferentialgleichungen (A.), denen 4(«) und seine nach «genommenen Derivirten firjedes «gentgen, leicht destitigt. Zwischen diesen Wurzeln und den unter (D.) angegebenen Invarianten besteht ein sehr einfacher Zusammenhang, den zuerst Herr Borchardt (Bd. 30dieses Journals pag. 38)gefunden hat, und wolcher sich auch aus dem Folgenden ergiebt. ‘Wir werden nimlich zeigen, dase dievorausgesetzte Substitution steta sogowihlt werden kann, dass G’dieForm @=Soar, annimmt, und dass alsdann dieCoefficienten @dieWurzeln der Glei- chung 4(x)—0 werden. Istdies bewiesen, #0wird 1,—0,= 0, und dieunter (D.) gegebenen Invarianten werden: Bh SliZo,Dhabi Zor,Dhalsbi— Lo’,vs. Daallgemein Ban Zehr$ 7 ist,soistzurAusfubrbarkeit obiger Transformation von Gflrjodes + dasGleichungssystem Peal 0% erforderlich. Also missen dioGréssen @dieWurzeln derGleichung 4(@)=0,oderesmussidentisch 4(@) =(@,—4)(0,—«) ...(@,—a) sein. Sind die@dieser Bodingung gemiiss gewihlt, solassen sich die ‘Tronsformationsbedingungen flrjedes ibefriedigen. Daraus folgt aber, dase in(a) allevoneinander unabhingigen Invarianten von @ enthalten sind und dioAnzahl dereelben nist. Endlich folgt firdas System (4.), dessen Vollstindigkeit durch dieGleichung (B) nach- 296 XV. Theorie der bilinearen Functionen. gewiesen ist,dass dasselbe genau ndberziblige Gleichungon enthilt. InderThat findet man leicht, dass derAusdrack ZHdal flrjede Function 17verschwindet, wenn man dieCoefficienten »aus einer derfolgenden Gleichungen wilt: ta(i) Baha HR Zhao we Dhl uaw Die invariantiven Eigenschaften dieser cbenfalls zuerst von Herm Borchardt (inderoben erwihnten Abhandiang) eingefthrien Aus- Articke ergeben sich ohne Weiteres aus(C.). Mittalet derselben findet manleicht,dassallgemein ‘7’derCoefficient vonwrinderab- steigenden Entwicklung von _Blog(2)Bh ist. BeiderWichtigkeit derAusdricke y,,flrdieUntersuchung der Gleichung 4(a)=waresnichtohneInteresse,dieeigenthimliche Bedeutung nachruweisen, welche ibnen inderTheorie derbilinearen Fanctionen zukommt. Zurich, 27.December 1867. XVI. Allgemeine Theorie der geodatischen Dreiecke. (Mathematiache Abbandlungen der Koniglichen Akademie derWinenschaften 22 Berlin 1868, 8.119-176.) Die vorliegende Abhandlung beschiftigt sich mitderallgemeinen ‘Theorie geoditischer Dreiecke, ohne irgend eine boschrinkende Voraus- setzung aber dieLingo ihrer Seiten oder dieOberfliche, inwelcher sie enthalton sind. Die Untersuchung solcher Dreiecke istbisher nurfir diebeiden besondern Fille auageflhrt worden, welche sich inderprak- tinchen Geodisie darbieten, nimlich hauptsichlich ineiner sehr umfang- reichen Literatur flrdas von derKugel nurwenig abweichende ab- geplattete Rotationsephiroid, flrwelches namentlich Gauls, Bessel, Jacobi und inder neuesten Zeit General Baeyer und Hansen An- niherungeformeln abgeleitet haben, diefllrnumerische Zwecke nichts tuwiinschen brig lassen. Der zweite Fall, welcher noch behandelt worden ist, betrifft dieunendlich kleinen geodiitischen Dreiecke auf beliebigen Oberitichen, deren Theorie Gaufa inseinen Disquisitiones gencrales circa superficies curvas (art. XXII bisEnde) entwickelt hat. Diealigemeine Frage, welche imFolgenden behandelt wird, ist dagegen noch nicht bericksichtigt worden, obgleich dergenaue Zu- sammenhang derselben mitderLehre vondensufeinander abwickelbaren Flichen, und dieAufforderung von Gaufs selbst zurweitern Ausbil- dung dieser Theorie (1.c.art.XIII) wohl geeignet sein konnten, dieAuf- merksamkeit aufcinProblem zulenken, welchem, flreinen besondern Fall, eingrofser Theil jener berdhmten Abhandlung gowidmet ist. Dafs gleichwohl derVersuch einer ankeinerlei Einschrinkungen gebundenen Begrindung derhohern Geodisie bisher unterblicben ist, dirfte sich zum Theil dadurch erkliren, dafs diebisherigen Unter- suchungen von zuspecieller und imZusammenhange damit von zu verwickelter Natur gewosen sind, umdieMoglichkeit einer geeets- miifsigen Behandlung dieser Fragen erkennen mlassen. InderThat geht ausdiesen Untersuchungen zwar hervor, welche Grifsen —niim- 298 XVIAllgemeine Theoriedergooditischen Dreiscke. lich dieSeiten und ihre Azimuthe anden Ecken —zurvollstindigen Kenntnifs eines geoditischen Dreiecks erforderlich sind, aber nicht, welche mitdiesen Gréfsen verbundenen Functionen eingefthrt werden m{ssen, umzuden Grundformeln fureine Trigonometrie beliebiger krummer Oberfluchen zugelangen. Tehbetrachte esnun alsdasHauptresultat derfolgenden Unter- suchungen, dafs, ebenso wiedieLehre vondennach dem Newton'schen Gesetze wirkenden Anzichungskriften von einer einzigen Function, dem Potential abbingt, dieGeodisie einer beliebigen krummen Oberfliche auf dieTheorie einer einzigen Function von vier Variabeln zurick- kommt, welche ich die reducirte Linge eines goodatischon Bogens nenne und durch (00,)bezeichne, wenn ound o,dieEnd- puncte dieses Bogens sind. Istdiese Grofse alsFonction derCoordinaten von ound 0,be- stimmt, soliefern meine Untersuchungen unmittelbar dieendlichen Formeln frsimmtliche Winkel undAzimuthe eines geoditischen Drei- ecks, und dievollstindigon Differentiale dieser nimlichen Gréfsen so wiederdrei Seiten (Abschnitt IV.art.23). Diese Function wird, mitAusnahme eines besonders zuerledigen- den Falles, sufser denzugehdrigen Grenz- und Stetigkeitsbedingungen durch eine partielle Differentialgleichung dritter Ordnung bestimmt, welche nicht linear ist,und demnach beidem gegenwirtigen Stand- puncte derLehre von den partiellen Differentialgleichungen allerdings einer allgemeinen Behandlung keum zuginglich sein wird. Gleichwohl durften sich aufdem durch diegegenwirtigen Untersuchungen erdff- neten Wege selbst firdieAbleitung vonangeniherten Resultaten Vor- theile darbieten, wenn man, statt aufdiese Differentialgleichung, direct ‘ufdasSystem von Gleichungen operirt, aus welchem siehervorgeht (Abschn. III.art20.&.8.6). Die Function (00,), welche hier reducirte Linge genannt wird, istnun, bisaufdieVarisbeln, vondenen sieabhiingt, nichts anderes alsdieGréfse, welche Gaufs (Lc. XIX) durch mbezeichnet, und von welcher beim Ubergange vonbeliebigen Coordinaten p,qzugeoditischen Polareoordinaten r,@(art. XXII) beildufig bemerkt wird, dafs man sie ebenfalls erhalten kann, sobald rund galsFunctionen von pund q bestimmt sind. Hierzu istnur dieIntegration zweier partiellen Dif- ferentialgleichungen der ersten Ordnung erforderlich, von denen die eine indenDerivirten vom aweiten Grade, dieandere linear ist.Wein- garten hatzuerst bemerkt (Borchardt’s Journal LXII. pag. 63), dafs dioerste von diesen Gleichungen mit derjenigen ubereinstimmt, von welcher inderJacobi-Hamilton’schen Theorie dieBestimmung der XVI. Allgemeine Theorie der goodStischen Dreiecke. 299 geoditischen Linien abhingig gemacht wird, und man aus einer so- genannten vollstindigen Lésung derselben eine vollstindige Léeung derzweiten Gleichung erhilt, indem man nach derwillkirlichen Con- stanto differentiirt und mit einer neuen Constante multiplicirt. Eskann demnach den Anschein haben, alsobdurch dioZuriick- fUhrung von maufcine nicht lineare partielle Differentialgleichung Aritter Ordnung dieKinfachheit derBedingungen ohne Noth geopfert werde, Dies istindessen nur solange derFall, alsman, wieaman- ‘geflbrten Orto, statt derbeiden Endpuncte ound o,nur den ersten und dasAzimuth dergeoditischen Linie oo, inihm alsgegeben be- trachtet Will man dieunter dieser Voraussetzung gefundenen Resul- tate fiirdenZwock dergegenwartigen Untersuchung brauchbar machen, ‘60mufs malsFunction derCoordinaten von ound o,dargestellt, also dasAzimuth inoeliminirt werden, und dies wird gerade durch, die erwihnte Differentialgleichung dritter Ordnung geleistet. Zudieser und den Ubrigen Differentialgleichungen, welche sich in denfolgenden Untersuchungen darbieten, gehdren Stetigkeitsbedingungen, welche ausderLehre von dengeoditischen Linien abgeleitet werden milssen, Aus diesem Grunde wurde esnothwendig, dieBedingungen, welche zum Verschwinden derersten Variation eines Bogens erforder- lich sind, vollstindig hereustellen. Dieselben bestehen 1)inderbe- kannten Differentialgleichung und 2)inden Stetigkeitsbedingungon, welche erforderlich sind, damit dervom Integralzeichen freie Theil der ersten Variation frsich = werde. Untersuchungen Ober diezum Vorschwinden dieses Theiles derersten Variation erforderlichen Stetig- keitsbedingungon und diemit demselben vertriglichen Unstetigkeiten habe ichbisher nirgendwo gefunden, obgleich dievollstindige Kennt- nifs dieser Verhiltnisse firProbleme derVariationsrechnung von der grofsten Wichtigkeit ist, und ihre Nichtberlicksichtigung 2uWider- sprichen fhren kann. Daanfserdem imFolgenden dieDifferentialgleichungen flrgoodi- tische Linien indrei verschiedenen Formen benutzt werden, und 2wei derselben vonden sonst Ublichen abweichen, somulste cine méglichst gedringte Ableitung dereelben vorangeschickt werden. 300 XVI,Allgemeine Theoriedergeoditischon Dreiecke. Inhalt, Erater Abschnitt Ober diogeoditischen Linien imAllgemeinen. 1.Coordinatensysteme imRaume undaufderFlicho 5.Stetigkeitabedingung fOrdas letstere. Die Richtangen inderTangentialebene werden durch Azimutbe bestimmt, 2.Allgemeine Form derDifforentialgleichongen flrgeodttische Linien. H0lfs- grofeen und Formeln. 8.Dievollatindigen Bedingungen forgeodRtische Linien: Stetigkeitabedingung, ‘Theorem von Gaufs. 4.Geodltische Polarcoordinaten. Die reducirte Linge eines geoditischen. Bogens. Stetigkeitabedingungen fardieselbe. Zweiter Abschnitt. Theorie dergeoditischen Dreiocke, 5,Bezeichnungen firdieSeiten, Winkel und dieAvimuthe anden Ecken. 6.Dio Derivirten nach der Richtung von aby. 1.Die Derivirten nach der Richtang von 2¢q. 8,Relationen 1)swischen den Orlainderungen inden Seiten und den Differen- tialen der unabhingigen Variabeln, 2)rwischen den partiellen und den Richtungederivirten, Das vollatindige Differential suagedrdckt durch Rich- tunguderivirten. Dievollstindigen Differentiale derLinge eines geoditischen Bogens und seiner Azimathe inden Endpuncten, 9.Die partiellen Differontialgleichungen flrdionimlichen Gréfven. Integra- Dilitdtabedingungen flrden Bogen. Theorem ther diereducirte Lange. 10,Integrabilititabedingung fir die Aximuthe. Differentialgleichung fir dio redueirte Linge; das Krommungematy 11,Dieabrigen Integrabilithtebedingungen furdieAximuthe. Einfachste Form aervelben. 412,Entwickelte Form der Integrabilitatabodingangen. 18.Aufgabe der weitern Theorie. Dritter Abschnitt, Theorie der reducirten Linge eines geoditischen Bogens. 14.Lehraatz von Gaufe Gher das Krimmangemals. Dasselbe Theorem und seine Umkshrang firdiereducirte Linge. 16. Definition der reducirten Absciaee. 16.Allgemeine Eigenschaften derselben. 11.Ober dasVerschwinden derreducirten Abscisse. Geometrische Deutung der Reealtate. 16,Untertcheidung derFalle, wodesKrimmungemats negativ oder positiv ist, Theoremo von Jacobi. 19,Diflerentialgleichung dritter Ordnung fir die Wurseln der Gleichung[ap]—=0.Integration derselben. 20,Bedingungen firdioreducirteLinge,welchenurdieCoordinaten derEnd-puncte enthalten. Aumabmefall. ‘21,Der Aumahmefail wird durch das Verschwinden der Invariante bedingt 22,Bestimmung derFltcheogattangen, beidenen dieser Aumahmefall eintritt, Vierter Abschnitt. Geoditivche Classification der krammen Oberfilchen, 28. Die Grundformela, 24,Stetige Ortaknderung eines geoditischen Dreiecks ohne Anderung seiner Elemente. 26,Vereinfachung der Bedingungen flrdieeelbe. 26,Die erste Flichengattang. 31. Die rweite Flichengattung. 28.Die dritte Flichengattong. 29,Dio vierte Flichengattung. Siebildet denAusnahmefall deedritten Ab- achnittes, XVI Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 301 Erster Abschnitt. ‘Ober diegeoditischen Linien imAllgemeinen. 1. ohsetze voraus, dafs derRaum aufdrei rechtwinklige Axen dor 4,¥,#bezogen ist,welcheinvélligbestimmter Weiseorientirt sind,etwa dadurch, dafsaufser dem Anfangspuncte noch diedreiPuncte ~ gegeben werden, inwelchen dieunendlich entfernte Himmelskugel von den Richtungen derwachsenden x,yundsgetroffen wird. Sodann seicine kramme Oberfliche Svorgelegt. Dadiehier deabsichtigton Untersuchungen sich nur aufsolche Verhiiltnisse be- tichen, welche ungeindert bestehen bleiben, wenn Sohne Dehnung be- Tiebig verbogen wird, sowirde esunzulinglich sein, diese Oberfliche durch eine einzige Gleichung swischen z,y undsdarzustellen. Wir setzen voraus, dafs $durch drei Gleichungen ==9(%9%,¥=¥(P,9), #=7(P,9) gogeben ist,inwelchen p,q voneinander unabhingige Varibeln be- deuten. Dann entsprechen jedem Puncte vonSbestimmte Werthe von ¥,q, welche wirebenfalls dieCoordinaten dieses Punctes nennen, und ‘umgekehrt entepricht jedem Werthepaar p,¢ einbestimmter Punct von 5,wenn, was beiErérterangen dieser Artnothwendige Voraussetzang ist,mehrdentige Ansdricke durch Trennung ihrer Zweige aufeindentige auriickgefthrt werden. Den Gleichungen 7p—0, 2g—=0 entsprechen zwei sich gegen- scitig durchdringende und dieOberfliche stetig bedeckende Kurven- systemo. Ich setze, was freisteht, voraus, dale jede Kurve dieser Systeme ihre Richtung nach derStetigkeit andert, solange Sstetig gebogen ist,oder allgemeiner, umden Fall, woSKanten darbietet, mit2uumfassen, dafs diebeiden Scheitelwinkel, unter denen einLinien- element derOberfiiche von einer solchen Kurve geschnitten wird, nie voneinander verschieden sein sollen. UmdieinderTangentialebene eines Punctes vondemselben aus- gehenden Richtungen voneinander muunterscheiden, sihlen wir in dieser Ebene umdenBerdhrungepunkt herum Azimathe, deren fester Schenkel die Richtung der von dort aus wachsenden pist, und welche fir alle Puncte der Oberfléche inder nimlichen Richtung wachsen. 302 XVI.Allgemeine Theoriedergeodatischen Dreiecke. 2. Dies festgestellt, bezeichnen wir 1)durch @das Azimuth der wachsenden q,2)durch ezp, géq dieWege, welche der Punct p, murticklegen warde, wenn nureine seiner beiden Coordinaten p,q um ihrDifferential wichst, 20dafs ¢,9 positive Groften werden, endlich 8)durch 7sdas Linienelement, welches derPunct p,q beschreibt, wenn beide Anderungen zugleich stattfinden, unddurch 6seinAzimuth. Dann folgt as"=Pap" +2egcoswapaq +g*2q, cap—Mes, goq—128 as, Wir worden nun ausdeninderKinleitung angegebenen Grinden inverschiedenen Formen dieBedingungen dafir herstellen, dale 8dio Fortsetzung einer bisanden Punct p,q reichenden geoditischen Linie wird. Betrachtet man runichst pund qalsFunctionen desBogens s dieser Linie, s0erhilt man durch eine Rechnung, diewir dbergehen atirfen, zwei Differentialgleichungen von derForm: op 11) (apy* 12) dpdq 22) 29)"gem (T)GH)—2(2)5858—(2)Ge) a(11)py*_9(21)ap20_(22)(20)* sam (EGE)2(a(2)Ge) yon denen eine Lésung, nimlich dieGleichung . anda,5s(20)' 2(2)'+egcos3228+o*(22)'—1 Dekannt ist, InWirklichkeit liefert dieIntegration auf derrechten Seite cine willktirliche Constante; dieselbe mule aber —1 gosetet werden, wenn sdieBogenliinge dergeoditischen Linie sein soll. Die Coefficienten dieser Differentialgleichungen bilden einSystem vonHalfagriBen, welche beijeder Untersuchung uber geoditische Ver- hiltnisse anStelle derersten Derivirten von¢,9,@eingefthrt werden mitssen; wirgeben daher ihre Werthe inzwei Formen, indem wirin der zweiten Columne E-¢, F=egcoso, G=g, A-EG-F voraussetzen: XVL, Allgemeine Theorie dergoodltischen Dreieeke. 303 UT)285+paner(G4—fap")wa(O95+PogPFBp) (ih-po(@t- 2)-¥0232-7 5F-2) (i)sakesGomes) -an(637-Fop) US)sl eek) ah 2-788 (T)-aha(“Se- i)wanRCSF 85) Vertauscht man daher dieRichtungen derwachsenden pund q miteinander, sovertauschen sich inden Coefficienten derDifferential- gleichungen dieIndices 1und 2,¢vertauscht sich mitg,und dasvon Zpsusgecihlte Azimuth @von 7svertauscht sich mitdem von 2g ahlten Azimuth @— 0. onDarchUakebrang igh Bre(i}tgemo(s} HoelT]+acoee(3} BreomelT]+ols]reewe(T]+7] eran(STFESI)seme[E(F]+5(TI): ‘Aus denbeiden letzten Formeln zichen wirnoch freine spétere An- wendung (Zweiter Abschnitt, art.10)dieidentische Gleichung al -sle-ale aletl Wir benutzen endlich dieobigen Formeln curHerstellung derzweiten Derivirte einer beliebigen Function mvon pund qnach s.Wird der Punct p,q aufdieoben bestimmte geoditische Linie beachrinkt, #0 engiebt sichmitRacksicht aufdieWertho von3°,£2; am_sin(o—0.0m,sindamG7eineOp+gunecq? cl co re NE +0GaetLépoe~LilapC2lag] +Gana)(Se—(Tap-(2)Se) 304 XVI.Allgemeine TheoriedergeodBtischen Dreiocks, woru wir noch die Identitat sin(o—6))* pine—Oaine sindGe) +egcn0+9"(Fine)2 fiigen. 3. Wir nehmen die vorangehende Untersuchung, welche dieBe- dingungen frgeoditische Linien nicht vollstindig enthilt, voneinem zweiten Gesichtspuncte auf, indem wir(vergl: Disqu. g.¢.8.XVII) nach den Gesetzen fragen, nach denen sich, aneiner geoditischen Linie entlang, dasAzimuth @derselben andert. Far die erste Variation des Linienelementes erhilt man, wenn ap,#qdurch 8ausgedriickt werden, 84s—ec0s008p+9008(o—8)08q +{sin(@—6)c0868 loge+sinBcos(a—0)Blogg—sinOsin(o—0)d0} 2. Istaber doderWeg, umwelchen derPanct p,q beiderVariation ‘verschoben wurde, ysein Azimuth, also 98q—"¥30, edp—22—%ae, . 0 wird ¢00808p+9cos(@—6)8g—cos(y—6)86, mithin 68=[008(y—6)46)—dp-de0080—89-29cos(o—8)+{sin(@—0)¢0806 loge+-sin0.08(a—8)dlogg—sind sin(o—6)8}2+. Soll nun dieVerbindungslinie saweier festen Puncte 0,0, eine geo- ditiache sein, somufs dasvon obiso,erstreckte Integral dieses Aus- drackes beijeder Wabl von ép, 8gverechwinden, durch welche der Zosammenhang derVerbindungslinie nicht aufgehoben wird. Daraus folgt runichst Om—ap.2000 ggP9ema—% +AOR MOmOppg 4HAPEONO—O gIggysBOHNO~ yg, flrjedes dp,3g. Istdiese Bedingung erfillt, sowird dieVariation desBogens 00,: 45=[cos(—6)d6}, wodieZeichen andenKlammern andeuten, daft man zudenGrenzen derIntegration tbergehen soll. Andiesen Grenzen ist86=0. Aber dies reicht zum Verschwinden deavorstehenden Ausdruckes nicht aus, XVI. Allgemeine Theorie der geodtischen Dreiecke, 305 ‘sondern esisthierm noch aulserdem erforderlich, dafs cos(y—6) 66 awischen donGrenzen stetig sei,und zwar flrjede zulissige Variation der Linie 09. Wir legen nun, woscine Kanto derOberfliche Uberschreitet, 6 indieselbe, und nehmen é¢undyallenthalben stetig an,wodurch mit Rocksicht aufdiestetige Richtungsinderung derLinien aq—0, von denen ausdasAzimuth ygeihlt wird, alle beiderVariation aube- rilcksichtigenden Bedingungen inhinreichender Allgemeinheit befriedigt sind. Dann erkennt man sofort, dafs zum Verschwinden derersten Variation noch dieStetigkeit von@ansentlang erforderlich ist. Da nun nach art.1 der eine Schenkel ep von @stets einer Kurve an- gebirt, welche kein Linienelement von Sanders alsunter beiderseits gleichen Scheitelwinkeln schneidet, sogilt dasselbe auch vom andern Schenkel as. Eine geodatische Linie andert daher, solange Sstetig ge- bogen ist, ihre Richtung ebenfalls nach der Stetigkeit, und bildet beim Ubergange dber eine Kante von Smitderselben beiderseits gleiche Scheitelwinkel. Setzt man nun inder obigen allgemeinen Bedingungsgleichung den Factor von dpgleich Null, und schafft dann dieDerivirten von ¢,9 und @mittelst derinart.2gogebenen Ausdriicke weg, soerhilt, man nach einer einfachen Reduction S82} sin@—9)—5[3]ing, mithin durch Vertauschung derRichtungen von apundagdieUbrigens nicht wesentlich verschiedene Formel 20-2)—5(78)sind—4(13} sin(0—0), ‘welches dieverlangten Bedingungegleichungen ineiner frdiefolgenden Anwendungen geeigneten Form sind. Von den verschiedenen Folgerungen, welche sich anden oben stehenden Ausdruck von 4sknipfen lassen, missen wirnoch eine her- vorheben. Ersetzt_ man den geoditischen Bogen o0,, was ebenfalls eine Variation desselben ist,durch einen unendlich benachbarten geo- ditischen Bogen oo', und istydas Azimuth des Weges 0,0', 80 wiichst 00, um 5— cos(y—6)-0,0' Soll’ daher 00, ungeindert Dleiben, 80mufs cos(y—@)—=0, also o,o' ino,su00, senkrecht sein. Daraus ergicbt sich derschdne Satz, den Gaufs imart.XVE.D.Ohristottal, GovammaltsAbbandlenges. 1 0 306 XVI,Allgemeine Theoriedergeodltischen Dreiecke, seiner Disquis. gen. c.s.c.aufzwei Arten abgeleitet hat, und der zw denFundamenten unserer Untersuchungen gehirt: Dreht sich eine geoditische Linie von unveranderlicher Lange umeinen festen Endpunct, sobleibt siefortwihrend senkrecht zuder vom beweglichen Endpuncte beschriebenen Kurve. Diese Kurve nennen wireinen geoditischen Kreis, und den fester Endpunet dergeoditischen Linie sein Centrum, 4 Werden von einem festen Punkte oauf $unter allen Azimuthen geoditische Linien gezogen, soistdurch dieAngabe desAzimuthes @ und dervon 0ausgeziblten Lange reiner solchen Linie dieLage ihres Endpunctes o,aufSvéllig bestimmt. Betrachtet man nach Gauls (Disqu. g.XV. XVI) diese beiden voneinander unabhingig ver- anderlichen Grdfsen alsCoordinaten desPunctes o,,soentspricht der Gleichung ¢—=0 dieSchaar aller von oausgehenden geoditischen Linien, undderGleichung cr—0dasSystem aller geodittischen Kreise, deren Centrum der feste Punkt oist. Von diesen beiden Kurvenschaaren hat nach dem vorigen art. die erste, und weil beide sich unter rechten Winkeln durchdringen, auch diezweite dieinart.1von den Kurvenschaaren Zp=0, ¢g=0 ge- forderte Eigenschaft, kein Linienelement vonSandere alsunter beider- seits gleichen Scheitelwinkeln zuschneiden. Wir siblen nun auf jedem geoditischen Kreise von dem p=O enteprechenden Puncte ausBogen 6,dieaufallen Kreisen indernim- lichen Richtung wachsen, und wiblen diese Richtung 90,dafs siefir unendlich kleine Werthe von rmit derRichtung derwachsenden p bereinstimmt. Dann wird 6furjeden geoditischen Kreis eine Func- tion vong,und wenn ihre Derivirte ae Hom gevetzt wird, mderFactor, mitwelchem man den Centriwinkel 2p multipliciren mufs, um das ihm gegenitberliegende Element 66des geoditischen Kreises vom Halbmesser rzuerhalten. Diese Gréfee mnennen wir, was sich durch dieEigenschaften derselben (Zweiter Abschn., art.9und dritter Abschnitt) rechtfertigen wird, diereducirte Linge des geodatischen Bogens r,und be- zeichnen sie, wodasCentrum ovom beschreibenden Puncte 0,unter- schieden werden mufs, durch (00), XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 307 s0dala also (0,0) diereducirte Linge von runter derumgekebrten Voranssetzung sein wird, dafsrsich umo,alsfesten Endpunct dreht, und dervorhin unbewegliche Panct 0einen geoditischen Kreis be- schreibt. Jedem bestimmten Werthe von rentapricht einendlicher Werth von m,und beide inden sich zugleich nach derStetigkeit. Wirde nimlich m—$% ingendwo unendlich, somOlfstedortentweder dergeo: ditische Kreis den Leitatrabl rberihren, statt ihnsenkrecht muschnei- den, oder etwilrde diegeoditiache Linie rvoneiner unendlich benach- barten inoberihrt, unddann wire anrentlang stets m= oo. Warde mineinem Puncte xvonrunstetig, s0wirde diese geodatische Linie, wenn sieunendlich wenig umogedreht wird, inzwei beixgetrennte Sticke zerfallen, also das bisoreichende Stick nicht ber sein bei« stattfindendes Ende hinaus alsgeoditische Linie fortgesetut werden kénnen. Das Quadrat des Linienelementes wird jetat bs? art+mag’; ist@dasAzimuth von 7s,und inderWeise geziihlt, dafs dieAzi- muthe derLinienelemente, welche denwachsenden rund @enteprechen, beziehungsweise 0und3werden, sowird ér—cos@-és, mip —sin®- és. Soll endlich 2sdieFortsetzung einer bisano,reichenden geoditischen Linie sein, welche dort unter dem Azimuth 6eintrifft, soergiebt sich amcinfachsten auf directem Wege dieZunahme dieses Azimuths bis zum Endpunete von2s 26=~sino28"5, (Dinqu. g.c.8.¢.XIX). Die Untersuchung derzweiten Variation zeigt ferner, dale cin wenn auch noch soKleines Stick von rniemals die klrzeste Ver- bindungslinie seiner Endpuncte sein kann, wenn eseinen Punct ent- hilt,inwolchem 22"unstetig wird.Einekitreeste Verbindungolinie awoier Pancte geht also anjedem Puncte derbezsichneten Art vor- bei; triffe eine geoditische Linie inihrem Verlaufe aufeinen solchen Punet,sowirddurchdiehiergeforderte Stetigkeit von44%ihreweitere Fortsetrang ausgescblossen (III. Abschnitt, artt. 16.16). 20° 308 XVI.Allgemeine Theorie dergeodittischen Dreiecke. Zweiter Abschnitt. ‘Theorie der geodittischen Dreiecke. 5. AufderOberfliche Sseicingeoditisches Dreieck vorgelegt, dessen Seiten a,b,csind. Vondenbeiden Theilen derFliche, welche andiese Figur angrenzen, nennen wireinen dasInnere desDreiecks, undbezeichnen nundieimInnern desDreiecks denSeitena,b,cgegentiberliegenden Winkel durch a,8,ydieCoordinaten ihrer Ecken durch 2,Ja;PasYs}Py%»Uberhaupt denWerth, welchen einever- fnderliche Grfse ineinerdieser Ecken annimmt, durch Anbingung des Index «,f,7. ian Bu Be, ant a WN ay y a, f8,/poy SPA Py fi *§—$<*= aNa aap Wir aihlen ferner aufjeder Seite voneinem willkitrlichen Anfange- puncte ausAbscissen, welche inderjenigen Richtung wachsen, firwelche dasInnere desDreiecks aufderSeite derwachsenden Azimuthe liegt. Sind aufderSeite adieAbscissen von6und7gleich a,,a,; * > * Fon © Vydas > ¢ > ey Bm CanOps ferner dieAzimuthe ihrer positiven Incremente Gay, 24, 0b,, (ba, Bla, OC,eeu 9720,Oy a Ws,W,,ByBeyCayCy, 80bestehen zwischen diesen und den Winkeln desDreiecks dieRelationen: G-Beitamx, Uy—-Ct+p—x, B-Wty—a XVI. Allgemeine Theorie dergeod&tischen Dreiecke. 309 80dafs dieWinkel desDreiecks mitdenAzimuthen zugleich gegeben sind. Endlich werden diereducirten Lingen derSeiten a,b,¢(art. 4) durch (Bx); (7a), (aB) oder durch (yA), (a7), (Be) dezeichnet, jenachdem diese Seiten sich umdiePuncte f,y,aoder um7,«,Bdreben, Abgeschen von den reducirten Lingen der Seiten, mit denen wir uns imfolgenden Abschnitte beschiftigen werden, sind hiemnach fir dievollstindigo Kenntnife eines geoditischen Dreiecks 9Elemente er- forderlich, nimlich dio 6Azimuthe anden Ecken und die drei Seiten. Diese 9Grdften sind Functionen derCoordinaten derdrei Ecken, und wirstellen unedieAufgabe, ihre partiellen Derivirten nach diesen Variabeln 2abestimmen, deren Anzahl —54ist. Diese Aufgabe wird geldst scin, wenn wir dioDerivirten nach den6Abscissen ay,a,,... ermittelt haben, dajene sichausdiesen musammensetzen lassen (artt. 8.9). InFolge unserer Bezeichnungen reicht osaber firdiesen Zweek aus, dieDerivirten nach b,und cyherzustellen, daaus diesen die ‘brigen sich durch cyklische Vertauschung ergeben. 6 Wichst b,umb,,80bleiben Wy,&,,B,,yundaungedndert; . ¢dreht sichumdieEcke @und ihe,Bee ‘Uberstreicht dorteinenWinkel, der a epheifsen mag. DieZunahmen vonb,B,Gy 4 y werden be, @,29; ferner wird (Ba)2—q=bq.sina,2¢—2b-coe, a und weil cygegen dieRichtung vom Drehungspuncte 8nach dem beschreibenden Punete «wichst, 2a=0B,—06,—sin«29802 9p, Endlich wird nach art.3dieZunahme desAzimuthes 8,, vom An- fang biszum Ende desElementes 6b,von b: . . 1) 1/2) oe Ja woraus 26, sofort folgt. 310 XVE Allgemeine Theorie der geodatischen Dreiecke, Durch Elimination von épergiebt sich also: au, 2%, a,g,[11| 1fat «Glog (Ba)BEMk=OGees] sin®.—09—(sin, sineou, 2B,94/11) 1fat} 0,singSend ane) in(B,—o)—2 {7}sin, Feae aa. alogBa) a6 sina dy Beeeab,ba)the aaav ze Feo Awl Fimo. Wir haben hier, wieauch imFolgenden, dieDreieckswinkel «,8,y noch nebenbei beriicksichtigt, dawir ihre vollstindigen Differentiale beieiner spiitern Untersuchung gebrauchen werden. 1 ‘Wichst c,umé¢,,80bleiben U,,U4,C,,6undaungeiindert; bdreht sich um dieEcke yund iberstreicht dort einen Winkel, der 2heifsen mag. DieZunahmen von¢,y, A B,sind —@e,, —ov, toy; & forner wird (ya)a¥ —@e,- sina, @b=—Ze,- cosa, und dieZu- nahme des Winkels zwischen @ @b,und éc,(art. 4) eae)=—sing289)a6, oder fa=2B,—26,—sine?9EO9ae, Endlich wird dieZunahme desAzimuths G,,vom Anfange biszum Ende desElementes Zc,von ¢ a.—[%/ :}0C.—@)—%{2}sin6.]ec, woraus @B, sofort folgt. DurchElimination vondwergiebtsichalso: am, 08, iee, aM,4)88,sineOyg(t]oe afa Bem0FemGeeGlatin0)—ZL]sas, a2B,gefra) . 2 Fen0Bea8l't)sinC,—0,)\—2 (8)sing,sine260.289_ ba ina210Kre)88 a; singFe 86,79 be,Ge} aaa ae Fe,7°5c,7—083c,~~} XVI Allgemeine Theorie dergeodatischen Dreiecke ail 8. Durch eyklische Vertauschung ergeben sichausdenvorangehenden Formeln dienoch feblenden Richtungsderivirten, und dieselben missen nun indiepartiellen Derivirten nach denCoordinaten p,qderdrei Ecken umgesetzt werden. Zwischen denOrtainderungen 2b,,£¢,,é¢,v.8.w.unddenDiffe- rentialen derunabhingigen Variabela p,,J,Py¥%w.bestehen die folgenden Gleichungen: Ecke a: sineed— sinC-e¢p+sin(S—o)g2q_ sino-edp——sin(B—o)¢b—sin(6—w)resinece=—sinB-cap—sin(B—o)géq sino-géq— sinB-2b+sinze Eeke p: (a)Jsinpacm sine’p+ein(M—o)g2q sinw-e7p=—sin(S—o)ee—sin(&—a)éasinga——sin-edp—sin(C—o)g2q sino. g2q~ sinGce-+sin 2a : Eeke 7: sinya= sinB-e-p+sin(B—a)92q sino-e2p——sin(—a)ea—sin(B—w)Zbsinyeb——sin-edp—sin(X—o)g@q sino-gég— sinW2a+ein Bad. Daraus ergeben sich diefolgenden Bezichungen zwischen den particllen und den Richtungederivirten einer beliebigen Function 2: Hoke «: sinogf——sin(B-o0) 72+sinB22sing——win$—sinB32 sino§2——sin(6-0) 22+sinC22.sing2Fsin(6-0)$5—sin(B-0)$2 . Heke p: osinoS——sin(6-0)22+sin22singe—int2sin$2 sino——sin(W-0) FesinSesnpStsin(Aa)$2—sin(6-0)92 Ecke y: sine$2——sin(-0)32+sin22singZ2— sinB— sina sinagy——sin(®-0) 224sinB22sing32—sin(B-0) 32—sin(Uw) Setzt man nun indasvollstindige Differential von@statt derpar- tiellen Derivirten ihre voratehenden Ausdriicke durch dieRichtungs- derivirten ein,soergiebt sich vermBge derGleichungen (a) aa aa aa 20mFiOatFeePatFeeCGEoy 312 XVI, Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. alsodienimlicho Form, wiewenn dieOrteinderungen £b,,¢,y2¢yy--- dievollstindigen Differentiale voneinander unabhiingiger Functionen von ParGarPyy+++Wiiren. Auf diese Weise erhilt man dievollstindigen Differentiale 2u- niichst inder Form: a Wy a sg ak aeat,[4{2}in(C0)—5[9]sin—singMEAP)ey1) 2)inof]a,18821+[B{2] sina) —5[7]sina]za,+Gteb, ; 4) 1pm) ny 210eu,—[4{'2}sin®—o)—2{7}sinB+sinySteet), 9) os 1a) sing +[Af]sinto)—F[2]sin1]20,+Fyep 2a=008Bécy—a,—cosy2b,+2a,cam2eq"0g. 4sine[MEEgp,4dlowtre) Bmety fapeaeting 2b,+HIce], und wenn man ausden drei ereten Gleichungen dieOrisinderungen 2a,u.6.w.fortachatft: _aytineyeyn21)50)21080Caintee at,=—HT(2}e+(2}eq]—“See?[sinteen +sin(%—°)924)—gy [sieWeep+sin(M—o)oea], é g,tine,rps a 21086”)[gine7;2M,—EPO pt (Mag)—28ED[ainme: aPeteeaL(op+[og]—2MEEP[intern +sino) 92a]+oa[tinMeer+sin@—0)92a]], ob 2a=cos, ¢,ap,+c08(%,—o,) 9,24,—009My:ep2Py —008(My—@4)9474. Wenn nun indiesen Gleichungen dieFunctionen (By), (yf) ihrer ur- aprlnglichen Definition gemife bestimmt wiren, sowirden dieBe- dingungen derIntegrabilitit nothwendig identisch erfillt sein. Folg- lichmiissen wirumgekehrt durch dieIntegrabilititsbedingangen zuden charakteristiechen Eigenschaften dieser Functionen gelangen. Die vorstehenden @leichungen lésen dieAufgabe, zubestimmen, wie sich die Linge einer geoditischen Linie und ihre Azi- muthe inden Endpuncten findern, wenn letztere unendlich wenig verachoben werden. XVL. Allgemeine Theorie dergeodiitischen Dreiecke. 313 9. Fur dieLange einer durch dieCoordinaten ihrer Endpuncte ge- gebenen geoditischen Linie und ihre Azimuthe indenEndpuncten er- alten wirdemnach dasfolgende System vonpartiellen Differential- gleichungen: 2%,gptinegit «ordlon() am, sin att9ptineg(any_ Bog(7B) aM__,snfeeelC1Pech ae,~~aM, gysine, ia . alogga) 2%, sin(,-o,)My__gatines (2)_ -o, My gst) 4 on(2)asinhya har aM, 9,Sime, p11 in 2!8(82) am, sin2%,geting) ier) Myeae “am, gysine, p21 ‘ tog(Br)2%)sim(Wy—o4)EydeleteeedCtioea ia aa aIL|ig~—omy Bp,~eee, “|@a éa|-—se00,—e) F908 ya). Zujeder von diesen drei Gleichungsgruppen gehéren 6Integrabilitite- bedingungen, welche aber aus bekannten Griinden nicht alle vonein- ander unabhingig sind. Aufeerdem istubemerken, dale indenIn- tegrabilititabedingungen dieDerivirte eines Azimuths stets durch ihren vorstehenden Werth ersetzt werden mufs, und inFolge dessen eine Anzahl derselben identisch wird. Dies bezieht sich vormugsweise auf dieGleichungen IIL, mitdenen wirbeginnen. ‘Man erbilt aa og OM, aM,Hegde,~DMs=—680%,39s setzt man hier ftirdieDerivirten ihre Werthe ein, 90folgt . sin . sinMy —egsinye,Gat=—esi,eyTae also ist (67) =8), 4.h,die reducirte Linge einer geoditischen Linie bleibt un- geindert, wenn man Anfangs- und Endpunct derselben ver- tauscht. Wir haben also den Satz: Man drehe eine geoditische Linie ohne Anderung ihrer Lange unendlich wenig aus ihrer urepringlichen Lage, ein- mal um den einen, das anderemal um den andern Endpunct. 314 XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. Sind alsdann dieDrehungswinkel amfesten Endpuncte ein- ander gleich, sosind esauch dieYom beweglichen Endpuncte beschriebenen Wege. InFolge dieses Resultates istesbeiderreducirten Linge eines geoditischen Bogens Wberfitesig, anzugeben, welches der feste und welches derbewegliche Endpunct desselben sein soll, und wir setzen dsher von hier ab: : (By)=7B)=(@),(va)=(7)=),(@B)=(Ba)=(0)- Wir werden imFolgenden flrdiereducirte Linge (a), alsFunction einer derbeiden Abscissen a,,a,betrachtet, Differentialgleichungen finden, und diezugehdrigen Grenzbedingungen aufstellen. Bei diesen isteswegen derVoraussetzung, datsa,>a, sei,nicht mehr gleich- giltig, welcher von denbeiden Puncten B,yderfeste, welches der bewegliche ist. InderThat wird, wenn a,constant istund yinun- endliche Nahevon8rickt, (87)=«,—a,,d.h.anderGrenze,wo beide Puncte 2ueammenfallen, @n-0, (ror. Nimmt man dagegen a,constant, und lifst 6unendlich nahe any rilcken, 80wird (7A)=<,—a,, alsoanderGrenze GA)-0, Pm —1. Um beiderallgemeinen Untersuchung aber dieFunction, welche wir reducirte Linge nennen, diese Ungleichférmigkeit indenGrenzbedin- gungen zuvermeiden, werden wirsie(art. 15)durch eine andere, die reducirte Abscisse, ersetzen, beiwelcher dieGrenzbedingungen immer die nimlichen sind. MitBerticksichtigung desobigen Resultates geben dieUbrigen In- tegrabilititabedingungen furdieGleichungen Ill.nichts Neues. 10. Bei denIntegrabilititebedingungen flrdioAzimuthe isthervor- auheben, dafs diejenigen, welche keine zweite Derivirte derreducirten Liinge (a)enthalten, identisch werden, wenn man ausihnen dieDeri- virten derAzimuthe wogschafft. Wir unterscheiden nun diebeiden Fille, woeineIntegrabilititebedingung sichdurch doppelte Darstellung dor zweiten Derivirte eines Azimuths nach den Coordinaten derselben oder verschiedener Keken ergiebt. Der erste Fall fuhrt firjedes Azimuth aufzwei Bedingungen, von denen aber nach dereben gemachten Bemerkung dieeine iden- XVI. Allgemeine Theorie dergeodiitischen Dreiecke. B15 tisch erflit ist, Dieandere darf nurfreinAzimuth, 2.B.fr9, aufgesucht werden, dadieentsprechende sichfir%,offenbar durch Vertauschang von7,0a,mitf,2a,ergiebt SotztmandiebeidenAusdriicke, welchesichfiraaergeben, einander gleich, soerhilt man zunichst cine ziemlich verwickelte Formel, diowirtbergehen, dasieaufeinbereits vonGaufs (D.g.XIX) gegebenes Resultat fhrt. Darch Reduction dieser Gleichung mittelst derFormeln (%.)desvorangehenden art. 8ergiebt sich nimlich 1MO) 1 (Apysinesit)7 2posine yawaetagate(Galela]alete}= woimzweiten Summanden derIndex 7weggelassen ist. Mit Ricksicht suf eine Formel des art, 2filhren wir nun eine neue Gréfee ein, 80dats . argsin@ (11) Bpgsiney21))_ Bresine (22)7__ 2resine 12 eginehmeeTale lala eae lad) wird, wodurch dievorstehende Differentialgleichung dieForm (a)oe+h,(@)0 annimmt. Transformirt man sber das Linienelement, indem man durch eine ganz beliebige Substitution zwei neue Variabeln p’,q’anStelle von p,q einfihrt, sodats est eap'?+2e'g'cosa’ap'ag’+g'teq? wird, somufs man firdio,von derWabl eines speciellen Coordinaten- systems p,qunabbingige Grofse—2,20 genaudenselben Ausdruck k,erhalten, nurdafsdberall, wo¢,9,©,Zp,2steht,dieentaprechen- don accontuirten Gréfsen erscheinen. Folglich ist&eine absolute Invariante, und man kann ihren Werth sofort bestimmen, indem man denUrsprang derrechtwinkligen Coordinaten 2,y,#nach 7verlegt, p'= =,q’—y und bisaufGréfsen dritterOrdnung “lytte Fae nimmt, Manfindetdannhaa ab.&istdasKrommungs- mafe der Fliche SimPuncte p,g. Die obige Differentialgleichung flr(a)istdionimliche, welche Gauls mittelst seines allgemeinen Ausdrucks flrdasKrimmungsmals (Ding, g.o.8.XI)abgeleitet hat(ibid. XIX). 316 XVI, Allgemeine Theorie dergoodAtischen Dreiecke. Wenn daher 8derAnfangepunct ist,sohaben wir aa)oe+h,(a)=0, undfra,—a4:(a)=0,sen. Betrachtet man dagegen yalsAnfangspunct, sofolgt oe+4,(a)-0, und fir a,—a,:ta=03(@)=0,a-1. . iL. Bildet man fr%,und%,diezweiten Derivirten nach denCoor- dinaten verschiedener Ecken, soergiebt sich mit Weglassung ver- schwindender Glieder: A gi Gog(a)__@_(sin, aon,(sintyGay)aim(wo)» 8 « log(a)_a_(sin(@,—e,)»xiasin,Ga,)an(ot) 2 (sin (@1,—c,) 21) 2 (Say307,(sins,“)aa,)ane(@) —*_ (sin, —0,) 2198) 2_(82M)9,4,(siaeo)Ga,)am(@): HF ai Dtogia)) __@_( sintlyaay st, a)~a(et)> 3 i Blog(a)__2_(#0yep)2)5%,(in,éa,)abn;(@):——*_(ein (a,—o,) 228) 2 (Bea,(8%0,)aa,(@) ~ea(ti@,-2,)2 me)-wz(csSue) . Eswird sich imFolgenden umdioEntwicklung dieser undderim vorigen art. gefundenen Differentialgleichungen handeln. Bevor wir dazu tbergehen, zichen wir eine Folgerung aus ihnen, indem wirin derersten Gleichung jeder Gruppe dieRichtungen derwachsenden p,, Pyinby, Geyverlegen, oder wenn man will, umgekehrt verfahren. XVL Allgemeine Theotie dergeodttischen Dreiecks. 317 Dann wird B,—0, 6,0, also (ort.5)%,—y—x, M,—2—f. Diegenannten Formeln gehen daher indiefolgenden ther 2(sinp2¥98(@))42(sine3,(00F")+9g("a))~°2(siny21080)2(ain)des(t735)—a8,Cal)—% und eslifat sich umgekehrt ohne Schwierigkeit zeigen, dafs ausdiesen Gleichungen dievorangehenden simmtlich folgen, wenn aber dieRich- tungen derLinien b,¢passend verftgt wird. ‘Man kann endlich diese beiden merkwirdigen Gleichungen indie Formen a4 a(4a a(2:e 2 ay A ab;(64)-a,(08)»3a(ah)-a,(84) setzen und dann verificiren, dafs beiwiederholtem Differentiiren nach denRichtungen von2,, 2¢,dieReihenfolge derOperationen gleich- ailkig it, 12. Um dieBedeutung, welche wir inderFolge denindenbeiden vorangehenden artt. gefundenen Resultaten beilegen werden, deut- licher hervortreten 2ulassen, werden wirdieso Gleichungen invéllig ‘entwickelter Form darstellen. Inden beiden Formelneystemen des vorigen art. enthilt jede Gruppe zwei Uberfilssige Gleichungen, dajede zweite Derivirte von log(a)xweimal dargestellt wird. Wir kénnen uns daher mit zwei Combinationen von Gleichungen jeder Gruppe begutigen, und multi- pliciren dieerste und dritte @leichung inderersten Gruppe mit cos(,—o,), —cosW,,inderzweiten mitcos(2,—o,), cos%,,und bilden ihre Summe; verfébrt man ebenso mitder2weiten und vierten Gleichung, #0folgt: inwo,2(219800)_ ~o,)2—(8% _)cos,—2_(1% sineigay)—Crdas—te)Magee a)ino,2_(2108(0) 2vin@,-2) asin, -0,)snes5a,(“5ee=Cony) 55,(—pe))008oe ) ino,2(21°80) oog(,-,)2(aM _ _2_(_satysino,aldey)~~0e(%-a)) aawy)+000554(To)ine2(20860) atinyep) 2(tiay-eyfin,aq,gee)~~008hy)95,@)+208ye ’): 318 XVI, Allgemeine Theorie dergeoditivchen Dreiecke. Diowirkliche Ausfthrung aller Derivirten gibt endlich, wenn zurAb- kirzung con(Rly—9)Blog(a)_8MyAlog(a)_ os eP My a £088=@)Dog(a)_28%Glog(a)_ osoP,%8%,’ gesetat wird: . sind,artog(a)_sin(Wly-e,) aloga) sin, contsinega a i rn sin, 2Alog(a) NaClyMpFoga),5timll,,) cone, sin —2ee) Fg) ogOY Baa,|rlsPy8ty 4985Payee,*we Oe)*sind,attog(a)_sin(,—9,)2*1og(a) sin cossino,tty09,07, ¢,t, op,0p,+ 2 Pr~—We 80M,glogi(a)_*0(H,—2,) artog(a),9tin(ye)»_eonly-e,) sine,HsF045 BByetgFey Von diesen vier Gleichungen folgt eine ausden Gbrigen, wovon man sich leicht Uberzeugt, indem man ausden beiden ersten B,, aus den beiden letzten B,eliminiert. Dieentwickelte Form derGleichung FO+h(a)=0cat ergiebt sich ausden Schlufsformeln desart.2,und lautet: sinwy" 9a)_j11)(0)_11)2)(ime) Fae—(TE-U2)Se+oko]fin—o)sinG@)_/12)€(@)_131)2@) BeetLanceLilapLalog+egeoseke) sinM\*raa) 22)8(a) 22)2(a) +Give)[gr (3)Se(2)Sp+2k]=, woderIndex yweggelassen wurde und durch fersetzt werden kann. 13, Will man sich derimvorigen art.entwickelt dargestellten For- mela zurBestimmung von (a)bedienen, soistdazu dieKenntnifs der yon funter dem Azimuth Wyausgehenden geoditischen Linie er- forderlich. Wir kénnen nun alseinHauptziel dergegenwirtigen Unter- suchungen dieAufgabe bezeichnen, dieBestimmung der reducirten Linge eines geoditischen Bogens alsFunction derCoordinaten seiner beiden Endpuncte anBedingungen 2uknipfen, dienur von derLago XVI. Allgemeine Theorie der geodlitischen Dreiecke, 319 dieser Puncte abbiingen, und dieKenntnifs einer geoditischen Ver- bindungelinie dieser Puncte nicht voraussetzen. Kann man diesen Bedingongen gems (a),(6)und(¢)alsFunc- tionen der Coordinaten von «,,7bestimmen, soliefern, wie sich im folgenden Abschnitte art.20.D.ergeben wird, dieFormeln desvorigen art.und dieausihnen durch Vertauschung folgenden diesiimmtlichen Azimuthe, und milssen daher alsdie endlichen Formeln fir die Aufldsung geoditischer Dreiecke anfgefalst werden, wihrend es zurBestimmung derSeiten noch einer Integration vollstindiger Ditfe- rentiale bedarf. Dritter Abschnitt. Theorie der reducirten Linge eines geoditischen Bogens. i. Wird einekrumme Oberfliche ohneDehnung, alsoohne Anderung ihrer Linionelemente, beliebig gebogen, sobleibt injedem Puncte der- selben dasKriimmungsmafs ungeindert (Disqu. g.c.s.XII), weil der Ausdruck desselben norvondem desLinienelementes abbiingt. Dabei einer solehen Umbiegung auch jede geoditische Linie eine solche bleibt, sofolgt nach derDefinition derreducirten Linge, daft auch diese beiderUmbiegung derOberfliche ungoindert bleibt. Nennt man daher bei aufeinander abwickolbaren Flichen entsprechende Ele- mente solche, diebeiderAbwickelung zurDeckung kommen, sofolgt der Satz: Zwei aufoinander abwickelbare Flichen haben in ent- sprechenden Puncten das gleiche Krimmungsmafs (Gauls lc), und entsprechende geodatische Bogen haben dieselbe redu- cirte Linge. DaderAusdruck firdasKrimmungsmafs denjenigen desLinien- clementes nicht bestimmt, #0lifst der erste Theil dieses Satzes sich nicht umkehren; wohl aber giltdieUmkehrang deszweiten Theorems: Kann man die Puncte zweier Flichen einander in der Weise alsenteprechende zuordnen, dafs diereducirte Linge der geoditischen Verbindungslinie von zwei Puncten der ersten Fliche stets dieselbe istwie fir dieentsprechenden Punete der andern, solassen sich diese Flichen aufeinander abwickeln, und eskommen hierbei stets entsprechende Puncte zur Deckung. 320 XVI.Allgemeine Theoriedergeoditischen Dreiecke. Nimmt men nimlich indenvorletsten Gleichungen desart.10 den PunctysonahebeimfestenPuncte8an,dalsa,—a,alseine sohr Kleine Gréfse erster Ordnung bezeichnet werden kann, sowird die reducirte Linge dieses Bogens vermége derDifferentialgleichung bis aufGréfeen dritter Ordnung genau: (2)—a,—a,. Weil aber diese Grdfse, wenn a,—ay unendlich klein wird, indasLinienelement 2wi- schen denunendlich benachbarten Puncten f,7Ubergeht, somufs man durch Entwickelung derFunction (a)* —wenn dieCoordinaten von Bund ydurch p,q und p,q’ bezeichnet werden —einen Ausdruck von der Form (a= E('—p)*+2F(p'—p)(@—9) +G9 erhalten, derbisaufGréfson vierter Ordnaung genau ist,undwodie Coefficienten nur noch vondenCoordinaten p,q desPunctes 6ab- hhingen. Dadorch istaber dasLinienclement gegeben, undsein Qua-drat5"Evp'+2Fipeq+Gag’.Folglichistdurchdenallgemeinen Ausdruck derreducirten Linge eines geoditischen Bogens alsFunction derCoordinaten seiner Endpuncte dasLinieneloment derentsprechenden Oberfiiche vollig bestimmt, woraus derobige Satz folgt. 15. AnStelle derreducirten Linge werden wir jetzt eine Function einfubren, welche wir surUnterscheidung die reducirte Abscisse nennen und infolgender Weise definiren, Beidenreducirten Lingen (8), (yf) war vorausgesetzt, dafs man ‘aufeiner gogebenen geoditischen Linie Bvon einem beliebigen An- fangspancte ausAbscisson rzihle, dieinderRichtung von Bnach 7 hinwachsen, Dadurch war, beiunverindorlicher Lage von B,der Panct yaufden Theil r>ay von ®Bbeschrinkt, und unter dieser Voraussetzung war SEP+kr)=0, und far roa, (B7)—0, “r—4, Wir heben diese Beschrinkung derAbscisee rauf,undlassen die vorstehende Differentialgleichung, ohne Anderung inden Grenz- dedingungen, furallemitdenStetigkeitsbedingungen (art,4)vertrig- lichen reellen Werthe von rbestehen. XVI. Allgemeine Theorie dergeodatischen Dreiecke. 321 Die s0entatchende Function von rnennen wir die reducirte Ab- ‘cise von 7inBezug auf AalsAnfangspunct, und bezeichnen sic, wenn rs,7,dieAbscissen dieser Puncte sind, durch [rar]. Istalso ry>14)0istdiesauch diereducirte Linge (8?) desBogens By;istdagegen r,<r, alsodiereducirte Linge —[r,r,], 80stimmen alle Bedingungen fOr(rpr,] mitdenjenigen aberein, welche man aus den Schlufagleichungen desart.10unter derselben Voraussetzung aber dieLage derPuncte y,Bfiir—(a)——[ryry] erhiilt. Folglich istin diosem Falle [r4rj] =—[Fr] wiesichimfolgenden art.aufanderm ‘Woge ergeben wird. Will man sich daher inden geoditischen Formeln statt derredu- cirten Linge (a)derenteprechenden reducirten Abscisse bedienen, was beiansgeflhrien Rechnungen nicht umgangen werden kann, 80istes nicht mehr gleichgiltig, welchen derbeiden Ausdriicke [r47,], [r,r4] ‘man fir(a)setzt, sondern man mufs denjenigen nehmen, flrwelchen dieannweiter Stelle stehende Abscisse diegrofsere ist. 16. Ist@dioAbsciase eines gegebenen Punctes der geoditischen Linie 8,80wird diereducirte Abscisse fer] desPunctes rmitBezug auf«alsAnfangspunct durch folgende Be- dingungen definirt: aa 1 Merl+eer]=0 imAllgemeinen, und flrr=« erj—o, ero. Dazu kommt das imersten Abechn. art. 4gefundene Resultat, dafs {er] und seino erste Derivirte allenthalben stetig sein milseen, wasjonachdemVerlaufoderLinie®alsBeschrinkung derVerinderlichkeit‘von moder aber such von raufrufassen ist, Multiplicirt man dieGleichung 1.mit[r]Zr, sofolgt durch Integration, dats derAusdruck far]221—ppp]Mend . constant ist.Nimmt mandaher zurBestimmung seinos Werthes ein- . ‘EB. Christoffel, Gesammelte Abhandiungen, 1 1 322 XVI.Allgemeine Theoriedergeodatischen Dreiecke. mal r=, dann r=8,#0findetersich——[fa],undauch—|af]; also haben wir 2 [aA] +[Ba] =0, wie schon imvorigen art. gefunden wurde, und ate) aan 3,for]2129)—(py)le")—fay. Nimmt man hier dieDerivirte nach A,und lifst dann fmit «zu- sammenfallen, 80folgt afer)_afar)afer] “enSie—ee=. Bildet man endlich mittelst 3.dasProduct [aA][yr], #0folgt durch cyklische Vertauschung derPunete «,f,7 5 [er](67) +(Br)[v4] +[rr][a6] =0. Diese Gleichung istnichts anderes alsderaufvier Puncte einer geoditischen Linie suegedchnte bekannte Satz Aber vierPuncte einer Geraden. ImUbrigen sind dieGleichungen 3.und 5,Additions- theoreme, vondenen diederKugeloberfliche entaprechenden Sitze ther dieFunction [ar] —sin(r—s) diespecielisten Fille sind. 1. Wir gehen nun zurUntersuchung derjenigen Abscissen rUber, fllr welche [ar] 0 wird. Um auch firdenFall, wodiegeoditische Linio eine insich murlickkehrende ist, diebeidieser Untersuchung stattfindenden Ver- hhiltnisse gehdrig uberiicksichtigen, ordnen wir die 2diesen Abscisson gebérigen Puncte nicht nach ihrer geometrischen Aufein- anderfolge an®entlang, sondern nach der Aufeinanderfolge ihrer Abscissen, 90dafe immer derFall mbglich bleibt, woeinspiterer Punct desSystems riumlich zwischen zwei ihm vorangchenden liegt. Um endlich beidergeometrischen Deutung von Untersuchungen Uber diereducirte Abscisse unrichtige Folgerungen zuvermeiden, mute einmerkwirdiger Umstand berickeichtigt werden, derbisjetat noch nicht beachtet worden zu ein scheint. Ichwill voraussetzen, man habe flrzwei aufeinander abwickel- bare Flichen Sund S’dierechtwinkligen Coordinaten ihrer Puncte durch dieselben Variabeln p,q inderWeise dargestellt, dafs xwei Puncte, welche gleichen Werthen derVariabeln p,qentsprechen, bei XVI. Allgemeine Theorie der geoditischen Dreiecke, 323 derAbwickelung aufeinander fallen, Hatman alsdann flreine geodi- tische Linie apderFliche Sdiereducirte Abscisse (af] inFunction derCoordinaten ihrer Endpuncto dargestellt, soistdieser Ausdruck nach art.14auch diereducirte Abscisee flrdiegeoditische Linie «’’ derFliche 5’,aufwelche sich jene abwickelt, aber nurunter derVor- aussetzung, dalsdieFliche S’auch wirklich dievollstindige Abwicke- lung derLinie apenthalt, InderThat folgt ausderLehre von derAbwickelung krummer Oberfiichen keineswogs, dafe, wenn einTheil einer gegebenen Fliche sich einer bestimmten Bedingung gemifs ohne Dehnung, aber mitoder ohne unstetige Richtungsinderangen der Tangentialebene umbiegen lift, dies auch von dervollstindigen Fliche gilt. ‘Man denke sich 2.B.von einer Rotationsfliche Seine von zwei Parallelkreisen und zwei Meridianbigen begrenzte Zone, welche dio Oberfidche wenigstons theilweise mehrfach bedeckt, und mmal umdie- selbe herumreicht, Soll diese Zone durch Auseinanderwickelung in eine neue, geschlossene Rotationsfliche S’verwandelt werden, welche nureinmal umihre Axe herumreicht, soistdies steta, aber auch nur dann méglich, wenn aufderurepriinglichen Zone derNeigungswinkel ihrer Normale gegen dieEbene desAequators nirgendwo grélser int alsderjenige Winkel imersten Quadranten, dessen Sinus —+ist. Durch geeignete Wahl von nkann man beijeder Rotationsfliche S (mit Aumshme desKegels) bewirken, dafs esZonen gicbt, welche dieser Bedingung genligen, und andere, dieihrnicht gentigen. Diese letzteren gehen beiderAufwickelung verloren, und dieneue Fliche 5” wird von allen sufderurspriinglichen vorhandenen geoditiechen Linien nurdiejenigen Sticke enthalten, welche anfeiner Zone derersten Art lagen. Wenn man dsher firdiese neue Fliche S’finden wirde, dats 2.B,dioreducirte Abscisse [a’6’] fir einen reellen Werth f’ver. schwindet, sokann immerhin derFall stattfinden, dafs demungeachtet dieOberfliche S”keinen diesem Werthe enteprechenden reellen Punct enthilt, und man kann alsdann nur schliefsen, dafs esnoch andero durch dieFunction [a’f'] nach art.14bestimmte Oberflichen Sgiebt, aufdenen S’abwickelbar ist,ohne sieganz zubedecken, undwelche aufihrem unbedeckten Theile xujenem reellen Werthe f’auch den enteprechenden realen Punct darbieten. 18. Dieses soverstanden, istes2B. nach dem Jacobi’schen Kri- torium flrdiekirzesten Linien Klar, dala dieLinie ®nur solange at 3824 XVI.Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. eine Ktrzeste Verbindungslinie von rmit@ist,alsawischen rund « Kein mit @sich indernder Werth fenthalten ist, flr den [aA] —0 ist. SeinundasKrimmungsmafs kaufeiner denPunet «enthaltenden Strecke vonBnogativ. Dain«selbst[ar]=0, “2-1, also positiv ist,sowird uAnfange [ar] mitrzugleich wachsen, folglich [ar]selbst, undmitihm“I¢7]——k[ar]positivwerden. Solange dies derFall ist,wichst also auch dieerste Derivirte, und zwar aber 1hinaus, mithin [er] umsomebr, und mitbeschleunigter Geschwindig- keit. Da[er] inder entgegengesetzten Richtung unaufhérlich ab- nimmt, solange inegativ ist,sofolgt derSatz: Zwei unendlich benachbarte geoditische Linien kénnen sich von ihrem Eintritt ineinFlichenstiick vonnegativem Krimmungematse bis zum nichsten Austritte aus demselben niemals inmehr als einem Pancte schneiden. Mit Ricksicht auf das oben erwihnte Kriterium fiir kitrzeste Linien folgt hieraus auch dervonJacobi ohne Beweis susgesprochene Satz (Vorlesungen ther Dynamik pag. 46): Auf einem Flichenstiicke vonnegativem Krimmungsmalse istjede geodiitische Linie augleich eine kGrzeste Verbindungslinie ihrer End- puncte, Den Beweis dieser Sitze kann man auch ausderGleichung en GP=f(CP)Hert ichen. Weniger einfach istdieUntersuchung frdenFall, wodas KrimmungemaB positiv ist Istkpositiv, 80haben [ar] und seine zweite Derivirte entgegen- igesotzte Vorzeichen. List man daher rununterbrochen wachsen, 80 wird dieerste Derivirte wacheen oder abnehmen, jenachdem [ar] negativ oder positiv ist, wihrend umgokehrt [ar] selbst wichst oder abnimmt, jenachdem dioerste Derivirte positiv oder negativ ist. Wir hhaben demnach vier Fille zuunterscheiden, zuderen geometrischen Darstellung wir8umden Punkt «unendlich wenig drehen, sodats,wennapderDrebungswinkel beiaist,derPunctrdenzu®senk-rechten Weg [ar]2p beachreibt, welcher nach derselben oder derent- gegengesetzten Seite wiecpaufutragen ist,jenachdem [ar] positiv oder negativ ist,und einwirkliches Schneiden beider Linien eintritt, wonn [er] sein Zeichen wechsolt. XVI Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 825 Liegt rnahe genug bei«,0ist[er] positiv flrr>«, negativ farr<a,4)inbeiden Fallen positiv. DieseFallefinden also unter allen Umstinden wenigstens einmal statt. 1)Istoun[ar]negativ, %)poritiv, sonohmen beidemitrzu, und dieZanahme von [ar] isteine beschleunigte. Findet dice statt sufderStrecke 1,<r<ry, 80wird Ofer fan]>Gel(1) +fend, und daraus folgt, dale r,nicht jede Grenze Uberschreiten kann. Denn sonst wilrde, wie weit auch dienegative Gréfse [ar,] unter Null liegt, dierechte Seite derUngleichheit durch Vergréfeerung von r,positiv gemacht werden kénnen, wihrend sie<[er,], also negativ. bleiben mufs, Wenn man daher imvorliegenden Falle r,also auch diepositive Grotse212°)wachsen lifst,somufseinmal derFalleintreten, wodic urspringlich negative Gréfse [ar] gleich Null undhierauf positiv wird. Esvorsteht sich von selbst, dale diese Schlisee ihre Gtltigkeit verlieren, wenn beiwachsendem rdasKrimmangsma(s nicht immer positiv bleibt. 2)Istnunauch [ar] positiv geworden, sonimmt [ar] noch immer au,2")dagegen nimmt ab,unddioZunshme von[ar]istdemnach cine verzigerte. Hier sind awei Fille denkbar; entweder convergirt beiunbegrenzter Zunahme vonr24)gegeneinepositive festeGrenze, die such —0 sein kann, und dann verschwindet nuletzt dio xweite Derivirte, also such [er], d.i. k,weil [er] nicht abgenommen hat, flzo von Null verschieden ist. Dieser Fall tritt 2.B. bei den Meridianen eines Rotationsparaboloids ein. —Oder sber osgeht alee!durchNall,[ar]berschreitet einMaximum, undestrittder folgende Fall ein. 3)Ist[ar]positiv, “*)negativ, sonehmen beideab,wahrend r wichst, ersteres mitbescbleunigter Geschwindigkeit, und man beweist wieimersten Falle, dala inFolge dessen [ar] durch Null gehen mals. 4)Istaufdiese Weise such [ar] nogativ geworden, 20nimmt seine Derivirte wieder 2u,[ar] selbst fibrt fort abzunehmen, aber mit verzigerter Geschwindigkeit. Jenachdem nun, wie imaweiten Falle, dieDerivirte gegen eine feste Grenze convergirt, dienicht positiv ist, 826 XVI.Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. oder durch Null geht, wird [ar] imAbnehmen bleiben, oder dererste Fall eintreten, der seinerseits wieder den zweiten nach sich zicht. Esfolgt also, dafs beipositivem Krimmungemalte eine derur- spriinglichen unendlich benachbarte geoditische Linie, welche jene im Puncte «schneidet, imxweiten und vierten Falle andieser ohne Ende entlang loufen kann, ohne sievonNeuem zuschneiden, dale dagegen auf den ersten und dritten Fall nothwendig einDurchechnitt folgt, ebenso wiedem xweiten und vierten nothwendig einsolcher vorangeht. Dasich ferner ergeben hat, dals [ar] und seine ersto Derivirte sowohl beipositivem wiebeinegativem Krimmungemafse niegleich- zeitig verschwinden, sofolgt noch, dafs mitdem Verschwinden von[ar] stets einwirkliches Schneiden, niemals einBerdhren dergeodittischen Linien verbunden ist. Wenn daher mehr alseinSchnittpunct statt- findet, 90gehdren zwei, beiwachsendem raufeinander folgende Schnitt- puncte niomals zurnimlichen Art, undeswecheelt [ar] beim Uber- achreiten eines Schnittpunctes jedesmal sein Zeichen. 19. Eslobnt derMthe, unter derVoraussetzung, dafs dieGleichung 1 [er] =0 mehr alseine Wurzel hat, dieAbhingigkeit derselben von der stete vorhandenen Wurzel r=a einer eingebenden Untersuchung auunter- worfen. TatBeine von «verschiedene Wurzel dieser Gleichung, #0folgt us art. 16Formel 5,flrjedes rund y [er]_far]; Gln 4.h.esist alsdann (ar) (Br) von rganz unsbhiingig. Dies giltauch umgekehrt; denn wenn dieser Bruch nach rconstant ist,sofindet auch dievorangehende Gleichung statt, und aus der erwihnten Formel folgt bei beliebigen rund 7 [rr][@B] 0,d.b.[«f] —0, weil imersten Factor rbeliebig ist. ‘Aus doridentischen Gleichung 3.art.16folgt aber unter dernim- lichen Voraussetzung, dafs vorstchender Bruch gleich ist Aer] ,a8r] or ar? . beiebenfalls willkirlichem r,Nimmt man daber r= oder r=, sofolgt XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 827 (er)_dee) {6r]_alee] __ates) 2(Br) Op”[ar) Oa éa’ wenn [af] selbst —0ist. Betrachtet man nun falsFunction vona,sofolgt ausa[«f] —0, wenn man dieDerivirten wegschafft: ah folglich ist er 3 FTC. 3a (ar) ‘stets positiv und niemals Null oder unendlich. Denn kénnte dies z.B. fiir ein bestimmtes «verschwinden, somiifste die rechte Seite fur dieses aund jedes rgleich Null sein, was einWiderspruch ist ‘Wenn also die@leichung 1.noch eine zweite reelle Wurzel 6 hat, sowird diese mit «zugleich stets und ohne Stillstinde wachsen, ‘solange siestetig ist, Sa ae), aed)ie Ge7% alsowegen2.und3. opw—=-1, #5. Dann folgt n=Mloe4Bap, oderdaderFactorvon7p,welcher ——k,[af]ist,verschwindet, au_aap] aa9008" Daransfolgtweiter tu[ap],aap]opdat aatep +da0p" da Ofep) a[ap] apiae endlichk auFamke utS. ‘Setzt man hier flruseinen Werth ein,sofolgt schliefslich OH"9AB apy" apy 4 3(FA)22828—4x,(28)'—an,(22), ‘welcher Differentialgleichung dritter Ordnung alleWurzeln 6derGlei- chung [«f] —0Goniige leisten. 328 XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. Man bestitigt leicht, dale dienimliche Differentialyleichong sich auch ergisbt, wenn man’ palsFunction von«sobestimmt, dals za zwei Lésungen derGleichung on+hem=0, ie nicht inconstantem Verhiltniase zucinander stehen, sich stets awei Lésangen derGleichang oR+hM=0 angeben Inssen, welche das nimliche Verhiltnifs liefera, Dies Ver fabren istgenau dasselbe, durch welches Herr Kummer (Crelle’s Journal XV. p.89und 127) die Jncobi"sche Differentialgleichung abgeleitet hat, welcher simmtliche Modulargleichungen derelliptischen Functionen Genige leisten, undwelche einen besondern Fall dervor- stehenden bildet. Dieallgemeine Lésung obiger Differentialgleichung stellt sich dem- nach infolgender Form dar: (ove) _pltsl-+ate6)(eye)~rCA)-+etme)?vorausgesetzt, datsweder[0,<,),noch[4p]—0ist,weilsonstnachdem zaEingange dieses art.gefundenen Satze eine vonbeiden Seiten derGleichang constant wire. Aus demeelben Grunde darf ps—gr nicht =0sein, Was dieConstanten p,,r,¢betrifft, 20mason dieselben offenbar sogowilt werden, dafs beide Zihler und ebenso beide Nenner gleich- zeitig verschwinden kénnen. Sind nimlich p,,p,dieWerthe, welcheBfir@=a,und«=aerlangt,somufszurRechtenderZiblerftirB= py der Neoner fir ff, verschwinden, Aus der Differential- leichang firMffolgt also, dale jener zu(f,6], dieser zu[6,6] pro- portional ist, und unsere allgemeine Lésung nimmt hiernach diever- einfachte Form (we), 66fel7"6 an, wo 4eine Constante ist. Sind endlich such «,,gleichzeitige Werthevon«6,sofolgt durch Elimination von 2 5 (evea) Love _(0A) (6.8)(eyes)Ce]7(sea)0) alsallgemeine Lasung der Differentialgleichung 4.inwelcher die néthige Anzahl willktrlicher Constenten turEvidenz gebracht ist,indem XVI.Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 329 liber dieWerthe f,,f,,6,vonB,welche drei gegebenen Werthen ;,&%4,@von«enteprechen sollen, nach Belieben verfigt werden kann. Mit Benutzung einer inderPlanimetrie tblichen Ausdrucksweise kann man also sagen: Die Differentialgleichung 4.ist die nothwendige und ausreichende Bedingung dafir, dafs der Punct 8mit drei festen Puncten 6,,fy,6,stets das nimliche Doppelverhilt- nifs gebe, wie der Punct «mit drei ebenfalls festen Puncten Hy My Me Diese sechs festen Puncte kénnen nach Belicben angenommen werden, bisaufdieBedingung, dafs vondensechs reducirten Abscissen Cees], (ei), [exes], (6.1), (8:6s)> (222s) keine =0sei. Wablt man unter dieser Voraussetzung, falls dies méglich ist, By,Byund By0,dale [BJ =0, [426:]—9, [a6] —0 wird, sogeht dieLéeung derGleichung 4.Ober indieGleichung [<A] 0, von derwirsusgegangen sind. InderThat tritt alsdann [A8) i, i {Altftp)12constantes Verbiltnife m{510,undeefolgtmunichst ; (ese) fore) (Alf Al Nimmt man hier «=@,B=By,80wird wegen [4] —0zurLinken derDivisor gleich dem Dividenden, also ist4—1 und esfolgt (es@] (48) +[se] [41] =0, endlich wegen 5.art16 [oA][0g]=0,4.i.[6]=0, wetbow 20. Seimdiereducirte Linge eines geodatischen Bogens, welcher dio Pancte 4,%undp,q verbindet. Will man sich zurBestimmung von mslsFunction vonp,qderGleichung B.desart. 12bedienen, so mufs man noch, aufser denbereits festgestellten Stetigkeitsbedingungen, dioamSchlusse desart.14gefundene Anfangsbedingung hinzuftigen, zufolge welcher m,wenn p,q inunendliche Nihe von py,gorilckt, bisaufGrofsen vierter Ordoung dasQuadrat des beide Puncto ver- bindenden Linienclementes wird. 330 ‘XVLAllgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. Dies setzt aber voraus, dats man inderDifferentialgleichung“B. dievom Azimuth &abhingigen Coefficienten, welche nach art.2nichts anderes als(32), —2229, (22)'sind,ansdendortaufgestoliten Difforentialgleichungen bestimmt, und dann dasVerhiltnify zweier von ihnen rum dritten durch p,7,py,4und dasAzimuth bei75,%aus- godritckt habe Umdiese Schwierigkeit zubeseitigen, werden wirdieGleichung B.nocheinmaldiferentiiren, undmittelst derhieraus folgenden 3?und 24eliminiren, woraus dannfurmeinepartielle Differentialgleicbung folgt, inwelcher nurp,qvorkommen, wihrend dieCoordinaten 75,d9 narnoch inGrenzbedingungen eingehen, und dasAzimuth beiP,% ausallen Bedingungen eliminirt ist. Far diefolgenden Rechnungen, diedurchgingig nur angedeutet werden milssen, werden wir atatt derbisherigen Bezcichnungen ein- fachere wihlen, deren Bedeutung sich aber darch dieVergleichung mitden enteprechenden Formeln von selbst ergiebt. .EssindpundqalsFunctionen vonssomubestimmen, datszwei Differentialgleichungen von derForm (vergl. art.2) 1 vimdp?+2p+9? Gm Ap?+Quyt+m0? erflllt werden, und zugleich 2 Ep+2Fp'q'+ Gg?=1 wird, wenn dasQuadrat desLinienelementes est— Eep'+2Fepeg+Geg? ist. Endlich milssen p,q flrs—0 inpy,adbergehen. Die Ausdriicke, welche in1.rechts vom Gleichheitszeichen vor- kommen, worden wirdurch (J,,1;¥,), (JnH4%) bezeichnen. B.Intdievorige Aufgabe geldst, und wird atm_j11)am_pt)amaprUt)ap—(a)3g+Bem€atm_12)dm__(21)dm 1apa(ilap—lalaq+Fem=8am(28)2m_138)amog—Lt}5p—Ua}ag+Gem—8 XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 331 gesetzt, sohaben wirausdererwahnten Gleichung B.zurBestimmung von m: 2 Ep?+25p'q'+Gq?=0, woru aufser den Stetigkeitsbedingungen noch dieAnfangsbedingung gebdrt, dafs, wenn p,q vonpy,gynur noch umunendlich kleine Grdfsen erster Ordnung verschieden sind, bisaufGrofsen vierter Ord- nung genau 3.mtmEo(p—po)?+2Fy(p—Po)(4—a)+Go(a—a0)" wird. ©.Wir setzen nun voraus, dafs diesen simmtlichen Bedingungen geniigt ist Dann bestimmen p,q alsFunctionen vonseine vonpo)% susgehende geoditische Linie, swird dieLinge deszwischen beiden Puncten enthaltenen Stiickes dieser Linie und m,wie verlangt, die reducirte Linge von s. Aus&,2.folgt durch Differentiiren 1,2Gp+Fop"+ GetGe)a'tFEv+(E+238)peg+...0, * op. ogop. , und wenn man hier firp”,g” aus %.1.ihre Werthe einsetzt: 22Gp'+Fa)Aa)+2(80'+Ga)ayry)+Evt---—0: Diese Gleichung ist,wieB.2. inp’,q’homogen, aber vom dritten Grade. Wenn dieselbe nichtbeibeliebigen Werthen derGréBen 2,u,v identische Folge von 8.2.ist,sokann man ausbeiden Gleichungen p'und q’eliminiren; dasResultat dieser Elimination 3. [m]=0, istdieoben erwihnte partielle Differentialgleichung. Zuihrgehért aufser denStotigkeitsbedingungen noch %.3.alsAnfangsbedingung. ‘Wenn dagegen dieGleichung ©.2.beibeliebigen Werthen der Grdfsen 2,#,vmitB.2.vertriglich ist, sogentigen p’,q’mitWB.2. augleich den linearen Gleichungen Ep’+ §q'— 0,§p'+Gq—0. In diesem Falle istalso Ep?-+ 2p'q'+Gq?einvollstindiges Quadrat, und mgenigt derpartiellen Differentialgleichung @) P-EG-0. DadieGleichung [m]—0 jetzt firalleWerthe dersechs Gréfsen 4,#,vbesteht, soistsienothwendige Folge dervorstehenden. Wihrend also diereducirte Lange minallen Fallen sufser den Anfangs- undStetigkeitsbedingungen derGleichung ©.3.genigt, giebt 332 XVI.Allgemeine Theoriedergeodstischen Dreiecke esnoch Aumahmefille, wosiedereinfachern Differentialgleichung (3.) Geniige leistet, und jene eine Folge von dieser wird. D. Wir untersuchen nun dieumgekehrte Frage, obauch jede derGleichung 6.3.und den dazu gehdrigen Bedingungen gentigendo Function eine reducirte Linge ist. Damit dies derFall sei, ister- forderlich und hinreichend, dafs mitZugrundelegung der40bestimmten Function msich auch diein%.und QB,gestellten Bedingungen be- friedigen Inssen. Die Gleichung ©.3.istdieBedingung daft, dafs denGleichungen 8.2,undG.2.durchdennimlichen Werthvon2;—igentigtwer- denkénne. Wirsetzenalsovoraus, essei£eineLésung derGlei- chung 8.2, durch welche auch 6.2.befriedigt ist. Setet man dies in©2ein,80sind auch p’,q’ bestimmt bisaufa Zeichen, vonwelchem dieRichtung derwachsenden¢abbiingt,undwelchesaufdasVerhiltnis $2Keinen Einflufs hat. Durch Differentiiren folgt jetzt ausB.2.dieGleichung C.1,und ‘wenn man vondieser diebereits befriedigte Gleichung 6.2.subtrahirt und denFactor 2beseitigt 1.(€p'+ Fa" —Cies)) +[8P'+Galle” —Gaam)] =0. Differentiirt man diebeiderBestimmung vonp’,q’benutzte Gleichung XU.2,soerhilt man eine Gleichung vonderselben Form wie©.1,und von welcher zubemerken ist,dats sienach art.2vermége derBedeu- tungderCoefficienten 4,——{'!} a.8.w.identisch wird,wennman p,q durch (2,12), (asHs%) ersetzt. Esistalso auch, sobald p’,9° derGleichung W.2.gentigen, 2 [Ep’ +Fa']lp"— (4u.%)] +Fp’ +GV”—atys)]=0. Wenn die Determinante 8 gn|OP+BaBet@| : |Ep’+Fa’Fe'+Ga’ dieser beiden Gleichungen nicht —0 ist,sosind also auch dieDiffe- rentialgleichungen W.1.erflllt, und zwar isteine einmalige Integration derselben geleistet, indem p’,q’ alsFanctionen vonp,q,Po,qoethalten worden sind. Bestimmt man also hieraus p,q #0,dals siefirs—O inpo,goGbergehen, sosind alle Bedingungen %.und B.befriedigt, undesistdann namentlich wegen %.2.dieunabhingige Variable s dieLinge einer geoditischen Linie zwischen p,q, und p,g, und m ihre redueirte Linge. XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 833 Wenn dagegen unter dernimlichen Voraussotzung, dafs denGlei- chungen W.2,8.2und G.2,Gentige geleistet ist,4identisch ver- ‘schwindet, s0sind dieGleichungen 91,nicht mehr cine nothwendige Folge derbeiden vorstehenden. Man kann indiesem Falle eine Grofee 2 80bestimmen, dats Ep’+§q’—1(Ep'+Fa’),undzugleich§p’+Gq"=2(Fp'+ Gq’) wird. Addirt man diese Gleichungen, nachdem man dieerste mitp’,dieandere mitg’multiplicirt hat, 90folgt wegen .2. und %.2.0—4, 00dals also, wenn 4identisch verschwindet, anStelle von @.2.dieeinfachern Gleichungen Ep’+§q'=0, §p’+Gq’=0treten. Folglich geniigt mindiesem Falle auch noch der Gleichung B'—EG—0. Eswird sich weiter unten ergeben, dale nicht jede Function, welche diese Gleichung befriedigt, cine reducirte Linge ist, abgesehen davon, dafe sich nurinAusnabmefillen unter denLésungen dieser Gleichung Oberhaupt reducirte Lingen befinden. ‘Aus denvorangebenden Untersuchungen ergibt sich also dasfol- gende Resultat: Jede Function m,welche sufser den Anfangs- und Stotigkeitebedingungen noch derDifferentialgleichung ©.3,aber nicht zugleich derGleichung 6.(3.)genigt, isteine reducirte Linge, undes lassen sich ausdem Ausdrucke dieser Function mittelst derGleichungen B.2.und W.2auf algebraischem Wege p’und q’,also das Azi- muth %dervon pgp mach pqgehenden geodatischen Linie finden, wihrend eszurBestimmung ihrer Linge noch einer Integration be- darf. Bei derBestimmung vonp’,q’ wird einVorzeichen verfllgbar, welches bestimmt ist,sobald festgestellt wird, obsvonp,q) nach pq hin, oder inumgekehrter Richtung wichst. Vgl. art.13. 21. Die Untersuchung desAusnahmefalles, welcher sich imVoran- gehenden dargeboten hat, stttzt sich aufdieBemerkung, dafs derAus- druck 4,unter Vorsussetzung linearer Substitutionen flrp’und q’ allein, diesimultane Covariante derbeiden Formen w= Ep?+25p'q' +Ga"? vm Ep'?+2Fp'q'+Gq'* ist, Man findet inFolge desson durch geeigneto Specislisirung dieser Formen Go-Ew §o—Fuan-|e oeoeeek 334 XVIAllgemeine TheoriedergeodStischen Dreiecke. Inunserm Falle istaber (1.2.) o-—1 und (B.2)w=0;folglich wird 2-9-6. Dieser Ausdruck ist seinerseits wieder die Invariante von bei linearen Substitutionen flrp’und q’allein; eristaber auch eine Invariante inweit ausgedehnterm Sinne. Setzt man zunichst inden Gleichungen derOberfiiche S == 9(P,0), y=¥(P,9), #—=2(P)9) furdieVariabeln p,q 2wei voneinander unabhiingige Functionen von Pi%»Cin, wodurch dieFliche Snicht geindert wird, sogeht die Function »ber ineine neue Fanetion om Expy?+2Fip'a+Gia, durch welche derneue Ausdruck des Linienelementes bestimmt ist, und die Function u,welche bei beliebigem mnichts anderes be- deutet als os unSatkm, geht Ober ineine neue Function Hy Ep+2hp'a' +Ga,woG,,§,@,fiirdieneueFormdesLinienclementes unddiezuge-horigen Variabeln, wegen desvorstehenden Werthes vonu,derkein Coordinatensystem voraussetzt, ebenso gebildet sind, wiefriher G,§,G. Da man andererseits die Werthe der Coefficienten inden trans- formirten Formen erhiilt, indem man inden urspriinglichen Formen blofs die lineare Substitution a Ce) (») PmBpPetGgG9Uap, PtGq, macht, und 4hierbei dieerste Potenz derSubstitutionsdeterminante rmOPOd_oetgap,a4,~89,"om ausecheidet,90folgtG'-€,6,—°FEG). Seiallgemeiner S,eine aufSabwickelbare Fliche und das System ihrer Gleichungen T=(PG) YRNP) #=MPG): Dann kann man pund qalsFunctionen vonp,undg,60bestimmen, dala die Linienelemente beider Flichen einander gleich werden, also wieder con XVL. Allgemeine Theorie dergeodNtischen Dreiecke. 835 wird, Aus dernimlichen Substitution ftirpund gergiebt sich eine lineare Substitution (p)flrihreDerivirten p,q’. FUbrt man dieerstero inmaus,80bleibtw=2%+kmbeijederBedeutung vonmunge- andert, wenn SaufS,abgewickelt wird, also istauch umm, mithin wieoben i—6,6, —r'(*— EO). DerAusdruck §?— €G, dessen Zusammensetzung durch dieiden- tische Gleichung ag+ov"+og=Bip+2Fpeg+Gog! - bestimmt ist,iataloo Invariante gegentiber jeder Substitution vonFune- tionen g,,¥%,%anStelle von g,w,z,durch welche egtw+oxogh+outtext wird, unsbhiingig davon, obhierbei gleichzeitig p= g,,¥—Y, und 1% sein kann oder nicht. Inderselben Weise mufs dieses Theorem auch flrdasKrimmangs- mals ausgesprochen werden, wenn man dieSubstitutionen, denen gegen- ‘ber dasselbe invariant iat,richtig bezeichnen will. 22, Um nun dieNatur der Flichen zubestimmen, fir welche bei jeder Lage desPunctes p,qdiereducirte Linge meiner geoditischen Verbindungslinie dieses Punctes mit dem festen Puncte p,%der Gleichung, 4=—0 genigt, mag dies nun flralleoder nurflrspecielle Lagen desPunctes By)%stattfinden, bezeichnen wir den geoditischen Bogen zwischen bbeiden Puncten durch r,seinAzimuth beip,q durch g,undnebmen dieneuen Variabela p,—r, g,—. Dann wird dasQuadrat desvon ‘P,7ausgehenden Linienelementes est=er?+meg’, undhieraus folgt (art. 2undB.1.art.20) ‘Om6,-Fathm aim__dlogm Om 5srae or a atm,(om)*_1(emt ©,—Fy+(Fe)—aeGq)tm 336 XVI,Allgemeine Theoriedergeodstischen Dreiecke Damcine reducirte Linge seinsoll, sowird €,—0; ferner ist og Bw ‘also erhalten wir (B*logm\* (dpq_ ep24)" (aebe) ~(539a608)8—EO), und dadierechte Seite =(sein soll, Bogm _“erag~ Folglich istmdas Product aus zwei Factoren, von denen jeder nur cinederbeidenVariabela r,@enthilt, Daaber2"furr—0indie Einheit tbergeht, soistmvon gvéllig frei, und Function vonr allein. Daraus ergiebt sich weiter, dafs wuch desKrimmungemals & nur vonrabhiingig, also anjedem geoditischen Kreise entlang con- stant ist,dessen Centram derPunct 7,goist. ‘Wenn umgekebrt, beigeeigneter oder beliebiger Lage desPunctoo Po:GEnurvon ¢,nievon gabbingt, eowird auch diereducirte‘LingemFonction vonrallein,und4identisch =0. Bei dieser Beschaffenbeit von mzeigt aber derAusdruck des Linienelementes, dafs dieFliche Sohne Dehnung ineine Rotations- fliche umgebogen werden kann, #0dala p,,gPunct derDrehungs- axe wird. Indiesem Falle verwandela sich allevonpy,g»ausgehenden geo- ditischen Linien inMeridiane, frderen reducirte Lingen, weil sicvom ‘Azimuth punabbingig sind, 4—0 ist,undesgiebt daher umgekehrt, wenn dieVoraussetzungen unserer Untersuchung erfillt sind, Keinen vonPs,dyausgehenden geoditischen Bogen, frwelchen 4von Null verschieden ist. Der Fall, dafo diereducirte Linge derGleichung 4—0 gentgt, bietet sich also dar, 1)beidenFlichen vonconstantem Krimmungsmatse flrjede beliebige Lage desPunctes p,,9; 2)beijeder andern Flache, diesich aufeine Rotationsfliche abwickeln lifet, wenn man filr9,g>einen derjenigen Puncte wiblt, welche dabei auf dieDrehungsaxe fallen, vorausgesetat, dafs dieurspriingliche Fliche dberhaupt einen solchen Punct enthilt. XVL Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 337 Inallen dbrigen Fillen ist,wenn man flrmeinereducirteLinge nimmt, 4von Null verschieden, folglich nicht blofs jede reducirte Linge eine Lasung derimart,19gefundenen Differentialgleichung [m]-0 nebst dendazu gehdrigen Bedingungen, sondem auch umgekehrt jede Function, welche dieses System vonBedingungen befriedigt, eine redu- cirte Linge. Daendlich nicht jede Lisung derGleichung 4—0 eine reda- cirte Linge ist, sondern nur eine solche, dievon punabhingig ist, weil nurindiesem Falle €,—0 wird, 20folgt, dale indenbeiden cbigen Ausnahmefilien auch dieGleichung 4—0 zurBestimmung dorreducirten Linge nicht hinreicht, sondern diese, was indiesen Fallen aber auch zuniichst liegt, direct ausderurspriinglichen Gleichung on+km=0 gefunden werden mufs. : ‘Von den obigen Ausnahmefillen wird der erste imfolgenden Abschn, art.29seine vollstindige Erledigung finden; derandere tritt nurflirbesondere Lagen desPunctes 74,4ein,und bedarf alsGrenz- fallkeiner besondern Behandlung. Vierter Abschnitt. Gooditische Classification der krummen Oberfiichen. 23. Nachdem imVorangehenden nachgewiesen worden ist,welche Be- doutung denimzweiten Abschnitte gefundenen Integrabilititsbedingungen beigelegt werden mufs, werden wirdiesimmtlichen Formeln mitBe- nutzung derinzwischen gefundenen Vereinfachungen inentsprechender ‘Weise zusammenstellen. Wir halten dabei anderVoraussetzung fest, dale dieinden Seiten desgeoditischen Dreiecks gezihlten Abscissen inderart5fesigelogten Richtang wachsen, sodafs diereducirten Liingen derSeiten, durch reducirte Abscissen susgedrickt, diefolgen- den werden: @=], O=[re], ©=[e8]- E.Robrtetotte, QuamAttandiengn, 2 338 XVI,Allgemeine Theoriedergeoditischen Dreiecke. A.Die endlichen Grundformeln Ga+a)=0 aa) 8(a)(a) ©)dayéa;—bay20,—| oe+h,(a)=0 2(a:galog(a) @sing’Hy("intaay”)+86a)= ®(siny210@(@) _2(sinBy_ Die tbrigen Formeln, welche hierhin gehiren, ergeben sich durch ceyklische Vertauschungen; dieentwickelten Formeln werden wir nicht wiederholen. B.Die Differentialformeln. Dieselben lauten inunentwickelter Form: ; 4) 1721) aing82%,—[sl1}sin(C—0)—4{7}} sin6sing350)ep a(t) 1/3) 5, sa +{at2}sin(h—o)—4 {9}sindt]09,+Gre, Co[A(3]sin(B—0)—4{7} sin+sin7ZO)on, +[{2]sincr—o) 49]sintt]ea,+ayep Ga—cosBac, —2a,—00872,+Ca, sing sins ging (21080-»4Slog) aa—tea,—SyeaetineGEO20,+EMec,). In entwickelter Form wird ‘gain(11oyBlog(a) ‘gain/2t oa,—[2{7}tesineGE‘27[ese{2}. Ao(ay sin, sin,+gsin(U—o) 3a,180Tye yey. sine(11 «oyBlog(ay) ‘gino(24m=—[2882]enna op,—[ese]. o sin in(t—e +9sin(h—0)2580)24,oglenetoyGyeedy 2a=¢,008%,cp, +9,008(,—0,)2a,—¢,c08i,2p,—9,008(%,—0,)24,. XVI. Allgemeine Theorie dergooditischen Dreiecke. 339 Wenn essich nicht blofs umeine einzige geodittische Linie, sondern umeingeodatisches Dreieck handelt, somilssen auch hier noch die durch cyklische Vertauschung folgenden Formeln beigefigt werden. 24, Die vorstehenden Resultate wenden wiraufdieUntersuchung der Frage an,unter welchen Voraussetzungen dber dieFliche $inéhn- licher Weise, wie esbeiderKugel derFall ist,zwischen den Ele- menten, niimlich den Seiten und Winkeln cineé geoditischon Dreiecks Gleichungen bestehen, welche von denCoordinaten p,qderdreiEcken unabhiingig sind. ‘Wenn eine solche Gleichung stattfindet, sowird beieiner stetigen Ortsinderung des Dreiecks, bei welcher flinf Elemente ungeindert bleiben, auch dassechste sich nicht indern. Einahnlicher Schlufs gilt indenbeiden andern noch méglichen Fallen, wozwischen den sechs Elementen zwei oder drei voneinander unabhingige Gleichungon “statt- finden. ‘Wenn umgekehrt eine stetige Ortsinderung desDreiecks mdglich ist, beiwelcher seine simmtlichen Elemente ungeindert bleiben, so sind die Ausdricke der sechs Elemente durch die Coordinaten der drei Ecken keine voneinander unabhiingige Functionen der letztern, indem die Differentiale der Coordinaten durch die Differentiale der Elemente nicht véllig bestimmt sind, weil sonst jene mitdiesen zu gleich verschwinden mifsten. Unterscheidet man nun diejenigen Co- ordinaten, deren Differentiale beigegebenen Differentialen derElemente willktirlich bleiben, von den dbrigen, und eliminirt dieletztern, so gehen dieerstern nothwendig von selbst heraus, und man erhilt dem- nach ebensoviel voneinander unabhiingige Gleichungen zwischen den Elementen desDreiecks allein, alsDifferentiale vonCoordinaten seiner Ecken willktrlich bleiben. Esistdemnach zuuntersuchen, obdiesechs Gleichungen @)—éa=0, ch—0, ce=0, a=0,2B=0,ty=0 bei von Null verschiedenen Werthen der Grofsen @) ParGar gr GayPyr CQyy oder was anfdassolbe hinauskommt, derfolgenden @) Ey, CysCegy(yy VayCy méglich sind oder nicht, und imersten Falle, wieviel vondenletztern dabei willktirlich bleiben. Diese Untersuchung tber dieFille, wodieAuflésung derGlei- chungen (1)keine bestimmte ist,hiingt nurscheinbar vom Verschwinden 2° 340 XVLAllgemeine Theoriedergeoditischen Dreiecke. iner sechszeiligen Determinante und ihrer Unterdeterminanten ab, in- dem diedrei ersten von denGleichungen (1)sich stets und ohne Un- bestimmtheit nach dreiUnbekannten, 2.B.2a,,2b,,/¢,auflsen lassen, durch deren Elimination man zudrei Gleichungen gelangt, deren De- terminante zu untersuchen ist. ‘Auf einem solchen direkton Wege wiirde man indessen zukaum fibersehbaren Resultaten gelangen. 25. Setct man zubesserer Ubersicht cosetconpoosy_y,coef-tocsycora cony+cosaconf_ tinBin »Singaine einen F, rund die Determinante 1 —cosy —cos8 —cos7 1 —cos «|= 6, —cosB —cose 1 20 wird —ae it pr foe_ 1-Mm pay? A—BOsoaringany u.8,w,und man erhilt: a—cosy2b—cosBae=sin(sinyca,+Bsina’e,)—sinA(sin82a,+sineeb,), nebst zwei ihnlichen Gleichungen, welche aus dieser durch Ver- tauschungen folgen. ‘Um dendrei ersten Gleichungen (1)zugendgen, nebmen wir sinyea,+Bsinedc,—2i26, sinfaa,+Tsinadd, =2iet sinab,+sinpea,—ysek, sin700,+AsinBocy—yS2e sinBa¢y+Asinyat,—252",sinade,+Bainyea,—282h,woraus ; ;(1—B?)sineae,-eie—Brine =F)si=ytttpetiny (69)sinadd,— yS24—FaSAE u.a.w,folgt Durch dieWerthe von2,y,#sindalsodieGréBen (3) véllig bestimmt, und dieAnzahl der willkirlich bleibenden istin beiden Systomen dicselbe. XVI. Allgemeine Theorie der geoditischen Dreiecke. B41 Nun ist teem§[sinyea,+Spinace,|—[sinBea,—52sinaay] 1pein, (80) i 17sing(806) i ~@[eiset(392-8)sinezes|—G[tae(G2+1)singad,], alsofolgtcem2Petite4(20)_g)smb(_*aca=gy[Fieet(op-—8 6"aay2a)|1fjsiny (2047)snr(_y_p_#_)]. ~wet (G24+") (Ge+9)| Setzt man nun (a) aFEtAWOA, FP+e-OB, FL+r-Ol. a a aF2-A-@A, FP-8-OB,GP-r-Olp sowirdderFactorvonygleich sine?sineinyameer derFactorvon#wirdgleichfinan sing sneteinpeinypg und der Factor von«wird: 1_ (sing _siny sing sinywae(Oe) —28ameney—Tomerory 1_(sinfi_iny)_sinasing¥siny! (BB,|Fr)_sinatsin@iny ml ~S) ee apting) ve wenn ferner 2(rinsin”)ginpain(8824Tu)—gingt visesinping(te) —82«8mBing(Fg+ny)—Hina e jay sine) ga (le AAA cinge, siaaaiepany(Oe~ar)—sineninBoing(50+ZF)—inpBy inesin) aagin(AA,88) os amanFainy(ay—Be)—tinesinBoing(Gr+a4)—ain, gesetet wird. Bei diesen Bezeichnungen wird sls, wenn ca—0, 2b—0,c=0ist, aecamNON A2+Ty+Bs]. Diese Umformungen setzen jedoch voraus, dais 8=—AeosSTEFLcogPEI=*9g1HE=FoggSHE—? . 342 XVI.Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. ‘yon Noll verschieden sei. Von den vier Factoren dieses Productes verschwindet aber der erste filrjedes belicbige geoditische Dreiecknurdann,wenndasKrimmungsmals «+B+7—2jedesDreiecks =O (Disqu. g.c. 8.XX), also auch das Krimmungsmafs der Fliche S allenthalben =0, und diese Fliche auf einer Ebene abwickelbar ist. Diese Flichen sind also vonderfolgenden Untersuchung ausgeschlossen, wasjedoch keine Beschrinkung ist, dadieTrigonometrie derselben beiunsern Untersuchungen vorausgesetzt wurde. Wire derzweite Factor frjedes geoditische Dreieck derFliche Sgleich Null, sowire dasKrimmungemals jedes Dreiecks nurvom Winkel «abbingig, und sein Differential =2¢«, waseinWiderspruch ist. Wir erhalten demnach dasfolgende Resultat. Fir jede Fliche S,dienicht auf einer Ebene abgewickelt werden kann, besteht dieBedingung dafir, dafs aufihreingeoditisches Drei- eckohne Anderung seiner Elemente stetig verschoben werden kénno, darin, dafs den drei Gleichungen Ac+Ty +B, =0 Bay+Aye+02 =0 Tet Bact Ay=O genigt werden kénne, ohne dafs dieUnbekannten z,y,¢simmtlich verschwinden. Bleiben mvondiesen Unbekannten willkilrlich, sobestehen zwischen denElementen desgeoditischen Dreiecks gerade nvoneinander unab- hiingige Gleichungen, welche keine andern veriinderlichen Gréfsen ent- halten. 26. Die erste Flichengattung, n= 0. Ist die Determinante A.T,Be|TyByAy|“4 B,A,Ty nicht identisch =, 0werden 2,yund¢—0, und osistdann die stotige Ortsiinderung eines geoditischen Dreiecks ohne Anderung seiner Elemente imAllgemeinen unméglich. Imvorliegenden Falle sinddieDifferentiale vonp,,ga)--- 4,durch dieDifferentiale derElemente vollig bestimmt, solange nicht A—0 wird, was nurfirspezielle Dreiecke méglich ist. Folglich sind nicht Dlofs die Elemente des Dreiecks durch die Coordinaten der Ecken, sondern auch umgekehrt diese durch jene bestimmt Istdiese Be- XVI. Allgemeine Theorie dergeoditischen Dreiecke. 343 stimmung eine mehrdeutige, sofindet dasselbe Elementensystem bei mehrern geoditischen Dreiecken statt; aber esistnicht méglich, diese durch stetige Ortsiinderung ineinander dberzufthren, ohne dafs wabrend dieses Uberganges Anderungen indenElementen stattfinden. 21. Die aweite Flachengattung, n—1. Diezweite Flichengattung findet statt, wenn A,aber nicht jede Unterdeterminante von Aidentisch verschwindet. Alsdann istvon denGrofsen 2,y,seine willkirlich, und durch diese sind die beiden andern bestimmt. Auf einer solchen Fliche findet ‘also firjedes geoditische Dreieck cine Gleichung zwischen seinen Ele- menten allein statt, aber auch nur eine einzige. Eskdnnen daher finf Elemente desDreiecks und ihre stetigen Anderungen beliebig an- genommen werden, und durch diese istdas sechste Element nebst ‘seinen stetigen Anderungen bestimmt. Von densechs Gréfsen dp,, 29,,--. €qyistnureineeinzige will- kurlich, Ein aufderOberfliche gegebenes geodittisches Dreieck kann also imgegenwirtigen Falle ohne Anderung seiner Elemente stetig vyerschoben werden, jedoch nurinderWeise, dafsjede Ecke eine vallig bdestimmte Kurve durchlauft. Werden daher aufeiner Fliche derzweiten Gattung finf Elemente ‘eines geoditischen Dreiecks gegeben, soisthierdurch dassechste, und furjede Ecke eine Ortskurve vollig bestimmt, und zwar istdieLage simmtlicher Ecken gegeben, sobald irgend einer von ihnen cine be- stimmte Lage aufihrer Ortskurve angewiesen wird. Gleichzeitig sind dann auch die Azimuthe an den Ecken bestimmt. 28. Die dritte Flichengattung, n—2. Die dritte Flichengattung findet statt, wenn alle Unterdetermi- nanten, aber nicht alle Elemente von Aidentisch gleich Null sind. Indiesem Falle istauch A—0, und esbleiben von den GroBen ,y,#awei willkOrlich, unddurch diese istdiedritte bestimmt. Auf einer Fliche dieser Gattung finden also flrjedes geoditische Dreieck awei Gleichangen zwischen seinen Elementen statt, welche dieCoordi- naten der Ecken nicht enthalten. Von densechs Gréfsen Gps, 2qe,---€4, bleiben ferner zwei will- kurlich, und durch diese sind dieObrigen bestimmt. Die stetige Orte- Anderung eines geoditischen Dreiecks von unverinderlichen Elementen istalso inderWeise méglich, dals eine Ecke aneiner belicbigen Kurve entlang verschoben werden kann, wihrend hierdurch diegleich- zeitige Bewegung derbeiden andern Ecken véllig bestimmt ist. 344 XVI.Allgemeine TheoriedergeodAtischen Dreiecke. Eine Fliche dervorliegenden Gattung enthilt also jedes aufihr ‘uberhaupt mogliche geoditische Dreieck unendlich oft, und zwar auf drei Arten, indem jeder Punct derFliche fureine beliebige derdrei Ecken genommen werden kann, wodurch dann diebeiden andern Ecken, also dieRichtungen dervon derersten Ecke ausgehenden Seiten, véllig bestimmt sind. Auf einer Fliche derdritten Gattung kann man demnach Ober vier Elemente eines geoditischen Dreiecks und dieCoordinaten einer Ecke nach Belieben verflgen. Dadurch sind diebeiden andern Ele- mente und die Coordinaten der beiden andern Ecken bestimmt. Ist diese letztore Bestimmung eine mehrdeutige, soergeben sich furjeden Panet der Fliche mebrere, inden Elementen congruente Dreiecke, welche dort dienimliche Ecke, 2,B.«haben. Aber diese congruenten Dreiecke knnen durch stetige Drehung umdiegemeinsame Ecke « nicht zurDeckung gebracht werden, ohne da® wahrend desstetigen ‘Uberganges Anderungen indenElementen stattfinden InderThat ergiebt sich ausdem Obigen auch derSatz: ‘Wenn man aufeiner Fliche derdritten Gattung eingeoditisches Dreieck umeine seiner Ecken, zB. «dreht, ohne diedort anstofsen- denElemente 8,«,¢ zuindern, soerhilt man uach und nach alle geoditischen Dreiecke, welche mitdiesen drei Elementen aufderFliche ‘berhaupt construirt werden kénnen, und zwar gilt dies, woauch der Punet «aufderFliche angenommen werden mag. 29. Die vierte Flichengattung, n=3. Dievierte Flachengattung findet statt, wenn simmtliche Elemente vonAidentisch gleichNullsind. Indiesem Falle bleiben z,yund ¢willkdrlich, und osfinden da- heraufjeder Fliche dieser Art drei von denCoordinaten derEcken unabhiingige Gleichungen zwischen densechs Elementen jedes geoditi- schen Dreiecks statt. Esbleiben ferner dreivondenGrofeen ép., ¢ge,---@qy willketr- lich, unddurch diese sind diedrei tbrigen bestimmt. AufdenFlichen dervorliegenden Art istalso diestetige Ortsiinderung eines geoditi- sehen Dreiecks vonunverinderlichen Elementen inderWeise moglich, dafs eine Ecke, 2B.aaufeiner beliebigen Kurve verschoben, und Bleichzeitig einer derbeiden andern Ecken noch eine ununterbrochene Bewegung ertheilt wird, diebisaufdieBedingung unverinderlicher Elemente willktirlich ist,also neben einer translatorischen Bewegung mitderEcke aineiner Drebung desDreiecks umdieselbe besteht. XVL Allgemeine Theorie dergeodttischen Dreiecke, 345 Der vorliegende Fall istbisjetet dereinzige, wodieweitern Untersuchungen sichvollstindig haben durchftbren lassen. Aus den Gloichungen A,=0,Ay—0folgt aa)__80)_ayba, Bay"? und ausA,—0,weil auch By=0,Tu—0ist: sin) _siny © @* Vermige derersten Gleichung geht dioFormel Ba) __(0)(a)_0,26,~84,04, fiber indiegewdhnliche Differentialgleichung Xa)_(2€a))*. 5—(3)+1=0. Dieselbe wirddurchMultiplication mitae integrabel, undliefert y (2Y-1---@ wo¢dieIntegrationsconstante ist. Dies indievorige Differential- gleichangeingesetztgicbtFE+(a)-0,y folglich istdssKrammungsmals derFliche anjeder geoditischen Linie entlang constant, und wirerhalten denSatz: Dievierte Flichengattung wird gebildet durch dasSystem aller derjenigen Flichen, deren Kriimmungsmals constant it. Wird dasselbe wieder durch bereichnet, sofolgt mitRucksicht aufdieflra,—a,stattfindenden Grenzbedingungen 1on(VE 1 (@)=JsinVEC,—9p)=FosinVB. Durch cyklische Vertauschungen ergeben sich demnach dieflralle Flichen von constantem Krimmungemalse kgiltigen Formeln: sin(aVB)_sin®VE)_sineVh wine0B sing? cone+confcony cos(aVk) =aa cos(DYE)—Smet sonrcene cos(CVE)=see 346 XVI.Allgemeine Theoriedergeoditischen Dreiecke. Der merkwiirdige Satz, dafs dieindervorstchenden Weise ge- schriebenen Formeln dersphirischen Trigonometrie nicht blofs firdie aufderKugel abwickelbaren Flichen, sondern auch noch firdiejenigen Flichen giltig sind, deren Kriimmungsmals einen negativen constanten Werth hat, istzuerst von Hern Minding (Crelle's Journal XIX) ge- fanden worden. Hiermit istderAumshmefall erledigt, weleher sich amSchlusse des vorigon Abschnitts dargeboten hat, und estreton nun flr alle Ubrigen Flichengattungen die dort gefundenen Resultate inKraft, denen zufolge diezurAuflésung eines geoditischen Dreiecks erforder- lichen Formeln sich ausart,23unmittelbar ergeben, sobald dieredu- cirte Linge eines geoditischen Bogens alsFunction derCoordinaten seiner Endpuncte dargestellt ist, wozu jene Formeln nicht erforder- lich sind. Gelesen inder Akademie der Wissenschaften am 17. Dezember 1868. XVII. ‘Uber dieTransformation ganzer homogener Differential- ausdracke. (Monataborichte derKgl. preuss. Aksdemio derWissenschaften suBerlin 186%, 81-8) Wenn man ineinem homogenen Differentialausdruck pter Ordnung F=EFoj0,.0y8%ayeay ++Oay imwelehem die Coefficienten beliebige Functionen dernVariabeln %,%,...2, sind, statt dieser Variabeln einSystem von einander un- abhingiger Functionen derneuen Variabeln 2,2},...2,einflhrt,so erhilt man einen neuen Differentislausdruck F’von gleicher Ordnung und Dimension, welcher aus dem urspringlichen auch durch zwei suc- cessive Substitutionen erhalten werden kann, nimlich dadurch, dafs man 1)dieDifferentiale ¢2durch eine inden22’lineare Substitution trans- formirt, undalsdann 2)indenCoefficienten F,,0,... selbst ebenfalls von den urspriinglichen zuden neuen Variabeln abergeht. Jene lineare Substitution nenne ichimFolgenden dieHauptsubstitution. Sind nun umgekehrt zwei Differentialausdricke Fund F’vou gleicher Ordnung und Dimension gegeben, sokann man sich ebenso wie inderInvariantentheorie dieFrage vorlegen, unter welchen Be- dingangen FinF’transformirt werden kann und falls dies méglich ist,welche Substitution dieverlangte Transformation leistet. Unter den verschiedenen Fallen, welche sich hier darbieten, ver- dionen dieDifferentialausdricke zweiter Ordnung besondere Aufmerk- samkeit, sowohl wogen der wichtigen Probleme, indenen sievor- kommen, alsauch weil sieden Differentialausdriicken héherer Ord- nungen gegentiber einen Ausnahmefall bilden. ‘Wenn nimlich p>2ist,soliofertdieInvariantentheorie unter derVoraussetzung, dafs blofs dioHauptsubstitution ausgefuhrt wird, 348 XVIL Ober dieTransformation gunser homogener Differentialaasdrdcke. inerseite eine Anzahl von Bedingungsgleichungen firdieMoglichkeit derTransformation, und andererscits mittelst der, bisaufbesondere Fille stets inder normalmifsigen Anzahl vorhandenen zugehdrigen Formen véllig bestimmte Werthe firdieCoefficienten inderHaupt- substitution. Damit sind aber nicht alle Bedingungen flrdieMog- lichkeit derTransformation vonFinF”gewonnen, sondern eswird nun eine rweite Untersuchung ndthig, dieBedingungen betreffend, da- mit dieaus den zugehdrigen Formen hervorgehenden Ausdriicke fir 8%, %,...2z, auch, wie erforderlich, dievollstindigen Difforentiale derurspringlichen Variabeln werden. Furdiese Untersuchung bilden diemugehdrigen Formen selbst dioGrundlage, und zwar genau wegen der bekannten Eigenschaft dorselben, unmittelbar nicht diedirekte, sondern dietransponirte Substitution zuliefern. Obne diese Betrachtungen weiter zuverfolgen, sicht man nun ohne Weiteres ein, weahalb diequadratischen Differentialformen sich derallgemeinen Behandlung entzichen; derGrund hiervon liegt darin, dats diealgebraische Invariantentheorie flr dieselben nur eine 2u- gehdrige Form liofert, also ohne Hinzuzichung der Integrabilitite- bedingungen nicht dieMittel gewihrt, umdieHauptsubstitution durch dae Resultat dereelben zubestimmen. Ichhabe daher den Fallp—2 flrbeliebige Werthe von nbe- handelt, mich dabei jedoch aufdieVorausseteung beschrinkt, dafs die Determinante von F nicht identisch —0 ist. Im Verlaufe dieser Untersuchung, welche imJournal desHerm Borchardt erscheinen wird, trennen sich zwei verschiedene Fille von einander, indem sich alsHouptfall derjenige herausstellt, inwelchem das Resultat der ‘Transformation dieanzuwendende Substitution vallig bestimmt, wih- rend demselben Ausnahmefiille zurSeite stehen, indenen esstetige Variationen derSubstitution gibt, welche F’ungeindert lassen. Za diesen gehdrt 2.B.derFall, woYF das Linienelement einer in sich selbst ohne Dehnung verschiebbaren Oberfliche ist, und osist aufserdem mubemerken, dale diese Ausnahmefille nicht blofs far p=2, sondern uch fir alle Obrigen Ordnungen 2berilcksich- tigen sind. Far diedem Hauptfalle entsprechenden quadratischen Differential- formen finde ichnun dasmerkwirdige, undausderNatur derSache keineswegs imVoraus merwartende Resultat, dala alleBedingungen firdieMéglichkeit derTransformation vonFinF",sowohl was die Haupteubstitution, als was die zuihr gehdrigen Integrabilitats- bedingungen betrifft, sich ohne Ausnahme alsGleichungen zwischen Invarianten derFormen FundF”darstellen lassen, wenn dieser ‘XVII. Uber dieTransformation ganzer homogener Differentialausdricke. 349 ‘Ausdrack zurBezeichnung dergleichen Formverhiltnisse wie inder ‘Algebra angewandt wird, unddafs auch hier zugehdrige Formen und Covarianten inderselben Bedeutung, wenn auch ans ganz anderer Quelle anftreten, wie beiden anslogen algebraischen ‘Trans- formationsproblemen. Die erwihnten Invariantengleichungen werden durch die all- gemeine Theorie inzwei vollig bestimmte Gruppen zerlegt. Unter den Gleichungen der ersten Gruppe finden sich deren m,durch welche dieurepriinglichen Variabeln elsFunctionen der neu einzn- fuhrenden véllig bestimmt sind, und diese Werthe miissen die ‘tbrigen Gleichangen der ersten Gruppe, soweit solche vorhanden sind, und alle inder zweiten enthaltenen zuidentischen machen. Unter Voraussotzung dieser Werthe der urspriinglichen Variabeln liefern alsdann dieGleichungen zwischen den zugehérigen Formen véllig bestimmte Werthe firdieCoefficienten derHauptsubstitation und diese sind, ohne dafs neue Bedingungen erforderlich werden, in verlangter Weise dieDerivirten derurspringlichen nach den neuen Variabeln. Wenn dagegen dieAnzahl dervon einander unabhangigen In- varianten und zugehdrigen Formen von Fzurvélligen Bestimmung derurspriinglichen Variabeln und derCoefficienten inderHauptsub- stitution nicht hinreicht, sobietet Feinen der oben erwahnten Ausnahmefille dar, und esisthiernach klar, dafs diesimmtlichen Bedingungen firdiese Falle inidentischen Gleichungen zwischen sol- chen Invarianten und zugehSrigen Formen von F’bestehen, welche im Hauptfalle voneinander unsbhingige Functionen simmtlicher Variabeln sind. Unter denbesondern Fiillen, welche ichbehandelt habe, zeichnen sichdieterniren Formen durcheinebemerkenswerthe Vereinfachungder Resultate aus. Ich erlaube mir daher dieselben fir diesen Fall volistindig mitzutheilen. Man bezeichne durch Edie Determinante der terniren Form F= 0,22,0%,, und durch E,,inbekannter Weise ihre Unterdeterminanten. Ferner bilde man folgende 18Ausdriicke h|1(8%|Bay, Be,y|\~3Ga+S—Fe). and mittelst dieser 350 XVI Ober dieTransformation ganzer homogener Differentialausdricke. =1 (ten_ten_dey) Fee2ai-2\\¢ 4aaeth ~388at)+2(aiie/-l2le)wed(Ben4BeyBoy Boy Aumy(Hs+GY—gabeZr) Eqg|31|) 20)_[a2]|a9 nebst den durch oyklische Vertauschungen von 1,2,3 ausibnen fol- genden; endlich die18Ausdriicke a4Awak2FdintEyrdar Ay=Ft—BEE+Be|eee, sowie alle ihnen enteprechenden frdieneue Form Fe Soni zien. Mittelst dieser Ausdritcke alsCoefficienten werden diedrei alge- braischen Formen P=FAyX,X,, ®- SEX, 6=S40, XX, und firF’dieentsprechenden I”,®',6’mitdenVariabeln ¥und V anStelle von Xund Ugebildet. Dann sind diefurdieMéglichkeit derTransformation von Fin F’erforderlichen und ausreichenden Bedingungen genau dienimlichen, wie diejenigen, welche stattfinden miseen, damit durch eine lineare Substitution Xm Sree Tin IY, ®in©transformirt werde und gleichzeitig unter Voraus- setzung der transponirten Substitution Vem Sri 0, ©und ©entsprechende Zwischenformen werden, welche derGleichung o-Re geniigen, unter RdieSubstitutionsdeterminante verstanden. Dieser Satz findet jedoch nur unter derVoraussetzung statt, dafs diesechs absoluten zugehdrigen Formen und Invarianten vonI’,®von-einanderunabhingige Functionen derVariabeln 2,2525U,UyUysind. XVIL. Ober dieTransformation ganzer homogener Differentialausdricke, 351 Istdiese Bedingung erfillt, soerhilt man aus denCovarianten- gleichungen dieCoefficienten derinversen Substitution Bam AX undzwar40,dafsallgemein aBon3 wird, Dazu bemerke ichnoch, dafs dievier simultanen Invarianten der Funetionen I;®diejenigen sind, welche ich alsein vollstindiges System von Invarianten desDifferentialausdruckes Fbezeichne. Anmerkung. Dieser Avszug der ephler im10,Bande des Joumals fir reine und an-gowandteMathematik erschienenen undanfdenfolgendenSeitendiowesBandes=*sbgedruckten Abbandlang Christoffels warde derAkademie von Borchardt inderGesammtsitzung am7.Januar 1869 abergeben, XVII. Ueber dieTransformation derhomogenen Differentialausdracke zweiten Grades, Gournal fardiereine und angewandte Mathematik, Bd.70,1869, 8.46—70.) 1 Fobrt man inden Differentialausdrack F=JS0,82,02,; i,k—1,2,...0, inwelchem dieCoefficienten beliebige Functionen dervon einander unabhingigen Variabeln 2,,2,...z,sind, statt derletztern einSystem voneinander unabhiingiger Funetionen derneuen Variabeln 21,21,...2, ein, s0geht Fineinen neuen Differentialausdruck F= Soj,22,2%, ‘ber, welcher dem urspringlichen vermége derausgefthrten Substitu- tion gleich ist. Sind umgekehrt die beiden Differentialausdricke Fund F’ge- geben, sokann man sich dieFrage vorlegen, welche Bedingungen er- forderlich sind, damit der eine inden andern transformirt werden Kénne, undfalls diesméglich ist,welche Substitutionen dieverlangte ‘Transformation leisten. Wir bezeichnen firdiese Untersuchung dieSubstitutionsdetermi- nante und dioDeterminanten von Fund F”wiefolgt: az, Om BamStiga" Dt On Oy=E, DE Oy OyEY Dann findet, wieausderalgebraischen Invarisntentheorie bekannt ist, eine und auch nureine Transformationsbedingung E'=E ‘XVIII. Transformation der homogenen Differentislausdrticke zweiten Grades. 353. statt, und diese wirde auch fiirdenvorliegenden Fall ausreichen, wenn die Coefficienten @von Fund die Elemente von rconstant wiren. Imgegenwirtigen Falle missen jedoch noch andere Bedingungen er- fUlt sein, danicht jedes System linesrer und homogener FunctionenYon22,,224)..+2%,welchesanStellevon22,2%,...22,gesetatFinF*dberfihrt, diegestellte Aufgsbe lést, sondern nureinsolches, welches den Integrabilititsbedingungen gentgt, damit dieAusdricke flr22,, Oa, ...2x,vollstindige Differentiale werden. Wenn allgemein Feinhomogener Differentialausdruck von be- liebiger, und F’von dereelben Ordnung ist, #0finden ebenso flrdie ‘Transformation von FinF’, weil frdieDifferentiale lineare Subati- tutionen gelten, runiichst diesusderalgebraischen Invariantentheorie entspringenden Bedingungegleichungen statt, unddiezugehdrigen Formen liefern, wenn dieOrdnung von Fgrisser als2ist,imAllgemeinen véllig bestimmte Werthe fiirdieCoefficienten indenAusdriicken der urspringlichen Differentiale durch dieneu einzufthrenden. Aber diese Coefficienten milssen noch denhinzugehdrigen Integrabilitatsbedingungen unterworfen werden, wobei dieEigenschaft derzugehdrigen Formen, unmittelbar nicht diedirecte, sondern dietransponirte Substitution 2u liefern, wesentlich inBetracht kommt (vergl. art.10). Vereinfachungen dieser Artfinden fiirdiehomogenen Differential- ausdriicke zweiten Grades nichtstatt,dasichflrdieselben ausden algebraischen Bedingungen nur eine Invariante und eine 2ugehdrige Form ergiebt. Ichwerde daher imFolgenden dieHulfsmittel ausein- andereetzen, mittelst deren dieser aufdenverschiedensten Gebieten s0 wichtige Ausnahmefall sich erledigen lisst, und bemerke nur noch, dass tberdenFall,woF=22}+22}+é2$ist,cinausfthrliches Werk von Hern Lamé existirt (Théorie des coordonneés curvilignes), wihrend diegegenwirtigen Untersuchungen urepriinglich durch die Ausdehnung des Problems deraufeinander abwickelbaren Flichen auf Gebiete von mDimensionen veranlasst worden sind. 2. BeiderUntersuchung derBedingungen, welche furdieMéglich- keit der@leichung ay Douteen =Yoye2,22, erforderlich sind und hinreichen, werde ichmich aufdenFall be- sohrinken, wodieDeterminanten Eund E’dieser Differentialausdriicke nicht identisch gleich Osind. Dieneuen Variabeln 2’werden alsdie unabhiingigen betrachtet und ihre Differentiale constant angenommen.E-A.Chrlatottel, GesammsieAbhandlengen, 1 23 354 XVII. Transformation derhomogenen Differentislausdriicke rweiten Grades. Ersetztmannunjedesdz,durch@2;+2,undbezeichnetdie den Differentialen 32° entsprechenden Zunshmen der urepringlichen Variabeln xebenfalls durch 62, somuss in(1.)allgemein 2xdurch 22+dxersetztwerden.FohrtmanalsdannbeiderseitsdieQuadrate undProduete aus, soergiebt sich nach Beseitigung Ubereinstimmender Theile (2 20, 27,82,— Lo0,,22,824. Vergleicht man hier dieCoefficienten von é2), sofolgt a: BetDowie b2,—>o,,82,, und hieraus re ,‘paOxy (3)x,—Doe Shen, woE;,inbekannter Weise dieauseiner Aenderung von@;,(nicht von@,,) entepringende Unterdeterminante vonE”bedeutet. In'der Gleichung (2.)lasse man nun jedes 2’umsein Differential é2’, in(1.) dagegen um2’wachsen, wodurch dieDifferentiale zur Rechten nicht geindert werden; dann folgt: Do,27,82,+Dio,27,82, +Jo,ez,262, —Seo;,22;82,, Db0y82,02,+2S0,027,824, —S805,22,22,. Dividirt man dieaweite Gleichung durch 2und subtrahirt sievon der vorangehenden, 80folgt Jo,H2,82, +300,027,824, —$Sour er, =Dio),02,52,— 4S80),22,22,. Wird nun aur besseren Usbersicht 1[2|Pe,es)_[on (4) slat -e)-2] gesetzt, woraus hg)_poh ort_fh)49k ®) CE)=Ee]meSP-(21+0%] folgt, und dieselbe Beveichnung beidertransformirten Form benutzt, 80ergiebt sich 6)Douttaex+ >plenenen =DTG]e202.* oo Si Hier ersetze man 62,durch seinen Werth aus(3), wodurch dierechte Seite in XVII. Transformation derhomogenen Differentialausdricke zweiten Grades. 355 . Ey a,Pleataa’,>Oyo Oba, Dll, Dont ‘ubergeht. Durch Vergleichung derCoefficienten von 3,folgt also a it). B24aoat Sebzon DieseGleichung moltiplicire ichmit“+undsummire UberdieWerthe yon k. Wird alsdann itEe a o)S- (7) gesetzt, woraus ney fat @) -() folgt, und diegleiche Bezeichnung beidertransformirten Form an- gowandt, soergiebt sich os, aN ap)'22,a2+Blresea—3D“FyBeee woraus offenbar auch riickwarts dieGleichung (6.)folgt, und eswird hiernach firalleWerthe von @,6und r: as, ik)OyOa ap\/22, @)weet Qtr -QM DieseGleichung liefert“+ Gleichungen furjedesr,alsoimGenzen einSystem vonn+" simultanen partiellen Differentialgleichungen zurBestimmung dergesuchten Substitution. Sind dieselben befriedigt, sosind selbstverstindlich dieIntegrabilititabedingungen furdielinesren Ausdriicke derurspringlichen durch dieneuen Differentiale erfillt. Diese Gleichungen vereinfachen sich sehr betrichtlich, wenn alle Coefficienten @derurepriinglichen Form constant sind, indem indiesem Falle, aber wegen (7.)und (6.) auch nurunter dieser Voraussetzung, alleAusdrdcke {‘*)verschwinden. Manerbiltalsdann furjedeurepring- liche Variable einSystem vonlinearen partiollen Differentialgleichungen, und firalle Varisbeln das nimliche System. Das gleiche Resultat hat Herr Lamé ftirden von ihm behandelten oben erwibnten Fall ge- fanden. as 856 XVI. Transformation derhomogenen Diferentialaasdricko rweiton Grades 3. Wenn esnicht méglich ist, dieurspriinglichen Varisbeln =als Funetionen derneuen 2°sosubestimmen, dass dieGleichungen (9.) befriedigt werden, 90istdieTransformation vonFinF’unmdglich, dsdiese Gloichangen sich mitNothwendigkeit ergeben, wenn dieMog- lichkeit dieser ‘Transformation vorausgesetzt. wird. Sind dagegen dieGleichungen (9.) aufirgend eine Weise erftllt, 80wirft sich dieFrage auf, inwieweit sierum Rickschlusse aufdie Gleichung (11), d.h.aufdieFormel F=F’berechtigen. Umdies 2u untersachen, fllhre man dievorsusgesetzte Lésung derGleichungen (9.) inFein, woraus P=JSoj,02\02, =F" folgen mdge. Dann handolt essich darum, welche Bezichungen zwischen denentsprechenden Coefficienten von F”und F”stattfinden. Nun sind dieGleichungen (9.) nichts anderes alseine identische Umformung derGleichung (6.), aus welcher sieselbst folgen, und welche siesuch rickwarts nach sich zichen. Geht man aber, statt von F=F, jetzt vonF— F”aus, soliefert dieRechnung desart.2statt desAusdrucks, welcher dort sufderrechten Seite von(6.)steht, den neuen Ausdrack “PYeat2x',82;,, ‘und dieser muss dem urspriinglichen gleich sein. Also ergiebt sich allgemein ..WT- woraus wegen (5.) ae, 0% ‘ox,~Ox, firalle Werthe von g,h,kfolgt. Die entaprechenden Coefficienten von F” und F”unterscheiden sich demnach nur um additive Constanten. Damit diese Constanten vorschwinden, reicht esaus, dase irgend einmalF"=F’werde,mitanderenWorten,dassdieLésungder@leichungen (9.)den aus derGleichung (1.) hervorgehenden Transformationsrelationen am0%_ (10)Donte A~o,, firirgend einspecielles Werthesystem derneuen Variabeln Gentige Ieiste. Wir haben also den Satz: ‘XVIIL Transformation derhomogenen Differentialausdricke xweiten Grades. 357 Wennesmiglichist,dieurspriinglichen Variabeln2,,2p...2, alsFunctionen derneuenVariabeln 2,2,...2,90subestimmen,dassdasGleichungssystem (9.)befriedigt wird,undmanunterwirftdiese Functionen noch derAnfangsbedingung, dass sienebst ihren ersten Derivirten fiirirgend einspecielles Werthesystem derneuenVariabeln deninderGleichung F=F”enthaltenen Transformations-relationen Geniige leisten, sofinden diese Transformationsrelationen und mit ihnen die Gleichung F=F" fiir alle Werthe der neuen Variabeln statt Daraus folgt, dase diein(1.) enthaltenen Transformationsrelationen durch dieGleichungen (9.)bisanfdieihnen zuontnchmende Anfange- bedingung dberfllssig gemacht werden, sobald dieletztern miteinander vertriglich sind. Das Gleichungssystem (9.) enthalt also, seine Miglichkeit vor- ausgesetst, bisauf dieerwihnte Anfangsbedingung diesimmilichen fiirdieTransformation vonFinF”nothwendigen undausreichen--den Bedingungen, und ersetst hiernach gleichecitig diealgebraischen aus (1.) hervorgehenden Transformationsrelationen und diehinsw- gehirigen Integrabilititsbedingungen. 4. FardieMglichkeit derGleichungen (9.)sind neue Integrabilitate- bedingungen erforderlich, 2uderen Herleitung wirjetzt Ubergehen. Um tugleich denNachweis zufthren, dass diese dieGleichungen (9.)nicht rlickwarts nach sich zichen, betrachten wir statt der letziorn das System, welches ineiner derfolgenden Gleichungen enthalten ist: az, >» py" rwyPeatRheeBetha+Cp @ae, Sei ar"4(7sade+SUFlemByla+ (2) wo,wieimFolgenden allgemein, dieersten Derivirten ar yt an,7Me gesetzt sind, wihrend wirfrdiehdhern Derivirten diegewdhnliche Bezeichnung beibehalten. Aus demVorstchenden wird alsodasSystem (9)erhalten,indemmandieGréssen(Sh)allegleich0setzt. DieinRede stehenden Integrabilititsbedingungen werden erhalten, wenn man dieerste Gleichung (9'.)nach z,,diesweite nach x,dif- ferentiirt und dieDifferenz bildet, wobei die dritte Derivirte von z, 358 XVIII. Transformation derhomogenen Differentialausdriicke rweiten Grades. wegfallt. Beachtet man,dassauchdieGlieder, welche einenachx,und x,genommene zweite Derivirte enthalten, sichwegheben, sofolgt: afr}al] a, iya, zich wentSPaertag—2Ilats altaed apy2, ery’2, Daraus geht zuniichst hervor, dase dieIntegrabilititebedingungen far dasSystem (9'.) genau dienimlichen sein werden wie firdie ur- spriinglichen Gleichungen (9.),sobalddieGréssen ()demfolgenden Gleichungssystem Geniige leisten SME THI (uyears enyey AL)af ~Di) Ve)+ee, welches sich leicht ineine symmetrische Form setzen lisst. Ichsetze nunvoraus, dass diese Bedingung furalleWerthe von r,a,Bundyerfllltist.Werden alsdannindervorangehenden Gleichung flrdiezweiten Derivirten ihre Werthe aus(9.eingesetzt, 0folgt: alt}al?I] 2feaaMy +Dee(Sele-Peh ew) SU (SCe-Pelee) (ter aN). ~2a oe, +DNSOYeBdarw) ~QS Sear) ‘XVI. Transformation der homogenen Differentialausdricke zweiten Grades. 359 Hier heben sich alle@lieder weg, indenen dasProduct auszwei Deri- virten uvorkommt; vereinigt man diedbrigen Glieder, indem man rechts 4mit vertauscht, sofolgt: al)_al} 1)(o6)_f08) (2m1)) SHELAED,Senestsetl)ees (12)ae ate’ a7)’ ; ' 22 <B\fery’_fary'(0ey "5 -2 tz,~ez,+SUNN 7)(Pyar Wir haben also dasfolgende Resultat. Das Gleichungssystem, selches aus(12.) hervorgekt, wenn fiirr,«,BundyalleWerthevon1bisneingeselst werden,enthiltallefiirdieMoglichkeit desSystems (9.) erforderlichen Integrabilitats- bedingungen. Aber eskann dieGleichungen (9.)might ersetsen, in- dem ausihm riickwiirts nicht diese, sondern dieallgemeinern Glei- chungen (9.')folgen, indenendieunabhiingigen Glieder ()dem Gleichungssystem (11.) Gentige leisten. 5. DieGleichungen (12.) mitssen firdieweitere Untersuchung durch cinanderee, gleichbedeutendes System ersetzt werden. IchmultiplicirefardiesenZweckmito,,u}undsummiretiberalleWerthevonkundr.Esistklar, dase diehieraus folgenden Gleichungen auch wieder zum System (12) zurtickfthren, wenn man, nachdem dieeben bezsichnete Sommation wirklichausgofthrt ist,mit5%.="multiplicit, hierautauerst nach4,dannnach1summirt undzuletat 9—1setzt. Bei derangegebenen Operation geht die Gleichung (12.), da wegen (10.) .Jo,H) =044 ist,munichet in ; Dei Deakas ostel Ueled ee yan’ .(ALTTYsorpatypertpenyyn) =aLL, sreeenteren aa; Atber, sodass dienoch rickstindigen Reductionen frbeide Seiten der Gleichung dienimlichen sind, Nun istnach Gleichung (7.) 360 XVII. Transformation derhomogenen Differentialausdriicke rweiten Grades. Del? |-[2), also wird dieaufderlinken Seite nach rgenommene Summe wigSlee teHGeatSIRI (PIED, wenn inden beiden Summen, welcho Derivirten von oenthalten, pstat rgesetzt wird. Femer istnach (6.) den rip), pik) eyENO) eee 0 oy ‘i com(l-ae--G) ae-frl-() und die inRede stehende Summe wird aft) ft] : ‘SE SEED. Diesen Ausdruck bezeichne ichvonhier abdurch (gkhi), sodass, wenn dieGrossen {%'},{9}mittelst derGleichungen (7.)weggeschattwerden, .af) af] ;osonFEI SyC02)-ID: oder wenn man dieDerivirten susfuhrt, Bo,|Bem, do, eo,«ay[ora=F+eae -ae)Fas(foe [|+SCI0-0D wird. InFolge dieser Bezeichnung, welche wir auch firdietrans- formirte Form benatzen, nehmen dieIntegrabilititsbedingungen (122) diefolgende Gestalt an: (15.) («dp =.Oia Far dieses System vonGleichungen giltdasnimliche Resultat wiefir dieGleichungen (12.), dass siedasvollstindige System aller zu(9.) gehrigen Integrabilititebedingungen bilden, aber nicht die Glei- chungen (9),sondern dasallgemeinere System (9)unter Voraussetzung XVIL. Transformation derhomogenen Differentialausdricke zweiten Grades. 36] derRelationen (11.) nach sich ichen, also die2(1.)gehdrigen Inte- grabilititebedingungen nicht ersetzen. DieCoefficienten imvorstehenden Formelnaystem haben folgende Eigenschaften. Vertauscht man in(13) imith,20folgt 16+) (okih) =—(gkhi). Vertauscht man in(14.) gmit&,sofolgt (16) (kghi) =—(kbs) Vertauscht man in(14) gmit¢undzugleich &mith,s0ndert sich sufderrechten Seite wegen Eye—Euy nichts, und esfolgt (ihitg) =(9k) oder (a6) (high) =(gthi). Endlich erhilt man ohne Weiteres (16+) (kha)+(ghik)+(gikh)=0, wobei zubemerken ist,dass diese Formel aufeine dervorangehenden zurtickfubrt, sobald sich unter denZahlen ghik awei gleiche befinden. Mittelst dieser vier Formeln liest sich dioAnzahl derin(15.) enthaltenen und wesentlich voneinander verschiedenen Relationen leicht bestimmen. Zuniichst sind wegen (a. und (b,) alle Fille ausruschliessen, wo a@=8 oder B—7 ist, sowie diejenigen, welche durch Vertauschung von «mit doder von #mit yfolgen. Fir adsowie firAysind demnach nurCombinationen ohne Wiederholung derZahlen 1,2,... zunehmen, derenAnzahl gleich"*=—a,ist, Jetzt zerfallen dieAusdritcke («38> indrei Gruppen, dieerste von n,Ausdriicken, welche derVoraussetzung aé—Byentaprechen, dieaweite von"=" Ausdricken, indenenadnichtgleichByist, wihrend diedritte Gruppe von gleichviel Ausdritcken, welche sich aus derweiten durch Vertauschung von «3mitByergiebt, wegen (c) auszuechliessen ist. Also erhalten wir wegen (a), (b.) und (¢)nur m+) Ausdricke (0687)’ ‘Daaber jede Gruppe «87, inwelcher keine Zahl mehr alsein- malvorkommt, eine Gleichung (d)liefert, solassen sich imGanzen n= bal 1)(0—2)(n—3) von den eben erwihnten Ausdricken durch andere darstellen, und es bleiben nur MH 4 _tt)2 * 12 362 XVIIL Transformation der homogenen Differentislausdricke rweiten Grades. von einander werentlich verschiedene Ausdricke («3By)' Ubrig; dies istdemnach dieAnzahl derGleichungen (15.), soweit sienicht aus- einander folgen. DieAnzahl derGleichungen (10.)ist““*); addirtmandieszur vorstehenden Zahl, soerhilt man n(n+1) n(n?—1) (H+29(n+ Iain—3) MED RDttnpOTDALIN) | und esistdemnach frn—2 dieAnzahl derGleichungen (10.) und (15) kleiner alsdieAnzabl n*+n derinihnen vorkommenden Un- bekannten, nimlich der urspriinglichen Variabeln und ihrer ersten Derivirten, frn—3istsiedieser gleich und flr»>3istsiegroBer als dio Ietztere. , Ebenso wie dioGleichungen (10.) alsTransformationsrelationenzurGleichung (1.)oder(2.)gehdren,#0sindauchdieGleichungen (15:), wieausihrer Form hervorgeht, dieTransformationsrelationen zueiner Form vierter Ordnung. Bevor wirzurHerstellung dieser Form dber- gehen, werden wirnachwoisen, wie man allgemein ausden zuirgend einer Form gehérigen Transformstionsrelationen mittelst der Glei- chungen (9.)zudenTransformstionsrclationen fireine neve Form ge- langen kann, deren Ordnung umKins gréseer istwiedieOrdnung der urspriinglichen Form. Sei oe : G,Fi eB iy cine ausdenCoefficionten vonFabgeleitete undindenDifferentialen 22,22,...0xwfach lineace Form, @,ihretranaformirte, mithin all- : ” gemein (CA id©(iin.ius.--u's, wowiebisher — =%mae musetzen ist. Differentiirt man nun nach 22,80folgt Bie tedee ee ae i)ah te PmDSbi)fiews iG, +StetahSG i, is XVIIL Transformation der homogenen Diferentislausdrdcke aweiten Grades, 363 Setzt man nun inPfr die zweiten Derivirten ihre Werthe an, a2,)" 2 85) gle. wig, |a“Bl r)us, ein, 20erhilt man fir Peine Differenz U—V, wo > id COREE EE HDUPYDt aided ahpe c we, MDE) oeeaHPGre gt] und" VmSein STEGAADH(D]Ga. te] ist, Fuhrt man den hierdurch bestimmten Werth von Pcin, und bringt Usufdielinke Seite derGleichung, wihrend aufderrechten alles unter einSummenzeichen gebracht wird, soergiebt sich folgendes Resultat: Unter der Vorausseteung, dass alle Integrabiltdtsbedingungen formationsrelationen u*" Ordnung am) (64046)=SGrigio cinneues volistindiges System vonTransformationsrelationen (u+1)” Ordnung an) (YB GiDaa, wenn man* ag)CRA tea2STPGat (PB]Gat]t setst und diese Beseichnung auch fiirdietransformirte Form benutst. Mittolst dieses Satres kann man aus einer Gleichung G,—G, cine Reihe Ghnlicher Gleichungen G,41— Gi'+1, Gua Gisa, usw. ab- leiten, bisman aufidentische Relationen oder solche kommt, dieaus frttheren susammengesetzt sind. 364 XVIII. Transformation derhomogenen Differentialausdriicke zweiten Grades. Der erste Fall tritt bei der Function ¥selbst ein. Nimmt man nimlich (,i,) =0,,,, 80wird wey 0m e ‘i)=FESUEottous)f Bony pity) _piiy~e -TE)-[2] nach einer inart.5.benutzten Formel, unddies istwegen Gleichung (5.) stete gleich Null. 1 Wir gehen nun zurDarstellung derjenigen homogenen Form G, ‘ber, zuwelcher dieGleichungen (15.) als‘Transformationsrelationen gebdren. Dieselben lauten a wo) Ot;Om,Bay,8: (18)(cee)<2(sisi)5aetBe ford und esistwegen (16.) (19.ao Chi) Giq)=——Gibt) Gait)=G44) iris) +Gish) +Gait) =0. Wirmultipliciren dieGleichung (18)mit221,62,Dz,,4z,, untera,4,D,4verechiedene Differentiationszeichen verstanden, und setzen 2iisigi,)02,82,Dz, 42,—Cy a dann folgt aus(18) durch Summation dber alleWerthe der« Gi=G,. Hier istalso G,cine quadrilineare Form derVariabelnsysteme 62,dz Dz, 4z, welche alle derselben linearen Substitution unterworfen sind. Aber diese Form istwegen derEigenschaften ihrer Coefficienten eine sehr specielle. Vertauscht man imiti,,was nichta indert, dabeide diegleichen Werthe durchlaufen, und ereetat dann (i,ii,i,) durch —(iiji,i,), 20 folgt, dass G,nursein Zeichen indert, wenn 2mit6vertauscht wird. ‘Nimmt man furii,nurdieCombinationen ohne Wiederholung, sofolgt G,—Deibivi) @a,04,—64,82)Dz,44,, Das Gleiche ergicbt sich furDund 4,wenn i,und iverteuscht werden, und esfolgt (20)G,—'Sit) 2,82,—6x,8z)(Dz, 4z,—Dz,4z,), XVII Transformation derhomogenen Differentialausdriicke zweiten Grades. 365 wenn derAccent amSummenzeichon bedeutet, dass sowohl flrii,,als farj,i,nurdio“*=" Combinationen ohneWiederholung derZahlen 1,2... mgesetat werden durfen. Vertauscht man nun imiti,i,miti,und wendet dieGleichung (rinii,)=Gi,i,i,)an,90folgt,dassG,ungeindertbleibt,wennall- gemein 22,2, —é2,82, mitDx,4z,—Dz,42, vertauscht wird. @leich-wohldarfmannichtD=und4—4odereinesvonbeidensetzen,weil sonst dieCoefiicienten (ii,4,%,) und (iyi,ii,) oder, wasdasselbe ist, (iii) und (ii,%,i,) nicht mehr voneinander getrennt bleiben, sondern zuihrer Summe vereinigt werden, mithin ausG,— G;nicht mebr alle ‘Transformationsrelationen (18.) hervorgehen kénnen. Dieletzteren ergeben sich auch ausden Formen Hy=Diiyini)ezda,Dx,42, —D(iiyiyiex,Dz,42, 8%, I,mDivine, Dx,4%, =Dbivigi)ex,47,8%,Dx,, welche ausG,durch cyklische Vertenschung von ,Dund 4hervor- gehen, und esistwegen (19.) identisch G+ H+ J,-0. 8 Ichsotze nun voraus, man habe nach art.6.ausden Coefficienten (ivigigi,) von G,neue Ausdriicke (ii,ii,i,) abgeleitet und mittelst der- selben eine inden Differentislen @x,@2,2,@z,2xfllnffach lineare Far ara Form G,gebildet. Ebenso seiausG,aufdemselben Wege eine sechs- fach lineare Form G,,ausdieser eine sicbenfach lineare G,abgeleitet worden, u.s.w, bisman aufFormen kommt, deren Coefficienten ent-” weder verschwinden oder suf frihere Formen zurickfuhren. Dann er- giebt sich dasGleichungssystem (A) FaF, G=Gi, GG, .., und esgeht aus-dem Vorangehenden hervor, dase flrdieMglichkeit derersten von dieson Gleichungen dieMéglichkeit aller Obrigen er- forderlich ist Damit aber dieGleichung F—F’ méglich sei,isterforderlich und hinreichend, dass dieontsprechenden Transformationsrelationen () (qm)=Paina, fir(i)=o,,undzugleich dieIntegrabilitatebedingungen ou, aut, B. Be Oe @) ae, Os, 866 XVIIL. Transformation derhomogenen Diffeentialausdricke rweiten Grades. erfillt sind. Denn wenn beide Gleichungseysteme erflllt sind, 20giebt esnFunctionen ,,%5,...%, derBeschaffenheit, dass dieGleichungen (F.) durch diealigemeine Annahme 62% Me Bx, befriedigt werden, und dieSubstitution z,—0,, 2y—0%)... 2,— 0, leistet dann dieverlangte Transformation von FinF*. Damit dieGleichung G,—@; méglich sei, missen dicTrans- formationsrelationen (G) (e000) —SCivininidul woul ‘und dieIntegrabilititsbedingungen (B) erfullt sein.. Ebenso missen diese letzteren neben den ‘Transformationsrelationen (G,) (a) =Si ful erflllt sein, damit dieGleichung G,—G; méglich sei,u.s.w. Dies festgestellt, wirde die‘Transformation von FinF”schon dann unméglich sein, wenn dieverschiedenen Systeme von Trans- formationsrelationen (F.), (G4); (Gs:) (Ge-), u.8.w.algebraisch nicht miteinander bestchen kénnten, abgeschen von dennothwendig hinza- zufligenden Integrabilititebedingungen (B). Ichsetze daher, indem vondenGleichungen (B) ginzlich Abstand genommen wird, voraus, die verschiedenen Systeme von Transfor- mationsrelationen, deren Herleitung und Aufeinanderfolge oben fest- gestellt wurde, seien algebraisch erfullt; dann handelt essich darum, ‘obdieIntegrabilititebedingungen (B.), vermittelst deren sus F=F” alle dbrigen Gleichungen (4.) folgten, Uberfldssig sind oder nicht. 9. Umdiese Frage, welche derKernpunkt desganzen Transformations- problems ist, 2erledigen, will ichzur Vermeidung tberfldssiger Rechnungen diehier erforderlichen Schldsse zunichst unter einer be~ stimmten Voraussetzang darlegen, welche keineswegs festgehalten werden soll, und dann erst zur Behandlung der Frage inderjenigen Form ‘ubergehen, inwelcher siegestellt werden muB. chwill also voraussetzen 1)dass dieUnbekannten 2undubei- spieleweise durch das Gleichungesystom (G,.) vollstindig und ohne Widerspruch bestimmt sind, unddass 2)diese Werthe derUnbekannten auch dem folgenden Gleichungssystem (G,.) gentigen. XVIIL Transformation derhomogenen Differentislausdrtcke zweiten Grade. 367 Nimmt man nun von denGleichungen (G,.) dieDerivirte nach 2.,,80folgt einGleichungesystem Ane ead” Hii AD Oey afae -> Fate Me,+T op)ahatat (6) Tm>(irivid gawn, ite «cau? +Sabine atapoo. rr “ InBerug aufdieses System istsunichst fostzustellen, was ausunserer ersten Voraussetzung folgt, dass durch dasselbe dieWerthe aller Derivirten ae, ou, vollig bestimmt sind, d.h. dass das System (G;,) eine derAnzahl dieser Unbekannten gleiche Anzahl von Gleichungen enthilt, welche inBezug aufjene von einander unabhingig sind, und keine Gleichung dieses Systems mit andern imWidersprache ist. ‘Setzt man nun ay (8aZ-4~(2) ad, 4s, aa) 7h 0sind()-0,(c)0dieGleichungen, mittelst dereninart.6. ausdenvorstehenden Gleichungen (@;,) diesoeben alsdieUnbekannten dieses Systems bezeichneten Derivirten weggeschafft wurden, wodurch jene indieGleichungen (G,.) dbergingen. Schaflt man stat dessen diese Derivirten aus den Gleichungen (G,) mittelst dervorstehenden Formeln weg, 20erbilt man aufder rechten SeiteeinenindenGrissen (‘),(2)Tinearen TheilU,,der sich vonderurspringlichen rechten Seite von(G,.) nurdadurch unter- aut scheidet,dass%zdureh(*),iedurch(2)ersetztist.Dietbrigen Glieder heben sich gegen diolinke Seite weg, dawir voraussetzen, dass dieGleichangen (G.) erflllt sind. Folglich gehen dieGlei- chungen (G,) her ineinGleichungssystem U,=0, 868 XVII Transformation derhomogenen Diferentislansdricke aweiten Grades. welches ausjenenerhalten wird,wenndieUnbeksnnten durch(/), (2)ersetzt, undalleunabhingigen Glieder unterdrickt werden. Dieses System enthilt also ebenfalls eine der Anzahl der Un- bekannten ($),(1)gleicheAnzahlvonGleichongen, welcheinBe- | zug aufjene von einander unabhingig sind. Folglich kénnen diese Gleichungen nurdadurch befriedigt werden, dassmanallgemein (*)—0, (a)=alsonamentlich firjedesiund« =2 Ma Gx, setzt. Wenn daher dieGleichungen (G,.) allein alleUnbekannten véllig bestimmen, und dieihnen gentigenden Werthe derselben auch dieaus (G,) fiiessenden Gleichungen (G,.) befriedigen, sosind alle Integra- Dilititebedingungen erflllt, sodass bei diesen Voraussetzumgen die Gleichungen (B.) dberfidesig werden. 10. Esbedarf nach dem Vorhergehenden keiner neuen Rechnung, um einzuschen, dass diese Folgerungen auch noch stattfinden, wenn alle Unbekannten durch dieGleichungssysteme (G,), (G,), (G,), ...obne Widerspruch véllig bestimmt sindundzugleich denGleichungen (4,1), (G,41)s (Grar)y --+Genilge leisten, welche sichausdiesen nach art.6. ergeben. InderTatfolgt dann ausjedem System (G,) mit Rilcksicht anf(G,,,) einGleichungssystem U,—0, undesmuss sich dann unter derSchaar von Gleichungen U,=0, U,=0, U,=0, ... eine Gruppe finden, welche ebenso viel Gleichungen enthilt alsUnbe- kannte vorhanden sind, und deren Determinante vonNull verschieden ist. ZndenGleichungen, ausdenen man dieurspringlichen Unbekannten zund um bestimmen hat, gehdren inerster Linie dieTransformations- rolationen (F:) selbst; sieunterscheiden sich von den Gbrigen ausser ihnen 2uverwendenden Gleichungssystemen, z.B.von denGleichungen (G,.) dadurch, dass dieausihnen nach art.6.abzuleitenden Gleichungen identisch erfullt sind, indem sich fr(i,i,) —@,,, (éi,4,)—0 ergab. Folglich erhalten wirdenLehreate: Aus dem urspriinglichen Differentialausdrucke Fleite man su- nichstnachdenartt.5.und7.dieFormG,ab,unddannaus XVIII, Transformation der homogenen Differentialansdricke awsten Grades. 369 dieser nach art6.dieFormenreike Gy,Gy,u.s.1e. Wenn alsdann durch dieTransformationsrelationen, welche suden Gleichungen P=F, -G/, G-G, ... GG, gekiven, dieWerthe derUnbekannten xund uohne Widerspruch willig Bestimmt sind, und diendmlichen Werthe derUnbekanntenauchnochdenTransformationsrelationen Geniigeleisten,welchesich ausdernéichstfolgenden Gleichung Gy Gea ergeben, 20sind rugleich alle fiirdieTransformation vom FinF° exforderlichen Integrabilitatsbedingungen erfilt, und eswird allgemein ayw=oh. Durch diesen Lebrsatz, welcher inallen Fille’, woerAnwendung findet, dieFrage nach denIntegrabilitatsbedingungen aberfdssig macht, wird firdieAnwendungen der algebraischen Invariantentheorie ein neues und frachtbares Gebiet eriffnet. InderThat Kommt beiderAnwendung dieses Satzos derUm- stand nicht mehr inBetracht, dass dieGréwen éz,(2,...vollstindige Differentiale bedeuten, sondern manhatF,G,,G,,... nurnochals algebraische homogene Formen mitdenVariabelnsystemen @z,22,... tubetrachten, unterderVoraussetzung, dassalleVariabelneysteme der némlichen linearen Substitution unterliegen. Unter dieser Bedingung hatman nun, was ausrein algebraischen Gronden entschieden wird, dieReihe dersufeinanderfolgenden Forsten F,Gy Gs, ...soweit fortzasetzen, bissienabsolute Invarianten und ebensoviel 2ugehirige Formen ¥,liefern, vondenen dieersten inBe- sugaufdieVariabeln x,dieletztern tberhaupt von einander unab- hingig sind. Sodan hatman noch firdieumeinGlied weiter fort- geselzte Formenreihe F,G,,Gy,...einvollstindiges System von Iu- varianten J,Jj,...2ermitteln, welche inBerug auf dieCoeffcienten dieser Formen von einander unabhiingig sind, Dann besteht dasSystem aller frdieMoglichkeit derTransfor- mation von FinF”erforderlichen und ausreichenden Bedingungen in denGleichungen T-rl, Lard, .., wordieSubstitutionsdeterminante ist,und dieExponenten 4constante Werthe haben. Esistangemessen, diese Incarianten I,I,,...derhinreichend weit, aber nicht weiter alsnithig fortgescteten Formenrcihe F,Gy,Gy,---BBChrlatottel, GemmmetieAbtandangn. 2 370 XVII. Transformation derhomogenen Differentialausdricke zweiten Grades. auch alseinvolistindiges System von Invarianten desDifferentialaus- druckes Fsubezeichnen. Sein U,,Uy, ...U,dieVarisbeln inden urspringlichen, V,, Vy,...Vydieselben inden transformirten zugehdrigen Formen, so dass zururepriinglichen Substitution én,=Duan’, dietransponirte V=EM, gehdrt. Sind unter dieser Voraussetzung dieGleichungen zwischen den mugehérigen Formen diefolgenden PVay Vay= BOs, Uy---)y flrs—1,2,...n-und constante Werthe der j,20folgen, wean unter &eine beliebige Function der urspriinglichen Variabeln ver- standen, undallgemein en y= gesetzt wird, dieGleichungen @2eB @232 WiFeeSage) OR(SesGage)” Solche, eine willkiirliche Function 2enthaltende Ausdriicke 202a w(Fegee-) milssen alssugehirige Formen desDifferentialausdruckes Fbeseichnet werden. Ebenso liefern dieCovarianten des Systems F,G,,G,, ...= Gleichungen O1(C2,,ey.) =POOny, 724,«>, und dieDifferentialausdriicke (2, @, --.) miissen alsCovarianten desDifferentialausdruckes Fselbstbezeichnet werden. 11. UmdenInhalt desimvorigen art.gefundenen Satzes genau fest- zustellen, muss hervorgehoben werden, dass dieBedingungen desselben nicht unter allen Umstinden erfiillt werden kénnen. Wenn es sich 2.B.umdieFrage bandelt, obzwei gegebene Oberfidchen sufejnander ohne Debnang abgewickelt werden kinnen, sohatman eine Gleichung F=F' firn=2 zuuntersuchen. Wenn nun dieAbwickelung einer XVILL, Transformation derhomogenen Differentislausdricke sweiten Grades, 371 Fliche aufdieandere, slso dievorstehende Gleichung méglich ist, 80 wird man ausdenindenGleichungen F=F’,G,— Gj,G,=G;,..- enthaltenen Transformationsrelationen, wie weit diese Reihe auch fort- gesetzt werden mag, doch indenjenigen Fallen niemals bestimmte Werthe der zund uerhalten, wo die vorgelegten Flichen insich selbst stetig verschoben werden kénnen, weil indiesen Fallen die ‘Transformationsrelationen, ohne Aenderangen der neuen Variabeln, stetige Aenderungen derurspriinglichen gestatten. Esisthiernach leicht, dieBedingangen firdenallgemeinen Fall anzugeben, welcher derVerschiebbarkeit einer Fliche insich selbst entepricht. Das Gréssengebiet derVariabeln 2,%,... 2,wird einbeiun- veriinderlichem Finsich verschiebbares genannt, wenn durch dasRe- sultat der Transformation von Fdie anzawendende Substitution nicht vollig bestimmt ist. Esistklar, dass diesimmtlichen Bedingungen flrdasStattfinden dieses Falles inidentischen Gleichungen zwischen solchen Invarianten und 2ugehdrigen Formen von Fbestehen, welche unter den Vorsussetzungen desvorigen art.von einander unabhiingige Funetionen der Variabeln zund wsind. Indiesem Falle werden dieIntegrabilitatsbedingungen nicht aber- fidssig, weil man allen Transformationsrelationen genigen kann, ohne dieinart.9.durch(i),(2)bezeichneten Ausdriicke gleich0zu‘setzen. Far alle abrigen Fille gilt das schne, und aus der Natur der Sache keineswegs apriori zuerwartende Resultat, dass alle firdie Moglichkeit derTransformation von F’inF’nothwendigen und aus- reichenden Bedingungen sich alsGleichungen zwischen Invarianten darstellen lassen, wenn dieser Ausdruck zurBezeichnung dergleichen Formverhiltnisse wieinderAlgebra angewandt wird, und dase auch beidem hier behandelten Transformationsproblem zugehSrige Formen und Covarianten genau inderselben Bedeutung, wenn auch ausganz anderer Quelle auftreten, wiebeidenanslogen algebraischen Problemen. 12. AlsBeispiel zurvorangehenden Theorie behandle ichdenFall n=3, beiwelchem sich merkwardige Vereinfachungen darbieten. Werden wie inGleichung (20.) firi,i,ebenso wie forkk, nur Combinationen ohne Wiederholung derZahlen 123, also z.B.nurdie Gruppen 23,31,12genommen, sokann man dieTransformationey rolationen (18.) von G,indieForm a 872 XVIIL Transformation derhomogenen Differentialausdritcke sweiten Grades. (BxBa7s70)’="Gataaha)(uy,—alu)(agile—attwl) setzen. Ichbestimme nunvierZahlen f,y,iundkdurch dieBedingung, dass 68,By, 77172) ‘iyi, und kk,ky positive Permutationen derZahlen 123 werden, sodass also gleichzeitig z.B. B=1, B=2, B38, oder 6=2, 6,—3, A,—1, oder B=3, f,—1, 8-2 wird. Man erkennt hieraus, dass auch umgekehrt durch den Werth yonBsowohl f,als6,bestimmt ist. Dies festgestellt, bezeichne ichdieauseiner Aenderung von wi, hervorgehende Unterdeterminante vonrdurch ri,und setze, dai,iysowiekk,durchdieWerthe voniund&vélligbestimmt sind, (isk) =Any 0dass nach (14.) L(gamyaay_doy, Eas|8]pa su32aecds958Gat)+28Celle]-[elle) @)1/2!,Geyote,Pe, Eayptt 127713An=9(533 tageh athens) te Cl)-LTe) wird, woraus die Abrigen durch 2yklische Vertauechung von 123 folgen. Dann nehmen dieTransformationsrelationen von G,dieeinfache Form an: (b) Ay,F407. Inabnlicher Weise lassen sich die zuF'=F"gehérigenTransforma- tionsrelationen, wie2.B.ausderzugehdrigen Form vonFhervorgeht, durch diefolgenden ersetzen: ©) E,,=DEwin. Hierzu gehért dieBemerkung, dass wegen derGleichungen (19.) (@) Aum Av istund, was spiter zurAnwendung kommt, A,,sein Zeichen wechselt, wonn i,und i,oder ,und A,miteinander vertauscht werden. DieGleichungen (6.)und (c.)sind hiernach nichts anderes alsdie ‘Transformationsrelationen firdiesimultane Ueberfihrung derterniren quadratischen Formen ‘XVIII. Transformation der homogenen Differentialausdriicke zweiten Grades, 373. r=P4aXXv, ©- SEX, . indiefolgenden r=ZAEE, o- SEER mittelst der linearen Substitution © X=S48), deren Determinante . Ra? ist,und zuwelcher dieinverse Substitution ©) BnDX gehort. Esistbekannt, dass dieses Transformationsproblem einbestimmtes ist,indem viersimultane Invarianten unddreizugehdrige Formen exi- ‘ stiren, welche inBezug aufdieVariabeln derletztern und dieCoef- ficienten von I’,@von einander unabhingig sind. Daraus ergeben sich drei absolute Invarianten; wenn diese auch inBezug auf die Variabeln x,2,,7,von einander unabhingig sind, soistesnach dem Lehrestze des art. 10.flrdiegegenwirtige Untersuchung nur noch néthig, zuFund G,dienichstfolgende Form G,abzuleiten. Nun istnach art. 6. Givi) =a5) ~2[ean +(8)Gamm) +(P)aaa) +PP]Gana): Indieser Summe hatman imersten Gliede flr4nurdieWerthe i, und izunehmen, da(i,i,k,4,)—0ist.Verfihrtmanebensobeiden brigen Gliedern, und vertauscht inden Fallen, woi—i oder =k gesetzt wird, diesen Index mitdem zugebérigen, sofolgt zuniichst (aint)—PS—Gist[88]+(8}+(8)+(BE) +(8G) +(99)GK) +PEGE” +(P)GikeD- Nun sind iii, iii, und kkk, kkAzugleich mitiii,undkh,ky 814 XVIIL, Transformation der homogenen Diferentialausdricke zweiten Grades. positive Permutationen von123; slso folgt, wenn rechts inderKlammer desSubtrahenden noch(4°)+{4}addirtwird: . 5 OAn r i rf b +AaHE At(Aa t(Eat PB)Aa+PE)Aa: Diesen durch dioWerthe g,i,kvéllig bestimmten Ausdruck bezeichné ichdurchA,,,80dass(gisishihs) =Asay und nach der leicht herzuleitenden Formel or)_1aED(i)~ ne, OA Ay2E gh gh O)A=Gtee+tS(T]Ant(F]4a] wird, Dieser Ausdruck hatdieEigenschaft, ungeindert zableiben, wenn imitk,dagegen sein Zeichen zuwechseln, wenn i,mit i,oder ,mitk,vortauscht wird. InFolge dessen Inssen sich diezuG,— G; gehérigen Transformationsrelationen oarGBAang GG indie infachere Form @) Ain=BAe bringen und fihren nun zueinem weitern merkwirdigen Resultate. Sind nimlich frdiezugehdrigen Formen von Iund ®U,U,U; die urspriinglichen, V,¥,V, dieneuen Variabeln, sodass dieent- sprechende, zu(¢)transponirte Substitution wird 5) V.-2nU,,worausdurchUmkehrung , |«) u,-D ier. folgt, soerbilt man ausderGleichung (¢), indem man mitV,z,5, multiplicirt und nach @,8,7summirt: Pia VRB 1BAU, Ky. Daaberr—RteinePotenzderSubstitutionsdeterminante ist, und inbeiden Summen sowohl dieVariabeln derurspringlichen als auch diederzugehdrign Formen vorkommen, somiissen dioselben XVIII, Transformation der homogenen Diferentialsusdricko rweiten Grades. 375 ‘entaprechende simultane Zwischenformen sein, undwirkénnen demnach den folgenden Lehreatz aussprechen: Um diefiir dieMiglichkeit der Transformation eines terniiren quadratischen Differentialausiruckes F=So,27,2%, ‘ineinenandern Fr=Zoycx,22, erforderlichen und ausreichenden Bedingungen und, falls dieselben erfillt sind, dieSubstitution zuerhalten, welche dieverlangte Trans- formation leistet, bilde man mittelst derCoefficienten vonFdiedrei algebraischen terndiren Formen Dm 2A,X,X, . O-ZE,X,X, O=2A UXXs ‘und fiirF'ingleicher Weise dieentsprechenden Formen I”,@',0mitdenVariabeln3undVanStellevonXundU. Dann sind die verlangten Beditigungen genau diendmlichen, welche erforderlich sind und hinreichen, damit durch eine directe Substitution X= 2n5, Tin I’,®in©transformirt werde, und unter Voraussetsung der V~SnU, gleichzeitig ©und 6entsprechende Zwischenformen werden, welche der Gleichung o-Re geniigen. Dieser Sate findet jedoch nurunter derVoraussetsung statt, dass diesechs absoluten sugehirigen Formen und Invarianten vonI,® ‘voneinander unabhiingige Functionen derVariabelnx,2,7,U,U,U,sind. Istdiese Bedingung erfilllt, soerhiilt man ausden Gleichungen svischen den urspriinglichen und transformirten Covarianten von T,©dieCoefficienten ut,derinversen Substitution, alsodar durch dieInvarianten bestimmt ist,w,selbst undswar so,dass allgemein 1 2% “nae wird, 376 XVII. Transformation der homogenen Differentialausdriicke rweiten Grades. Istsienichterfillt,80folgtstattdesvorstchenden SatsesdasResultat, dass dasGrissengebiet der Variabeln 2,2,% ohne Aende- rung von Fstetig insich verschoben werden kann. Aus art.10.folgt, dass unter denVoraussetzungen desvorstehen- denSatzes alle frdieMéglichkeit derTransformation von FinF” erforderlichen und susreichenden Bedingungen sich mittelst dersimul- tanen Invarianten dreier homogenen Formen F,G,, G,und ihrer transformirten darstellen lassen. Dieses Resultat setzt ebenso wie der obige Satz voraus, dass beiderElimination derSubstitutionscoefii- cienten w,oder r£,aus welcher dieinRede stchenden algebraischen. Grundformen hervorgehen, aufIntegrabilititsbedingungon zwischen den- selben keinerlei Ricksicht genommen werde. Nun istoben gefordert, essollen sichdieGréssen ,,,durch dio Coefficienten vonI’und®,unddieGrossen 4,, indergleichen WeisedurchdieCoefficienten vonI”und®soausdricken lassen,dass1)©einesimultane Zwischenform von I’und ®,2)6’dienimliche simultane Zwischenform vonI”und@,und3)6’[email protected] von Rzeigt, dass diesen Bedingungen nicht geniigt werden kann, wenn dieGréssen A,,, rationale Functionen derGrissen A,,, E,,sind. Andererseits lassen sich diese Bedingungen sicher befriedigen, wenn F” nicht willkirlich gegeben, sondern ausFdurch irgend eine Substitu- tion, 2B.dieidentische 2,—2,abgeleitetwordenist.Alsohaben wir den Satz: Man kann fiirjeden terndiren quadratischen Differentialausdruck | FdieindenGleichungen (f.)eingefiihrten Griissen A,,, alsirratio-naleFunctionen derCoefficienten vonIund®sodarstellen, dass@cinesimultane Zwischenform vonIund@wird,diesuihrer transformirten inderBesichung 6’—Ri@ steht. Fagt man mudieser dieGleichungen Y=’, ©’—®und ZLnii-B, soerhilt man 31Transformationsrelationen, susdenen sich, obgleich dieVariabeln von @verschiedenen Substitutionen unterworfen sind, die9Substitutionscoefiicienten ri,soeliminiren lassen, dass alle Eli- minationsresultate die Invariantenform I'=RI annehmen. Indem Hauptfalle, wodurch das Resultat derTransformation yon I’und ®dioanzuwendende Substitution vollig bestimmt ist, gilt dasGleiche nothwendig auch von den drei Functionen I,®und @. Alsdann istdieAnzahl der von einander unsbbingigen Invarianten ‘XVII Transformation der homogenen Differentialausdriicke zweiten Grades. 377 1)von Fund @allein gleich 4,2)von F',®und ©sueammen gleich 22, also 3)dieAnzahl derjenigen unter ihnen, welche noth- wendig Coefficienten von @enthalten, gleich 18. Nach der inart. 10.angewandten Ausdrucksweite hatalso der Differentialausdruck Fimgegenwartigen Falle 22Invarianten dber- haupt und 21absolute, ausserdem drei von einander unabhingige 2u- gehdrige Formen und ebenso viel Covarianten. Ueber diebeim vorigen Lehreatze ausgeschlossenen Differential- ausdricke F,mudenen unter andern-das Quadrat desLinienelementes imRaume von drei Dimensionen gehért, liegt eine Abhandlung sus dem Nachlasse Riemanns*) vor, mwelcher Herr Dedekind diedort ‘unterdrickten analytischen Entwicklungen inAussicht gestellt hat. 1)Ueber dieHypothesen, swelche derGeometrie suGrunde legen. Abb. der Gottinger Ges. d.W.vom Jahre 1967, Band XIII. (Gesammelte Werke S.254.) 8,Januar 1869, \ XIX. Ueber eindieTransformation homogener Differentialausdracke i zweiten Grades betreffendes Theorem. (Journal fardiereine und angewandte Mathematik, Bd. 70,1869, 8,41-245.) DieLehrsitze, welche ichimart.10meiner Abhandlung tber die ‘Transformation der homogenen Differontialsusdriicke zweiten Grades (p.46dioses Bandes)*) bowiesen habe, setzen voraus, dass man diedort eingefuhrte Formenreibe F,G,,G,,...soweit fortgosetzt habe, bissie1)nabsoluteInvarianten und2)ebensoviel zugehdrige Formenliefert, ‘yon denen dieerstern inBerug aufdieurspringlichen Variabeln, die letztero Uberhaupt voneinander unsbhingig sind. Von diesen beiden Bedingungen ist,wieichseitdem bemerkt habe, dieerste flrdasStatt- finden dererwihnten Sitze nicht bloss nothwendig, sondern auch hin- reichend, sodass diezugehdrigen Formen stets indergeforderten Zahl vorhanden sind, wenn mvoneinander unabhiingige absolute Invarianten exiatiren. Der Beweis dieses Satzes stitat sich auf einen Umstand, welcher beiderAuflésung linearer Gleichungen eintreten kann und derfol- genden Anwendung wegen einer Erdrterung bedarf. Derselbe besteht darin, dass einSystem von linearen Gleichungen, welches nicht zur vélligen Bestimmung aller Unbekannten hinreicht, gleichwohl unter Umstinden flrgewisse Unbekannten Werthe lifer kann, welche von jeder Unbestimmtheit frei sind. Um dioBedingungen firdiesen Fall darzustellen, seiA.cin System von p-+m oder mebr linearen Gleichungen mitden Unbe- Kannten 1,%45---Ypem nd denunsbhingigen Gliedern 4,£5,.. Tehsetze voraus, dass alle Determinanten dieses Systems, deren Ord- nung >pist,gleich Null, aber dieDeterminanten p**Ordnung nicht allegleich Null sind. Insbesondere seidiejenige Determinante p**Ord- nung vonNull verschieden und—4,welche denUnbekannten ¥,,4)+--Yp indenGleichungen entepricht, deren unabhiingige Glieder #,,4,...#, sind (vergl Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten, aweite Auflage, §.8,3und §.4,7). %)8.862 dieses Bandes. XIX. Ueb. eind.Transformation homog. Differentialausdriicke betr. Theorem. 379 ‘Werden nundiese pGleichungen nach y,,y,---y, aufgelést, und- diegefundenen Werthe indiedbrigen Gleichungen eingesetzt, sofallen aus diesen (nach §.8,16 desangef. Werkes) auch dieibrigen Un- bekannten ¥,41;Ypya>+--Yp4m Weg, undmanerhiilt demnach einerseits dieWerthe, welche den Grissen #,,,, #,,2,--. beigelegt werden milssen, wenn dasSystem A.keinen Widerspruch enthalten soll, wih- rend andererseits dasResultat folgt, dass dieUnbekannten y,,94,---Y sichdurch 9541) Ysa +Ypym Susdriicken, diese letatern dagegen will- kirlich bleiben. Damit nun, wasdem obigen Fale entspricht, 2.B.y,einen Werth erhalte, dervonjeder Unbestimmtheit freiist,isterforderlich undhin- reichend, dass diemDeterminanten p**Ordnung =0sind, welche aus 4hervorgehen, wenn man jeden Coefficienten vony,durch dender- selben Gleichung entnommenen Coefficienten einer derUnbekannten Ypsts Myst +<-Ypym ersetzt, indem diese Ausdriicke bisaufs Zeichen dieCoefficienten sind, mit denen diese Unbekannten imAusdrucke von 4-y, multiplicirt sind. 1 Ich will nun imAnschlusse an die artt. 9.10. meiner oben er- wihnten Abhandlung voraussetzen, esliege einSystem vonG@leichungen beliebiger Form rep) 4=0 vor, inwelchem zwei Gruppen von Unbekannten vorkommen, niimlich %j,%,.-.a, undwi,uj... ue), und eine Grappe vonunabhiingigen Variabeln, niimlich 2,2,,...2. Von diesem System werden folgende Eigenschaften vorausgesetzt: @)Das System (1.) liefere véllig bestimmte Werthe derUnbe- kannten zals Functionen der Variabeln 2’. 2)Obesauch zurBestimmung derUnbekannten «ausreiche, bleibt dahingestellt. ©)Dagegen soll, wenn man nach den unabhingigen Variabeln differentiirt und hierauf ex, au? --5 @)Paley FeHVSHZ) einsetzt, oinGleichungssystem (3) 8-0 folgen, von welchem ichvoraussetze, dass esdurch diedem System (1.)geniigenden bestimmten Werthe derxundirgend eingleichzeitig gentigendes System derubefriedigt wird. 880 XIX. Ueb. eind.Transformation homog. Differentialausdriicke betr. Theorem. Dann ergeben sich folgonde Schlisse. Wegen a)liefern dieGlei- chungen a ou ay og7° vllig bestimmte Werthe firdieDerivirten von z,,2)... %4) Wib- rend dieFrage, obdieausihnen folgenden Wertho derDerivirten von ,,jy«--ebenfalls von jeder Unbestimmtheit frei sind, nach 3)da- hhingestellt bleiben muss. ‘Aus(1’) eliminire man nun alleDerivirten mittelst derGleichungen 7 amoa(i)MFowoa fi@) get (DsFE9 2)+(Ops dann muss man, weil dieGleichungen (1’.) inden Derivirten linear sind, anejeder von ihnen cine Gleichung von derForm U+8—0 erhalten, wo®dieselbe Bedeutung wioin(3.)hat,undUaus2% . -aay iyQuy i erhaltenwird,wennmanallgemein 3%durch({),Be,durch(.”) ersetzt und diejenigen Glieder woglisst, welche keine Derivirte ent- halten, Daaber nach Voraussetzung c)stets 8—0ist,soliefort jede Gleichung (1') eine neue Gleichung @) U=0, welche sich von jener nur dadurch unterscheidet, dass alle unab- hangigen Glieder unterdriickt sind, wihrend die urspringlichen Un- ae,aut iy(4 . bekannten57,zgdurchandere, nimlich (2)(eA)ersetztsind. Diesem Gleichungseystem kann man daher geniigen, indem man alleUnbekannten —0setzt. DaesaberfirdieUnbekannten (*) Werthe liefern muss, diekeine Unbestimmtheit enthalten, sokann ihm suchmurdadurch geniigt werden, dassmanalle(!)—0 sete. Wir haben daher den Satz: ‘ 4)Wenn dieobigen Voraussetzungen erftllt sind, sosind auch die Unbekannten ut!des Gleichungesystems (1.), (3.) keiner Unbestimmtheit fihig, sondern esfolgt allgemein eo 2% wee 2 Dies festgestellt, betrachte ich noch einmal dieSysteme von ‘Transformationsrelationen, welche aus den Gleichungen F=F’, XIX Ueb. eind.Transformation homog. Differontialausdricke bets. Theorem 381 G,=G;, G,=G,,... hervorgehen. Nimmtmanan,dassdiozuden Gleichungen @) F=F, G=G, G=G, 6-6 gebdrigen Transformationsrelationen vollig bestimmte Werthe der urepringlichen Varisbeln 2alsFunctionen derneuen Variabeln 2’lie- fern, und dass diese, sowie irgond eingleichzeitig gentgendes System der uauch den in ) Gres Goes enthaltenen Transformationsrelationen Gente leisten, sofolgt ausdem obigen Satze, dass allgemein 6) wh, also dieTransformation von FinF’méglich ist DieBedingungen hierfir ergeben sich wiefolgt. Man botrachte dieGleichungen (4.) und (5.) alsrein algebraische und bilde 1)ein vollstindiges System voneinander unabhingiger absoluter Invarianten I,,Iz,-..1,desFormensystems (a) F,GyGey. Gy 2)dieabsoluten Invarianten 1,44, Jiy1)---Ji,welebo20jonengeftgt werden milssen, umeinvollstindiges System voneinander unabhingiger absoluter Invarianten derumeinGlied weiter fortgesetzten Formenreihe @) FyGyGey. GySpgs zu erhalten, Dann istfirdieAnwendbarkeit derobigen Schlisse erforderlich undhinreichend, dass1)unter den2Invarianten derersten Gruppo ‘ sich deren n,etwa J,,,,...1, befinden, welche inBezug auf die Variabeln 2,,2, -..2voneinander unabhingig sind, und dass 2)dio Werthe derurspringlichen Variabeln alsFunctionen derneuen, welche sich aus den Gleichungen I,=J,, —Jj,...1,—T, ergeben, auch den tbrigen Gleichungen J,—J,dererstenGruppe,soweitsolche vorhandensind, und allen Gleichungen I,—J;der2weitenGruppe Geniige leisten. Sind nimlich diese Bedingungen erfullt, soenthalten dieaus (4.) und (6.) hervorgehenden ‘Transformationsrelationen auch inBezug aufdieWerthe derUnbekannten «keinen Widersprach, und esfolgt nun mitNothwendigkeit dieGleichung (6.). Mit Racksicht darauf, dass beidiesen Untersuchungen voranegesetst ist, dass die Determinante vonFnichtidentisch =0ist,habenwiralsodenfol-genden Satz: 382 XIX. Ueb. eind.Transformation homog. Differentialausdricke betr. Theorem. Esscien Fund F"swei vollstindige quadratische Differential- formen mitdenVariabeln 2,2,,... 2,und x,2... 2. Um euuntersuchen, obdieeine indieandere transformirt werden kinne,bildemandieFormenreihe F,G,,Gy...fiirFunddieent-sprechende fiirF’. Wenn alsdann unter denabsoluten Invarianten von @) F,GyGyo Gy . alsSystem vonsimultan sutransformirenden algebraischen Formen betrachtet, sichderennbefinden, welche inBeeugaufdieVariabeln voneinander unabhiingig sind, ohne dass dies derFall ist, wenn man G,ausderFormenreihe weglisst, sobeslehen dienothwendigen und ausreichenden Bedingungen fiir dieMoglichkeit der Transfor- mation des Differentialausdruckes FinF"darin, dass die als algebraische betrachteten Formen @) F,Gy,Gey++GyrGyys durch tibereinstimmende lineare Substitutionen gleichseitig in @) FY,GyGyosGorGoan transformirt werden kinnen, und diese Bedingungen werden daher durch die Gleichheit der entsprechenden absoluten Invarianten der Formenreihen (b.)und (b') vollstiindig ausgedriickt. Wenn dagegen diealgebraische Formenreihe (a.), wieweit sie auch fortgesetst werden mag, niemals nabsolute Invarianten liefert, welche inBeeug auf dieVariabeln xvoneinander unabhiingig sind, 80istdie Transformation von FinF’selbstindenFallen,wo siemiglich ist,doch keine bestimmte, weil indiesem Falle, wodieInvarianten allein zur Ermittelung der gesuchten Substitution nicht ausreichen, noch dieDifferentialgleichungen desProblems zuHilfe genommen werden miissen, sodass dieSub- stitution nothwendig verfiigbare Elemente enthilt, welche stetiger Aenderungen fuhig sind. Berlin, den 7.April 1869. Chrish LB {]ATE IssuEn—a Le ICH a 69041213927 b89041213927a